山西省大同市平城区2025-2026学年高三上学期9月质量监测数学试题

2025年高三年级9月质量监测 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案A 命题透析本题考查分层随机抽样， 解析依题意，男生应抽取的人数是40×0-2 2.答案D 命题透析本题考查复数的运算和虚部的概念 解析因为：25=-2-1，所以虚部为-1. 3.答案C 命题透析本题考查集合的运算 解析由题可知B二A,则a+1=3或a+1=a2-1,解得a=2或a=-1.当a=2时，a2-1=3,此时集合A不 满足集合中元素的互异性，故舍去；当a=-1时，A=2,3,0},B=2,0},满足A∩B=B,符合题意 4.答案A 命题透析本题考查三角恒等变换， 解折m2a=(受-2a）=2es(a-）-1-2×()-1=-子 5.答案C 命题透析本题考查求不等式组的解集 解析 析由3≤0，解得2≤x<3,由。>4，解得x>ln4=2n2,因为0<1n2<1,所以0<2n2<2,所以原不等 式组的解集为[2,3) 6.答案B 命题透析本题考查等差数列的前n项和. 解析由题知，前n排每排的座位数依次构成一个以15为首项，2为公差的等差数列，故前n排座位数之和为 15n+n(n-1×2=n2+14n,令n2+14n≥700，验证可知B项符合题意. 2 7.答案A 命题透析本题考查椭圆的定义及简单几何性质， 解折由等调积法可得器了所以：时会宁脚G的高心率为宁 一1 F O A F 8.答案D 命题透析本题考查余弦定理及基本不等式， 解析由余弦定理得c0sA=+c-d 2bc 2be 元+染=，当且仅当6=6时等号成立，解得0< =46+4e A≤石，所以A的最大值为石 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案CD 命题透析本题考查数列的概念及前n项和， 解析对于A,S.=n2+2n+1,当n=1时，a1=S,=4,当n≥2时，an=S。-Sm-1=n2+2n+1-[(n-1)2+ 2(n-1)+1]=2n+1,对n=1不成立，故A错误； 对于B,当an=0时，满足Sn=na1,但{a.}不是等比数列，故B错误； 对于化.网为1是等卷数到.所以52心5(0：2524-25a,放C正确： 2 2 对于D,因为a,是等比数列，且S.=A·2°+，所以公比为2，S,=1-2=-a,+a,×2”,显然有人+= 1-2 a1+（-a1)=0,故D正确. 10.答案ABD 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析对于A,由题可知fx)的定义域为(0，+0)(x)=-4+1,令f'(x)=0,得x=2-万或2+万，当 x2 xe(0,2-5)U(2+3,+0)时，f(x)>0,当xe(2-5,2+3)时f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,2-5)， (2+5,+0)上单调递增，在区间(2-5,2+5)上单调递减，故A正确； 对于B,当x→+0时，f(x)→+0，当x0时，f(x)→-0，所以f代x)没有最值，故B正确； 对于C,D,易知m=2-√5，n=2+5,则0<a<2-√5，b=1,c>2+5,所以m,b,n成等比数列，故C错误， D正确. 11.答案ACD 命题透析本题考查双曲线的几何性质. 解析由题易知C的通径长为2沙，则2=2，所以a=1,C的方程为2- 2 对于A,c的离心*e=√1+（合）=公+1，故A正确： 于B,设P(。),不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得），由之-三1得 y=√-b2,所以y'=- x 一，则在点P(0,yo)处的切线斜率为k= Bx2- B一_6，所以在点P(o） √x6-Bo 处的切线方程为y-少。= x-),又因为云冷所以在点P(6)处的切线方程为叉1☒ Yo 方程具有一般性，设A(x1,y1)是切线与渐近线在第一象限的交点，B(x2,y2)是切线与渐近线在第四象限的交 b YoY 『x= Xo- 621. bxo -yo 点，双曲线的渐近线方程为y=±bx,由 解得 所以点A 6b2 ），同理可 62 bxo yo'bxo -yo y =bx, y=bxo-yo b b ）+(-%+m+%】 =2/(b2+1)x6-1,又因 为o≥1，所以1AB1≥2√(6+1)-1=2b,即IAB1=2b,故B错误； b一+ b 62 -b2 对于C,由B知，。-h,b+=, 2 三，。=6，。+=6，所以P(06)是线段AB的中点，故C正确： 对于D,如图，设1交x轴于点D,因为在点P()处的切线方程为o一誉=1，令y=0,得x=六，所以点 =b,是定值，故D 正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12答案90（或受） 命题透析本题考查向量的模与向量的夹角. 解析因为lal=Ib1,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=2a2+2a·b,再由la+b1=√21al,得(a+b)2=2a2, 所以a·b=0,故a与b的夹角大小为90°. 13.答案(-3,0) 命题透析本题考查函数的极值点 解析依题意，当a=0时，f代x)=3x2-x+2,只有一个极值点，不符合题意；当a≠0时f'(x)=3ax2+6x-1, 3 a<0, 由代x)的两个极值点均为正数，得 解得-3<a<0. L4=36+12a>0, 14.答案1 命题透析本题考查立体几何综合问题. 解析如图，取DE的中点F,连接AF,则AF⊥DE.作AG⊥BC于点G,连接FG,由题可知平面ABC⊥平面 BCC,B,则AG⊥平面BCC,B,,所以AG⊥DE,AG⊥FG,又AF⊥DE,AF∩AG=A,所以DE⊥平面AFG,则∠AFG=. 由题可知血怨又4GC-所以血a-行能=mA即品合1 sin B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质. (1)f(x)=2 3sin xcos x+(cos x sin x)(cos x-sin x)=3sin 2x cos2x-sin2x=3 sin 2x cos 2x= 2m(2x+石）， …(5分)） 令2x+君=受+aeZ解得=后+经e乙。 6 2 故)图象的对称轴方程为x=石+受ke乙 …(7分) 6 (2)当xe[0,]时，吾≤2x+若≤g则-1≤2n(2+石）2。 (10分) 因为3x∈[0,2]，使得fx)-2=0成立， 所以-1≤21≤2，即-7≤1≤1， 所以实数：的取值范围为[-分，小 (13分) 16.命题透析本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系. 解析(1)根据抛物线的对称性，以及点A2(3,√6)，A(3,-√6)关于x轴对称，可知点A2,A,要么都在C上， 要么都不在C上，因为C只经过三个点中的一点，所以A2,A都不在C上.…(2分) 所以点A（2,2√2)在C上，将其坐标代入y2=2x,得p=2,…(4分) 所以C的方程为y2=4x.… …(5分) (2)由1)知1.0).设().).则P色，”士 …(6分） 易知直线EH,MWN的斜率均存在，故设直线EH的方程为y=k(x-1)(k≠0)， 4 [y2=4x, 消去y整理得2x2-(2k2+4)x+2=0, (8分) y=k(x-1), 则+张=1+=(+)-2张=青，所以P+是子) 2h2+4 …(10分)》 用-大替换k,得0(1+2，-2).…（11分） 当k≠±1时，kw= +2% 2 2冰 k 则直线P0的方程为y+2k=产x-1-2).即(1-)y+(3-)=0. 当x=3时，y=0.…(13分）》 当k=±1时，P(3,±2)，Q(3,干2)，此时直线PQ过点(3,0). (14分) 故直线PQ过定点(3,0).…(15分) 17.命题透析本题考查线线垂直的证明及空间向量的应用. 解析(1)如图，连接BD交AC于点H. 在△BC中，可得am∠B=铝=5，∠BAh=60, (1分) 在R胜△ABD中，可得an∠ABH=4D=尽 B23,∠ABH=30°，… (2分) 所以AC⊥BD.… (3分) 又因为AC⊥PB,且PB∩BD=B,PB,BDC平面PDB, 所以ACL平面PDB,… (4分) 因为PDC平面PDB,所以AC⊥PD.… …(5分)》 B (2)在直角梯形ABCD中，由题易知CD=√7， 又PD=√2，PC=3,所以PD+DC2=PC2,所以PD⊥CD. 由(1)知AC⊥PD,且CD∩AC=C,CD,ACC平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD.·(8分) 方法一：如图，作DE⊥BC于点E,连接PE,则四边形ABED是矩形，DE=AB=√5. 易知PD⊥BC,又PD∩DE=D,且PD,DEC平面PDE, 所以BC⊥平面PDE, 又因为PEC平面PDE,所以BC⊥PE, 5 所以∠PED为平面PBC与平面ABCD所成角的平面角，…(12分) 在B△PDE中，可得m_PFD=光：号，所以cas∠%D=5 5 故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为 5 …（15分） 方法二：以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x轴和y轴，过点A且平行于PD的直线为z轴，建立空间直 角坐标系如图所示，可得A(0,0,0),B(5,0,0),C(5,3,0),D(0,1,0),P(0,1,√2).…(9分) 由题意可知m=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.…(10分) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 因为B元=(0,3,0)，B=(-5,1,2), rn·B元=3y=0, 所以 n.B=-Bx+y+2z=0, 令x=√万，可得n=(2,0,√5).…(12分) 设平面PBC与平面ABCD所成的角为O, 则…品原要 故平面PBC与平面ABCD所成角的余弦值为否 (15分) 18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)由f代x)=x-,得A=血x+ 令h(x)=血x+x,则hr(x)=1-2nx- x2 (1分) 令m(x)=1-2nx-x,则m(x)在定义域内单调递减，…(3分) 又m(1)=1-2ln1-1=0, 故当0<x<1时，m(x)>0,即h'(x)>0,所以h(x)在(0,1)上单调递增， 当x>1时，m(x)<0,即h'(x)<0,所以h(x)在(1，+∞)上单调递减， 故h(x)ms=h(1)=1,且当x0时，h(x)→-∞，当x→+o时，h(x)>0且h(x)0, 作出h(x)的大致图象如图： Y 由于入>0，且h(x)=入有唯一的实数根，所以入=1.…（(7分) (2)由题意知)“2，即h≤22，也即2h-a+受≤0在1，+n)时恒成立 设g()=2n-a+号≥1， 2 则g()=ag=二ax+2x-9 当a≤0时，g'(x)>0在[1，+o)上恒成立，则g(x)在[1，+o)上单调递增， 一6 所以g(x)≥g(1)=0,不满足条件.… …(10分)） 当a>0时，令n(x)=-ax2+2x-a,x≥1，则△=4-4a2. 当4=4-4a2≤0，即a≥1时，n(x)≤0， 则当x∈[1，+∞)时，g'(x)≤0，所以g(x)在[1，+∞)上单调递减， 所以g(x)≤g(1)=0,满足条件.…(13分) 当4=4-42>0，即0<a<1时，令n(o)=0,解得=1+-a>1, a 当x∈(1，xo)时，n(x)>0,则g'(x)>0,所以g(x)在(1，x)上单调递增， 所以当x∈(1，x。)时，有g(x)>g(1)=0,不满足条件.…(16分) 综上所述，实数a的取值范围为[1，+0).…(17分) 19.命题透析本题考查相互独立事件的概率计算、全概率公式，以及数列的综合应用. 解析(1)小明答4道题后积分小于5，则小明4题都答错，或答对1题，答错3题， 放所求概*为（宁）广+C×子×（兮）=) …(3分） (2)设小明答对的题数为Y,则他答错的题数为5-Y, 所以X=5+Y-(5-Y)=2Y. (5分) 由题意知Y~(5,号)所以()=5×子=0 3 3 (7分) 所以E(0=2B(0-29 …(8分） (3)(1)当小明的积分为i(i=1,2,…,9)时，若小明接下来一题答对，则积分变为i+1,若小明接下来一题答 错，则积分变为i-1. 由全概公式有P,=号P1+兮… …（10分) 整理可得P1-P=(P,-P) 又P1-P。=P1≠0，所以{P+1-P}(i=0,1,2,…,9)为等比数列 …(12分) (i)由(i)可得P1-P,=2P, 所以Po=(Po-P,)+(P。-Pg)+…+(P2-P)+P1= 义R。=1,所以A=品 (15分) 所以P=(P,-P4)+(P4-P3)+(P3-P2)+(P2-P)+P 5123132 1023×16=33 (17分) 注：站果写器也不和分 7地密女启用国 6某会场的室位绿扇形分考，第一体有5个座位，从第二排起，每一推都比常一特多】个帝 2025年高三年级9月质量监测 位，已幅该会场面容妹一个的人的代表出，则技会场的座位至少有 A.加推 程2引排 C.2排 D2达# 数学 3已如质酒c号名-0)陆，右黄放分为点P为G上一-4.∠5所的 平分线交年能平AA,若1P写1345，，周C的离心率为 考生注意： 1三理需，专车本必将自己帅性名、寺生青准对在试春和苦题中上，并得号生号泰形吗粉 号 弘A零延卡上的相父似是 号 c号 D2 2晖手选培题时，止出每是多发后：用静呢起多难十时地题营的答走标号涂义加名线 始，用像定修千净血，弄选决其他答发标平：同花心地排题时，件器金对在多盘十上对 下在中角，E的对边分为者.兮学A的是大技为 在本试善上无： 主专这附来后，诗本试车中多婚十一并文州 号 :子 c D若 一，单项这样感本是共小是，每小量5分，其的分在每小雕始出的西个选项中，只有一项 二，多重选择理：本题共于小题，每小题6分，典塔分，在每小题他出的进项中，有金请符合强 想料合萄日要求的 日要果，全第选对的得6分，部分选对的两部分分，有选量的得0分 1某控高三年级有120名学生，其中男生有60人，残按男女生人数比斜采用分硅莲期抽样 9已细数列高的麻n项和为气，侧下判结论正确的品 的方陆抽限一个容量为40的样本，雨用生应触照的人数是 A.22 具18 C16 D.4 4若元=2+21，则1成」是等热数到 2复数'的事那为 具若器如网，则4总等比数列 C若年，是等发数到，南5m225 AI 且1 C-2 张1 1已知集合4-23，d-引.B=2.#+1月.若AnB=丛时实数的值为 D,若气是等比数列，且年=·2”+a以n为营数)，则1+性0 A.1 粗，0 C-I D.2 1位已知数)=E-测下列综定正聘的是 已知e-引-号期a L代)有三个单到区间 -是 且八：)在定文城内受有最赏 eg b 仁看只)有三个零点：，，年<k<),且有腾个醒通点网，(m《,罐海，点，声成等看 数列 生不荐式雷 韵的解角为 若八司有三个零点，s<b8),且有海个最镇应，4（国心，则k,城等些 A.(2n 2,3) 数23可 C.2,3 B.【2.4m2 数用 数学试磁第1其{其4) 数学试题第1（并4真） 儿.我们把发由线过焦点的花称为鱼点蕴，重直干双生线的实桂的焦点统杯为道结，在如雨所 庆（草分） 湖平重直南系0水双有线C喝-首=a>,目方含数物左有集点 如间，在四棱维P-AD中，D∥配，∠C=9",P0上G,且℃=配-5A=30玉 分州为书，通径长为沙，P为C的右文上任意一点，作C在点P处物坊线，分斯交 《)来证：C1第： 两乘近线于点4，书，则 (2)若D:,5,求羊面C与平面ACD两成角的余弦值 AC的离率。=+T B:视程床长度的量小值是少 心P一定是线我A话的中点 直A4限韵面职是定镇 三情空：水组共3小题，每小题5分，共5分。 压(7分) 已知数代：向生 2巴每华不狗量小贵是a:一。，制，周：与小的美角大小为 (1)若关于，的方程真)=-A>0)有难一的实数根，求实数4拾值 以若丙数八)=世+3一+2有两个正卧值点.解实数，的取值面围有 《2若当1，*时关于：的不等式风)<“，”机成立求实意。的取值植黑 4在直三检柱c-4气C中，L4@·票点B,E分州是棱8，和枪CC上的点：且 在为等边三角后，若三重角-低-七的字角为，匹出新 回.解落量本共5小题，共门分解答应写出文宇说用证明过程或国草5理 5口分) g(7分) 已知属数a)存nm1+(mm:n)(e-n) 为足含中国人民放日武争垂世界发法四断被争前利即周华，某校组园相关邻识的答越变 (1求月：)图象的时移轴方程： 赛，每名参年述手起赋手5分的初始和分，每暮对一图加1分.母荐量一题或1分日如小 (行老3：0，引楼得2江=0流立，凉实数：的散值范膜 用每更那若对的框本为子，荐细的瓶率为且母打要等对与得江不要璃 《1)米小雨荐4填驱斯积分小于5的幅率 (2)设小明答5通悲后积分为无，来() 地(5分) 3)若小明一直答延，直到积分为0或0时停正：记小丽的职分为(=0,1,2，，10)时 已知能物线C,2(p>0)位税过4(2,2正)，40，希)，4，(3，-6)中的一在 是年积行为印的丰为积，则八0，八。=1 (1)证明4P1-九1(=0.12，-，9)为等比数到： (1)求C的方程： (面1求八的单 2)过C的焦点F作两条互■章直的直线，分到安C于点B,和点某，N,设线段，N 的中点分测为”，0，求证：直线0址定点 数学试题第3页（共4） 数学试题第4到（共4国）