24.3 正多边形和圆【5大题型】-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

24.3 正多边形和圆 【考点归纳】 考点一：正多边形的中心角 考点二：求正多边形的边数 考点三：正多边形和圆 考点四：正多边形的尺规作图 考点五：正多边形和圆的综合问题 【知识梳理】 知识点一：正多边形及有关概念 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 考点二：正多边形的有关计算 一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小相等 . 【题型探究】 题型一：正多边形的中心角 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·一模）如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：求正多边形的边数 4．（2023九年级上·江苏）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 题型三：正多边形和圆 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 题型四：正多边形的尺规作图 10．（2020九年级下·山东青岛）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 11．（2021·陕西·模拟预测）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 12．（21-22九年级上·湖北武汉）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          题型五：正多边形和圆的综合问题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 14．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【高分达标】 一、单选题 16．（24-25九年级上·江苏盐城）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 17．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 19．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 22．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·河北保定·一模）如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（    ）    A． B． C． D． 25．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 27．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正五边形内接于，则的度数为 ． 28．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 29．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．    30．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 三、解答题 31．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 32．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 33．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 34．（22-23九年级上·全国）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 35．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 36．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.3 正多边形和圆 【考点归纳】 考点一：正多边形的中心角 考点二：求正多边形的边数 考点三：正多边形和圆 考点四：正多边形的尺规作图 考点五：正多边形和圆的综合问题 【知识梳理】 知识点一：正多边形及有关概念 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心，外接圆的半径叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 考点二：正多边形的有关计算 一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小相等 . 【题型探究】 题型一：正多边形的中心角 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 2．（2024·贵州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连结，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形内接于圆的知识．根据周角等于，正五边形内接于，因此，是该圆的五等分角，即可求得该角度数． 【详解】解：∵该五边形是正五边形 ∴． 故答案为：A． 3．（2024·安徽·一模）如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解， 本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关定理． 【详解】解：连接OB， ∵和是正五边形的中心角， ∴， ∵， ∴， 故选：． 题型二：求正多边形的边数 4．（2023九年级上·江苏）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 6．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 题型三：正多边形和圆 7．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 8．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则，   点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 题型四：正多边形的尺规作图 10．（2020九年级下·山东青岛）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】如图，四边形ABCD即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 11．（2021·陕西·模拟预测）如图，已知，点在圆上，请以为一顶点作圆内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于B、D，则四边形ABCD为正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 12．（21-22九年级上·湖北武汉）如图1，等边内接于⊙O，连接CO并延长交⊙O于点D． （1）可以证明CD垂直平分AB，写出与的数量关系：___． （2）请你仅使用无刻度的直尺按要求作图： ①在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． ②请在图2中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴，保留作图痕迹(作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．          【答案】（1）；（2）①见解析，②见解析 【分析】（1）结合外心的定义和等边三角形的性质推断出CD垂直平分AB，从而利用垂径定理得出结论即可； （2）①结合（1）的结论，可直接连接AO，BO，分别延长与圆相交，再顺次连接各交点即可； ②如图，延长AF，EC，交于一点，此时可构成等边三角形，从而连接交点与圆心的直线即为所求的对称轴． 【详解】（1）， ∵O为三角形的外心， ∴O为三角形三边中垂线的交点， 又∵三角形为等边三角形， ∴可得CD垂直平分AB， 根据垂径定理可得：； （2）①如图所示，在（1）的基础之上，连接AO，并延长至E，连接BO，并延长至F，顺次连接圆周上各点即可； ②如图所示：（方法不唯一） 【点睛】本题主要考查复杂作图，以及正多边形与圆之间的关系，熟练掌握正多边形的性质是解题关键． 题型五：正多边形和圆的综合问题 13．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 14．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 【高分达标】 一、单选题 16．（24-25九年级上·江苏盐城）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（　　） A．3 B．12 C．4π D．12π 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，含度角的直角三角形的性质；如图，过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为 ，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图，过作于， 圆的内接正十二边形的圆心角为 ， ， ， ， 这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：B． 17．（2024·贵州贵阳·二模）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正六边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A 19．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 20．（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键． 先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是内接四边形， ， ， 故选：D． 21．（2024·山西大同·三模）如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，根据正多边形的性质求得中心角为，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接， 依题意， ∵， ∴ 故选：A． 22．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形与圆，等腰三角形的性质，先求解，，再进一步结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正三角形， ∴， ∵， ∴， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选D 23．（2024·贵州黔南·一模）如图，正六边形内接于，为上的一点（点不与点，重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理，连接 ，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解，熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出 是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 24．（2024·河北保定·一模）如图，画出了的内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握正多边形的性质和圆周角定理．连接，，，根据正多边形的性质可得，，进而得到，最后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 则，°， ， 则． 故选:B．    25．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 【答案】九/9 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 27．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，正五边形内接于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，正多边形的性质，等腰三角形的性质，先利用正多边形的性质求出，，再利用等腰三角形的性质，角度和差求解即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴, 故答案为：． 28．（2024·上海·模拟预测）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，含有角的直角三角形，求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可，掌握含有角的直角三角形的边角关系以及正多边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提． 【详解】解：根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1， ∴小正六边形的面积为： ， 故答案为：． 29．（2024·宁夏银川·二模）如图，正五边形内接于，P为劣弧上的动点，则的大小为 ．    【答案】/144度 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，作出圆中常用辅助线是解题的关键．连接，正多边形的性质得的度数，由圆周角定理得的度数，再圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵正五边形的外接圆为， ∴四边形是内接四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 30．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系． 连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得． 【详解】连接、， ∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 三、解答题 31．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． (1)求的直径的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 32．（2023·陕西西安·一模）如图，正六边形内接于． (1)若P是上的动点，连接，，求的度数； (2)已知的面积为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． （）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ， ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 面积为： 33．（2024·辽宁·模拟预测）在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 34．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和，图形的变化规律，圆周角定理，等边三角形性质，三角形外角性质，利用解答中反映长的规律解答是解题的关键． （1）利用等弧所对的圆周角相等和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和解答即可； （2）利用（1）中解答过程反映出的规律解答即可． 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 35．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，正六边形内接于．    (1)若是上的动点，连接，求的度数； (2)已知的面积为． 求的度数； 求的半径． 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值； （）证明是等边三角形即可求出；利用三角函数求出，，再根据的面积为即可求出． 【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，    ∵六边形是正六边形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系． 36．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． (1)求的度数． (2)是正三角形吗？请说明理由． (3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【答案】(1) (2)是正三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论； （2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论； （3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正五边形． ∴， ∴， ∵， ∴(优弧所对圆心角)， ∴； （2）解：是正三角形，理由如下： 连接， 由作图知：, ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， 同理， ∴，即， ∴是正三角形； （3）∵是正三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$