24.4弧长和扇形面积关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

本初中数学讲义聚焦弧长和扇形面积关系核心知识点，先以圆的周长与面积公式为基础，梳理弧长公式（强调n的意义、单位换算及等弧概念）和扇形面积的两个公式（与弧长关联及阴影面积计算方法），搭建从基础公式到实际应用的学习支架。 资料特色在于精选生活情境题（如扇形围圆锥、中国扇面积计算），培养用数学眼光观察现实世界的能力，通过阴影面积转化（割补法）和证明推理（如AB=AC证明）发展数学思维，答案解析规范详细，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

24.4弧长和扇形面积关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025•东营一模）如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 2．（2025•岳麓区校级开学）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 3．（2025•秦都区三模）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C是劣弧上的点，连接AB、BC，若OB＝3，∠ABC＝20°，则劣弧的长为（　　） A．π B．2π C． D． 4．（2025•合肥校级四模）如图，用一个半径为3cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了60°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了（　　）cm（结果保留π）． A．8π B．4π C．2π D．π 5．（2025春•黄浦区校级月考）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（　　） A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2 6．（2025春•淮滨县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．到以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣12 D．16﹣4π 7．（2025春•沿河县校级月考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．OA、OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝20cm，OB＝10cm，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．100πcm2 D． 8．（2025春•固始县校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，将点C绕点A逆时针旋转45°，点C的对应点D恰好落在AB上，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．若AC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2π C．2π﹣1 D． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•清城区二模）如图，在2×2的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 　 　 ． 10．（2025•二道区校级四模）如图，两个半径都为4的圆按如图方式放置，⊙O'过⊙O的圆心，则阴影部分的面积为 　 　 ． 11．（2025•淮南模拟）如图，正方形ABCD中，，点O为BC的中点，以点O为圆心，AB长为半径画弧，分别交AB，CD于E，F两点，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 12．（2025•庐江县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，∠1+∠2＝65°，若⊙O的半径为3，则的长为 　 　 ． 13．（2025•蚌埠一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，连接AB、AC，以A为圆心，AB为半径画弧交AC于点D，则的长为 　 　 ． 14．（2025•盐城一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2． 15．（2025•崂山区校级三模）如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E．连接AE，则阴影部分的面积为　 　 ． 16．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，AB＝BC＝10厘米，且S1、S2两部分的面积相等，那么圆A的面积是　 　 平方厘米． 三．解答题（共5小题） 17．（2025春•徐汇区校级期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为1.57cm，“直边”AB的长为6cm．求单枚邮票的面积（π取3.14）． 18．（2024秋•梁溪区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD＝2，∠CAD＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求阴影部分的面积． 19．（2024秋•枣阳市期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 20．（2024秋•延长县期末）问题提出 （1）如图1，⊙O的面积为16πcm2，弦，C是上的一个动点，求△ABC面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，⊙O的半径为3cm，圆内中有一个四边形区域ABDC，连接BC，AD，△ABC为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 21．（2024秋•邻水县期末）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm． （1）求图2中圆锥的母线AE的长． （2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 24.4弧长和扇形面积关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D D B B C B 一．选择题（共8小题） 1．（2025•东营一模）如图，用圆心角为120°，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．4 B．2 C．4π D．2π 【解答】解：扇形的弧长4π， ∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2． 故选：B． 2．（2025•岳麓区校级开学）已知扇形的半径为6，面积为6π，则扇形圆心角的度数为（　　） A．30° B．60° C．120° D．180° 【解答】解：设扇形圆心角的度数为n°， 则， 解得n＝60， 所以圆心角的度数为60°． 故选：B． 3．（2025•秦都区三模）如图，OA，OB是⊙O的半径，点C是劣弧上的点，连接AB、BC，若OB＝3，∠ABC＝20°，则劣弧的长为（　　） A．π B．2π C． D． 【解答】解：连接OC， 劣弧的长． 故选：D． 4．（2025•合肥校级四模）如图，用一个半径为3cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了60°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了（　　）cm（结果保留π）． A．8π B．4π C．2π D．π 【解答】解：重物上升的高度为π（cm）． 故选：D． 5．（2025春•黄浦区校级月考）如图，将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加（　　） A．2rh B．4rh C．2πr2 D．4πr2 【解答】解：将一个半径为r，高为h的圆柱沿着一条直径竖直切成相同的两部分，表面积比原来增加2r×h×2＝4rh． 故选：B． 6．（2025春•淮滨县校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．到以点C为圆心，4为半径作圆弧，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣12 D．16﹣4π 【解答】解：如图，连接BD． ∵S弓形OB＝S弓形OD， ∴S阴影＝S弓形BD＝S扇形BCD﹣S△BCDπ×424×4＝4π﹣8． 故选：B． 7．（2025春•沿河县校级月考）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．OA、OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝20cm，OB＝10cm，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C．100πcm2 D． 【解答】解：π（202﹣102）＝100π（ cm2）． 故答案为：C． 8．（2025春•固始县校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，将点C绕点A逆时针旋转45°，点C的对应点D恰好落在AB上，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE．若AC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．2π C．2π﹣1 D． 【解答】解：连接OC，BC，OE， 由旋转的性质得到：AD＝AC，∠CAD＝45°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO＝45°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴AOAC4＝2， ∵∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∴扇形OBC的面积2π， ∵AD＝AC， ∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠OBE＝∠ACD＝67.5°， ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝67.5°， ∴∠BOE＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠OBC＝∠BOE， ∴BC∥OE， ∴△OBC的面积＝△EBC的面积， ∴△OCD的面积＝△DBE的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形OBC的面积＝2π， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•清城区二模）如图，在2×2的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为 　　 ． 【解答】解：这个锥的底面圆的周长为：2π×2＝π； ∴这个锥的底面圆的半径为：π÷2π． 故答案为：． 10．（2025•二道区校级四模）如图，两个半径都为4的圆按如图方式放置，⊙O'过⊙O的圆心，则阴影部分的面积为 　8　 ． 【解答】解：设两个圆的交点为A，B，连接AB，OO′，OA，OB，O′A，O′B，AB与OO′相交于D， 由题意得：OA＝OB＝O′A＝O′B＝OO′， ∴△AOO′与△BOO′是全等的等边三角形， ∴∠AOB＝∠AO′B＝120°， ∵O′B＝2，∠BO′O＝60°， ∴O′D4＝2，BD4＝2， ∴S扇形AO′B，S△AO′B2×22＝4， ∴S阴影＝2S弓形AOB＝2（S扇形AO′B﹣S△AO′B）＝2（4）8． 故答案为：8． 11．（2025•淮南模拟）如图，正方形ABCD中，，点O为BC的中点，以点O为圆心，AB长为半径画弧，分别交AB，CD于E，F两点，则图中阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：连接OE，OF，过点O作OG⊥AD于点G， 由条件可知，，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，， ∴四边形ABOG是矩形， ∴AB＝OG， ∴⊙O与AD切于点G， ∵， ∴∠BEO＝∠CFO＝30°， ∴∠BOE＝∠EOF＝∠FOC＝60°， ∴ ， 故答案为：． 12．（2025•庐江县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC，∠1+∠2＝65°，若⊙O的半径为3，则的长为 　　 ． 【解答】解：如图，连接OD， ∵OA＝OD，OC＝OD， ∴∠ODA＝∠1，∠ODC＝∠2， ∵∠1+∠2＝65°， ∴∠ODA+∠ODC＝∠1+∠2＝65°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝130°， ∴的长为π． 故答案为：π． 13．（2025•蚌埠一模）如图，在由边长是1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上，连接AB、AC，以A为圆心，AB为半径画弧交AC于点D，则的长为 　　 ． 【解答】解：如图，连接BC， ∵， ∴AC2＝AB2+BC2 ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°， 由弧长公式可知， 故答案为：． 14．（2025•盐城一模）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　4　 cm2． 【解答】解：由题意知，∠ACB＝90°，设⊙O的半径为r，则， ∴，即， 解得r2＝4， ∴， 故答案为：4． 15．（2025•崂山区校级三模）如图，点C是直径AB为4的半圆的中点，连接BC，分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，作直线OD交BC于点E．连接AE，则阴影部分的面积为　π+1　 ． 【解答】解：连接OC，作EF⊥AB于F， ∵点C是直径AB为4的半圆的中点， ∴∠COB＝90°，∠ABC＝45°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∵分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，且OB＝OC， ∴OD垂直平分BC， ∴CE＝BE， ∵∠COB＝90°，EF⊥AB， ∴EF∥OC， ∴1， ∴EF是△BOC的中位线， ∴EFOC＝1， ∴S△ABEAB•EF4×1＝2， ∵S△OBCOB•OC2×2＝2， ∴S△OBE＝S△OCES△OBC＝1， ∴S阴影＝S半圆AB﹣S△OBE﹣S弓形BC＝S半圆AB﹣S扇形OBC+S△OCEπ×221＝π+1． 故答案为：π+1． 16．（2025春•浦东新区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，AB＝BC＝10厘米，且S1、S2两部分的面积相等，那么圆A的面积是　400　 平方厘米． 【解答】解：∵S1、S2两部的面积相等， ∴扇形ADE的面积等于三角形ABC的面积； ∴扇形ADE的面积等于＝50（平方厘米）， ∵∠BAC＝45°， ∴扇形ADE的圆心角∠DAE＝45°， ∴圆A的面积为（平方厘米）． 故答案为：400． 三．解答题（共5小题） 17．（2025春•徐汇区校级期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为1.57cm，“直边”AB的长为6cm．求单枚邮票的面积（π取3.14）． 【解答】解：由题意可知每一枚邮票的圆心角为15°， ∴设弧”的半径为r，则， 解得r＝6cm， ∴单枚邮票的面积为：14.13（cm2）， 答：单枚邮票的面积为14.13cm2． 18．（2024秋•梁溪区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD＝2，∠CAD＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求阴影部分的面积． 【解答】解：（1）连接OC，OD，如图， ∵∠CAD＝45°， ∴根据圆周角定理得，∠COD＝2∠CAD＝90°， ∴根据勾股定理得，OC2+OD2＝CD2， ∵OC＝OD，， ∴2OC2＝8， ∴OC＝OD＝2，即⊙O的半径为2； （2）由（1）得∠COD＝90°，OC＝OD＝2， ∴OC⊥OD， ∴S阴＝S扇形﹣S△COD ＝π﹣2， 答：阴影部分的面积为π﹣2． 19．（2024秋•枣阳市期末）如图，已知AB是半圆O的直径，点P是半圆上一点，连结BP，并延长BP到点C，使PC＝BP，连结AC． （1）求证：AB＝AC． （2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接AP， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC． ∵PC＝PB， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝AC； （2）解：连接OP， ∵∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝60°， ∴∠POB＝120°． ∵点O是AB的中点， ∴S△POBS△PABAP•PB2×2， ∴S阴影＝S扇形BOP﹣S△POB π． 20．（2024秋•延长县期末）问题提出 （1）如图1，⊙O的面积为16πcm2，弦，C是上的一个动点，求△ABC面积的最大值； 问题解决 （2）如图2，⊙O的半径为3cm，圆内中有一个四边形区域ABDC，连接BC，AD，△ABC为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值． 【解答】解：（1）如图1，连接OA，设P为优弧ACB的中点，连接PO，并延长交AB于点E，则PE⊥AB，此时点P到AB的距离最大，故点C与点P重合时，△ABC面积最大， ∴， 由条件可知⊙O的半径为4cm， ∵，∠AEO＝90°， ∴， ∴PE＝4+2＝6cm， ∴， ∴△ABC面积的最大值为； （2）如图2，连接OC，BO，设AD，BC相交于点M， 由题意得，当D为的中点时，四边形区域ABDC的面积最大，则阴影部分面积最小， 由条件可知∠ABC＝∠CAB＝∠ACB＝60°，， 由条件可知∠ACD＝90°， ∴， 由条件可知CD＝BD， ∴CD＝BD＝OC＝OB， ∴四边形OCDB是菱形， ，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积最小值为， 故当D为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为． 21．（2024秋•邻水县期末）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°，圆锥底面圆的直径DE为5cm． （1）求图2中圆锥的母线AE的长． （2）求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【解答】解：（1）根据题意得， ∴AD＝2DE＝10（cm）， ∴AE＝AD＝10cm； （2）由条件可得BC＝2AD＝20cm， ∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF ＝（100﹣25π）cm2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$