精品解析：湖南省长沙市第六中学2025-2026学年高二上学期分班考试数学试卷

长沙市第六中学2025年秋高二分班考试 数学科试卷 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（ ） A. 这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B. 这次抽样一定没有采用分层抽样 C. 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D. 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 4. 若圆锥的轴截面是等边三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 18 B. 16 C. 10 D. 4 7. 将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数的定义域为R，为偶函数，，对于区间上的任意都有，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题 9. （多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（    ） A. 若是对立事件，且，则 B. 若是对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若是互斥事件，，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 的图象关于点对称 11. 如图，在棱长为5的正方体中，M是侧面上的一个动点，点P为线段上，且，则以下命题正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B. 保持PM与垂直时，点M的轨迹长度为 C. 若保持，则的轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形 三､填空题 12. 已知平面向量，若，则__________. 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为__________． 14. 已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形，，则其面积最大值为________． 四､解答题 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 16. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 17. 如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的大小； （3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？ 18. 已知函数，（且），且. （1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第六中学2025年秋高二分班考试 数学科试卷 时量：120分钟 满分：150分 一､单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得集合，结合基本并集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由集合，可得. 故选：B. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则即可求解. 【详解】由可得：. 故选：C 3. 某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（ ） A. 这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B. 这次抽样一定没有采用分层抽样 C. 这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D. 这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义可以判断A，B；通过计算概率可判断C，D. 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 4. 若圆锥的轴截面是等边三角形，且圆锥的母线长为2，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由轴截面是等边三角形得底面半径，然后由侧面积公式计算． 【详解】， 轴截面是等边三角形，则底面半径为， 所以侧面积为． 故选：B． 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由定义域得到值，再验证. 【详解】因为是偶函数，所以其定义域关于原点对称， 由解析式可知，其定义域需满足，解得 所以的解为，代入得， 此时，定义域为 且，满足条件. 故选：A. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 18 B. 16 C. 10 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数运算得，然后利用“1”的代换求解最小值. 【详解】因为，，且，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16. 故选：B 7. 将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合辅助角公式可得，进而可得g(x)＝2sin，由三角函数的性质可得，化简即可得解. 【详解】设f(x)＝cosx＋sinx＝2sin， 向左平移m个单位长度得g(x)＝2sin， ∵g(x)的图象关于y轴对称， ∴， ∴m＝, 由m>0可得m的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题考查了辅助角公式及三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8. 表示不超过实数x的最大整数，已知奇函数的定义域为R，为偶函数，，对于区间上的任意都有，若关于x的不等式对任意的恒成立，则的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性，奇偶性得到的一个周期为8，由变形得到在上单调递减，故在上单调递减，由函数周期，奇偶性，对称性得到在R上的最小值为，故，解得，求出的最大值为2. 【详解】为偶函数，故关于对称，， 又为奇函数，故，即， 所以， 所以，故， 的一个周期为8， 区间上的任意都有， 令，则在上单调递减， 故在上单调递减， 因为为奇函数，所以在上单调递减， 又的一个周期为8，故在上单调递减， 又关于对称，故， 故在上单调递减， 由对称性可知在上单调递增， 且的一个周期为8， 故在R上的最小值为， 不等式对任意的恒成立， 故，解得， 当时，，当时，， 当时，， 故的最大值为2 故选：C 【点睛】结论点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 二､多选题 9. （多选题）设为两个随机事件，以下命题错误的为（    ） A. 若是对立事件，且，则 B. 若是对立事件，则 C. 若是互斥事件，，，则 D. 若是互斥事件，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的和事件的概率公式即可逐一判断. 【详解】对于选项A，若是对立事件，则，故A项错误； 对于选项B，当是对立事件时，，故B项正确； 对于选项C，当是互斥事件，，，则，故C项错误； 对于选项D，若是互斥事件，，则，故D项正确. 故选：AC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递减 D. 的图象关于点对称 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质来研究正弦型函数的性质即可. 【详解】对于A，由的图象向左平移个单位得：， 与得到函数不相同，故A错误； 对于B，将代入得：，此时既不是最高点，也不是最低点， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 由于在上递减，而，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，将代入得：，此时是函数零点， 所以的图象关于点对称，故D正确； 故选：CD． 11. 如图，在棱长为5的正方体中，M是侧面上的一个动点，点P为线段上，且，则以下命题正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点到点的最短距离是 B. 保持PM与垂直时，点M的轨迹长度为 C. 若保持，则的轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D． 【详解】对于A，将正方体的下底面和侧面展开可得如图图形， 连接，则，故A错误； 对于B，如图： 平面，平面，，又， ，，平面， 平面，平面,， 同理可得，，，平面． 平面． 所以过点作交交于，过作交交于， 由，可得，平面，平面， 平面，同理可得平面， 平面， 则平面平面． 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段， 由点在棱上，且，可得， 连接，则，所以，又，所以， 所以，故B正确； 对于C，如图： 若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则，此时． 所以点在以为圆心，1为半径的圆弧上，此时圆心角为． 点的运动轨迹长度，故C错误； 对于D，如图： 延长，交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为． ，， ，， 所以，，且， 所以截面为梯形， ，截面为等腰梯形，故D正确． 故选：BD． 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 三､填空题 12. 已知平面向量，若，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面向量，且， 所以，解得， 故答案为： 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形；为的中点．若，，，当三棱锥的体积取到最大值时，点到平面的距离为__________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据几何体性质结合体积分割求解三棱锥的体积，在根据等体积法可求解点到平面的距离. 【详解】由题可得，当底面时，三棱锥的体积取到最大值 如图，取中点，取中点，连接 因为底面，为的中点．为的中点，所以， 所以底面，则 又由底面，底面，所以 因为矩形，则，又平面，所以平面 又为的中点．为的中点，所以，，则平面 则 又 所以 又，因为平面，，所以平面，又平面，所以， 设点到平面的距离为, 所以，则. 故点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形，，则其面积最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，利用两次余弦定理求得，的关系，再根据三角形面积公式以及余弦的差角公式，即可求得结果． 【详解】设，，连接，作图如下： 在中，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得：， 故可得，即， 又四边形的面积， 令，则， 由，则， 上述两式相加可得：，即， 当且仅当时，取得最大值40，此时的最大值为， 由，其最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是将四边形面积转换成两个三角形面积之和即可得到，同一边在不同三角形中运用余弦定理得到，令，平方相加即可得到，从而顺利求解. 四､解答题 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 16. 2025年4月15日~5月5日春季广交会期间，出口意向成交额249.5亿美元. “一带一路”共建国家成交占比过半，欧美传统市场成交实现增长.现从某出口贸易展馆随机抽取了100名观展人员，统计他们的观展时间（从进入至离开该展馆的时长，单位：分钟，取整数），将时间分成五组， 并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中a的值； （2）由频率分布直方图，试估计该样本数据的第75百分位数（保留一位小数）以及该样本数据的平均数（每组数据以区间的中点值为代表）； （3）展馆举办方为了进一步了解所抽取的100名观展人员对展品的评价，现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从参观时间在和内的观展人员中抽取5人，再从中随机挑出两人进行详细调研，求两人分别来自于观展时间在和的概率. 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积之和为1即可求解； （2）根据百分位数的定义和频率分布直方图估计平均数的公式即可求解； （3）先计算和应抽取的人数，最后利用古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，解得； 【小问2详解】 设第75百分位数为，则，解得， 由， 所以估计该样本数据的第75百分位数为，该样本数据的平均数为； 【小问3详解】 由题意有的人数为：人，的人数为：人， 根据分层抽样在应抽取：人，在应抽取：人， 设抽取2人为，抽取3人为， 从5人中随机挑出两人进行详细调研，则有共有10种情况， 令事件表示两人分别来自于观展时间在和， 则共有6种情况，所以. 17. 如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （1）求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的大小； （3）当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？ 【答案】（1） 解法1：取，分别为的中点，连接，则过， 且四边形是平行四边形.如图.     因为分别为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 解法2：以点为原点，直线所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设， 则. 由上得. 设得， 解得，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法1：过点作，分别交于点，结合正四棱柱的性质及平行四边形的性质得，利用线面平行的判定定理证明即可； 解法2：建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，然后利用共面定理得，进而利用向量法证明线面平行即可； （2）解法1：过点作，垂足为，连接，利用线面垂直的性质和判定定理得平面，利用线面角的定义知就是直线与平面所成的角，再在直角三角形中求解即可； 解法2：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解线面角即可； （3）解法1：先判断在平面上的射影是的垂心，又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，求得；再验证时，在平面内的射影为的重心. 解法2：建立坐标系求出的重心，利用向量坐标运算求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：过点作，垂足为，连接. 因为平面平面，所以， 平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成的角. 设，则. 所以，直线与平面所成的角是. 解法2：当时，由， 得. 设平面的法向量为， 则由得. ， 所以直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 解法1：连接，， 因为，，平面， 所以平面，所以， 同理，所以在平面上的射影是的垂心. 又在平面上的射影是的重心，则为正三角形，即， 所以. 反之，当时，，所以三棱锥为正三棱锥. 所以在平面内的射影为的重心. 解法2：设的重心， 所以，所以， 则， 若在平面内的射影恰好为的重心，则有解得. 所以当时，在平面内的射影恰好为的重心. 18. 已知函数，（且），且. （1）求b的值，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于x的方程有两个不同的解，求实数m的取值范围. 【答案】（1），为奇函数，理由如下： 定义域满足，即， 又，故为奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由解得b，由定义判断的奇偶性 （2）由对数函数单调性解不等式 （3）分析得，由参变分离法，原命题等价于有两个不同的解，令化简得，即可由数形结合法判断m的范围. 【小问1详解】 由得，故，. 为奇函数，理由如下： 定义域满足，即， 又，故为奇函数. 【小问2详解】 ，，即，即，解得. 故不等式的解集为 【小问3详解】 的定义域为，，为增函数，∵，∴，∴. 经检验不符合方程，故可化为， 又，可化为，令，则. ∵关于x的方程有两个不同的解，即等价于在有两个不同的解，即等价于与的图象在有两个交点. ∵，当且仅当时等号成立，且在单调递减，在单调递增，， 故当与的图象在有两个交点时，，即. 故实数m的取值范围为. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，，向量称为函数的“相伴向量”（其中点为坐标原点）． （1）设函数，求函数的“相伴向量”的坐标； （2）记的“相伴函数”为，设函数，，若方程有四个不同实数根，求实数k的取值范围； （3）已知点，满足条件：，且向量的“相伴函数”在时取得最大值，当点M运动时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，将可化为进而根据题意得答案； （2）去绝对值得函数的单调性及最值，利用交点个数求得k的范围 （3）由可求得时，取得最大值，其中，换元求得的范围，再利用二倍角的正切可求得的范围． 【小问1详解】 解： ， 所以函数的相伴向量． 【小问2详解】 解：由题知：， 所以． ①当时，； ②当时，． 所以， 可求得在单调递增，单调递减，单调递增， 单调递减且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点， 所以实数k的取值范围为 【小问3详解】 解：的“相伴函数”，其中，，． 当，即，时取得最大值． 所以， 当时，此时，，，所以无意义， 当时，所以， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $