22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•平利县月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+11．若“水火箭”的升空高度为4.75m，则此时的飞行时间为（　　） A．0.5s B．2.5s C．12.5s D．0.5s或12.5s 2．（2025春•榕江县校级月考）如图，是一个长20m、宽16m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m，则修改后花园的最大面积为（　　） A．320m2 B．322m2 C．323m2 D．324m2 3．（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 4．（2025春•永靖县校级月考）二次函数y＝bx2+2b2x﹣6（b为常数，且b≠0）的图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则该二次函数（　　） A．有最大值﹣7 B．有最小值﹣7 C．有最小值﹣5 D．有最大值﹣5 5．（2025•开封一模）加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024秋•扬中市期末）某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出．若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出，以每次提高20元的这种方法变化下去，为了收入多而投资较少，每张床位每晚可提高（　　） A．40元 B．50元 C．60元 D．40元或60元 7．（2025•沈丘县校级三模）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 8．（2025•温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 二．填空题（共8小题） 9．（2025•无锡校级二模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 　 ． 10．（2025春•福州校级期末）某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 　 　 米． 11．（2025春•雨花区校级期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36，烟花可以达到的最大高度是 　 　 米． 12．（2025春•吉林期末）如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是　 　 ． 13．（2024秋•苍溪县期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　 　 米． 14．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　 　 ． 15．（2025春•广阳区月考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为20m/s．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高15m，则这两次间隔的时间为 　 　 s． 16．（2025春•广州期中）如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为10m的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，设AD边长为xm，菜园面积为ym2，则y与x之间的函数关系为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•武威开学）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式及自变量取值范围； （2）当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 18．（2025•宿松县模拟）如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量y（单位：mg）和时间x（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h，图象是抛物线的一部分，9h后图象为直线的一部分． （1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4mg． ①求a，b的值； ②求药物在服用期间浓度不低于2mg持续的时间； （2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12h，且不得超过16h，求a的取值范围． 19．（2024秋•韶关期末）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 20．（2025•西安三模）城市高楼林立，高层建筑一旦发生火灾，由于其独特的结构特点和功能复杂性，人员疏散和火灾扑救存在较大难度．为了有效应对高楼火灾，某市消防队在一座废弃的高楼进行消防演练．如图，他们分别在这座高楼距离地面15m的点A处和12m的点B处设置了火源，利用水枪进行灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分．第一次灭火时，消防员在该楼正前方水平地面的点O处（OC＝6m），水流从点O射出恰好到达点B外，且当与点O的水平距离为4m时，水流达到最高，为16m．如图以点O为原点，水平地面为x轴，讨原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； （2）B处火熄灭后，消防员前进1m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火．若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否能到达点A处，并说明理由． 21．（2025•广陵区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m． （1）水面的宽度OA＝　 　 m； （2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 22．（2025•西安校级一模）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝4.5米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，OA＝4米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，OB＝6米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 22.3实际问题与二次函数知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D C C C D 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•平利县月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h＝﹣t2+12t+11．若“水火箭”的升空高度为4.75m，则此时的飞行时间为（　　） A．0.5s B．2.5s C．12.5s D．0.5s或12.5s 【解答】解：将h＝4.75m代入h＝﹣t2+12t+11，得﹣t2+12t+11＝4.75， 即t2﹣12t﹣6.25＝0， （t+0.5）（t﹣12.5）＝0， 解得t＝﹣0.5（不符合题意，舍去），或t＝12.5． 故选：C． 2．（2025春•榕江县校级月考）如图，是一个长20m、宽16m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m，则修改后花园的最大面积为（　　） A．320m2 B．322m2 C．323m2 D．324m2 【解答】解：∵长20m、宽16m的矩形花园，现要将它的长缩短x m，宽增加x m， ∴修改后的花园面积＝（20﹣x）（16+x） ＝﹣x2+4x+320 ＝﹣（x﹣2）2+324， ∵﹣1＜0， ∴当x＝2时，修改后的花园面积达到最大，为324m2． 故选：D． 3．（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 【解答】解：设每本降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本， 根据题意得，y＝（20﹣x）（300+10x）， 故选：A． 4．（2025春•永靖县校级月考）二次函数y＝bx2+2b2x﹣6（b为常数，且b≠0）的图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则该二次函数（　　） A．有最大值﹣7 B．有最小值﹣7 C．有最小值﹣5 D．有最大值﹣5 【解答】解：∵二次函数图象经过（﹣2，n）和（4，n）两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴b＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x﹣6＝﹣（x﹣1）2﹣5， ∴最大值为﹣5． 故选：D． 5．（2025•开封一模）加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：设抛物线的对称轴为x＝m，点C关于对称轴的对称点为D，记D点的横坐标为xD， 观察图象可知C点横坐标为8， ∴由中点坐标公式得：m， 解得xD＝2m﹣8，观察图象可知二次函数C关于对称轴的对称点D是介于A、B两点之间的， 所以0＜xD＜4， 即0＜2m﹣8＜4， 解得4＜m＜6， 所以实心球行进到最高点时水平距离x可能为5， 故选：C． 6．（2024秋•扬中市期末）某旅社有100张床位，若每张床位每晚收费100元，床位可全部租出．若每张床位每晚收费提高20元，则减少10张床位租出；若每张床位每晚收费再提高20元，则再减少10张床位租出，以每次提高20元的这种方法变化下去，为了收入多而投资较少，每张床位每晚可提高（　　） A．40元 B．50元 C．60元 D．40元或60元 【解答】解：由题意，设每张床提高x个20元，获得利润为y元， ∴y＝（100+20x）（100﹣10x） ＝﹣200x2+1000x+10000 ＝﹣200（x）2+11250． ∵x取整数， ∴当x＝2或3时，y最大， 又∵当x＝3时，每张床提高60元，床位的个数最小， ∴投资少，为了投资少而获利大，每个床收费应提高60元． 故选：C． 7．（2025•沈丘县校级三模）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为15cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C．若小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【解答】解：A、由图象可知，弹簧压缩2cm后小球开始减速，故此选项错误，不符合题意； B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为6cm时，小球的速度最小，速度为0，故此选项错误，不符合题意； C、小球刚接触弹簧时的速度v＝3cm/s，即a＝3， 设抛物线解析式为v＝m（x﹣2）2+b， 把（0，3），（6，0）代入解析式得：， 解得， ∴在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为4cm/s，故此选项正确，符合题意； D、在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，即弹簧被压缩的长度为15﹣9＝6cm，由图象2可知，此时v＝0cm/s，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 8．（2025•温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下： x … 1 2 3 4 … y … 0 1 0 ﹣3 … 关于此函数下列说法不正确的是（　　） A．函数图象开口向下 B．当x＝2时，该函数有最大值 C．当x＝0时，y＝﹣3 D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2 【解答】解：由表中数据可知，y随x先增大后减小， ∴函数图象开口向下， 故A正确，不符合题意， ∵x＝1，y＝0；x＝3，y＝0， ∴对称轴为直线x2， ∵开口向下， ∴当x＝2时，该函数有最大值， 故B正确，不符合题意， ∵对称轴为x＝2，x＝4时，y＝﹣3， ∴x＝0时，y＝﹣3， 故C正确，不符合题意， 在函数图象上有两点A（x1，﹣4），， 当A，B都在对称轴左侧时，x1＜x2， 当A，B都在对称轴右侧时，x1＞x2， 当A在左侧，B在右侧时，x1＜x2， 当A在右侧，B在左侧时，x1＞x2， 故D不正确，符合题意， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•无锡校级二模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　2或1　 ． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值． ①当x＝n时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2， ∴n＝2（不合题意，舍去）或n＝2． ②当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2， ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）． 综上，n＝2或1． 故答案为：2或1． 10．（2025春•福州校级期末）某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 　100　 米． 【解答】解：由题意得， s＝10t﹣0.25t2 ＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400） ＝﹣0.25（t﹣20）2+100， 即当t＝20秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为100米． 故答案为：100． 11．（2025春•雨花区校级期末）“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36，烟花可以达到的最大高度是 　14　 米． 【解答】解：由抛物线y＝﹣0.5x2+10x﹣36得y＝﹣0.5x2+10x﹣36＝﹣0.5（x﹣10）2+14， 即y＝﹣0.5（x﹣10）2+14． ∵a＝﹣0.5＜0， ∴当x＝10时，烟花可以达到的最大高度是14米， 故答案为：14． 12．（2025春•吉林期末）如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是　m　 ． 【解答】解：依题意得，该函数的顶点坐标是（0，4）．故设该函数解析式为：y＝ax2+4（a≠0）． 把点（5，0）代入，得 a×52+4＝0， 解得 a， 所以该函数解析式为：yx2+4． 把x＝1代入得到：y12+4． 即桥洞离水面的高是 m． 故答案为：m． 13．（2024秋•苍溪县期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为8米，AB＝24米，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，若点E到直线AB的距离为10米，则DE的长为 　36　 米． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C， 设AB与y轴交于点H， ∵AB＝24， ∴AH＝BH＝12， 由题可知： OH＝10，CH＝8， ∴OC＝10+8＝18， ∴B（12，10），C（0，18）， ∴设该抛物线的解析式为：y＝ax2+18， 把B（12，10）代入解析式得：10＝144a+18， 解得a， ∴抛物线：yx2+18， 当y＝0时，0x2+18， 解得x＝±18， ∴E（18，0），D（﹣18，0）， ∴DE＝OD+OE＝36． 故答案为：36． 14．（2025•浦东新区校级模拟）某公司去年的销售额为100万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为y%，时间（年）为x，假设增长率函数模型为y＝2x2+bx+c．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为　34%　 ． 【解答】解：根据题意得：二次函数y＝2x2+bx+c经过（1，10），（2，20）， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为y＝2x2+4x+4， 当x＝3时，y＝2×9+4×3+4＝18+12+4＝34， ∴第三年的增长率为34%， 故答案为：34%． 15．（2025春•广阳区月考）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h＝﹣5t2+v0t，其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球，发射时的速度为20m/s．小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．已知实验楼高15m，则这两次间隔的时间为 　2　 s． 【解答】解：由题意得：v0＝20， ∴h＝﹣5t2+20t， 当h＝15时，﹣5t2+20t＝15， 解得：t1＝1，t2＝3， ∴3﹣1＝2（s）， ∴这两次间隔的时间为2s， 故答案为：2． 16．（2025春•广州期中）如图，张爷爷计划在一边靠墙处，用一段长度为10m的篱笆围成一个长方形菜园ABCD，设AD边长为xm，菜园面积为ym2，则y与x之间的函数关系为 　y＝﹣2x2+10x（0＜x＜5）　 ． 【解答】解：菜园ABCD是矩形菜园，设AD边长为x米， ∴AB＝10﹣2x， 菜园的面积y＝AB×AD＝x（10﹣2x）＝﹣2x2+10x， ∵， ∴0＜x＜5． 故答案为：y＝﹣2x2+10x（0＜x＜5）． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•武威开学）如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃（墙足够长），设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米． （1）写出y关于x的函数解析式及自变量取值范围； （2）当x为多少时，矩形花圃的面积最大？ 【解答】解：（1）由题意可知，平行于墙的一边BC的长为（20﹣2x）米， ∴y＝AB•BC＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x， ∵20﹣2x＞0， ∴0＜x＜10， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）； （2）∵y＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50（0＜x＜10）， ∴当x＝5时，y取得最大值，此时y＝50， 即当x＝5时，苗圃的面积最大，最大值是50平方米． 18．（2025•宿松县模拟）如图，这是某种药物服用后在体内浓度含量y（单位：mg）和时间x（单位：h）之间的函数图象，其中在服用后前9h，图象是抛物线的一部分，9h后图象为直线的一部分． （1）若某个成年人在服药后浓度最高可达到4mg． ①求a，b的值； ②求药物在服用期间浓度不低于2mg持续的时间； （2）若整个服药期间，要求药物在体内残留时间不低于12h，且不得超过16h，求a的取值范围． 【解答】解：（1）①由题意可知，抛物线最高点的纵坐标为4， ∴，解得． ．∴ 当x＝9时，． 把（9，3）代入， 解得b＝6． ∴，b＝6． ②将y＝2代入，解得，（舍去）； 将y＝2代入，解得x＝12， 故持续时间为：（h）． （2）由题意可知，当x＝12时，y≥0， 代入中，即， ∴b≥4； 当x＝16时，y≤0． 代入中，即， ∴； ∴， 当x＝9时，81a+12＝b﹣3，此时b＝81a+15， ∴． ∴． 19．（2024秋•韶关期末）某游乐园要建造一个直径为26m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心5m处达到最高，高度为8m． （1）以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系，求在y轴右侧抛物线的函数表达式； （2）要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，求这个装饰物的设计高度． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（5，8）， ∴可设抛物线y＝a（x﹣5）2+8． 又把（13，0）代入y＝a（x﹣5）2+8， ∴0＝a（13﹣5）2+8． ∴a． ∴在y轴右侧抛物线的函数表达式为：y（x﹣5）2+8． （2）由题意，由（1）y（x﹣5）2+8， ∴可令x＝0，则y（0﹣5）2+8（m）． 答：这个装饰物的设计高度为m． 20．（2025•西安三模）城市高楼林立，高层建筑一旦发生火灾，由于其独特的结构特点和功能复杂性，人员疏散和火灾扑救存在较大难度．为了有效应对高楼火灾，某市消防队在一座废弃的高楼进行消防演练．如图，他们分别在这座高楼距离地面15m的点A处和12m的点B处设置了火源，利用水枪进行灭火，水枪喷出的水流可看作抛物线的一部分．第一次灭火时，消防员在该楼正前方水平地面的点O处（OC＝6m），水流从点O射出恰好到达点B外，且当与点O的水平距离为4m时，水流达到最高，为16m．如图以点O为原点，水平地面为x轴，讨原点且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； （2）B处火熄灭后，消防员前进1m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火．若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否能到达点A处，并说明理由． 【解答】解：（1）∵当与点O的水平距离为4m时，水流达到最高，为16m． 设消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+16，将（0，0）代入得： 16a+16＝0， 解得a＝﹣1， ∴函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+16； （2）水流能到达点A处；理由如下： ∵消防员前进1m到点D（水流从D点射出）处进行第二次灭火， ∴水流所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4﹣1）2+16＝﹣（x﹣5）2+16， 当x＝6时，y＝﹣（6﹣5）2+16＝15， ∴水流能到达点A处． 21．（2025•广陵区一模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.01（x﹣30）2+9．据调查，龙舟最高处距离水面2m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m． （1）水面的宽度OA＝　60　 m； （2）要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣0.01（x﹣30）2+9＝0， 解得x1＝0，x2＝60， ∴OA＝60m， 故答案为：60； （2）当y＝5时，﹣0.01（x﹣30）2+9＝5， 解得x＝10或x＝50， ∴可设计赛道的宽度为50﹣10＝40（m）， ∵4， ∴最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 22．（2025•西安校级一模）春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝4.5米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）． （1）小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处，OA＝4米，求出此时抛物线的表达式． （2）小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处，OB＝6米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离． 【解答】解：（1）∵OA＝4米，灯带的最低点距离钢丝4.5米， ∴P（2，﹣4.5）， 设此时抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2﹣4.5， 将（0，0）代入得0＝a（0﹣2）2﹣4.5， 解得：， ∴此时抛物线的表达式为； （2）∵OB＝6米，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同）， ∴P（2，﹣4.5），B（6，0）， 设此时抛物线的表达式为y＝a′（x﹣2）2﹣4.5， 将（6，0）代入得0＝a′（6﹣2）2﹣4.5， 解得：， ∴此时抛物线的表达式为． 令x＝0，则， ∴O与C的距离是米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$