集合与常用逻辑用语：集合的运算、以集合为背景的含参问题、集合新定义问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一

集合与常用逻辑用语：集合的运算、以集合为背景的含参问题、集合新定义问题讲义 集合与常用逻辑用语：集合的运算、以集合为背景的含参问题、集合新定义问题讲义 考点目录 集合的运算：并集 集合的运算：交集 集合的运算：补集 集合的运算：以Venn图为背景的计算 集合的运算：德摩根律与容斥原理 以集合为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 集合的运算：并集 【知识点解析】 1．并集的概念 一般地，由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），. （2）. （3）. （4）． （5），则. 3. 区间及相关概念 （1）一般区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 （2）实数集 可以用区间表示为，“”读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【例题分析】 考向一 并集的概念及运算 1．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以． 故选：A. 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合， 又由集合，可得. 故选：B. 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 又，所以可得集合，则，故C正确. 故选：C. 5．（24-25高二下·浙江温州·期末）集合，集合，则 ． 【答案】 【详解】集合， 集合， 则 故答案为：. 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）集合，或， ． 【答案】或 【详解】由题意：或. 故答案为：或 7．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）集合，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 【答案】 【详解】对于集合，要使根式有意义，即. 解不等式，可得，所以集合. 已知集合，集合. 根据并集的定义,所以. 故答案为：. 考向二 根据并集的结果求参数 1．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 【答案】 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 考点二 集合的运算：交集 【知识点解析】 1．交集的概念 一般地，由同时属于集合与集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：（读作“交”），即．用图表示如图所示： （1）与相交（有公共元素） （2），则 （3）与相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． （2）定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）. （2）. （3）. （4）． （5），则. 【例题分析】 考向一 交集的概念及运算 1．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（   ） A．是等腰或直角三角形} B．是等腰直角三角形} C．N D． 【答案】B 【详解】集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}， 所以是等腰直角三角形}. 故选：B 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，因此. 故选：A. 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为且，所以,， 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即. 因为，所以. 故选：B. 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，可解得， ， ，可解得，又，， . 故选：A． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 【答案】 【详解】因为集合，， 所以，共3个元素，所以的真子集个数为. 故答案为：7. 6．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 【答案】 【详解】依题意，集合和集合都是点集，其中，集合表示在直线上的点，集合表示在直线上的点，因此集合和集合的交集元素为直线和直线的交点坐标. 联立，解得，得. 故答案为：. 7．（24-25高一下·湖南·期末）若或，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由可知，集合包含所有的偶数， 因为为偶数，又或， 所以集合中的元素都为奇数，所以. 故答案为： 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，则 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以. 故答案为：. 考向二 根据交集的结果求参数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 在，中， ， ∴解得. 故选：C. 2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【答案】D 【详解】解方程，得或，所以， 又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素， 所以a的可能取值有、、0． 故选：D 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 考点三 集合的运算：补集 【知识点解析】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．补集的性质 （1）； （2）； （3）. 【例题分析】 考向一 补集的概念及运算 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则， 又，所以. 故选：D 2．（2025·安徽·模拟预测）已知全集，集合，则的子集个数为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为，则， 所以的子集个数为. 故选：C. 3．（25-26高三上·贵州·开学考试）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合，解不等式， 得到，即， 所以集合， 则. 故选：A. 考向二 交并补的混合运算 1．（25-26高三上·北京·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 结合，得. 故选：A 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则整数集可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则真包含于，真包含于，如图，    由韦恩图可知，，，，. 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽滁州·期末）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为或，所以， 又因为，所以， 故选：C. 考向三 根据补集的结果求集合或参数 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 2．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，∴， 又∵，∴，，∴集合． 故选：C. 3．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知集合B中不含元素1和2，必含有元素3； 又根据得. 故选：A. 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 由于，故， 故选：D 考点四 集合的运算：以图为背景的计算 【知识点解析】 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 利用韦恩图进行计算，核心是将图中展示的集合关系转化为我们常见的交集、并集、补集的运算. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 3．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由题意得，图中阴影部分表示的集合为， 因为集合，可得， 所以阴影部分所示集合的元素个数为个. 故选：B． 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 5．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .   .   【答案】 【详解】由于全集，，， 故， 则， 故Venn图中阴影部分表示的集合为， 故答案为： 6．（24-25高一上·上海静安·开学考试）如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【详解】由图可知，阴影部分的元素满足的条件是： 在集合中，但不在集合中， 所以可以表示为：. 故答案为：. 7．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分表示. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 考点五 集合的运算：德摩根律与容斥原理 【知识点解析】 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【详解】解：设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： ，解得， 所以只参加一项比赛的有人. 故选：C. 2．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【详解】设心理社为A，地理社为B，动漫社为C， 则， ， 得 即，得， 所以只参加一个社团的人数共有. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 5．（24-25高二下·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 【答案】8 【详解】设喜爱乒乓球运动的同学，喜欢羽毛球运动的同学， 用表示集合中的元素个数，则，，， 因， 故对这两项运动都不喜爱的人数为. 故答案为：8. 6．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 【答案】4 【详解】解：设同时参加军棋和跳棋比赛的有人，参加跳棋比赛的同学组成集合，参加军棋的同学组成集合，参加象棋的同学组成集合， 所以集合中有14个元素，中有8个元素，中有15个元素， 由题意可知中有3个元素，有1个元素，由3个元素，， 所以，解得，所以同时参加军棋和跳棋比赛的有4人， 故答案为：4． 8．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 考点六 以集合为背景的含参问题 【知识点解析】 1.已知元素与集合的关系求参数范围 （1）明确集合属性：判断集合是 “不等式型”“方程解型” 还是 “离散型”，确定元素需满足的核心条件. （2）转化关系为条件：根据或，将元素代入集合条件，转化为关于参数的方程或不等式. （3）分类讨论参数：针对参数的不同取值（如系数为 0、二次项系数正负等）分类分析. （4）验证特殊情况：结合集合元素互异性、空集等特殊情况排除矛盾解. （5）整合结果：将所有符合条件的参数范围合并，用区间或集合表示最终结果. 2.已知集合相等求参数范围 （1）离散型集合（集合元素有限）相等问题 ①判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. ②回代检验互异性. ③如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. （2）连续型集合（集合元素无限）相等问题 ①令集合的端点相等，转化为关于参数的方程，求解参数. 3.已知集合的包含关系求参数范围 （1）若，当集合含参数时，需讨论或. 当集合含参数时，需保证. （2）若，则先讨论，再将端点值代入检验两集合是否相等. （3）离散型集合（集合元素有限）包含问题 类比上述“离散型集合（集合元素有限）相等问题”，先判断有哪些元素可能相等，令其一一对应，求解参数后检查互异性即可. （4）连续型集合（集合元素无限）包含问题 已知集合，且，. ①若，则且. ②若，则且. ③若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点不可取等，其余情况均可取等. 即“大集合”端点不取等，“小集合”端点取等时，“大集合”与“小集合” 端点不可取等，其余情况均可取等. 4.已知集合的运算关系求参数范围 （1）常见结论 ①若,则. ②若,则. （2）解题步骤 ①将集合的运算关系转化为集合的包含关系. ②根据集合的包含关系对参数进行求解. 【例题分析】 考向一 已知元素与集合的关系求参数范围 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】，若，此时，不满足集合中元素互异性，舍去， 若，解得或，显然舍去， 当时，满足集合中元素互异性，故. 故选：A 3．（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B 4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 5．（24-25高一上·北京丰台·期中）设集合，若，则实数的值为 ． 【答案】2 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ①当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ②当时，，满足题意，则实数的值为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 考向二 已知集合相等求参数范围 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 又根据集合互异性，可知，解得舍去， 所以解得，所以， 故选：A 3．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】因，，由集合互异性可得. 则. 故选：A 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】-1 【详解】由题意得，，解得或， 当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：-1. 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 6．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 【答案】 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 考向三 已知集合的包含关系求参数范围 1．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 2．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 3．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 6．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【详解】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或，   当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 考向四 已知集合的运算关系求参数范围 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，则； （2）由得，所以， 解得，即m的取值范围是； （3）当时，符合题意，此时有，即 当时，有或，解得 综上，实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）由题意，，所以， 集合，所以或， 所以或， 所以或. 故实数m的取值范围为或. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题知，解得， 此时，满足， 故； （2）由题知，因为， 当，即时，解得，满足题意； 当，即时，， 要满足. 则，解得，故. 综上，的取值范围是. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）∵全集，集合， ∴或. （2）∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. （3）∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 考点七 集合新定义问题 【知识点解析】 步骤一 精读定义，“翻译” 核心规则 （1）定义的 “对象”：明确新集合是由什么元素构成的（是数、点、集合本身，还是其他抽象对象）。 （2）定义的 “运算/关系规则”：用 “数学语言” 或 “实例” 将抽象定义 “翻译” 为具体可操作的条件。 步骤二 结合已知，明确 “已知集合” 与 “新集合” 的关联 步骤三 分情况验证，逐步构造或判断新集合 根据新定义的规则，通过 “枚举法”“分类讨论”“反证法” 等方式，逐步推导新集合的元素或性质 （1）若元素有限：直接枚举所有可能的元素，验证是否符合新定义规则，排除不符合的元素 （2）若元素无限：通过逻辑推理归纳新集合的特征 （3）若涉及 “存在性”“唯一性”：用反证法或举例验证 步骤四 回归集合基本性质，验证结果合理性 （1）确定性：新集合的元素是否都能明确判断 “属于” 或 “不属于” （2）互异性：新集合中是否有重复元素 （3）与已知概念的一致性：若新定义可转化为熟悉的集合运算 【例题分析】 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 5．（24-25高一上·河南·阶段练习·多选）设P，Q为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由的定义得，显然成立，所以A正确； 由的定义得，，所以B错误； 根据实数乘法的交换律得，成立，所以C正确； 设，则，所以，所以D错误. 故选：AC. 6．（24-25高一下·云南曲靖·期末·多选）已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 【答案】BCD 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为1，2，3，4， 互不相等，故A错误； 对于B，若为奇数，那么2k能被4整除，因为能被4整除， 所以2k必须能被4整除，因此为偶数，故B正确； 对于C，若为偶数，那么能被整除，于是必然是整数， 这与为偶数矛盾，所以不为“可分集”，故C正确； 对于D，对于显然成立，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于，则前组为 ， ， 后组为 ，因此对于任意的奇数均为“可分集”，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 【答案】 定集合的元素个数，由此可得出该集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 又因为，故， 所以，集合有个元素，故集合的真子集个数. 故答案为：. 8．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】若，，则满足且， 取时，且，则且，即， 若令，则，此时取，经检验符合要求， 故答案为：（答案不唯一）. 9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 【答案】 【详解】由题设定义知， 故答案为：. 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 11．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 【答案】(1)，. (2) (3)，，理由见解析 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若时，中的元素个数最少； （3）若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得： ，. 12．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 13．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：． (1)若，且，写出所有的β使得； (2)已知集合A满足，且对集合A中任意两个元素α，β都有．设集合A的元素个数为k，求k的最大值． 【答案】(1)或 (2)k的最大值为4 【详解】（1）设， 所以或． 或． （2）k的最大值为4． 因为，且，，， 则α，β中两个位置上的数相同，剩下的两个位置相反． 设，则． 取，，， 此时满足，，且． 假设存在使得， 则或或． 当时，； 当时，； 当时，． 所以找不到使得均为0，k的最大值为4． 课后提升训练 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素， 则，所以实数的取值范围为. 故选：C. 2．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以. 故选：B. 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知全集，集合，，则. 故选：D. 4．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 【答案】A 【详解】因为，所以， 在的所有子集中，恰有2个元素的集合为，，. 故选：A. 5．（24-25高二下·甘肃·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 7．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习·多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确，B，D错误； 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC. 8．（24-25高一下·湖南衡阳·期末·多选）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AB 【详解】若集合，， 则由集合中元素的互异性可知，， 即， 又， 则或或或，即， 所以的值可以是，对比选项可知只有AB正确. 故选：AB. 9．（24-25高一上·四川内江·期末·多选）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 10．（23-24高二下·宁夏银川·期末）己集合，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，即，解得， 所以， 又，，所以， 所以，解得，即的取值范围是. 故答案为： 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    【答案】 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 12．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 16．（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析； (2)是“可分集合”，理由见解析. 【详解】（1）集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$集合与常用逻辑用语：集合的运算、以集合为背景的含参问题、集合新定义问题讲义 集合与常用逻辑用语：集合的运算、以集合为背景的含参问题、集合新定义问题讲义 考点目录 集合的运算：并集 集合的运算：交集 集合的运算：补集 集合的运算：以Venn图为背景的计算 集合的运算：德摩根律与容斥原理 以集合为背景的含参问题 集合新定义问题 考点一 集合的运算：并集 【知识点解析】 1．并集的概念 一般地，由属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集，记作：（读作“并”），即．用图表示如图所示： （1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合，是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质 对于任意两个集合A，B，根据并集的概念可得： （1），. （2）. （3）. （4）． （5），则. 3. 区间及相关概念 （1）一般区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 （2）实数集 可以用区间表示为，“”读作“无穷大”， “”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”． （3）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【例题分析】 考向一 并集的概念及运算 1．（25-26高一上·山西忻州·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江温州·期末）集合，集合，则 ． 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）集合，或， ． 7．（24-25高二下·上海黄浦·阶段练习）集合，则 ． 8．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合，，则 . 考向二 根据并集的结果求参数 1．（24-25高二下·吉林延边·阶段练习），，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，，，则实数的取值集合为 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 考点二 集合的运算：交集 【知识点解析】 1．交集的概念 一般地，由同时属于集合与集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作：（读作“交”），即．用图表示如图所示： （1）与相交（有公共元素） （2），则 （3）与相离（） 注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素． （2）定义中的“所有”是指集合和集合中全部的公共元素，不能是一部分公共元素． 2．交集的性质 （1）. （2）. （3）. （4）． （5），则. 【例题分析】 考向一 交集的概念及运算 1．（25-26高三上·重庆南岸·阶段练习）设集合是等腰三角形}，集合是直角三角形}，则（   ） A．是等腰或直角三角形} B．是等腰直角三角形} C．N D． 2．（25-26高三上·浙江·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知集合则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东江门·期中）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 6．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）设集合，，则 ． 7．（24-25高一下·湖南·期末）若或，则 ． 8．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合，则 ． 考向二 根据交集的结果求参数 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·山西大同·期末）已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 3．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 4．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 考点三 集合的运算：补集 【知识点解析】 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作，是相对于所研究问题而言的一个相对概念． 说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集． 2．补集的概念 对于一个集合，由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．用图表示如图所示： 说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念． （2）若，则或，二者必居其一． 3．补集的性质 （1）； （2）； （3）. 【例题分析】 考向一 补集的概念及运算 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）若集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽·模拟预测）已知全集，集合，则的子集个数为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高三上·贵州·开学考试）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 考向二 交并补的混合运算 1．（25-26高三上·北京·开学考试）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，，则整数集可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽滁州·期末）全集为，集合，或，则（   ） A． B． C． D． 考向三 根据补集的结果求集合或参数 1．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·二模）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 考点四 集合的运算：以图为背景的计算 【知识点解析】 1.Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 利用韦恩图进行计算，核心是将图中展示的集合关系转化为我们常见的交集、并集、补集的运算. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知集合，则图中阴影部分所示集合的元素个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·青海西宁·阶段练习）已知全集，，，指出Venn图中阴影部分表示的集合是 .   .   6．（24-25高一上·上海静安·开学考试）如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是 （请用各集合的交，并，补表示） 7．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示为 . 8．（24-25高一上·上海·期中）集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    考点五 集合的运算：德摩根律与容斥原理 【知识点解析】 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·期中）广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 2．（24-25高一上·重庆·期中）求精中学为丰富学生们的课余生活，开展了多种多样的学生社团活动，其中心理社，动漫社和地理社最受欢迎，高一某班有35名学生参加了这三个社团，其中有19人参加了心理社，有16人参加了地理社，有15人参加了动漫社，有6人参加了心理社和地理社，有5人参加了地理社和动漫社，已知每人至少都参加了一个社团，没有人同时参加三个社团，则只参加了一个社团的同学有（    ）人 A．16 B．18 C．20 D．24 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 5．（24-25高二下·黑龙江·期末）某兴趣班共30人，其中15人喜爱乒乓球运动，10人喜爱羽毛球运动，12人喜爱乒乓球但不喜爱羽毛球运动，则对这两项运动都不喜爱的人数为 6．（24-25高二下·北京·期末）有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 7．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）为丰富校园文化活动，某学校举行了“棋类竞技”活动，某班共有28名同学参加比赛，有15人参加象棋，有8人参加军棋，有14人参加跳棋比赛，同时参加军棋和象棋的有3人，同时参加象棋和跳棋比赛的有3人，同时参加三项比赛的同学有1人，则同时参加军棋和跳棋比赛的有 人． 8．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 考点六 以集合为背景的含参问题 【知识点解析】 1.已知元素与集合的关系求参数范围 （1）明确集合属性：判断集合是 “不等式型”“方程解型” 还是 “离散型”，确定元素需满足的核心条件. （2）转化关系为条件：根据或，将元素代入集合条件，转化为关于参数的方程或不等式. （3）分类讨论参数：针对参数的不同取值（如系数为 0、二次项系数正负等）分类分析. （4）验证特殊情况：结合集合元素互异性、空集等特殊情况排除矛盾解. （5）整合结果：将所有符合条件的参数范围合并，用区间或集合表示最终结果. 2.已知集合相等求参数范围 （1）离散型集合（集合元素有限）相等问题 ①判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. ②回代检验互异性. ③如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. （2）连续型集合（集合元素无限）相等问题 ①令集合的端点相等，转化为关于参数的方程，求解参数. 3.已知集合的包含关系求参数范围 （1）若，当集合含参数时，需讨论或. 当集合含参数时，需保证. （2）若，则先讨论，再将端点值代入检验两集合是否相等. （3）离散型集合（集合元素有限）包含问题 类比上述“离散型集合（集合元素有限）相等问题”，先判断有哪些元素可能相等，令其一一对应，求解参数后检查互异性即可. （4）连续型集合（集合元素无限）包含问题 已知集合，且，. ①若，则且. ②若，则且. ③若，当集合端点不取等，集合端点取等时，两集合的端点不可取等，其余情况均可取等. 即“大集合”端点不取等，“小集合”端点取等时，“大集合”与“小集合” 端点不可取等，其余情况均可取等. 4.已知集合的运算关系求参数范围 （1）常见结论 ①若,则. ②若,则. （2）解题步骤 ①将集合的运算关系转化为集合的包含关系. ②根据集合的包含关系对参数进行求解. 【例题分析】 考向一 已知元素与集合的关系求参数范围 1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 5．（24-25高一上·北京丰台·期中）设集合，若，则实数的值为 ． 6．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合，且，则的值为 . 考向二 已知集合相等求参数范围 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）设，集合，若，则（    ） A． B． C．0 D．2 4．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，则 . 5．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 6．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知集合，若，则 . 考向三 已知集合的包含关系求参数范围 1．（24-25高一上·云南·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 2．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 3．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 5．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 6．（24-25高一上·山东临沂·开学考试）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围. （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 考向四 已知集合的运算关系求参数范围 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，且. (1)求； (2)已知集合，且，求的取值范围. 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知全集，集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 5．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 考点七 集合新定义问题 【知识点解析】 步骤一 精读定义，“翻译” 核心规则 （1）定义的 “对象”：明确新集合是由什么元素构成的（是数、点、集合本身，还是其他抽象对象）。 （2）定义的 “运算/关系规则”：用 “数学语言” 或 “实例” 将抽象定义 “翻译” 为具体可操作的条件。 步骤二 结合已知，明确 “已知集合” 与 “新集合” 的关联 步骤三 分情况验证，逐步构造或判断新集合 根据新定义的规则，通过 “枚举法”“分类讨论”“反证法” 等方式，逐步推导新集合的元素或性质 （1）若元素有限：直接枚举所有可能的元素，验证是否符合新定义规则，排除不符合的元素 （2）若元素无限：通过逻辑推理归纳新集合的特征 （3）若涉及 “存在性”“唯一性”：用反证法或举例验证 步骤四 回归集合基本性质，验证结果合理性 （1）确定性：新集合的元素是否都能明确判断 “属于” 或 “不属于” （2）互异性：新集合中是否有重复元素 （3）与已知概念的一致性：若新定义可转化为熟悉的集合运算 【例题分析】 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二下·浙江·阶段练习）定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南·阶段练习·多选）设P，Q为非空实数集，定义，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南曲靖·期末·多选）已知.若对于非空数集，存在个两两交集为空的集合，，使得，且任意两个集合的所有元素之和均相等，则称集合为“可分集”.设，则（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则为偶数 C．对于任意的偶数不为“可分集” D．对于任意的奇数均为“可分集” 7．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是 . 8．（24-25高一上·湖南益阳·期末）如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合 . 9．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则 . 10．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 11．（24-25高一下·北京顺义·期末）对于一个所有元素均为整数的非空集合A，和一个给定的正整数k，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，，直接写出使得集合中元素个数最少的一个k（用n表示）； (3)若，p和k都是正整数，集合，求出使得成立的所有p和k的值，并说明理由. 12．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 13．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：． (1)若，且，写出所有的β使得； (2)已知集合A满足，且对集合A中任意两个元素α，β都有．设集合A的元素个数为k，求k的最大值． 课后提升训练 1．（24-25高二下·四川凉山·期末）设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖北荆州·期末）已知集合，则在的所有子集中，恰有2个元素的集合个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．15 5．（24-25高二下·甘肃·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西赣州·阶段练习·多选）已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南衡阳·期末·多选）若集合，，且，则的值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．（24-25高一上·四川内江·期末·多选）已知集合，，，，下列选项正确的有（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·宁夏银川·期末）己集合，，若，则的取值范围是 ． 11．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    12．（24-25高二下·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则 ． 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 16．（24-25高二下·广东梅州·期末）对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$