4.2 整式的加法与减法&数学活动-2025-2026学年新教材七年级上册数学同步辅导（人教版2024）

x=10,y=-4时，4x二23y=4×10 合×（一0=40+2=42放式子4红-） 的值为38或42. 5.解：(1)-5712点拨：因为式子M= (a十5)x2+7x2-2x十5是关于x的二次多 项式，且多项式的二次项系数为b,所以 a十5=0，b=7,所以a=一5，所以A,B两 点之间的距离为7-(-5)=12.故答案 为-5,7,12 (2)根据题意，得一5一1十2一3十4一… 2023+2024-2025=-5+(-1+2)+ (-3+4)+·+(-2023+2024)-2025= -5+2024×1-2025=-5+1012-2025= 2 一1018.所以运动到第2025次时，点P所 对应的有理数为一1018. 【综合探究】 1.解：(1)题图4-1-1①中小红房间窗户的装 饰物所占的面积相当于半径为名的圆的面 积的一半，即：，窗户中能射进阳光的部 分的面积为ab-. 题图4-1-1②中小兰房间窗户的装饰物所 占面积是半径为会的两个小圆的面积和， 即2×0=，窗户中能射进阳光的部 64 分的面积是ub一爱。 (2ab音#和ab一爱0都是多项式，且次 数都是2. 点拨：窗户中能射进阳光的部分的面积分 别是长方形的面积减去图中阴影部分的 面积 2.解：(1)摆成第1个“T”字图案需要5枚棋 子，第2个“T”字图案需要8枚棋子 (2)摆成第n个“T”字图案需要[5十3(n一 1)]枚棋子 (3)当n=2013时，5+3×(2013-1)= 6041(枚). 所以第2013个“T”字图案需要6041枚 棋子 点拨：先观察每一个图形，再寻找规律.因 为第1个“T”字图案中有5枚棋子：第2个 “T”字图案中有(5十3×1)枚棋子：第3个 “T”字图案中有(5十3×2)枚棋子，依此规 律可得出第n个“T”字图案中有[5十3(n一 1)]枚棋子.找规律问题一般应经历四个阶 段：特例引路、对比分析、总结规律、反思 检验。 4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 【基础过关】 1.D点拨：-2a2十a=(-2+1)a2=-a2. 2.B3.C4.D5.B6.B 7.3点拨：根据同类项定义可知2n=6,解得 n=3. 8.a+b=0 9.(1)2a2-4a+3(2)6xy2-6.x2y-2 【素养提升】 1.C 2.B点拨：由题意知：3x一1=8，x=3,3y+ 专=2y=号则(x-3)·(+)= (3-3)·(号+号)m=0,放选B 3.D 4.12点拨：根据同类项的定义：所含字母 相同，并且相同字母的指数分别相等，可得 2m=2,即m=1,m十n=3,即n=2. 5.2936点拨：由同类项的定义，得m一2= 3,7-2n=3,解得m=5,n=2.所以m2十 2m=29,n2十2m=36. 6.2010点拨：因为a2十a=1,所以-2a2- 2a+2012=-2(a2+a)+2012=-2×1+ 2012=2010. 7.6点拨：将x=1代入2ax2+bx=3,得 2a+b=3,将x=2代入a.x2十bx,得4a十 2b=2(2a+b)=2×3=6. 8.(8.x+13y+7) 9.解：(1)原式=x2+9.x十1，当x=-2时，原 式=-13. (2)原式=xy十y,当x=一3，y=2时，原 式=-4. 10.解：(1)(20-2x)(10-x)(60-6.x) 点拨：因为在三个方向留出宽都是xm的 小路，所以由题图可以看出，菜地的长α= (20一2x)m.菜地的宽b=(10一x)m,所 以菜地的长和宽的和为20一2x十10一 x=(30-3x)m,所以周长C=30-3.x+ 30-3.x=(60-6x)m. (2)当x=1时，菜地的周长C=60一6× 1=54(m). 【综合探究】 1解：10a+2×22=(99a+b(cm 2.解：同意小明的观点.理由： 原式=(7a3+3a3-10a3)+(-6a3b+ 6a3b)+(-3ab+3ab)+2023=2023. ∴.该多项式的值与a,b的取值无关 小明的观点正确 第2课时去括号 【基础过关】 1.D 2.A点拨：(b+c)-(a-d)=b+c-a十d= -(a-b)+(c+d)=-3+2=-1. 3.C 4.D点拨：因为(-4r+8)-34-5x) -x+2-12+15x=14x-10,所以选D. 5.0点拨：因为m、n互为相反数，所以m十 n=0.所以(3m-2n)-(2m-3n)=3m- 2n-2m+3n=m+n=0. 6.2027点拔：2m2-4m+2025=2(m2 2m)+2025=2×1+2025=2027. 7.解：(1)原式=2x-5y-3x+5y-1= -x-1. (2)原式=3a2-6ab+6ab-2b2= 3a2-2b. 【素养提升】 1.B点拨：①2x2-(-2x十y)=2x2+2x- y:②7a2-[3b-(a-2c)-d]=7a2-3b+ (a-2c)+d=7a-3b+a-2c+d:③2.xy2 3(-x+y)=2xy2+3.x-3y:④-(m-2n) -(-2m2+3n2=-m+2n+2m-3n2. 故②④正确.注意：去括号时，括号前面是 负号，去掉负号和括号后，括号里每项都要 变号，并且括号前面的因数要与括号里每 一项相乘， 2.D点拨：化简结果为y一2y,不含x项， 故结果只与y的取值有关. 3.D点拨：由题意可得，第二条边长为a十 3b一2，第三条边长为a十3b一7.所以三角 形的周长为(a十2b)十(a十3b一2)+(a+ 3b-7)=3a十8b-9,故选D. 4C点拨：因为y一号=多所以y- 2或-多，所以y=2或-1.因为(5y十 5xy-7x)-(4x2y+5.xy-7x)=5x2y+ 5xy-7x-4x2y-5xy+7x=x2y.又因为 x=分y=2或-1，所以xy=2或-日 5.a十c点拨：由数轴，得c<0<a<b,且 a<c<|b,所以a+b>0,c-b<0,所 以原式=a+b-[-(c-b)]=a+b+c b=a十c. 6.解：由已知得a|=3,1b十1|=1，所以4=3 或-3，b=-2或0.又a>b,所以a=3, b=-2或0.因为3a-(2a-3b)十2(a-b) 3a-2a十3b+2a-2b=3a+b,所以当a=3, b=一2时，原式=3×3十(-2)=7：当a= 3,b=0时，原式=3×3十0=9. 点拨：根据同类项的定义和绝对值的意义 求出a,b的值，再化简多项式，最后将a,b 的值代入计算. 7.解：化简原多项式得一b十b十3，此式不含 字母a,故a的值抄错与否对最后的结果无 影响。 【综合探究】 1.解：（分X10+号x×5)+[号(15-x)× 10+g15-x)×5], 化简.得（号r×10+号r×5)+[号15-x)× 10+号(15-)×5]=(9x+9)+ (460-4x+345-3x)=号x+805-7x= 20 (-3x+805)元). 所以两个班捐款总额为（一言+805）元。 点拨：这是一道紧密联系实际的应用题，先 确定各数量之间的关系：两班捐款总额= 甲班捐款额十乙班捐款额.又因为甲班有x 人，则乙班人数为(115一x)人，再按人数关 系列出代数式并进行化简. 2.(1)< (2)当a一b>0时，则a>b;当a-b<0时， 则a<b:当a-b=0时，则a=b. (3)解：M-N=(x2-6x+25)-(-6x+10) =x-6.x+25+6x-10 =x2+15 x2≥0， .x2+15>0,即M-N>0. ∴.M>N. 第3课时整式加减的运算法则 【基础过关】 1.A点拨：3x2+4x-1-(3x2+9x)= 3.x2+4x-1-3x2-9x=-5x-1. 2.D点拨：5-x+3y=5-(x-3y)=5 (-3)=5+3=8. 3.B点拨：x+y十(x一y)=x十y十x一 y=2.x. 4.D点拨：根据题意可列式为(3a2一2a-5)一 (2-3a2)=3a2-2a-5-2+3a2=6a2 2a一7.注意去括号时，观察括号前是正数 还是负数 5.32-2x+1 6.4x2一9点拨：由题意知(4x2十3x-7)十 （-3x-2)=4x2十3.x-7-3.x-2= 4x2-9. 7.(1)5x2+5x-9(2)4a2-4a-3 8.解：(1)3(x2-2x-1)-4(3x-2)+2(x 1)=3x2-6.x-3-12x+8+2x-2=3x2 16x+3,当x=一3时，原式=3×(-3)2 16×(-3)+3=27+48+3=78. (2)2x-y+(2y2-x2)-(x2+2y2)=2x y+2y2-x2-x2-2y2=-2x2+2x-y,当 x=1,y=-2时，原式=-2×12+2×1一 (-2)=-2+2+2=2. 【素养提升】 1.C点拨：由题意知，数M的个位数字是a, 十位数字为a十3，数N的十位数字是a,个 位数字为a+3,则M+V=10(a十3)+a+ 10a+a+3=22a+33=11(2a+3),因此 M+N的值总能被I1整除，故选C. 2.C点拨：知道和与其中一个加数，求另一 个加数用减法，注意要用括号将其括起来， 列式应为(a2-ab)一(5a2+3ab-b)= a2-ab-5a2-3ab+=-4a-4ab+b2, 故选C. 3.100b+a 4.4 5.2点拨：P=3xy-8x+1,Q=x-2xy- 2,又因为3P-2Q=3(3.xy-8x+1)一 2(x-2xy-2)=7恒成立，所以9xy- 24x+3-2x+4xy+4=7,13xy-26x=0, 13x(y-2)=0.因为x≠0，所以y一2=0， 所以y=2. 6.n2+n 7.解：(1)a+a-30=(2a-30)(人). (2)a+10-(a-30-10)=50(人). 【综合探究】 1.解：(1)-(a一b)2 (2)x2-2y=5, .原式=3(x2-2y)-23 =3×5-23 =15-23 =-8. (3),a-2b=3①，2b-c=-4②，c-d= 10③， ∴.①十②，得a-c=-1: ②+③，得2b-d=6. .(a-c)+(2b-d)-(2b-c) =-1+6-(-4)=9. 2.解：甲种方式所用绳长为4a+4b+8c,乙种 方式所用绳长为4a+6b+6c,丙种方式所 用绳长为6a+6b十4c,因为a>b>c,所以 乙种方式比甲种方式多用绳(4a+6b十6c) -(4a+4b+8c)=2b-2c,丙种方式比乙种 方式多用绳(6a+6b+4c)-(4a+6b+6c) =2a一2c.因此，甲种方式用绳最少，丙种 方式用绳最多， 点拨：用整式的加减来揭示一般性规律，体 现了数学知识在实际生活中的应用. 数学活动 活动1 解：(1)3+4+5+10+11+12+17+18+ 19=99,99÷11=9,则方框中9个数之和为 方框正中心数的9倍。 (2)9个数之和是方框正中心数的9倍. 设正中心的数为x,则(x一8)十(x一7)十 (x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)十 (x十7)十(x十8)=9x,所以9个数之和是方 框正中心数的9倍。 活动2 解：(1)①235②1683 (2)①2325=2×1000+3×100+2×10+5×1 =2×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+5 =2×999+2+3×99+3+2×9+2+5 =(2×999+3×99+2×9)+(2+3+2+5) =3(2×333+3×33+2×3)+3×4, 因为2×333+3×33+2×3为整数，4为整 数，所以2325可以被3整除， 2十3十2+5=12=3×4,3×4能被3整除， 所以2325及其各个数位上的数字之和都可 以被3整除. 2abcd=1000a+1006+10c+d =a(999+1)+b(99+1)+c(9+1)+d =999a+a+99b+b+9c+c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d) =3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d), 因为a,b,c,d为整数， 所以333a+33b十3c是整数， 所以3×(333a十33b+3c)能被3整除，所以 若a十b+c+d能被3整除，则abcd可以被3 整除 复习课 【综合复习】 一、1.D点拨：A中4的a倍用代数式表示 为4a: B中a的4倍用代数式表示为4a: C中4个a相加用代数式表示为a+a十 a十a=4a: D中4个a相乘用代数式表示为a·a· a·a=a'. 故选D 2.D点拨：3x2一x十2的一次项系数为一1， 故A错；xy2的系数为1，故B错；ac是 六次单项式，故C错；x5+3x2y一xy-2m 是六次多项式，且有四项，故选D. 3.C 4.A点拨：由题意，得m一n=2n,即m=3m. 故选A. 5.B点拨：合并同类项后的结果为一3x3一 2,故它的值只与x有关.故选B. 6.A点拨：S阴w=2x·3y-0.5y·x=6xy 111 2ty=7ty. 7.C =1-3r.g208 a+2b,x2-y2 2.3 4 3441 3.3x2十3x一8点拨：由题意，得(8x2+2x 5)-(5x2-x+3)=8x2+2x-5-5x2+ x-3=3x2+3x-8. 4.30点拨：因为a-3b=5,所以2(a-3b)2+ 3b-a-15=2(a-3b)2-(a-3b)-15= 2×52-5-15=30.4.2整式的加法与减法 第1课时合并同类项 基佛过关 1.计算-2a2+a2的结果为 6.下列计算正确的是 ( A.-3a B.-a C.-3a2D.-a A.4a-2a=2 B.2ab+3ba=5ab 2.下列各组中的两项是同类项的一组是( C.a+a=a D.5xy-3xy=2xy A.3mn2与-nn B号w与2 7.若代数式一4xy与xy是同类项，则常数n 的值为 C.53与a3 D.22x与32a 8.若关于x的多项式ax+bx(abx≠0)合并同 3.下列计算正确的是 类项后结果为0，则a,b满足的关系式是 A.4a-2a=2 B.3a2+a=4a C.-a2-a2=-2a2 D.2a2-a=a 9.【教村P96例1变式】合并同类项： 4.下列说法中正确的是 (1)-7a+3a+3a-a2+3; A号：与号y是同类项 :与7：是同类项 C.0.5x2y2与7x2y2是同类项 (2)4xy2-3.x2y+2xy2-3.x2y-2. D.5mn与一4nm2是同类项 5.【教材P96倒1变式】下列整式与ab为同类 项的是 A.a2b B.-2ab C.ab D.ab2c 素养提升 1如果单项式一xy与2x2是同类项：那 3.如果关于a,b的代数式7a-6ab+5a3+ mab的值与b无关，那么 () 么a,b的值分别为 ( A.a=0 B.b=0C.m=0 D.m=6 A.a=2,b=3 B.a=1,b=2 C.a=1,b=3 D.a=2,b=2 4.已知3xym+与2x2my3是同类项，那么m的 值为 ,n的值为 2.若一46与号B+是同类项，则代数 5.若一4xm一2y3与3.x2y2-2是同类项，则m2十 1 式(x-3)·(告+y)的值是 2"= ,n2十2= 6.若a2+a=1,则-2a2-2a+2012= A.1B.0C.-1 D.不能确定 7.已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当10.如图4-2-1所示，有块长为20m,宽为10m x=2时，ax+bx的值为 的长方形土地，现在在三个方向留出宽都是 8.【教材P97倒3变式】买一个篮球需要x元， xm的小路，余下的长方形部分作菜地（图中 买一个排球需要y元，买一个足球需要x元， 的线段长短关系成立). 甲买5个篮球、7个排球、，3个足球：乙买3个 (1)用含x的式子表示菜地的长a= m, 篮球、6个排球、4个足球，甲、乙两人共需要 菜地的宽b= m,菜地的周长 花费 元 C= m; 9.【教材P97例2变式】求多项式的值： (2)当x=1时，求菜地的周长C. (1)-x2+5+4x+5x+2x2-4,其中x= 菜地 -2: 小路 20m 图4-2-1 (2)4.xy-3x-3xy-2y+3x+3y,其中x -3,y=2. 综合探究 1.【数形结合思想】如图4-2-2（图中单位：cm), 2.【阅理解问题】有这样一道题：当a=2024, 已知圆环内直径为acm,外直径为bcm,将 b=-2025时，求多项式7a3-6a3b+3a2b+ 100个这样的圆环一个接着一个环套环地连 3a3+6a3b-3a2b-10a3+2023的值 成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度是 小明说：“本题中‘a=2024,b=一2025’是多 多少厘米？ 余的条件.”小强马上反对说：“这不可能，多 项式中含有a和b,不给出a,b的值怎么能求 出多项式的值呢？” 你同意哪名同学的观点？请说明理由 图4-2-2 第2课时去括号 基础过关 1.下列运算正确的是 6.若m2一2m=1,则2m2一4m十2025的值是 A.-2(a-b)=-2a-b B.-2(a-b)=-2a+b 7.将下列各式去括号，并合并同类项： C.-2(a-b)=-2a-2b (1)(2x-5y)-(3.x-5y+1): D.-2(a-b)=-2a+2b 2.已知a-b=3,c十d=2,则(b+c)-(a一d)的 值是 ( A.-1 B.1 C.-5 D.15 3.【数村P99倒4支式】化简(a2+2a+1)一 (a2-2a+1)的结果是 A.2 B.4 C.4a D.2a2+2 (2)3(a2-2ab)-2(-3ab+b2). 4.化简(-4红+8)-3(4-5x)的结果为( A.-16x-10 B.-16x-4 C.56x-40 D.14.x-10 5.若m,n互为相反数，则(3m一2n)一(2n一 3n)= 素养提升 1.下面各式中去括号结果正确的有 3.已知三角形的第一条边长是a十2b,第二条边 ①2x2-(-2x+y)=2x2+2x+y: 长比第一条边长多b一2，第三条边长比第二 ②7a2-[3b-(a-2c)-d0=7a2-3b+a-2c+d; 条边长少5，这个三角形的周长为() ③2xy2-3(-x十y)=2.xy2+3x-y: A.3a+8b+9 B.3a+86 ④-(m-2n)-(-2m2+3n2)=-n+2n+ C.3a-8b+9 D.3a+8b-9 2m2-3n2. 4已知x=司y-2的绝对值为，则(5ry叶 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.多项式(4xy-3.x-xy十y2十x2)-(3xy+ 5xy-7x)-(4x2y+5.xy-7x)的值为() 2y-2x2)的值 () A-或-司 B或- A.与x,y的取值无关B.与x,y的取值有关 C.只与x的取值有关D.只与y的取值有关 C-}或号 D.或号 5.已知a,b,c三个有理数在数轴上的位置如图： 7.有一道题目：“当α=2，b=一2时，求多项式 4-2-3所示，化简a+b一|一b的结果是 3a3b- 2a2b+b-(4aB-ab-）+ c O a b (c:+46)一26+3的值.”甲同学做题时 图4-2-3 把a=2错抄成a=一2，乙同学没做错，但他 6若一3y与号r“y是同类项，且a>6 们得到的结果恰好都是正确答案，你知道这 是怎么问事吗？ 求多项式3a-(2a-3b)+2(a-b)的值， 综合探究 1.【实际应用问题】某校七年级两个班的115名 【知识总结】 学生积极参与捐款活动.已知甲班的学生每 (1)当被减数大于减数时，差大于0，即大减小 差为正；当被减数等于减数时，差等于0； 人捐了10元，乙班号的学生每人捐了10元· 当被减数小于减数时，差 0,即小 两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学 减大差为负 生x人，试用含x的式子表示两班捐款的总 【知识反思】 额，并进行化简 (2)如何用上述结论比较两个有理数a与b 的大小： 【知识应用】 (3)运用上面反思得到的方法解答： 设M=x2-6.x+25,N=-6x+10,比较 M与N的大小. 2.【阅读理解问题】在学习过程中，我们要善于 归纳总结和反思.根据所学知识，反思和解决 问题。 【知识呈现】 5-4=1>0:8-3=5>0:4-4=0:3-5 -2<0:10-15=-5<0. 第3课时整式加减的运算法则 基础过关 1.【散材P100例6变式】若一个多项式与3x2+ (2)9a2-[7a2-2a-2(a”-3a)]-3. 9x的和为3.x十4x一1，则这个多项式是 A.-5x-1 B.5x+1 C.-13.x-1 D.13x+1 2.已知x-3y=一3，则5-x十3y的值是( A.0 B.2 C.5 D.8 8.【教材P101例8变式】先化简，再求值： 3.一个整式减去x一y的结果是x十y,则这个 (1)3(x2-2x-1)-4(3x-2)+2(x-1),其 整式为 中x=-3: A.-2x B.2x C.-2y D.2y 4.比3a-2a-5少2-3a2的多项式是( A.-2a-7 B.-6a2+2a+7 C.6a2-2a+7 D.6a-2a-7 5.如果号2-x+1与B的差是那么B= (2)2.x-y+(2y-x2)-(x+2y),其中x= 1,y=-2. 6.一个多项式减去一3x一2等于4x2+3x一7， 则这个多项式是 7.化简： (1)3.x2-[7x-3(4.x-3)-2x]: 素养提升 1.一个正两位数M,它的个位数字是a,十位数3.已知a是一个两位数，b是一个一位数(b≠ 字比个位数字大3，把M十位上的数字与个 0),如果把b放置于a的左边组成一个三位 位上的数字交换位置得到一个新的两位数 数，则这个三位数用含a,b的整式表示为 N,则M+N的值总能 ( A.被3整除 B.被9整除 4.若多项式2x3-8xy十x+1与多项式-2x3+ C.被11整除 D.被22整除 2mx2y一6x十7的和的值与字母y的取值无 2.若5a2+3ab-b2与代数式M的和是a2-ab, 关，则m的值为 则M是 5.已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,当 A.4a2+4ab-b B.4a2+2ab- x≠0时，3P一2Q=7恒成立，则y的值为 C.-4a2-4ab+b2 D.-4a2+2ab- 6.如图4-2-4所示，①中多边形（边数为12）是由7.【教村P100例7变式】某工厂第一车间有 正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方 a人，第二车间比第一车间的人数少30人. 形“扩展”而来的，…，以此类推，则由正n边形 (1)两个车间共有多少人？ “扩展”而来的多边形的边数为 (2)如果从第二车间调出10人到第一车间， 那么调动后，第一车间的人数比第二车间 女中学中 多多少人？ 图4-2-4 综合探究 1.【阅读理解问题】阅读材料： 2.【实际应用问题】有一长方体形状的物体，它 我们知道，4x一2x十x=(4一2十1)x=3x.类似 的长、宽、高分别为a、b、c(a>b>c),有三种 地，我们把a十b看成一个整体，则4(a+b) 不同的捆扎方式（如图4-2-5所示的虚线）， 2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)= 哪种方式用绳最少？哪种方式用绳最多？说 3(a+b).“整体思想”是中学数学解题中的一 明理由。 种重要的思想方法，它在多项式的化简与求 值中应用极为广泛。 尝试应用： (1)若把(a-b)2看成一-个整体，则合并3(a 丙 b)-6(a-b)+2(a-b)2的结果是 图4-2-5 (2)若x2-2y=5,求3.x2-6y-23的值 (3)若a-2b=3,2b-c=-4,c-d=10,若 (a-c)+(2b-d)-(2b-c)的值. 数学活动 活动1月历中的奥秘 活动2自然数被3整除的规律 如图4-1所示的是某月的月历. (1)【归纳与发现】 (1)带阴影的方框中的9个数之和与方框正中 ①填空：12=3×4,1十2=3×1：69=3× 心的数有什么关系？ ,6+9=3× (2)不改变方框的大小，如果将带阴影的方框移 ②填空：312=3×104,3+1+2=3×2： 至其他几个位置试一试，你能得出什么结 504=3× ,5+0+4=3× 论？你知道为什么吗？ (2)【验证与说理】 6 ①试说明2325及其各个数位上的数字之和 都可以被3整除（是3的整数倍）： 18 20 ②设abcd是一个四位数(a,b,c,d分别为其 21 22 23 24 25 26 27 千位、百位、十位、个位上的数字)，若a十 28 29 30 31 b十c十d可以被3整除，试说明abcd可以 被3整除。 图4-1