集合的概念、集合的基本关系讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合与常用逻辑用语：集合的概念、集合的基本关系讲义 集合与常用逻辑用语：集合的概念、集合的基本关系讲义 考点目录 集合的概念 集合的表示 元素与集合的关系 集合与集合的关系 子集 空集 集合相等 考点一 集合的概念 【知识点解析】 1.集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母、、、…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母，，，…表示． 2.元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【例题分析】 考向一 判断元素是否构成集合（集合的确定性） 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 3．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习·多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试·多选）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 考向二 集合的互异性 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 考点二 集合的表示 【知识点解析】 1.集合的两种表示方法 （1）自然语言法：使用自然语言（即日常使用的语言，如中文、英文）来表示集合是一种非常常见且直观的方法。它通常用于描述集合中元素的共同属性或明确规则. （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）韦恩图法：用一种封闭的平面图形（通常是圆形或椭圆形）来直观地表示集合与集合之间的关系. 【注意】①元素与元素之间必须用“，”隔开. ②集合中的元素必须是明确的. ③集合中的元素不能重复. ④集合中的元素可以是任何事物． 2.元素的意义 元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 4．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 考点三 元素与集合的关系 【知识点解析】 1. 元素与集合关系的判断及应用 （1）属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． （2）常用数集及表示符号 常见数集 记法 数集的内涵 自然数集 自然数的核心是“表示物体个数的数”，即非负整数， 正整数集 或 整数集 涵盖了正整数、零和负整数， 有理数集 所有可以表示为形式的数，其中是整数，是正整数，且与互质. 实数集 有理数与无理数的并集. 【例题分析】 考向一 判断元素与集合的关系 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考向二 根据元素与集合的关系求参数 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 7．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 8．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 考点四 集合与集合的关系 【知识点解析】 1. 子集的概念 （1）子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． （2）真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() （3）集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2. 子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. （2）任何一个集合都是它本身的子集，即. （3）如果，，则. （4）如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 3.图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图。表示集合的图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 【例题分析】 考向一 判断集合的包含关系 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末·多选）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习·多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习·多选）下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．是菱形是平行四边形 D． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 6．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·云南·期中）若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·河南·开学考试）列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（    ） A．实际水牌错水牌 B．实际水牌模式水牌 C．错水牌实际水牌 D．错水牌模式水牌 考向二 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 3．（24-25高二下·陕西安康·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 5．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 7．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 8．（24-25高二下·北京东城·期中）已知集合．若，则a的最大值为 ． 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 10．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 11．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 考点五 子集 【知识点解析】 1.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 【例题分析】 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 6．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习·多选）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 7．（23-24高一上·江苏南京·期中·多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设集合，则的非空子集个数为 . 9．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 10．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 考点六 空集 【知识点解析】 1.空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. ※空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （2），，，的关系 与 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；是实数. 中不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 没关系， 且 且 【例题分析】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 6．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 7．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 考点七 集合相等 【知识点解析】 1.集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2.集合相等的判断 （1）判断元素的类型是否相同； （2）对应关系是否成立. 3.集合相等的含参问题 （1）判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. （2）回代检验互异性. （3）如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. 【例题分析】 考向一 判断集合是否相等 1．（24-25高一上·广东阳江·期中·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习·多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习·多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 考向二 根据集合相等求参数 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 5．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 6．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 课后提升训练 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．或0 2．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 4．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 9．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·陕西汉中·期中·多选）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 11．（24-25高一上·广西柳州·期末·多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 12．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高二下·广西崇左·期末）若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 14．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 15．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 16．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$集合与常用逻辑用语：集合的概念、集合的基本关系讲义 集合与常用逻辑用语：集合的概念、集合的基本关系讲义 考点目录 集合的概念 集合的表示 元素与集合的关系 集合与集合的关系 子集 空集 集合相等 考点一 集合的概念 【知识点解析】 1.集合的含义与表示 （1）元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母、、、…表示． （2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母，，，…表示． 2.元素的三个特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【例题分析】 考向一 判断元素是否构成集合（集合的确定性） 1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 3．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习·多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．横峰中学高一年级聪明的学生 B．的近似值 C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D．所有奇数 【答案】CD 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试·多选）下列说法正确的是（   ） A．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 B．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 C．由不大于的自然数组成的集合的所有元素为 D．数，，，，组成的集合中有5个元素 【答案】AD 【详解】对于A，因为联合国安理会常任理事国是确定的，所以A正确； 对于B，因为喜欢足球的同学不确定，所以我校很喜欢足球的同学不能组成一个集合，故B错误； 对于C，因为不大于的自然数有，则由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，故C错误； 对于D，因为，，所以数，，，，组成的集合中有5个元素，则D正确. 故选：AD. 考向二 集合的互异性 1．（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 2．（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）若，，，为集合的4个元素，则以，，，为边长的四边形可能是（   ） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】根据集合中元素的互异性，以，，，为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求. 故选：B 考点二 集合的表示 【知识点解析】 1.集合的两种表示方法 （1）自然语言法：使用自然语言（即日常使用的语言，如中文、英文）来表示集合是一种非常常见且直观的方法。它通常用于描述集合中元素的共同属性或明确规则. （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． （4）韦恩图法：用一种封闭的平面图形（通常是圆形或椭圆形）来直观地表示集合与集合之间的关系. 【注意】①元素与元素之间必须用“，”隔开. ②集合中的元素必须是明确的. ③集合中的元素不能重复. ④集合中的元素可以是任何事物． 2.元素的意义 元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端. 【例题分析】 1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 3．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）用要求的方法表示下列集合： (1)列举法表示“小于10的自然数组成的集合”． (2)列举法表示集合 (3)描述法表示偶数集 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）列举法表示“小于10的自然数组成的集合”为：； （2）列举法表示集合：； （3）描述法表示偶数集为：. 4．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)由大于且小于的偶数组成的集合； (2)所有被除余的整数所构成的集合； (3)平面直角坐标系中第四象限的全体点的坐标构成的集合； 【答案】(1)有限集； (2)，无限集； (3)，无限集. 【详解】（1）有限集. （2），无限集. （3），无限集. 5．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 考点三 元素与集合的关系 【知识点解析】 1. 元素与集合关系的判断及应用 （1）属于与不属于概念： ①属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． ②不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． （2）常用数集及表示符号 常见数集 记法 数集的内涵 自然数集 自然数的核心是“表示物体个数的数”，即非负整数， 正整数集 或 整数集 涵盖了正整数、零和负整数， 有理数集 所有可以表示为形式的数，其中是整数，是正整数，且与互质. 实数集 有理数与无理数的并集. 【例题分析】 考向一 判断元素与集合的关系 1．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，集合，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，集合，则与是元素和集合的关系， 所以. 故选：B. 2．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据的意义,, 故选：C. 4．（2025·陕西汉中·二模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 设,则：有理数部分：，无理数部分， , ,符合条件，所以，故A错误； 设,则有理数部分，无理数部分:， , ,符合条件，故，故B错误； 设,则：有理数部分，无理数部分： ，故,故C正确； 设,则有理数部分： (非整数，矛盾)，故，故D错误． 故选：C. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 6．（24-25高一上·甘肃·阶段练习）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集， 由，，，，可得ABC错误，D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·广东广州·期中）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，故①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，故②正确； 对于③，为自然数，而表示自然数集，所以，故③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，故④错误. 故选：B. 考向二 根据元素与集合的关系求参数 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2．（2025·辽宁·二模）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 3．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知且解得. 故选：C. 4．（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 5．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 7．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 8．（24-25高一上·四川内江·期中）已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 考点四 集合与集合的关系 【知识点解析】 1. 子集的概念 （1）子集的定义：对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”)． （2）真子集：如果集合是集合的子集，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集。记作或() （3）集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2. 子集的性质 （1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合，都有. （2）任何一个集合都是它本身的子集，即. （3）如果，，则. （4）如果，，则. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解的含参数的问题时，要注意讨论和两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 3.图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为图。表示集合的图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 【例题分析】 考向一 判断集合的包含关系 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末·多选）若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 2．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习·多选）下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习·多选）下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．是菱形是平行四边形 D． 【答案】AC 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，则，故B错误； 对于C：因为菱形是特殊的平行四边形，所以是菱形是平行四边形，故C正确； 对于D：因为， ， 所以，故D错误. 故选：AC 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 5．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D．与的关系不确定 【答案】A 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 6．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合,，则 . 故选：A 7．（24-25高二下·云南·期中）若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以,又，所以, 故,即，由上分析得，，集合A一定不是集合C的子集， 故选：D 8．（24-25高一上·广东·期末）若，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误； 对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确； 对于C，为集合，是有序数对，故C错误； 对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误. 故选：B 9．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，集合中的元素在集合中，，A正确； 对于B，集合与集合中的元素相同，，B正确； 对于C，集合中的元素都在集合中，，C正确； 对于D，集合中的元素不是空集，不正确，D错误. 故选：D 10．（24-25高三下·河南·开学考试）列车运行区段指示牌，是一种悬挂或粘贴在普通速度列车车厢上，标明列车运行区段、车次、等级等信息的指示牌，俗称“水牌”（如图所示）.现给出如下定义： 实际水牌：指由路内负责设计、印刷并实际应用于运营普速列车的水牌.又称实物水牌； 模式水牌：指能如实反映具体列车运行区段、车次等信息，不产生歧义且不含任何错误的水牌.又称理论水牌. 了解以上定义后，可以给出“错水牌”的定义： 错水牌：对于任意给定的实际水牌，如其存在某个要素与模式水牌不符，则该实际水牌为错水牌.若将实际水牌、模式水牌和错水牌均看做是以水牌为元素的集合，则综合上述定义，以下选项正确给出了实际水牌、模式水牌与错水牌关系的一项是（    ） A．实际水牌错水牌 B．实际水牌模式水牌 C．错水牌实际水牌 D．错水牌模式水牌 【答案】C 【详解】由题意，错水牌是存在某个要素与模式水牌不符的实际水牌， 即错水牌⊆实际水牌，且错水牌一定不是模式水牌，C对，A、D错， 实际水牌可能存在要素与模式水牌不符，则实际水牌不包含于模式水牌，B错. 故选：C 考向二 根据集合的包含关系求参数 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知集合，集合．若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合，集合．若，则或， 而方程无解，方程的解为， 经检验当时，满足集合中元素间的互异性，且. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 3．（24-25高二下·陕西安康·期末）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，且， 因此，解得． 故选：B． 4．（24-25高二下·河南新乡·期末）已知集合，．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．-2 【答案】A 【详解】因为，所以，即，解得，故A正确. 故选：A. 5．（24-25高二下·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，且， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高二下·辽宁·期末）已知集合，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由已知，，且， 得，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 7．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）设集合，若，则 ． 【答案】2 【详解】因为，所以．当，即时，有相同元素，不符合； 当，即时，，，符合； 当，即时，有相同元素，不符合． 综上所述：. 故答案为：. 8．（24-25高二下·北京东城·期中）已知集合．若，则a的最大值为 ． 【答案】 【详解】集合，又， 则，所以a的最大值为. 故答案为： 9．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合，，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以，所以， 所以的取值范围为. 10．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 11．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 12．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 考点五 子集 【知识点解析】 1.子集的个数 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 【例题分析】 1．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由集合，所以的子集个数为个； 故选：D 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）集合的子集个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【详解】由已知得集合，共有3个元素，所以其子集个数为. 故选：D. 3．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 5．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 6．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习·多选）已知集合满足，则集合的子集个数可能是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】ABC 【详解】由题意可知集合中的元素个数可能是， 则集合的子集个数可能是，，，故A、B、C正确. 故选：ABC. 7．（23-24高一上·江苏南京·期中·多选）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 8．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设集合，则的非空子集个数为 . 【答案】7 【详解】集合，则的子集个数为, 所以的非空子集个数为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 10．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 考点六 空集 【知识点解析】 1.空集 （1）定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. ※空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （2），，，的关系 与 与 与 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 是集合；是实数. 中不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 没关系， 且 且 【例题分析】 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．（24-25高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 4．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）若集合有且只有一个子集，则的取值集合为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，故无实数根， 故，解得， 故的取值集合为. 故选：C 5．（24-25高二下·云南大理·开学考试）若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 6．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【答案】 【详解】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 考点七 集合相等 【知识点解析】 1.集合相等：一般地，如果集合的任何一个元素都是的元素，同时集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合与集合相等，记作 2.集合相等的判断 （1）判断元素的类型是否相同； （2）对应关系是否成立. 3.集合相等的含参问题 （1）判断有哪些元素可能相等，令可能相等的元素一 一对应，求解参数. （2）回代检验互异性. （3）如果有多个元素可能相等，则需进行分类讨论. 【例题分析】 考向一 判断集合是否相等 1．（24-25高一上·广东阳江·期中·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】A选项，为数集，为点集，则两集合不同，故A正确； B选项，均为点集，但包含的元素不同，则两集合不同，故B正确； C选项，为数集，表示射线上的点，则两集合不同，故C正确； D选项，两集合均表示全体奇数，故两集合相同，故D错误. 故选：ABC 2．（24-25高一上·河南新乡·阶段练习·多选）下列各组中M，N表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】对A：集合中有两个元素，是数；集合中只有一个元素，是点，所以两个集合不同，故选项A符合题意； 对B：两个集合中都只有一个元素，是点，但点的坐标不一样，所以两个集合不同，故选项B符合题意； 对C：两个集合都是表示所有奇数构成的集合，所以两个集合相同，选项C不合题意； 对D：集合表示函数的值域，元素是数；集合表示的是图形，元素是点，所以两个集合不同，故选项D符合题意. 故选：ABD 3．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习·多选）下列选项中的两个集合相等的是（    ） A．是6和10的公倍数}， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】对于A，由于6和10的最小正公倍数为30，因此，即，A是； 对于B，由于，则，B不是； 对于C，依题意，，，即，C是； 对于D，集合是函数值的集合，为实数集，集合是函数图象上点的集合，，D不是. 故选：AC 4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习·多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【详解】对于A，是点集，是数集，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：CD. 考向二 根据集合相等求参数 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期末）已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：C 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）设集合，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】集合，由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， 所以. 故选：A 4．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设，，，若，则 ． 【答案】0 【详解】∵集合， ∴ ∴. 故答案为：. 5．（24-25高一上·安徽·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 6．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 课后提升训练 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）设集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．或0 【答案】A 【详解】由可知或， 解得或； 又因为时，集合中的元素不满足互异性，舍去； 所以. 故选：A 2．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 4．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】已知集合， 所以集合A有两个元素：和． 故选：B. 5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 所以， 所以或，得或， 根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故. 故选：A. 6．（24-25高二下·北京·期末）给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 7．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 8．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若集合，，且，则（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】因为集合，，且， 所以当时，，此时，符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意； 当时，，此时不是的子集，不符合题意， 故选：A. 9．（24-25高三上·江苏·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， ，得，，满足条件， ，得，，不满足条件， 所以. 故选：C 10．（23-24高一上·陕西汉中·期中·多选）下列说法中不正确的是（ ） A．0与表示同一个集合； B．集合与是两个相同的集合； C．方程的所有解组成的集合可表示为； D．集合可以用列举法表示． 【答案】ACD 【详解】0是元素不是集合，表示以0为元素的一个集合，故A错误； 集合与的构成元素完全相同，所以是两个相同的集合，故B正确； 方程的所有解组成的集合可表示为，集合中的元素是不同的，故C错误； 集合表示大于小于的全体实数，有无数个且无法一一列举出来，故不可以用列举法表示，故D错误． 故选：ACD. 11．（24-25高一上·广西柳州·期末·多选）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 12．（24-25高一上·重庆·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】集合，，，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（24-25高二下·广西崇左·期末）若集合的子集的个数为2，则的取值集合为 ． 【答案】 【详解】由题设，集合有且仅有1个元素， 所以，可得或1，故的取值集合为. 故答案为： 14．（24-25高一下·湖南长沙·期末）若集合中只有一个元素，则 . 【答案】0或1 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 15．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 16．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知集合． (1)若，写出集合A的所有子集； (2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）若，则， 所以集合A的所有子集是：， （2）当时，方程，符合题意，因此， 当时，集合A中仅含有一个元素，则，解得， 所以实数a的值为0或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$