24.3正多边形和圆关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

本讲义聚焦“正多边形和圆的关系”核心知识点，系统梳理正多边形内接于圆的定义及中心、半径、中心角、边心距等概念，为后续角度计算、几何性质应用等提供清晰的学习支架。 资料亮点在于精选试题结合纪念币、蜂巢等现实情境，培养学生用数学眼光观察世界，解答题注重推理（如正五边形角度证明）发展数学思维，题型多样且解析详细，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

24.3正多边形和圆关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•青龙县期末）如图，正六角形螺帽的边长a为1cm，则扳手的开口b的长为（　　） A． B．2cm C． D．1cm 2．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（　　） A．150° B．145° C．140° D．135° 3．（2025•江宁区校级模拟）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（　　） A．16° B．17° C．18° D．19° 4．（2025春•华容县期末）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，连接OC，OD，则∠BAE+∠COD＝（　　） A．150° B．180° C．176° D．36° 5．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 6．（2025•虹口区三模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A． B． C． D． 7．（2025春•平利县月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 8．（2025•吴忠模拟）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，在点M从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断： ①矩形MNPQ的面积与周长保持不变； ②矩形MNPQ的面积逐渐减少； ③矩形MNPQ的周长逐渐增大； ④矩形MNPQ的对角线长存在最小值． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 二．填空题（共8小题） 9．（2025•福州模拟）一个正多边形的中心角为45°，半径为4，则该正多边形的面积等于　 　 ． 10．（2025•淮南二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是　 　 ． 11．（2025•蓝田县一模）如图，正五边形ABCDE中，M、N分别为AB、AE的中点，连接DM、CN，O为DM、CN的交点，则∠MON的大小为　 　 °． 12．（2025•临平区校级三模）如图，点F在正五边形的边ED上运动．若∠ABF＝x°，写出一个符合条件的x的值：　 　 ． 13．（2025•宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 　 　 °． 14．（2025•宜秀区二模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　 　 °． 15．（2025•碑林区校级模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，连接AD，则∠BAD的度数为　 　 ． 16．（2025春•历下区期末）如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若连接AD，则∠BAD的度数为 　 　 °． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•延长县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 18．（2025春•从江县校级月考）如图，正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形，求正方形ABCD的边长和边心距． 19．（2023秋•富县月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 20．（2023秋•宿豫区校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O． （1）求证：AN＝EM； （2）求∠EON． 21．（2023秋•襄都区月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，M是上的一个动点，连接BM，CM，分别交AD于点E，F． （1）求∠BMC的度数． （2）若，求EF的长． 24.3正多边形和圆关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B B C C D 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•青龙县期末）如图，正六角形螺帽的边长a为1cm，则扳手的开口b的长为（　　） A． B．2cm C． D．1cm 【解答】解：如图，过点A作AC⊥BC于点C， ∵正六边形的每一个内角为120°， ∴∠CAB＝30°， ∴BCABcm，ACBCcm， ∴b＝2AC（cm）， 故选：A． 2．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（　　） A．150° B．145° C．140° D．135° 【解答】解：正十二边形一个内角的度数为150°， 故选：A． 3．（2025•江宁区校级模拟）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（　　） A．16° B．17° C．18° D．19° 【解答】解：如图，连接AC，AD， ∴∠CAD＝2∠CGD，， ∵五边形ABCDE为正五边形， ， 在等腰△ABC中，AB＝BC， ， 同理：∠EAD＝36°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°， ∴， 故选：C． 4．（2025春•华容县期末）如图，正五边形ABCDE内接于圆O，连接OC，OD，则∠BAE+∠COD＝（　　） A．150° B．180° C．176° D．36° 【解答】解：连接OB，OA，OE， ∵正五边形ABCDE内接于圆O， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ∴△OAE≌△OED≌△ODC≌△≌△OAB（SSS）， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025•自贡）如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（　　） A．140° B．150° C．160° D．170° 【解答】解：如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为90°， ∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°， ∵α＝∠1，β＝∠2， ∴α+β＝150°， 故选：B． 6．（2025•虹口区三模）如果正十边形的边长为a，那么它的半径是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AB是圆内接正十边形的边长， 连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C， 则∠AOB36°， ∴18°，ACAB， ∴OA， 故选：C． 7．（2025春•平利县月考）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OA，AC，则∠OAC的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．40° 【解答】解：连接OC，OB， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+60°＝120°， ∵OA＝OC， ∴（等边对等角）， 故选：C． 8．（2025•吴忠模拟）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，在点M从E移动到D的过程中，下列对矩形MNPQ的判断： ①矩形MNPQ的面积与周长保持不变； ②矩形MNPQ的面积逐渐减少； ③矩形MNPQ的周长逐渐增大； ④矩形MNPQ的对角线长存在最小值． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【解答】解：∵正六边形ABCDEF是轴对称图形， ∴以EF的对称轴为y轴，AD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为2，连接OE，过点E作EH⊥x轴于点H， ∴OE＝2，∠EOH＝60°， ∴OH＝1，， ∴，D（2，0）， 设ED解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴ED解析式为， ∵M在ED上，设M（x，y）（1≤x≤2）， 矩形MNPQ中，点M和点N关于y轴对称， ∴N（﹣x，y）， ∵点M和点Q关于x轴对称， ∴Q（x，﹣y）， ∴MN＝2x，MQ＝2y， ∴矩形MNPQ周长C＝ 2（MN+MQ） ＝2（2x+2y） ， ∵， ∴C的值随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大， 故周长C会逐渐减小，故①③错误； ∵矩形MNPQ的面积S＝MN•MQ＝2x•2y ∵， ∴抛物线开口向下，当x＞1时，S随x的增大而减小， 故矩形的面积S逐渐减小，故②正确； ∵矩形MNPQ的对角线： PM2＝MN2+MQ2 ＝（2x）2+（2y）2 ， ∴当时，PM2有最小值，此时，对角线PM最小，故④正确． 综上所述：②④正确． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•福州模拟）一个正多边形的中心角为45°，半径为4，则该正多边形的面积等于　32　 ． 【解答】解：∵该正多边形的中心角为45°， ∴正多边形的边数为：360°÷45°＝8， 作BC⊥OA于点C． ∴BC＝OCOB＝2， ∴S△OAB4， ∴正多边形的面积＝8S△OAB＝8×432． 故答案为：32． 10．（2025•淮南二模）如图，在正n边形中，∠1＝18°，则n的值是　20　 ． 【解答】解：在正n边形中，∠1＝18°，如图，点O为外接圆的圆心，连接OA，OB，OC， ∴∠AOC＝2∠1＝36°，∠AOB＝∠BOC， ∴∠AOB＝18°， ∴； 故答案为：20． 11．（2025•蓝田县一模）如图，正五边形ABCDE中，M、N分别为AB、AE的中点，连接DM、CN，O为DM、CN的交点，则∠MON的大小为　72　 °． 【解答】解：由题意可得：（5﹣2）×180°＝540°， ∴正五边形的每个内角为， ∴∠BCD＝∠EDC＝108°， 由题意可得：CN、DM是正五边形的对称轴， ∴∠BCN＝∠DCN，∠CDM＝∠EDM， ∴，， ∴∠COD＝180°﹣∠DCN﹣∠CDM＝72°， ∴∠MON＝∠COD＝72°， 故答案为：72． 12．（2025•临平区校级三模）如图，点F在正五边形的边ED上运动．若∠ABF＝x°，写出一个符合条件的x的值：　60　 ． 【解答】解：连接BE、BD， ∵五边形ABCDE是正五四边形， ∴AE＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠C（5﹣2）×180°＝108°， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBD＝∠CDB（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝108°﹣36°＝72°， ∵点F在边ED上运动， ∴∠ABE≤∠ABF≤∠ABD， ∴36°≤∠ABF≤72°， ∵∠ABF＝x°， ∴36≤x≤72， ∴x的一个值可以是60， 故答案为：60． 注：答案不唯一． 13．（2025•宿迁）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为 　72　 °． 【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝108°﹣36°＝72°． 故答案为：72． 14．（2025•宜秀区二模）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线CG，BE交于点P，则∠GPE＝ 　67.5　 °． 【解答】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形， ∴CG是它的一条对称轴，BE∥CD，∠BCD135°， ∴∠DCG∠BCD＝67.5°， ∴∠GPE＝∠DCG＝67.5°， 故答案为：67.5． 15．（2025•碑林区校级模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，连接AD，则∠BAD的度数为　72°　 ． 【解答】解：连接OB、OC、OD， ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠BOC＝∠COD∠BOD， ∵∠BAD∠BOD， ∴∠BAD＝∠BOC360°＝72°， 故答案为：72°． 16．（2025春•历下区期末）如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若连接AD，则∠BAD的度数为 　60　 °． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠B＝∠C＝∠CDE＝∠E＝∠F＝∠BAF120°， ∵AD为正六边形ABCDEF的对称轴， ∴∠BAD60°， 故答案为：60． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•延长县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 【解答】解：连接OA、OB， 由题意可得：， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AP， ∴∠OAP＝90°， ∴∠PAB＝∠OAP﹣∠OAB＝90°﹣60°＝30°． 18．（2025春•从江县校级月考）如图，正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形，求正方形ABCD的边长和边心距． 【解答】解：作OE⊥BC于点E， ∵正方形ABCD是半径为6的⊙O的内接四边形， ∴OB＝OC＝6，∠BOC360°＝90°， ∴BC6，BE＝CE， ∴OEBC＝3， ∴正方形ABCD的边长和边心距分别为6和3． 19．（2023秋•富县月考）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PA与⊙O相切于点A，求∠PAB的度数． 【解答】解：连接OA、OB，则OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOB360°＝72°， ∴∠OAB+∠OBA＝2∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣72°＝108°， ∴∠OAB＝54°， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAP＝90°， ∴∠PAB＝∠OAP﹣∠OAB＝90°﹣54°＝36°， ∴∠PAB的度数是36°． 20．（2023秋•宿豫区校级月考）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O． （1）求证：AN＝EM； （2）求∠EON． 【解答】（1）证明：∵M、N分别是AB和BC的中点， ∴AMAB，BNBC， ∵AB＝BC， ∴AM＝BN， 在△AEM与△BAN中， ， ∴△AEM≌△BAN（SAS）， ∴AN＝EM； （2）解：∵△AEM≌△BAN， ∴∠AEM＝∠BAN， ∵∠EON＝∠OAE+∠AEO＝∠BAN+∠EAO＝∠BAE＝108°． 21．（2023秋•襄都区月考）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为，M是上的一个动点，连接BM，CM，分别交AD于点E，F． （1）求∠BMC的度数． （2）若，求EF的长． 【解答】解：（1）如图1，连接BO，CO． ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BOC＝90°， ∴， （2）如图2，连接BO，MO，MO交AD于点Q，延长MO交BC于点P． ∵，正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABM＝∠DCM，MO⊥AD， ∴MP⊥BC，BP＝CP． ∵， ∴QO＝BP＝PO＝BO•sin∠OBP＝2， ∴，． ∵EF∥BC， ∴△MEF∽△MBC， ∴，即， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$