等式性质与不等式性质、二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

等式性质与不等式性质、二次函数与一元二次方程、不等式讲义 等式性质与不等式性质、二次函数与一元二次方程、不等式讲义 考点目录 等式性质与不等式性质 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数的图像与性质 以二次不等式为背景的恒成立问题 一元二次不等式的实际应用 考点一 等式性质与不等式性质 【知识点解析】 1.作差法比较两个实数大小 基本事实：①. ②. ③. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么. 传递性 如果，，那么. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，那么. 可除性 如果，，那么. 3．不等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么；如果，那么.即. 传递性 如果，，那么.即. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，，那么；如果，，那么. 可除性 如果，，那么；如果，，那么. 同向相加性 如果，，那么. 同向相乘性 如果，，那么. 如果，那么()． 【例题分析】 考向一 利用作差法、做商法、估算法比较大小 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 考向二 利用不等式的性质比较大小 1．（24-25高二下·河北沧州·期末）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知，，则下列不等式成立的是（   ） 8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 考向三 利用同向相加性与同向相乘性求不等式范围 1．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知，则代数式的取值范围为 ． 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，则的取值范围是 . 12．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，求的取值范围 . 13．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为 ． 14．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 考点二 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点解析】 1. 二次方程、二次函数与二次不等式的关系？ （1）二次方程是二次函数的一种特殊形式，当二次函数函数值（为常数）时，二次函数退化为二次方程，从图像上看，此时二次方程的解就是二次函数与的交点的横坐标. （2）二次不等式是二次函数的一种特殊形式，从图像上看，二次不等式的解是二次函数函数值在某个范围内对应的自变量的范围. 2. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） （1）令，求根. （2）画函数的图像. （3）根据图像，数形结合确定不等式的解集. 3. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 4. 分式不等式的求解 求解分式不等式的核心思路，是将分式不等式转化为整式不等式. 不等式 转化思路 且 ，所以且 5. 绝对值不等式的解法 策略一 几何意义转化为到定点的距离. 策略二 利用，分类讨论去绝对值号. 策略三 平方去绝对值号. 6. 高次不等式的解法（数轴穿根法） （1）因式分解，写出 “根的形式” 将标准形式的高次整式彻底因式分解，统一为“一次因式乘积 × 二次不可约因式”的形式. （2）求“根”，并在数轴上排序标注 ①求根：令每个一次因式等于 0，解出的根即为 “分界点”（二次不可约因式无实根，不产生分界点）。 ②排序标根：将所有根按从小到大的顺序在数轴上标注，并用 “空心圈” 或 “实心点” 区分 （3）“穿根”—— 确定因式乘积的符号规律 “穿根” 的核心规则是：从数轴最右侧的根的上方开始，按照 “奇穿偶不穿” 的原则穿过数轴，具体解释： ① “从右上方开始”：因最高次项系数已化为正，当x趋近于时，高次整式的值为正，故从最右侧根的上方起笔. ② “奇穿偶不穿”：若某个根是 “奇次重根”，则穿过数轴；若为 “偶次重根”，则不穿过数轴. 【例题分析】 考向一 解一元二次不等式 1．（24-25高一上·广东广州·期中）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 5．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 6．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 考向二 解分式不等式 1．（25-26高三上·四川内江·开学考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广东广州·开学考试）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 考向三 解绝对值不等式 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）解不等式： (1)； (2). 考向四 解高次不等式 1．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）不等式的解集为 ． 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）不等式的解集是 ． 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 考点三 二次函数的图像与性质 【知识点解析】 1.对于二次函数 (1)开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下. (2)对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，. (3)与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点. 2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数 (1)特殊值 当时， 当时，. 当时， 当时，. 当时， 当时，. ※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系. (2)交点问题 若，则二次函数与轴有个交点. 若，则二次函数与轴有个交点. 若，则二次函数与轴没有交点. (3)对称轴问题 若已知，则二次函数对称轴. (4)最值问题 若对称轴且开口向下，则. 若对称轴且开口向上，则. 3. 对于一元二次函数，且 （、 为已知数） （1） 若，则函数在单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值. （2） 若，则函数在单调递减，在处取得最大值，在处取得最小值. （3） 若，则函数在单调递减，在单调递增，在处取得最小值. 若在处取得最大值. 若在处取得最大值. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 4．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）一元二次函数的图象的顶点坐标是 . 6．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知二次函数图象开口向上，过点，且顶点到轴的距离为2． (1)求二次函数的表达式； (2)在答题卡的直角坐标系中画出其函数图象； (3)当时，，请根据函数图象求的取值范围． 7．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. (1)求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 8．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 考点四 以二次不等式为背景的恒成立问题 【知识点解析】 1. 一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式的解集为∅的条件为 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：恒成立；恒成立. 2. 已知二次不等式解集求参数范围 （1）若二次不等式的解集为，则 （2）若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解. ②注意二次函数开口方向 3.二次方程根的分布 （1） 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负性. （2） 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论的正负性和韦达定理的正负性. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. （3） 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 【例题分析】 考向一 二次不等式的恒成立问题 1．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·陕西·学业考试）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 8．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 考向二 二次不等式解集求参数范围 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 5．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 7．（24-25高一上·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 考向三 参变分离 1．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 5．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 考向四 二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 2．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 3．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 考点五 一元二次不等式的实际应用 【知识点解析】 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总成本.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 3．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    7．（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 9．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 10．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 课后提升训练 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 4．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）“，成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海·期末）已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高一上·云南昆明·期末·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 9．（24-25高一上·四川巴中·期末·多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·甘肃天水·期末）不等式的解集为 ，的解集为 . 11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高二下·北京·期中）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 14．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 15．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 16．（24-25高二下·北京·期末）关于x的不等式（）的解集为 ． 17．（24-25高二下·安徽·期末）设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 18．（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 20．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 21．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$等式性质与不等式性质、二次函数与一元二次方程、不等式讲义 等式性质与不等式性质、二次函数与一元二次方程、不等式讲义 考点目录 等式性质与不等式性质 二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数的图像与性质 以二次不等式为背景的恒成立问题 一元二次不等式的实际应用 考点一 等式性质与不等式性质 【知识点解析】 1.作差法比较两个实数大小 基本事实：①. ②. ③. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 （1）作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． （2）变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么. 传递性 如果，，那么. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，那么. 可除性 如果，，那么. 3．不等式的性质 性质 性质内容 对称性 如果，那么；如果，那么.即. 传递性 如果，，那么.即. 可加减性 如果，那么. 可乘性 如果，，那么；如果，，那么. 可除性 如果，，那么；如果，，那么. 同向相加性 如果，，那么. 同向相乘性 如果，，那么. 如果，那么()． 【例题分析】 考向一 利用作差法、做商法、估算法比较大小 1．（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设，，则，的大小关系为（ 　） A． B．M≤N C． D．无法确定 【答案】A 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2．（24-25高一上·辽宁·期末）已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 5．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 若，且，则，， 可得，即； 若，且，则，， 可得，即； 若，则，即； 综上可知，对于，，，都有. 故选：C. 考向二 利用不等式的性质比较大小 1．（24-25高二下·河北沧州·期末）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 2．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 6．（25-26高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得，则A符合题意； 当时，满足， 此时，则，B不符合题意； 由，得，C符合题意； 当时，满足， 此时，则，D不符合题意. 故选：AC. 7．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：由，则，对； B：若时，错； C：由，则，故，对； D： 又，则，故 即， 所以，错. 故选：AC 8．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】BC 【详解】对于A，若，且，则，即，不知道的符号， 则的符号无法确定，即不一定成立，A错； 对于B，若，则，且，所以，所以，B对； 对于C，若，且，则，所以，C对； 对于D，，若，且，则，， 所以，所以，D错. 故选：BC 考向三 利用同向相加性与同向相乘性求不等式范围 1．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则， 可得，所以的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 3．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 故， 故选：D 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 5．（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 7．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 8．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 9．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 10．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 11．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为， 所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则. 故答案为： 12．（24-25高一上·天津滨海新·阶段练习）已知，，求的取值范围 . 【答案】 【详解】设， 则，解得，所以， 又，，则， 则. 所以的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知实数满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为：， 又， 两式相加，得：. 故答案为： 14．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 考点二 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点解析】 1. 二次方程、二次函数与二次不等式的关系？ （1）二次方程是二次函数的一种特殊形式，当二次函数函数值（为常数）时，二次函数退化为二次方程，从图像上看，此时二次方程的解就是二次函数与的交点的横坐标. （2）二次不等式是二次函数的一种特殊形式，从图像上看，二次不等式的解是二次函数函数值在某个范围内对应的自变量的范围. 2. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） （1）令，求根. （2）画函数的图像. （3）根据图像，数形结合确定不等式的解集. 3. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 4. 分式不等式的求解 求解分式不等式的核心思路，是将分式不等式转化为整式不等式. 不等式 转化思路 且 ，所以且 5. 绝对值不等式的解法 策略一 几何意义转化为到定点的距离. 策略二 利用，分类讨论去绝对值号. 策略三 平方去绝对值号. 6. 高次不等式的解法（数轴穿根法） （1）因式分解，写出 “根的形式” 将标准形式的高次整式彻底因式分解，统一为“一次因式乘积 × 二次不可约因式”的形式. （2）求“根”，并在数轴上排序标注 ①求根：令每个一次因式等于 0，解出的根即为 “分界点”（二次不可约因式无实根，不产生分界点）。 ②排序标根：将所有根按从小到大的顺序在数轴上标注，并用 “空心圈” 或 “实心点” 区分 （3）“穿根”—— 确定因式乘积的符号规律 “穿根” 的核心规则是：从数轴最右侧的根的上方开始，按照 “奇穿偶不穿” 的原则穿过数轴，具体解释： ① “从右上方开始”：因最高次项系数已化为正，当x趋近于时，高次整式的值为正，故从最右侧根的上方起笔. ② “奇穿偶不穿”：若某个根是 “奇次重根”，则穿过数轴；若为 “偶次重根”，则不穿过数轴. 【例题分析】 考向一 解一元二次不等式 1．（24-25高一上·广东广州·期中）不等式的解集是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】原不等式可化为， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 2．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由解得，即， 结合，则. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京丰台·开学考试）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即，解得，则， 而，所以. 故选：D 4．（25-26高三上·江西赣州·开学考试）已知二次函数． (1)若的解集为，分别求a，b的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. （2）由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 5．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 6．（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 考向二 解分式不等式 1．（25-26高三上·四川内江·开学考试）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由题意不等式变形为，通分化简为， 分式不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 故选：A. 2．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 3．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：D. 4．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原不等式等价于或， 故或，故原不等式的解集为. 故选：D. 5．（25-26高一上·广东广州·开学考试）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，得， 即， 所以，所以不等式的解集为； （2）由，得 则， 解得或，所以不等式的解集为． 考向三 解绝对值不等式 1．（24-25高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【详解】（1）直接去掉绝对值，得或， 即或， 由可得，解得或，所以或； 由，因，所以解集为． 综上，不等式的解集为或． （2）①当时，则，不成立，所以解集为； ②当时，得，解得，所以． 综上，不等式的解集为或． （3）①当时，得，解得，解集为； ②当时，得，解得，所以． 综上，不等式的解集为． 另解（零点分段法）： ①当，即时，，不等式显然成立； ②当，即时，即， 整理得，解得，所以． 综上，不等式的解集为． 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：当，即时，原不等式可化为，解得； 当，即时，原不等式可化为，解得； 综上所述，原不等式的解为. 解法二：原不等式可化为，解得. （2）解法一：当，即时，原不等式显然无解； 当，即时，原不等式等价于，解得. 故原不等式的解为 解法二： 或 解得或 故原不等式的解为. 考向四 解高次不等式 1．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，，， 解得或，又因为， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 故答案为：或或. 3．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）不等式的解集是 ． 【答案】或或 【详解】等价于． 数轴穿根法如图，    注意因式的次数为2，因此不穿过数1，故不等式的解集为或或． 故答案为：或或． 4．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）标根：将，1，4标在数轴上； 穿根1，4为奇次根，为偶次根，按照“奇过偶不过”画图如图1所示； 得解：不等式的解集为或． （2）是分式不等式，先将最高次数的项的系数化为“+”，并对分子因式分解得． 分母符号不确定，化除为乘： 方程的根分别为，利用“数轴穿根法”如图2所示，则不等式的解集为或． 考点三 二次函数的图像与性质 【知识点解析】 1.对于二次函数 (1)开口方向由决定，当时，开口向上，当时，开口向下. (2)对称轴由和决定，对称轴，当对称轴小于0时，同号，当对称轴大于0时，异号，对称轴等于0时，. (3)与轴的交点由决定，当时，二次函数与轴交于正半轴，当时，二次函数与轴交于负半轴，当时，二次函数与轴交于原点. 2.二次函数图像与系数的关系: 对于二次函数 (1)特殊值 当时， 当时，. 当时， 当时，. 当时， 当时，. ※若提及与的关系或者与的关系，应利用对称轴配凑出、、之间的关系. (2)交点问题 若，则二次函数与轴有个交点. 若，则二次函数与轴有个交点. 若，则二次函数与轴没有交点. (3)对称轴问题 若已知，则二次函数对称轴. (4)最值问题 若对称轴且开口向下，则. 若对称轴且开口向上，则. 3. 对于一元二次函数，且 （、 为已知数） （1） 若，则函数在单调递增，在处取得最小值，在处取得最大值. （2） 若，则函数在单调递减，在处取得最大值，在处取得最小值. （3） 若，则函数在单调递减，在单调递增，在处取得最小值. 若在处取得最大值. 若在处取得最大值. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东深圳·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③方程有两个相等的实数根； ④方程的两根是， 其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由二次函数图象可知， 开口向下，则，对称轴解得，当时，， 所以，①说法错误； 由函数图象可知当时，，即，②说法错误； 将的函数图象向下平移4个单位得到的图象， 所以有两个相等的实数根，③说法正确； 由函数的对称性可知的两个根为，， 将的函数图象向右平移1个单位得到的图象， 所以方程的两根是，，④说法正确； 综上③④正确， 故选：B 2．（23-24高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．的图象恒过点 B．的图象必与轴有两个不同的交点 C．的最小值可能为 D．的最小值可能为 【答案】D 【详解】A.当时，， 所以的图象不恒过点，故A错误； B.当时，， 此时的图象必与轴只有1个交点，故B错误； CD.， 则的最小值为， 所以函数的最小值不可能是，可能为，故C错误，D正确. 故选：D. 4．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得二次函数的对称轴为， 因为，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即，，，解得或， 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）一元二次函数的图象的顶点坐标是 . 【答案】 【详解】由， 则一元二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为： 6．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）已知二次函数图象开口向上，过点，且顶点到轴的距离为2． (1)求二次函数的表达式； (2)在答题卡的直角坐标系中画出其函数图象； (3)当时，，请根据函数图象求的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【详解】（1）根据题意可得， 因为， 解得或（舍去）， 所以； （2） （3）由（1）知： 因为时，解得或，当时，， 所以当时，， 结合二次函数的图象和性质可知，． 7．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和. (1)求的值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由二次函数的图象与轴交点的横坐标分别为和， 可得和是方程，则满足，解得. （2）解：由（1）得，函数， 因为对于恒成立，即在上恒成立， 当时，可得，所以， 解，解得或，所以实数的取值范围为.. 8．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由， 得， 令， 可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为，可得． 因为，得，所以，即. 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以 . 因为，所以，即实数的取值范围是. 考点四 以二次不等式为背景的恒成立问题 【知识点解析】 1. 一元二次不等式恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为，对于一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式，它的解集为的条件为 一元二次不等式的解集为∅的条件为 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：恒成立；恒成立. 2. 已知二次不等式解集求参数范围 （1）若二次不等式的解集为，则 （2）若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解. ②注意二次函数开口方向 3.二次方程根的分布 （1） 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负性. （2） 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论的正负性和韦达定理的正负性. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. （3） 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 【例题分析】 考向一 二次不等式的恒成立问题 1．（24-25高二下·山东临沂·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，，解得， 即的取值范围为． 故选：A． 2．（2025高二下·陕西·学业考试）命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 即对恒成立， 因为，所以. 故选：A 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 4．（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 5．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 8．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 考向二 二次不等式解集求参数范围 1．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 3．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高一上·山东日照·期末）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高一上·陕西西安·期末）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 7．（24-25高一上·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意，方程有两根为和2，且，故A正确； 由韦达定理，即. 对于B，由， 即解得或，故B错误； 对于C，因，且， 故，故C正确； 对于D，， 因，故该函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 8．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．的最大值为 D． 【答案】ACD 【详解】对于：不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故正确， 对于：可变为，解得或，故错误， 对于，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故正确； 对于，是对应方程的根，所以，故正确. 故选：ACD. 考向三 参变分离 1．（24-25高二下·北京·期中）“”是“不等式在上恒成立”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于，可化为恒成立， 由，当且仅当时取等号，故， 所以“”是“不等式在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 3．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 4．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·河南许昌·期末）若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案为：. 考向四 二次方程根的分布问题 1．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 3．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 5．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 6．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知关于的方程至少有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，方程为，解得； 当时，方程至少有一个实根，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点五 一元二次不等式的实际应用 【知识点解析】 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总成本.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 【例题分析】 1．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【详解】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C 3．（24-25高一上·广东肇庆·阶段练习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，每天能卖出30个，若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，这批削笔器的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设这批削笔器的销售价格定为元/个， 由题意得，即， ∵方程的两个实数根为,， 解集为，又，， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)， 才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 故选：B 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知，提价后每年可销售万件，所以， ， 整理得，，解得， 故答案为：． 6．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    【答案】 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则 ， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为： 7．（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 8．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 9．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 10．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 课后提升训练 1．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习）使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，. 对于二次函数，其对称轴为. 因为，所以函数在上单调递增. 那么在上的最大值为. 因为为真命题，即在上恒成立，所以. 是的充分而不必要条件，即值，. 当时，一定满足，所以是的充分不必要条件. 而时，不能保证一定满足，时，也不能保证一定满足. 故选：C. 3．（24-25高二下·内蒙古包头·期末）不等式的解集是（    ）． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】由题可知：或， 不等式的解集为或. 故选：B 4．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）“，成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，成立，只需在上能成立，所以， 所以是的必要不充分条件，是的充要条件， 是的充分不必要条件，是的既不充分也不必要条件. 故选：C 5．（24-25高二下·上海·期末）已知实数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，得出； ，得或，未必. 故选：A. 6．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取，，则，故A错误； 取，则，故B错误； 取，，，则，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 故选：D. 7．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 8．（24-25高一上·云南昆明·期末·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C．的解集为 D． 【答案】BC 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，，可得， 则，即，得，， 又化为， 可得，解得， 又， 故A错，B正确，C正确，D错误. 故选：BC 9．（24-25高一上·四川巴中·期末·多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意可得，且， 则，，即，故A、B正确； 由，，故，， 即，， 又，，故，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·甘肃天水·期末）不等式的解集为 ，的解集为 . 【答案】 ; . 【详解】由，得，得. 所以不等式的解集为， 由，得，得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 故答案为：①；②. 11．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 12．（24-25高二下·北京·期中）命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若命题“，使”是真命题， 当时，，解得，舍去； 当时，则，解得， 即当时命题“，使”是真命题； 因为命题“，使”是假命题， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 13．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 14．（24-25高一下·上海金山·阶段练习）已知实数a，b满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】， . 故答案为：. 15．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知， 由，可得， 设， 则，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：. 16．（24-25高二下·北京·期末）关于x的不等式（）的解集为 ． 【答案】 【详解】根据题意，， 即，又，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 17．（24-25高二下·安徽·期末）设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由已知得，解得. （2）由已知得， 由整理得：， 的两根为. 当时，，解得； 当时，不等式为，的解集为； 当时，，解得. 综上， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为 18．（24-25高二下·天津河西·期末）已知关于x的不等式. (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)（i）（ii）答案见解析 【详解】（1）因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. （2）（ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上：； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 19．（24-25高二下·江苏南京·期末）不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合． (1)求集合； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当 时， 显然恒成立； 当 时，不等式 对一切实数 都成立， 则 ，解得 ． 综上， ． （2）因为“”是“”的充分条件， 所以． 又 ，即 在 上恒成立． 令 ， 则 ， 解得 ， 所以的取值范围为． 20．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 21．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$