24.2点和圆、直线和圆的位置关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

本讲义系统梳理点与圆（d与r关系）、直线与圆（位置关系及切线性质）、三角形外接圆与外心、内切圆与内心，以及圆与圆的五种位置关系等核心知识点，构建从基础位置关系到性质应用的完整学习支架。 资料通过逻辑化知识梳理与生活化情境题（如堆雪人抽象图形）结合，培养学生抽象能力与推理意识，精选题涵盖选择、填空、解答题，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固提升，查漏补缺。

24.2点和圆、直线和圆的位置关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含． 如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交． （2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系： ①两圆外离⇔d＞R+r； ②两圆外切⇔d＝R+r； ③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）； ④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）； ⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 相交两圆的性质 （1）相交两圆的性质： 相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦． 注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系． （2）两圆的公切线性质： 两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等． 两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•韶关期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 2．（2024秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　） A． B．3 C． D． 3．（2025•西安三模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC＝30°，则∠D＝（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 4．（2025•应县二模）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为点C，且点C为的中点，则∠ACM的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．54° 5．（2025•二道区校级四模）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B、D，连接OD、BD、AB，AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 6．（2025•开福区校级三模）如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（　　） A．45° B．65° C．60° D．70° 7．（2025•太湖县二模）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，⊙O是它的内切圆，用剪刀沿⊙O的切线DE剪一个△ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 8．（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•广州校级二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为　 　 ． 10．（2025•合肥校级四模）如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，CD⊥CP且与AP交于点D，连接BD．若AB＝2，则BD的最小值为 　 　 ． 11．（2025•浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　 　 ． 12．（2025•钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　 　 ． 13．（2025•大同模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点D，点E为上的一点，连接AE，CE，OC．若∠AEC＝115°，则∠D的度数为　 　 °． 14．（2025•重庆校级三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D为圆上的一点，且∠DAB＝30°，连接CD交AB于点E，过点D作DF⊥CD交AB延长线于点F，连接CF．若，BC＝4，则CD＝ 　 　 ；CF＝ 　 　 ． 15．（2025春•浦东新区校级月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交AB的延长线于点E，联结CE．再以点A为圆心，AD为半径作⊙A．若⊙A与⊙B相交且至少有一个交点在△BEC内部或在△BEC边上，设AD＝k，那么k的取值范围是 　 　 ． 16．（2025•江北区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线与CB的延长线交于点D，E在⊙O上且OA⊥BE，连接AE，CE，已知CE＝6，AC：AD＝3：2，则AB＝ 　 　 ；若点F在EB的延长线上，AF与⊙O交于点G且GF＝2AG，则AF＝ 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•宝山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 18．（2025•庐阳区一模）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E． （1）证明：点D是的中点． （2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数． 19．（2025•蒙城县二模）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝4，BD＝8，求⊙O的半径． 20．（2025•无锡一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 21．（2025•安徽模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，点E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F，∠ABC＝2∠CAF． （1）求证：BA＝BC； （2）若，CE：CB＝1：5，求AB的长． 22．（2025•天津校级模拟）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． （1）如图①，求证：AC平分∠DAB； （2）如图②，过B作BF∥AD交⊙O于点F，连接CF，若，DC＝4，求CF的长． 24.2点和圆、直线和圆的位置关系知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D A A C B C 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•韶关期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点M．若OM＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 2．（2024秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离是（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，， ∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r， ∴四边形OECF是正方形， ∴CE＝CD＝OD＝r， ∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r， ∵AF+BF＝AB＝5， ∴3﹣r+4﹣r＝5， ∴r＝1． ∴OD＝CD＝1， ∴AD＝3． ∴AO， 故选：C． 3．（2025•西安三模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC＝30°，则∠D＝（　　） A．100° B．110° C．115° D．120° 【解答】解：⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵点D是⊙O上的一点， ∴ABCD是圆内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°， 故选：D． 4．（2025•应县二模）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为点C，且点C为的中点，则∠ACM的度数为（　　） A．18° B．30° C．36° D．54° 【解答】解：∵点C为的中点， ， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴， ∵直线MN与⊙O相切， ∴∠OCM＝90°， ∴∠ACM＝∠OCM﹣∠OCA＝18°， 故选：A． 5．（2025•二道区校级四模）堆雪人是下雪天才能享受的一项有趣的活动，既可以放松心情，又可以锻炼身体．如图1是某同学在课余时间堆的雪人，其头部可抽象成如图2所示的图形，点A表示鼻子，帽子与雪人头部的交点分别为点B、D，连接OD、BD、AB，AB过圆心O，CD与⊙O相切，BC⊥BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵CD与⊙O相切于点D， ∵CD⊥OD， ∵BC⊥BD， ∴∠ODC＝∠CBD＝90°， ∴∠ODB+∠BDC＝90°，∠BCD+∠BDC＝90°， ∴∠ODB＝∠BCD＝25°， ∵OD＝OB， ∴∠ABD＝∠ODB＝25°， 故选：A． 6．（2025•开福区校级三模）如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B，A，∠A＝15°，则∠C的度数是（　　） A．45° B．65° C．60° D．70° 【解答】解：连接OD，如图， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝15°， ∴∠COD＝∠A+∠ODA＝30°， ∵CD是切线， ∴OD⊥CD， ∴∠CDO＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠COD＝60°． 故选：C． 7．（2025•太湖县二模）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5，⊙O是它的内切圆，用剪刀沿⊙O的切线DE剪一个△ADE，则△ADE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：如图，设△ABC的内切圆切三边于点F、H、G，连接OF、OH、OG， AF＝AG，BF＝BH，CH＝CG， 由题意可得：MD＝DF，EM＝EG， ∵BC＝3，AC＝4，AB＝5， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴∠ACB＝90°， 则四边形OHCG是正方形， ∴内切圆的半径， ∴CG＝1， ∴AG＝AC﹣CG＝4﹣1＝3， ∴AF＝AG＝3， ∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DF+EG+AE＝AF+AG＝3+3＝6． 故选：B． 8．（2025•淮南模拟）在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，且∠BED＝90°，F是DE中点，连接CF，则CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°， ∴点E为正方形外接圆⊙O上一点， 延长DC至H，使DC＝CH＝4， 由题意可得：CF为△DEH的中位线， ∴， 当点O，E，H三点共线时，EH最小， 过点O作OM⊥CD于M， ∵ABCD为正方形，边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴CF的最小值． 故选：C． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•广州校级二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为　2.5　 ． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵32+42＝52， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是2.5． 故答案为：2.5． 10．（2025•合肥校级四模）如图，C为半圆弧的中点，P为弧上任意一点，CD⊥CP且与AP交于点D，连接BD．若AB＝2，则BD的最小值为 　1　 ． 【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ． ∵⊙O的直径为AB，C为的中点， ∴∠APC＝45°， 又∵CD⊥CP， ∴∠DCP＝90°， ∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的， 又∵AB＝2，C为的中点， ∴△ACB是等腰直角三角形， ∴AC， ∴△ACQ中，AQ＝1， ∴BQ， ∵BD≥BQ﹣DQ， ∴BD的最小值为1． 故答案为：1． 11．（2025•浙江模拟）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为 　30°　 ． 【解答】解：∵PA为切线， ∴OA⊥PA， ∴∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB， ∴∠PBA＝∠PAB＝75°， ∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°． 故答案为30°． 12．（2025•钱塘区一模）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为12，则线段PA的长为　6　 ． 【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线， ∴EC＝EA， 同理FC＝FB，PA＝PB， ∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝12， ∴PA＝6； 故答案为：6． 13．（2025•大同模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点D，点E为上的一点，连接AE，CE，OC．若∠AEC＝115°，则∠D的度数为　40　 °． 【解答】解：AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠AEC＝115°，如图，连接CB， ， ∴四边形AECB为圆内接四边形， ∴∠ABC＝65°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝130°， ∴∠COD＝50°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°， 故答案为：40． 14．（2025•重庆校级三模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D为圆上的一点，且∠DAB＝30°，连接CD交AB于点E，过点D作DF⊥CD交AB延长线于点F，连接CF．若，BC＝4，则CD＝ 　　 ；CF＝ 　2　 ． 【解答】解：作BG⊥CD于点G，连接BD，作EH⊥BD于点H， ∵BG⊥CD，EH⊥BD， ∴∠BGC＝∠BGD＝90°，∠EHB＝∠EHD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝30°， ∴在Rt△ABD中，， ∴， ∵∠GCB＝∠DAB＝30°，∠BGC＝90°， ∴BG＝BCsin∠GCB＝4sin30°＝2，， ∴， ∴CD＝CG+DG， ∵∠ABD＝90°﹣∠DAB＝60°，即∠EBH＝60°， ∴， ∴， 设BH＝a，则，， ∵∠EHD＝∠BGD＝90°，∠EDH＝∠BDG， ∴△DEH∽△DBG， ∴，即， 解得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵DF⊥CD， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDF＝∠EGB＝90°， 又∵∠DEF＝∠GEB， ∴△DEF∽△GEB， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，，， 故答案为：． 15．（2025春•浦东新区校级月考）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，以点B为圆心，AB为半径作⊙B，交AB的延长线于点E，联结CE．再以点A为圆心，AD为半径作⊙A．若⊙A与⊙B相交且至少有一个交点在△BEC内部或在△BEC边上，设AD＝k，那么k的取值范围是 　　 ． 【解答】解：交点在CE时，此时⊙A与⊙B相切，AD＝AE＝2， 如图2， 当交点在BC上时，AD＝AC， 综上所述：， 故答案为：， 16．（2025•江北区校级模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线与CB的延长线交于点D，E在⊙O上且OA⊥BE，连接AE，CE，已知CE＝6，AC：AD＝3：2，则AB＝ 　4　 ；若点F在EB的延长线上，AF与⊙O交于点G且GF＝2AG，则AF＝ 　　 ． 【解答】解：∵AD是⊙O的切线， ∴OA⊥AD， ∵OA⊥BE， ∴BE∥AD， ∴∠ABE＝∠DAB， 根据圆周角定理得：∠ABE＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠DAB， ∵四边形ABCE是⊙O内接四边形， ∴∠AEC＝∠ABD， ∴△AEC∽△DAB， ∴， ∵CE＝6，， ∴， ∴AB＝4； 连接BG，如图所示： 设AG＝a， ∵GF＝2AG， ∴GF＝2a， ∴AF＝AG+GF＝3a， ∵BE∥AD， ∴∠F＝∠DAG， ∵AD是⊙O的切线， ∴由弦切角定理得：∠DAG＝∠ABG， ∴∠ABG＝∠F， 又∵∠BAG＝∠FAB， ∴△ABG∽△AFB， ∴， ∴， ∴， ∴a，a（不合题意，舍去）， ∴AF＝3a． 故答案为：4；． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•宝山区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF，FC＝10，求OE的长． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BHBF， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴ODAB＝3， ∴OE， ∴OE的长为． 18．（2025•庐阳区一模）如图，P为圆O外一点，PA、PB分别切圆O于A、B．连接PO，交圆O于点D，延长PO，交圆O于点C．连接AC，BC．连接AO并延长，交BC于点E． （1）证明：点D是的中点． （2）若点E是BC的中点，求∠APC的度数． 【解答】（1）证明：∵PA、PB分别切圆O于A、B， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC， 在△APC和△BPC中， ， ∴△APC≌△BPC（SAS）， ∴∠ACP＝∠BCP， ∴，即点D是的中点； （2）解：∵点E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE垂直平分BC，连接AB，则AB＝AC， 由（1）得△APC≌△BPC， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴， ∵PA是圆O的切线， ∴PA⊥AE， ∴PA∥BC， ∴∠APC＝∠BCP＝30°． 19．（2025•蒙城县二模）如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）若BE＝4，BD＝8，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴OD⊥BC， 又∵AC⊥BC， ∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3； ∵OA＝OD， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵BC与圆相切于点D． ∴BD2＝BE•BA， ∵BE＝4，BD＝8， ∴BA＝16， ∴AE＝AB﹣BE＝12， ∴⊙O的半径为6． 20．（2025•无锡一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，DF是⊙O的切线交AC于点F． （1）试判断DF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若AC与⊙O相切于点M，⊙O的半径为3，，求AB的长． 【解答】解：（1）DF⊥AC，理由如下： 连接OD， ∵DF是⊙O的切线， ∴OD⊥DF， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴DF⊥AC； （2）连接OM， ∵AC与⊙O相切于点M， ∴∠OMF＝∠MFD＝∠ODF＝90°， ∴四边形ODFM是矩形， ∵OM＝OD， ∴四边形ODFM是正方形， ∴OM＝FM＝DF＝3， ∵CD， ∴CF1， ∴CM＝4， ∵OA2＝OM2+AM2， ∴（AB﹣3）2＝32+（AB﹣4）2， ∴AB＝8． 21．（2025•安徽模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，点E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F，∠ABC＝2∠CAF． （1）求证：BA＝BC； （2）若，CE：CB＝1：5，求AB的长． 【解答】（1）证明：连接BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AF是⊙O的切线， ∴∠BAF＝90°， ∴∠DBA＝∠CAF＝90°﹣∠BAD， ∵∠ABC＝2∠CAF， ∴∠ABC＝2∠DBA＝∠DBA+∠DBC， ∴∠DBA＝∠DBC， ∴90°﹣∠DBA＝90°﹣∠DBC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴BA＝BC． （2）解：连接AE， ∵CE：CB＝1：5， 设CE＝x，CB＝5x，则BA＝CB＝5x，BE＝BC﹣EC＝4x， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∴， ∵， ∴， 解得：x＝2，x＝﹣2（舍去）， ∴AB＝BC＝5x＝10． 22．（2025•天津校级模拟）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E． （1）如图①，求证：AC平分∠DAB； （2）如图②，过B作BF∥AD交⊙O于点F，连接CF，若，DC＝4，求CF的长． 【解答】（1）证明：连接OC， ， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAB； （2）解：连接CE，CB，OC， ∵，DC＝4， ∴， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠DEC+∠AEC＝180°， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠DAC＝∠CAO， ∴∠ACD＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACD， ∵∠ADC＝∠CDE， ∴△ACD∽△CED（两组对角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应边成比例）， 即， ∴， ∵∠DAC＝∠BAC， ∴， ∴， ∴， 延长FB交DC于G， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∵BF∥AD， ∴BF∥AD∥OC， ∴， ∴CG＝CD＝4， ∵∠BAC＝∠CFG，∠ACB＝∠FGC＝90°， ∴△BAC∽△CFG， ∴，即， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$