6.3.3 余角和补角&数学活动&综合与实践-2025-2026学年新教材七年级上册数学同步辅导（人教版2024）

(3)当∠BOC=B,其他条件不变时， ∠MON=45°. (4)由(1)(2)(3)的结果和(1)的解答过程 可以看出∠MON的大小总等于∠AOB 的一半，而与∠BOC的大小没有关系。 2.解：(1)因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∠A=70°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180° 70°=110°. 又因为BO、CO平分∠ABC和∠ACB,所 以∠2=2∠ABC,∠4=7∠ACB,所以 ∠2+∠4=号∠ABC+∠ACB= 2(∠ABC+∠ACB)=55°，所以∠0= 180°-（∠2+∠4）=125 (2)当∠A=90时，同理可求得∠O=135°， 当∠A=130°时，同理可求得∠0=155°. (3)由(1)(2)可以发现如下规律：∠A=70 时∠0=125°=90°+70×2∠A=90 时.∠0=135°=90°+90°×7：∠A=130 时，∠0=15°=90°+130°×2.由此可进 一步得出：∠0=90+号∠A,当∠A的度 数发生变化时，该结论仍然成立 6.3.3余角和补角 【基础过关】 1.C点拨：因为∠a=32°，所以∠a的补角为 180°-32°=148°. 2.D点拨：70°角的补角=180°-70°=110°， 是钝角，结合各选项，只有D选项是钝角， 所以最有可能与70°角互补的是D选项 的角. 3.C 4.A点拨：如答图6-3-4，∠1与∠2互余， ∠2与∠3互余，故∠1=∠3，所以从小岛 上看这只船，其方向为南偏西35°. 北 小 一 2X 答图6-3-4 5.D点拨：OM平分∠AOC,ON平分 ∠BOC,则∠AOM=∠MOC,∠CON= ∠NOB,且∠MOC+∠CON=90°，故 ∠AOM与∠CON,∠VOB均互余， ∠MOC与∠CON,∠NOB均互余，故图 中共有4对互余的角.本题的判断依据是 同角（或等角）的余角相等： 6.C点拨：因为∠a与∠3互补，所以∠3= 180°-∠a.因为∠a与∠y互余，所以∠Y= 90°-∠a,所以∠3-∠y=90°. 7.B点拨：∠E0C=2∠C0B=2×45° 22°30'，则有∠COE=∠EOB=∠AOD,所 以∠EOC的补角是∠DOB或∠AOE. 8.529.50°29'1058 【素养提升】 1.A点拨：本题考查对方位角的理解与应 用，可利用图形解答，如答图6-3-5所示， 由图易得∠1=∠2=20°，所以调整的角度 为向右转20°+60°=80°，故选A 2602 20 609 之东 答图6-3-5 2.B点拨：因为∠1与∠2互为补角，所以 ∠1十∠2=180°，∠2=180°-∠1.又因为 ∠1>∠2，所以∠2为锐角，所以∠2的余 角等于90°-∠2=90°-(180°-∠1)= ∠1一90°.故选B. 3.135 4.60°点拨：根据题意，列出方程是解题的 关键 5.解：(1)∠a,∠3都是∠y的补角，故∠a= ∠3.所以2n-1°=68°-n.所以n=23. (2)假设∠a,∠3互余，那么∠a十∠3= 90°，即2n-1°+68°-n=n+67°=90°.所 以n=23°，与(1)中结果相等.故∠a,∠3能 互余 点拔：对于(2)，还可以先根据n=23°求出 ∠a,∠3的度数，再根据∠a,∠3的和判断 ∠a,∠3是否互余. 6.解：(1)因为∠AON=16°，∠BON=45°，所 以OA与OB之间的夹角∠AOB= 45°-16°=29. (2)因为∠CON=127°，∠BON=45°，所以 OB与OC之间的夹角∠BOC=127° 45°=82° (3)从O飞行且方向角是96的飞行路线为 射线OD(如答图6-3-6). (4)∠NOA与∠AOD,∠VOB与∠BOD. PX” 答图6-3-6 【综合探究】 1.解：(1)因为∠AOC+∠BOC=180°， ∠AOC=a, 所以∠BOC=180°-a. 因为OE平分∠BOC, 所以∠E0C=∠B0C=90°- 2a. 因为∠COD=90°， 所以∠DOE=∠COD-∠COE=90° (2180-20 2.解：用直尺、量角器和圆规可以确定文物埋 藏点。 (1)作方位角为北偏东82°的射线AC (2)作方位角为南偏东55°的射线AK,由 AB=3km(图上距离为0.6cm)确定B村的 位置. (3)以B为圆心，7km(图上距离为1.4cm) 为半径画弧交AC于点P,则P就是文物 埋藏处，如答图6-3-7. 答图6-3-7 东偏南35°方向，东偏北8°方向. 点拨：在生活实践中常常利用作图工具，根 据方位角和距离确定位置，学会把实际问 题转化为数学问题是解决本题的关键，解 本题的另一个关键就是要把五名警察所走 的路线画成直线（射线或线段）. 数学活动 活动1 (1)①③④(2)①(4a-8b)②1000 活动2 解：根据题意，得∠BAC=180 =36°. 因为正五角星的5个角都是36°， 所以∠ACB=2×36°=18. 综合与实践设计学校田径运动会 比赛场地 解：(1)依题意，得半圆周长为πR≈3.14R,直 道AB长度为2R+14, 所以运动场跑道的长度为2×(3.14R+2R+ 14)=10.28R+28. (2)依题意，得10.28R+28=400,解得R≈36. 答：标准400m跑道的半圆半径约是36m. (3)①设出发后经过xs,小华、小明两人第一 次相遇， 则12x+8x=400,解得x=20. 答：出发后经过20s,小华、小明两人第一次相遇， ②第一次相遇小华跑的路程为20×12= 240(m),第一次相遇小明跑的路程为20×8 =160(m): 小明从相遇点回到出发点A的时间为(300一 160)÷8=17.5(s),这段时间小华跑的路程 为17.5×12=210(m): 小华所处的位置为210-160=50(m), 即离A点有50m,再相遇还需要的时间为 (400-50)÷(12+8)=17.5s, 那么小华跑的路程为(20+17.5+17.5)× 12=660(m). 答：当两人在跑道上第二次迎面相遇时，小华 共跑了660m. 复习课 【综合复习】 一、1.D点拨：当射线OC与射线OB在射线 OA的同一侧时，因为∠AOC=40°，所以 ∠BOC=∠AOC-∠AOB=40°-30°= 10°：当射线OC与射线OB在射线OA的异 侧时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=40°+ 30°=70°，故选D. 2.B点拨：因为OE⊥AB,所以∠AOE= 90°.∠COE=∠AOC+∠AOE=∠BOD+ ∠A0E=45°+90°=135. 3.C点拨：因为OE平分∠COB,∠EOB= 55°，所以∠COE=55°，所以∠BOD= 180°-(55°+55°)=70°，故选C. 4.A点拨：时针每分钟转0.5°，故时针转过 的角度为30×0.5°=15°，A选项正确. 5.C点拨：∠ABC=30°+90°+30°=150°， 故选C. 6.A点拨：将展开图折成正方体，可以知道 “讲”与“运”，“明”与“奥”，“文”与“迎”是相 对的面上的汉字，故选A. 二、1.153°30'点拨：∠1=180°-∠C0B= 180°-26°30'=153°30'6.3.3 余角和补角 基础过关 1.已知∠a=32°，则∠a的补角为 余的角有 4.58° B.689 C.148 D.168 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 2.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是 6.已知∠a是锐角，∠a与∠B互补，∠a与∠y 互余，则∠3-∠y的值是 () A.45° B.60° C.90° D.180 7.【教村P177倒4支式】如图6-3-31，点O在 B D 直线AB上，∠AOD=2230',∠BOC=45°， 3.下列说法错误的是 OE平分∠BOC,则∠EOC的补角是() A.同角或等角的余角相等 B.同角或等角的补角相等 C.两个锐角的余角相等 A D,两个直角的补角相等 图6-3-31 4.从一只船上看一小岛，方向为北偏东35°，从 A.∠AOE 小岛看这只船，其方向为 ( B.∠AOE或∠DOB A.南偏西35 B.南偏东55 C.∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠BOE C.北偏东55 D.北偏西35 D.以上都不对 5.如图6-3-30，O是直线AB上 8.一个锐角是38度，则它的余角是 度 的一点，OM平分∠AOC, 9.如果∠a=39°31'，那么∠a的余角∠3= ON平分∠BOC,则图中互 ,∠3-∠a 图6-3-30 素养提升 1.如图6-3-32，小明从A处出发沿北偏东60° 2.∠1，∠2互为补角，且∠1>∠2，则∠2的余 方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走 角是 () 至C处，此时需把方向调整到与出发时一致， A2(∠1+∠2 B.∠1-909 北 则方向的调整应是 C.∠1-∠2 D.(∠2-∠1) A.右转80 3.如果一个角与它的余角相等，那么这个角的 B.左转80 补角的度数为 度 4.一个锐角的一半与这个角的余角及这个角的 C.右转100° 补角的和等于平角，则这个锐角的度数等于 D.左转100 图6-3-32 5.设∠a,∠3的度数分别为2n-1°和68°-n, 6.如图6-3-33，飞机在飞行时，用OV(南北线) 且∠a,∠3都是∠y的补角， 与飞行路线之间的顺时针方向夹角作为飞行 (1)试求n的值： 的方向角.从O到A的飞行方向角为16°，从 (2)∠α和∠3能否互余？为什么？ O到B的飞行方向角为45°，从O到C的飞 行方向角为127°， (1)OA与OB之间的夹角是多少度？ (2)OB与OC之间的夹角是多少度？ (3)请你画出从O飞行且飞行方向角是90°的 飞行路线OD. (4)写出ON和OD间互余的角 图6-3-33 综合探究 1.【运算能力】如图6-3-34①所示，直线AB经 :2.有五名警察奉命护送A地一批文物前往指 过点O,∠COD=90°，OE是∠BOC的平分 定地点，在A地南偏东55°方向距A地3km 线，∠AOC=a. 处有一个村庄B,他们从A地出发，沿北偏东 (1)求∠DOE的度数（用含a的式子表示）： 82°方向行走一段路程后，B村出现突发事件 (2)将图6-3-34①中的∠COD绕顶点O逆时 要他们前往处理，他们决定把文物先埋藏起 针旋转到图6-3-34②的位置，其他条件 来，然后调转方向走了7km的路，直接赶到 不变，则∠DOE的度数为 (用含 B村，事情处理完后再去找所埋的文物.请 a的式子表示). 问：凭借以上信息，你能估计出文物藏在何处 吗？你可以画一张草图来说明吗？请将题中 涉及A地南偏东55°方向和北偏东82°方向 用另一一种说法表达（用1cm代表5km). 图6-3-34 数学活动 活动1制作纸魔方 活动2绘制五角星 (1)如图6-1所示，是无盖正方体的表面展开图 学剪五角星：如图6-3①所示，先将一张长方形纸 的是 (填序号). 片沿虚线MN对折得到图6-3②，再将图6-3② 沿虚线折叠得到图6-3③，然后将图6-3③沿 BC剪下△ABC,展开即可得到一个五角星.如 果要得到一个正五角星（如图6-3④所示），那么 图6-1 在图6-3③的△ABC中，求∠BAC和∠ACB的 (2)数学兴趣小组利用边长为acm的正方形纸板 度数。 制作出两种不同的长方体纸盒[如图6-2① 所示为无盖的长方体纸盒，如图6-2②所示 --- 为有盖的长方体纸盒]. 2 ①按图6-2①方式制作一个无盖的长方体 图6-3 纸盒的方法：先在纸板四角剪去四个同 样大小边长为bcm的小正方形，再沿虚 线折合起来，则长方体纸盒的底面周长 为 cm, ②按图6-2②方式制作一个有盖的长方体纸 盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大 小边长为bcm的小正方形和两个同样大 小的小长方形，再沿虚线折合起来.如果 a=30cm,b=5cm.则该长方体纸盒的体 积为 cm 图6-2 综合与实践 设计学校田径运动会比赛场地 【问题情境】 【深入探究】 学校体育场是学生进行各类体育运动的主 (3)如图6-4②所示，某运动场配备长、短不同的 要场所，某综合实践小组在学习了“设计学校田 两条跑道，其中长跑道长400m,短跑道长 径运动会比赛场地”这一课后，开展了“运动场 300m,且有200m的公用跑道.小华按逆时 的有关计算”实践活动.如图6-4①所示是某学 针方向以每秒12m的速度在长跑道上跑 校运动场的平面图形 步，小明按顺时针方向以每秒8m的速度在 短跑道上跑步，如果小华、小明同时从A点 出发。 ①出发后经过多少秒，小华、小明两人第一 ① 次相遇？ 图6-4 ②当两人在跑道上第二次迎面相遇时，小华 【问题解决】 共跑了多少米？ (1)如图6-4①所示，运动场跑道由两个相等的 直道(AB=CD)和两个半径相等的半圆弯 道组成，若半圆半径为R,直道AB的长度 是半圆半径的2倍多14，请用代数式表示运 动场跑道的长度（π≈3.14）： (2)标准400m跑道是指标准田径场的第二跑 图6-4 道，其长度为400m.请你求出标准400m跑 道的半圆半径（结果取整数）：