专题22.7 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题22.7 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）二次函数与一元二次方程； （2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式； 2. 难点 （1）根据图象或根的情况求未知系数的值； （2）求一元二次方程的近似根； （3）求一元二次不等式的解集。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 的实数根根的判别式 0。 与轴有 个交点有2个相等的实数根根的判别式 0。 与轴没有交点 实数根根的判别 0。 二次函数图象与x轴的交点 即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 0，方程有两个 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 0，方程没有实数根。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【即学即练2】 2．若二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　 　 ． 【即学即练3】 3．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3 【即学即练4】 4．如图，直线y＝1与抛物线y＝x2﹣2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣2＝0 D．x2﹣2x+2＝0 知识点02 二次函数与一元二次不等式 1. 二次函数与一元二次不等式： a大于0 抛物线的图象 不等式的解集 全体实数 不等式的解集 无解 无解 a小于0 抛物线的图象 不等式的解集 无解 无解 不等式的解集 全体实数 【即学即练1】 5．求不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集． 【即学即练2】 6．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集 　 　 ． 题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况 【典例1】关于二次函数y＝x2﹣3x﹣5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【变式1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式2】已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【变式3】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根 题型02 根据二次函数图象及根的情况求未知系数 【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【变式1】若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2 【变式2】已知函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值为（　　） A．﹣1或2 B．0或2 C．、0或2 D．﹣1、或2 【变式3】抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（　　） A．b＝1，c＝﹣1 B．b＝﹣1，c＝﹣1 C．b＝3，c＝﹣2 D．b＝1，c＝﹣3 【变式4】已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则化简后的结果为（　　） A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1 题型03 根据图象求方程的近似根 【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x1的取值范围是（　　） A．﹣2.6＜x1＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x1＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x1＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x1＜﹣2.2 【变式2】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【变式3】小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 题型04 根据函数图像求一元二次不等式的解集 【典例1】抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则不等式9x2﹣p2＜0的解集是　 　 ． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【变式2】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　 　 【变式2】 【变式3】 【变式3】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是 　 ． 1．二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值． x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y＝ax2﹣2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（　　） A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75 3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 4．已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），则（a+1）（b+1）的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7 5．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： … ﹣3 ﹣1 0 3 5 … y … 3 ﹣2 ﹣3 0 7 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） C．图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而增大 7．如图，若将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（　　） A．2＜x＜7 B．2≤x＜7 C．2＜x≤7 D．2≤x≤7 8．已知二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列结论不正确的是（　　） A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是 B．当m＞0时，函数图象与y轴交于负半轴 C．当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，﹣4），其对称轴为直线x＝﹣3．下列结论正确的是（　　） A．6a+b＝0 B．若点（﹣2025，y1），（2024，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2 C．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解集为﹣5＜x＜﹣1 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根 10．已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，则此抛物线可能经过（　　） A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N 11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝　 　 ． 12．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　 　 ． 13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 　 ． 14．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 15．如图是抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的部分图象，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜n＜4，则关于x的一元二次方程的整数解的和为 　 　 ． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，0）． （1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）； （2）若点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范围． 17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标． 18．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，3）． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标． 19．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）． （1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点A（n，y1），B（m+1，y2），C（x0，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较y1，y2的大小． ②若x0＝﹣1，y1＞3，直接写出n的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且过点（0，1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； （3）当自变量x满足t≤x≤5时，y的最大值为m，最小值为n，且m+n＝4，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.7 二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用它们的关系解决相关题目。 教学重难点 1. 重点 （1）二次函数与一元二次方程； （2）一元二次方程解决实际问题的基本类型及基本公式； 2. 难点 （1）根据图象或根的情况求未知系数的值； （2）求一元二次方程的近似根； （3）求一元二次不等式的解集。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： 与轴有两个交点有2个 不相等 的实数根根的判别式 ＞ 0。 与轴有 1 个交点有2个相等的实数根根的判别式 = 0。 与轴没有交点 没有 实数根根的判别 ＜ 0。 二次函数图象与x轴的交点 横坐标 即为一元二次方程的解。 2. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 大于 0，方程有两个 不相等 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 等于 0，方程有两个 相等 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 小于 0，方程没有实数根。 3. 与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式 大于 0，方程有两个 不相等 的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式 等于 0，方程有两个 相等 的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式 小于 0，方程没有实数根。 【即学即练1】 1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数解． 故选：B． 【即学即练2】 2．若二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　k≤3且k≠2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵二次函数y＝（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1＝0有解， ∴， 解得：k≤3且k≠2． 故答案为：k≤3且k≠2． 【即学即练3】 3．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝0 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝3 【答案】D 【解答】解：设抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的另一个交点坐标为（x，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1， ∴， 解得：x＝3， 即抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3， 故选：D． 【即学即练4】 4．如图，直线y＝1与抛物线y＝x2﹣2x相交于M、N两点，则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解？（　　） A．x2﹣2x+1＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x﹣2＝0 D．x2﹣2x+2＝0 【答案】B 【解答】解：把y＝1代入抛物线y＝x2﹣2x得，x2﹣2x＝1， 即x2﹣2x﹣1＝0． 故选：B． 知识点02 二次函数与一元二次不等式 1. 二次函数与一元二次不等式： a大于0 抛物线的图象 不等式的解集 全体实数 不等式的解集 无解 无解 a小于0 抛物线的图象 不等式的解集 无解 无解 不等式的解集 全体实数 【即学即练1】 5．求不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集． 【答案】﹣8＜x＜2． 【解答】解：对于二次函数y＝﹣x2﹣6x+16， 当y＝0时，﹣x2﹣6x+16＝0， 解得x1＝﹣8，x2＝2， ∴抛物线y＝﹣x2﹣6x+16与x轴的交点坐标为（﹣8，0），（2，0）， ∵抛物线y＝﹣x2﹣6x+16开口向下， ∴当﹣8＜x＜2时，y＞0， 即不等式﹣x2﹣6x+16＞0的解集为﹣8＜x＜2． 【即学即练2】 6．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）．则y＞0的解集 　﹣5＜x＜3　 ． 【答案】﹣5＜x＜3． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0）， ∴根据对称性可得另一交点为（3，0）． 由抛物线开口向下， ∴当y＞0时，﹣5＜x＜3． 故答案为：﹣5＜x＜3． 题型01 根据函数图象判断一元二次方程的根的情况 【典例1】关于二次函数y＝x2﹣3x﹣5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：令y＝0，得方程x2﹣3x﹣5＝0．计算判别式Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝9+20＝29． 因Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根， 故二次函数图象与x轴有两个交点． 故选：A． 【变式1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的开口向下， 而抛物线的顶点坐标为（1，5）， 即抛物线的顶点在x轴上方， ∴抛物线与x轴有2个交点， ∴关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2】已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　） A．无实数根 B．有两个同号不等实数根 C．有两个异号实数根 D．有两个相等实数根 【答案】C 【解答】解：由图象可知a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0， ∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0的根的判别式为：Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a， ∵a＜0，∴﹣8a＞0， ∵b2﹣4ac＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根之和为0，两根之积为0， ∴两根异号， 故选：C． 【变式3】若抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是（　　） A．有两个大于1的不相等实数根 B．有两个小于1的不相等实数根 C．有一个大于1另一个小于1的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过第四象限的点（1，﹣1）， 画出函数的图象如图： 由图象可知：关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有一个大于1另一个小于1的实数根， 故选：C． 题型02 根据二次函数图象及根的情况求未知系数 【典例1】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【变式1】若关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．﹣3或﹣2 【答案】D 【解答】解：关于x的函数y＝（a+2）x2+4x﹣4的图象与x轴只有一个交点，分两种情况讨论： 当函数为二次函数时，得：y＝（a+2）x2+4x﹣4， ∴Δ＝16﹣4（a+2）×（﹣4）＝0， ∴a＝﹣3； 当函数为一次函数时，得：a+2＝0， 解得：a＝﹣2； 综上所述，a的值为﹣3或﹣2； 故选：D． 【变式2】已知函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值为（　　） A．﹣1或2 B．0或2 C．、0或2 D．﹣1、或2 【答案】C 【解答】解：当a﹣2＝0，即a＝2时，函数y＝3x为一次函数，其图象与坐标轴有两个公共点； 当a﹣2≠0时，分两种情况解答： ①函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象经过原点，把（0，0）代入得，b＝0， ∴a＝0， 此时函数y＝﹣2x2+x与坐标轴有两个公共点； ②函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的图象分别与x轴、y轴各有一个交点， 把y＝0代入y＝﹣2x2+x得，（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0， 则Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）×b＝0， ∵a＝4b， ∴b， ∴（a+1）2﹣a（a﹣2）＝0， 解得a； 综上，a的值为2或0或． 故选：C． 【变式3】抛物线L：y＝x2+bx+c与x轴交点的位置如图所示（点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横坐标在0与1之间），则b，c的取值可能是（　　） A．b＝1，c＝﹣1 B．b＝﹣1，c＝﹣1 C．b＝3，c＝﹣2 D．b＝1，c＝﹣3 【答案】A 【解答】解：抛物线L：y＝x2+bx+c的对称轴为直线x， ∵点A的横坐标在﹣2与﹣1之间，点B的横坐标在0与1之间， ∴， ∴0＜b＜2． 由图象可知，当x＝1时，y＞0， ∴1+b+c＞0， ∴b，c的取值可能是b＝1，c＝﹣1． 故选：A． 【变式4】已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则化简后的结果为（　　） A．1+k B．1﹣k C．﹣k﹣1 D．k﹣1 【答案】A 【解答】解：由题意可得： ∴， ∴2k＞﹣1， 解得， ∴， ∴． 故选：A． 题型03 根据图象求方程的近似根 【典例1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c中部分x和y的值如下表所示： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y ﹣5.6 ﹣3.1 ﹣1.5 0.9 1.8 则方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是（　　） A．0.11＜x＜0.12 B．0.12＜x＜0.13 C．3.87＜x＜3.88 D．3.88＜x＜3.89 【答案】C 【解答】解：二次函数y＝ax2﹣4ax+c的对称轴为直线x2， ∴（0.12，﹣1.5）关于对称轴的对称点为（3.88，﹣1.5），（0.13，0.9）关于对称轴的对称点为（3.87，0.9）， 由表可以看出，当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0， ∴当x取3.87与0.88之间的某个数时，y＝0． ∴方程ax2﹣4ax+c＝0的一个较大的根的范围是3.87＜x＜3.88． 故选：C． 【变式1】已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … ﹣2.6 ﹣2.5 ﹣2.4 ﹣2.3 ﹣2.2 … y … 0.56 0.25 ﹣0.04 ﹣0.31 ﹣0.56 … 则根据以上信息可判断，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根x1的取值范围是（　　） A．﹣2.6＜x1＜﹣2.5 B．﹣2.5＜x1＜﹣2.4 C．﹣2.4＜x1＜﹣2.3 D．﹣2.3＜x1＜﹣2.2 【答案】B 【解答】解：∵x＝﹣2.5时，y＝0.25，x＝﹣2.4时，y＝﹣0.04， ∴x1的取值范围是﹣2.5＜x1＜﹣2.4， 故选：B． 【变式2】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.56），B（2.68，0.54），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.56 D．2.45 【答案】D 【解答】解：从函数图象看，y＝0的点在2.18和2.68之间， 故选：D． 【变式3】小明用GGB探索方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　） A．2.4 B．2.6 C．1.4 D．1.6 【答案】C 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1， ∴另一个交点坐标为：（1.4，0）， 则方程的另一个近似根为1.4， 故选：C． 题型04 根据函数图像求一元二次不等式的解集 【典例1】抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点，则不等式9x2﹣p2＜0的解集是　﹣4＜x＜4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为抛物线y＝9x2﹣px+4与x轴只有一个公共点， 所以p2﹣4×4×9＝0，解得p＝12， 所以9x2﹣p2＜0可以化为9x2﹣144＜0，即x2＜16， 解得﹣4＜x＜4， 所以不等式9x2﹣p2＜0的解集是﹣4＜x＜4． 【变式1】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q）， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4， 如图所示， ∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 【变式2】如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　x＜﹣3或x＞1．　 【答案】x＜﹣3或x＞1． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点， ∴﹣m+n＝p，3m+n＝q， 如图，设抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P、Q两点， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点， 观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方， ∴ax2+c＞﹣mx+n即ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1． 故答案为：x＜﹣3或x＞1． 【变式3】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≤kx+m的解集是 　x≤﹣3或x≥1　 ． 【答案】x≤﹣3或x≥1． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）， ∴不等式ax2+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥1， 故答案为：x≤﹣3或x≥1． 1．二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝9﹣8＝1＞0， ∴抛物线与x轴有2个交点， 故选：C． 2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0，a，c为常数），如表给出了自变量x与函数值y的部分对应值． x 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 y＝ax2﹣2ax+c 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程ax2﹣2ax+c＝5的近似解是（　　） A．﹣0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．﹣0.75和2.75 【答案】D 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c， ∴对称轴为x1． ∴观察表格数据可以发现y＝5时，x在2.7和2.8之间， ∴根据二次函数的对称性，可知y＝5时，x在﹣0.8和﹣0.7之间， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 【答案】D 【解答】解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴， 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 4．已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），则（a+1）（b+1）的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7 【答案】A 【解答】解：已知抛物线y＝x2+2x﹣4与x轴交于点A（a，0）和B（b，0），将点A，点B的坐标分别代入得： ， ∴（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣4﹣2+1＝﹣5． 故选：A． 5．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，若关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞3 B．m＜3 C．m≥3 D．m≤3 【答案】A 【解答】解：如图所示：当m＞3时，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m有两个交点，且一个交点的横坐标为正，另一交点的横坐标为负．所以当关于x的方程ax2+bx+c＝m总有一正一负两个实数根时，m的取值范围是m＞3． 故选：A． 6．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： … ﹣3 ﹣1 0 3 5 … y … 3 ﹣2 ﹣3 0 7 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） C．图象的对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解答】解：∵二次函数经过点（﹣1，﹣2），（0，﹣3），（3，0）， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：y＝0.5x2﹣0.5x﹣3， ∵0.5＞0， ∴二次函数的图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 当y＝0时，0.5x2﹣0.5x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2，所以图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故B正确，符合题意； 图象的对称轴是直线x，故C错误，不符合题意； ∵抛物线的开口向上，图象的对称轴是直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意． 故选：B． 7．如图，若将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位长度后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（　　） A．2＜x＜7 B．2≤x＜7 C．2＜x≤7 D．2≤x≤7 【答案】B 【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）个单位后得到y＝﹣x2+4x﹣2+m， ∵y＝﹣x2+4x﹣2+m在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点， ∴当（﹣1，0）在抛物线上时， 0＝﹣1﹣4﹣2+m， 解得m＝7； 当（4，0）在抛物线上时， 0＝﹣16+16﹣2+m， 解得m＝2； ∴2≤m＜7． 故选：B． 8．已知二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列结论不正确的是（　　） A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是 B．当m＞0时，函数图象与y轴交于负半轴 C．当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小 D．当时，函数图象与x轴有两个交点 【答案】C 【解答】解：当m＝﹣3时，二次函数为y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（）+2＝﹣6（）+2， ∴函数图象的顶点坐标是（）． 故A选项正确，不符合题意； ∵当m＞0时，﹣1﹣m＜0， ∴函数图象与y轴交于负半轴， 故B选项正确，不符合题意； 二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m的对称轴为直线x， ∵m＜0， ∴， ∴函数在时，y随x的增大而增大，在x时，y随x的增大而减小， 故C选项不正确，符合题意； ∵当时，Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m×（﹣1﹣m）＝9m2+6m+1＝（3m+1）2＞0， ∴函数图象与x轴有两个交点． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（﹣1，﹣4），其对称轴为直线x＝﹣3．下列结论正确的是（　　） A．6a+b＝0 B．若点（﹣2025，y1），（2024，y2）均在二次函数图象上，则y1＞y2 C．不等式ax2+bx+c＞﹣4的解集为﹣5＜x＜﹣1 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根 【答案】D 【解答】A、已知对称轴为直线x＝﹣3，则，可得6a﹣b＝0，所以选项A错误； B、由对称轴为x＝﹣3，且a＞0（二次函数图象开口向上），点（﹣2025，y1）到对称轴x＝﹣3的距离为|﹣2025﹣（﹣3）|＝|﹣2025+3|＝2022；点（2024，y2）到对称轴x＝﹣3的距离为|2024﹣（﹣3）|＝|2024+3|＝2027．因为2022＜2027，所以y1＜y2，所以选项B错误； C、已知函数图象经过点（﹣1，﹣4），且对称轴为x＝﹣3，根据二次函数的对称性，可知与点（﹣1，﹣4）关于x＝﹣3对称的点的横坐标为x＝﹣3﹣[﹣1﹣（﹣3）]＝﹣3﹣（﹣1+3）＝﹣5，即函数图象也过点（﹣5，﹣4），由图象可知，y＝ax2+bx+c＞﹣4时，x＜﹣5或x＞﹣1，所以选项C错误； D、由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝﹣6有一个交点，这意味着关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣6有两个相等的实数根，所以选项D正确． 故选：D． 1．已知P（1，3），Q（2，4），M（2，2），N（1，1），若抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，则此抛物线可能经过（　　） A．点P和点Q B．点P和点M C．点Q和点M D．点M和点N 【答案】B 【解答】解：A．∵点P和点Q， ∴， 解得， ∵a≠0， ∴矛盾，故不符合题意； B．同理可求， ∵Δ＝22﹣4×（﹣1）×2＝12＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴有两个交点，故符合题意； C．∵xQ＝xM＝2， ∴直线PQ⊥x轴， ∴抛物线不可能同时经过点Q和点M，故不符合题意； D．同理可求， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴抛物线y＝ax2+bx+2与x轴没交点，故不符合题意； 故选：B． 11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，则m＝　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+m﹣1与x轴只有一个交点，且该抛物线的顶点坐标为（1，m﹣1）， ∴顶点（1，m﹣1）位于x轴上． ∴m﹣1＝0． 解得m＝1． 故答案为：1． 12．如图，若y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为　x＝﹣1　 ． 【答案】x＝﹣1． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1且与x轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 13．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2023的值为 　2025　 ． 【答案】2025． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0）， ∴m2﹣m﹣1＝0， 即m2﹣m＝1， ∴2m2﹣2m+2020＝2（m2﹣m）+2023＝2×1+2023＝2025． 故答案为：2025． 14．一次函数y1＝mx+n（m≠0）与二次函数的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为（　　） A．x＜3 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜3 D．x＞3或x＜﹣4 【答案】C 【解答】解：ax2+（b﹣m）x+c＞n， 即ax2+bx+c＞mx+n． 由图象可得，ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜3， ∴不等式ax2+（b﹣m）x+c＞n的解集为﹣4＜x＜3． 故选：C． 15．如图是抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的部分图象，对称轴为直线x＝1，与x轴的交点（n，0），且3＜n＜4，则关于x的一元二次方程的整数解的和为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：由图可知：另一个交点的坐标为（m，0），且﹣2＜m＜﹣1， 将抛物线向左平移个单位得， 则抛物线与x轴的交点在与和与之间， ∴关于x的一元二次方程的整数解为x1＝﹣3，x2＝2， ∴整数解的和为﹣3+2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣b，0）． （1）求a的值和抛物线的对称轴（用含b的式子表示）； （2）若点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2，求b的取值范围． 【答案】（1）a＝1，抛物线的对称轴为直线． （2）． 【解答】解：（1）将（﹣b，0）代入y＝ax2+bx， 得ab2﹣b2＝0． ∵a≠0， ∴b≠0． ∴a＝1． ∴抛物线的解析式为y＝x2+bx， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）∵点A（2，y1），B（b，y2），C（b+1，y3）在该抛物线上，且y3＜y1＜y2， ∴点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即|b+1|＜|2|＜|b|， 解得． ∴b的取值范围为． 17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为该抛物线对称轴上的一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）M（﹣1，2）． 【解答】解：（1）由题意可得： ， ∴， ∴＝﹣x2﹣2x+3； （2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 连接AC交对称轴于点M， 由题意可得：AM＝BM， ∴CM+BM＝CM+AM＝AC， 由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，最小值即为线段AC的长， 设直线AC的解析式为y＝kx+n， 把A（﹣3，0），C（0，3）代入得，， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2， ∴M（﹣1，2）． 18．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，3）． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标． 【答案】（1）（1，4）； （2）P（1，4）或P（2，3）． 【解答】解；（1）由题意可得： ， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该二次函数的顶点坐标为（1，4）； （2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0）， ∴， ∴S△PBC＝3． 设直线BC的解析式为y＝kx+d， 将B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+d得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 作PD⊥x轴交BC于D， 设P（a，﹣a2+2a+3）， 则D（a，﹣a+3）， ∴PD＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a， ∵， ∴， 整理得a2﹣3a+2＝0， 解得a1＝1，a2＝2， 当a＝1时，P（1，4）， 当a＝2时，P（2，3）． 19．在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）． （1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点A（n，y1），B（m+1，y2），C（x0，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较y1，y2的大小． ②若x0＝﹣1，y1＞3，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）该函数图象与x轴的交点坐标为（5，0），（7，0）． （2）①y1＞y2． ②当m＝0时，n＜﹣1或n＞3；当m＝﹣4时，n＜﹣5或n＞﹣1． 【解答】解：（1）当m＝5时，y＝（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝（x﹣5）（x﹣7）． 令y＝0，得（x﹣5）（x﹣7）＝0， 解得x1＝5，x2＝7， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（5，0），（7，0）． （2）①∵y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝x2﹣（2m+2）x+m（m+2）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xm+1， ∵B（m+1，y2）， ∴点B为抛物线的顶点，函数值最小， ∴y1＞y2． ②当x0＝﹣1时，C（﹣1，3）， 将点C（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）， 得（﹣1﹣m）（﹣1﹣m﹣2）＝3， 解得m1＝0，m2＝﹣4． 当m＝0时，y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x， 将A（n，y1）代入y＝x2﹣2x，得y1＝n2﹣2n， 令n2﹣2n＝3， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∴y1＞3时，n的取值范围为n＜﹣1或n＞3； 当m＝﹣4时，y＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8， 将A（n，y1）代入y＝x2+6x+8，得y1＝n2+6n+8， 令n2+6n+8＝3， 解得n1＝﹣5，n2＝﹣1， ∴y1＞3时，n的取值范围为n＜﹣5或n＞﹣1； 综上所述，当m＝0时，n＜﹣1或n＞3；当m＝﹣4时，n＜﹣5或n＞﹣1． 20．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且过点（0，1）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； （3）当自变量x满足t≤x≤5时，y的最大值为m，最小值为n，且m+n＝4，求t的值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+1； （2）m＝3； （3）t＝3或2． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴b＝﹣4， ∵二次函数经过点（0，1）， ∴c＝1， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+1； （2）平移后的二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+1+m， 令y＝0，则Δ＝16﹣4（1+m）＝0， 解得：m＝3； （3）当x＝5时，y＝25﹣20+1＝6， 二次函数化为顶点式：y＝（x﹣2）2﹣3， ∴顶点为（2，﹣3）， ①当t＞2时， ∵6﹣3＝3＜4， ∴m＝6，n＝﹣2，t＞2， 令y＝﹣2，则t2﹣4t+1＝﹣2， 解得：t＝1（舍）或3， ∴t＝3， ②当t≤2时，n＝﹣3， ∴m＝7， ∴t2﹣4t+1＝7， 解得：t＝2（舍）或2， 综上所述，t＝3或2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$