集合与常用逻辑用语单元复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合与常用逻辑用语：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词、以常用逻辑用语为背景的含参问题讲义 集合与常用逻辑用语：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词、以常用逻辑用语为背景的含参问题讲义 考点目录 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 以常用逻辑用语为背景的含参问题 考点一 充分条件与必要条件 【知识点解析】 1. 命题定义与表示 （1）命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件 （1）充分条件与必要条件： 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. （3）充分条件、必要条件与充要条件的关系 命题关系 递推关系 是的充分条件 的充分条件是 是的必要条件 的必要条件是 （3）充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 3．（25-26高一上·广西·开学考试）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，推不出互为邻补角； 由互为邻补角，得， 则“”是“互为邻补角”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 6．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当时，，由，所以当时，，所以是的既不充分也不必要条件，故A错误； 对于B：由于在上为增函数，由有，当时，，所以是的充要条件，故B错误； 对于C：由有，所以或，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D：由有，当时，，即，所以是必要不充分条件，故D正确. 故选：D. 7．（25-26高一上·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，因为不是的真子集，故不满足题意； 对于B，因为， 所以是成立的充要条件，故不满足题意； 对于C，因为， 所以是成立的充分不必要条件，满足题意； 对于D，因为， 所以是成立的必要不充分条件，不满足题意. 故选：C. 8．（24-25高一上·福建福州·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 9．（24-25高一上·山东德州·阶段练习·多选）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【详解】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 10．（24-25高一下·贵州·期中·多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 考点二 全称量词与存在量词 【知识点解析】 1. 全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】①全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； ②常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 【注意】 ①从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； ②一个全称量词命题可以包含多个变量； ③有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 2. 存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】①从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； ②一个存在量词命题可以包含多个变量； ③有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题 3. 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 4. 命题的否定 （1）命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （3）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （4）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （5）常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 一个都没有 至少有两个 【例题分析】 考向一 全称量词命题与存在量词命题 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习·多选）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（     ） A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．任意实数的平方大于0 C．有些菱形是正方形 D．对任意的整数不是4的倍数 【答案】AD 【详解】由题意，ABD是全称量词命题，C是存在量词命题， 其中AD都是真命题，B 中，为假命题. 故选：AD 2．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，则有解， 所以，为真命题，故A正确， 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为）结果仍为有理数， 所以，为真命题，故B正确， 对于C，取，满足，且有，所以，为真命题，故C正确， 对于D，当时，不小于，所以，为假命题，故D错误， 故选：ABC. 3．（24-25高一上·云南昭通·期中·多选）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 【答案】ABC 【详解】对于A项，因为，所以，此命题为真命题，A正确； 对于B项，由，解得或1，所以命题“”为真命题，B正确； 对于C项，由，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D项，由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，充分性不成立， 但由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，必要性成立，D错误， 故选：ABC. 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中·多选）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 【答案】AB 【详解】对于A，当时，成立；当时，成立；当时，成立；故A正确； 对于B，根据空集与交集的定义，若是空集，则A与B均是空集，故B正确； 对于C，若是一元二次方程的一个根，则； 若，则是一元二次方程的一个根， 所以是q的充要条件，故C错误； 对于D，因为时，表示两个连续的整数，则必有一个整数为偶数，其乘积必为偶数，故不存在，使得为奇数，故D错误. 故选：AB． 5．（2025·河北·三模·多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习·多选）下列命题是真命题的有（   ） A．两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．每个二次函数的图象都是轴对称图形 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 【答案】ACD 【详解】对于A，显然两个三角形全等必然可以导致面积相等， 直角边为的直角三角形的面积为6，设等腰三角形的底边是，腰是，此时等腰三角形的面积为， 所以面积相等的三角形未必全等， 所以两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，故A正确； 对于B，“”当且仅当是的子集，即当且仅当“”成立， 所以“”是“”成立的充分必要条件，故B错误； 对于C，所有的二次函数的图象都是轴对称图形，故C正确； 对于D，若，则是无理数，而，即是有理数，故D正确. 故选：ACD. 考向二 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．（24-25高二下·江苏常州·期末）写出命题“”的否定： . 【答案】 【详解】∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“”的否定是 故答案为： 2．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题，，则该命题的否定是 ． 【答案】 【详解】由存在量词的否定可知， ， 故答案为： 3．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知命题“，使得”的否定形式为 . 【答案】，使得. 【详解】命题“，使得”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定为，使得. 故答案为：，使得. 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）若命题，则是 . 【答案】 【详解】因为命题是全称命题， 所以改量词，否结论得是：. 故答案为：. 考向三 已知全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 1．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定的选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题， 则，因，所以，所以可得， 所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确. 故选：A. 5．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即， 解得， 所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解得，则， “命题”是真命题，且， ，解得; （2）； 由为真，则， . 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 考点三 以常用逻辑用语为背景的含参问题 【知识点解析】 1．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合， 若，则是的充分条件或是的必要条件； 若，则是的必要条件或是的充分条件； 若，则是的充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条件． 2.已知集合相等求参数范围 （1）离散型集合（集合元素有限）相等问题 ①判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. ②回代检验互异性. ③如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. （2）连续型集合（集合元素无限）相等问题 ①令集合的端点相等，转化为关于参数的方程，求解参数. 3.已知集合的包含关系求参数范围 （1）若，当集合含参数时，需讨论或. 当集合含参数时，需保证. （2）若，则先讨论，再将端点值代入检验两集合是否相等. （3）离散型集合（集合元素有限）包含问题 类比上述“离散型集合（集合元素有限）相等问题”，先判断有哪些元素可能相等，令其一一对应，求解参数后检查互异性即可. （4）连续型集合（集合元素无限）包含问题 已知集合，且，. ①若，则且. ②若，则且. ③若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点不可取等，其余情况均可取等. 即“大集合”端点不取等，“小集合”端点取等时，“大集合”与“小集合” 端点不可取等，其余情况均可取等. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）当时，， 所以或， 因为， 故或. （2）因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由得，即， 所以集合. 又全集，所以， 当时，集合， 所以. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则且. 所以或，解得. 故实数的取值范围为. 4．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【详解】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 6．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 8．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集. 已知，，则，解得. 故实数的取值范围为. （2）当时，因为，所以，解得，此时成立； 当时，，解得. 因为，，则或，解得或，故此时. 综上，若，则实数的取值范围为. 课后提升训练 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 【答案】B 【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定，使. 故选：B 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：当时，可得，故充分性成立； 必要性：当时，可得，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件，故C正确. 故选:C． 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【详解】 由，得是真命题，是假命题； 命题，时，，， 故满足，为真命题. 故选：A. 6．（24-25高二下·江西·期末·多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”的否定是“” D．“”是真命题 【答案】ACD 【详解】对于A，因集合是的真子集，故，故A正确； 对于B，设，满足，但，故B错误； 对于C，由全称量词命题的否定是存在量词命题，需要改变量词并否定结论，故C正确； 对于D，当时，，故D正确． 故选：ACD． 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末·多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【详解】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 8．（24-25高一上·吉林·期末·多选）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 9．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知命题，则为 . 【答案】 【详解】命题，则为. 故答案为： 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集，所以， 故答案为：. 11．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为命题“，使得成立”为假命题， 可知方程无解，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）命题为真命题，，解得， 又； （2）是的必要不充分条件，是的真子集， 解得，故实数的取值范围为 13．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 14．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 15．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 16．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$集合与常用逻辑用语：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词、以常用逻辑用语为背景的含参问题讲义 集合与常用逻辑用语：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词、以常用逻辑用语为背景的含参问题讲义 考点目录 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 以常用逻辑用语为背景的含参问题 考点一 充分条件与必要条件 【知识点解析】 1. 命题定义与表示 （1）命题的定义:一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． （2）命题的表示：命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论． 2.充分条件、必要条件与充要条件 （1）充分条件与必要条件： 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. （3）充分条件、必要条件与充要条件的关系 命题关系 递推关系 是的充分条件 的充分条件是 是的必要条件 的必要条件是 （3）充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·广西·开学考试）“”是“互为邻补角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高二下·江西赣州·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东德州·开学考试）使成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·福建福州·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东德州·阶段练习·多选）下面命题正确的是（   ） A．“”的必要不充分条件是“” B．命题“若，则”的是真命题 C．设，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（24-25高一下·贵州·期中·多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点二 全称量词与存在量词 【知识点解析】 1. 全称量词与全称量词命题 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示． 【注意】①全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； ②常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． ②符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 【注意】 ①从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； ②一个全称量词命题可以包含多个变量； ③有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 2. 存在量词与存在量词命题 （1）全称量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。 ②符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为 【注意】①从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； ②一个存在量词命题可以包含多个变量； ③有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题 3. 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 （1）判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； （2）判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假。 4. 命题的否定 （1）命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． （2）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （3）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （4）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． （5）常见正面词语的否定： 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至少有一个 至多有一个 否定 不等式 不大于 不小于 不是 不都是 一个都没有 至少有两个 【例题分析】 考向一 全称量词命题与存在量词命题 1．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习·多选）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（     ） A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．任意实数的平方大于0 C．有些菱形是正方形 D．对任意的整数不是4的倍数 2．（24-25高二下·福建福州·期末·多选）下列命题中为真命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·云南昭通·期中·多选）下列命题中是真命题的有（    ） A． B． C．“”是“”的充分不必要条件 D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件 4．（24-25高二下·宁夏银川·期中·多选）下列说法正确的是（  ） A． B．若是空集，则A与B均是空集 C．是一元二次方程的一个根，．则是q成立的充分不必要条件 D．，使得为奇数 5．（2025·河北·三模·多选）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习·多选）下列命题是真命题的有（   ） A．两个三角形面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件 B．“”是“”成立的充分不必要条件 C．每个二次函数的图象都是轴对称图形 D．存在一个无理数，它的立方是有理数 考向二 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．（24-25高二下·江苏常州·期末）写出命题“”的否定： . 2．（24-25高二下·安徽六安·期末）若命题，，则该命题的否定是 ． 3．（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知命题“，使得”的否定形式为 . 4．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）若命题，则是 . 考向三 已知全称量词命题与存在量词命题的真假求参数范围 1．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 7．（24-25高一上·四川成都·期末）已知集合，非空集合 (1)若“命题”是真命题，求的取值范围； (2)若“命题”是真命题，求的取值范围. 8．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 考点三 以常用逻辑用语为背景的含参问题 【知识点解析】 1．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看，设集合， 若，则是的充分条件或是的必要条件； 若，则是的必要条件或是的充分条件； 若，则是的充要条件； 若，且，则是的既不充分也不必要条件． 2.已知集合相等求参数范围 （1）离散型集合（集合元素有限）相等问题 ①判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. ②回代检验互异性. ③如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. （2）连续型集合（集合元素无限）相等问题 ①令集合的端点相等，转化为关于参数的方程，求解参数. 3.已知集合的包含关系求参数范围 （1）若，当集合含参数时，需讨论或. 当集合含参数时，需保证. （2）若，则先讨论，再将端点值代入检验两集合是否相等. （3）离散型集合（集合元素有限）包含问题 类比上述“离散型集合（集合元素有限）相等问题”，先判断有哪些元素可能相等，令其一一对应，求解参数后检查互异性即可. （4）连续型集合（集合元素无限）包含问题 已知集合，且，. ①若，则且. ②若，则且. ③若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点不可取等，其余情况均可取等. 即“大集合”端点不取等，“小集合”端点取等时，“大集合”与“小集合” 端点不可取等，其余情况均可取等. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 2．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知全集，集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 4．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 8．（24-25高一上·陕西咸阳·开学考试）已知集合，，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 课后提升训练 1．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知命题，使，其否定命题为（    ） A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 2．（24-25高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二下·山东烟台·期末）设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 6．（24-25高二下·江西·期末·多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．“”的否定是“” D．“”是真命题 7．（24-25高一上·江苏盐城·期末·多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25高一上·吉林·期末·多选）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 9．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知命题，则为 . 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 ． 11．（24-25高二下·福建泉州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是 ． 12．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知命题，当命题为假命题时，正实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·福建莆田·期末）在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$