22.1二次函数的图象和性质知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

22.1二次函数的图象和性质知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）． ①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x． 二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025•安阳县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 2．（2025•鲤城区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣3＜x1＜﹣1，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤5 B．2＜m≤5 C．0＜m≤2或m≥5 D．0＜m≤3或m≥5 3．（2025•桐城市二模）对于抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＝3时，y＞0 4．（2024秋•虎林市期末）抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 5．（2024秋•韶关期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 6．（2024秋•广阳区期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x＝﹣1时，y的值为（　　） x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣13 7．（2025•东营模拟）二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•蚌埠一模）已知三个不重合的点A（n，y1），B（2n﹣1，y2），C（﹣2，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且2an+b＝0，点B，C在抛物线对称轴异侧．若y1＞y2＞y3，则n的取值范围为（　　） A．n＞1 B．n＜﹣2 C．n＜﹣2或n＞1 D．﹣2＜n＜1 二．填空题（共8小题） 9．（2025•海珠区校级二模）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　 　 ． 10．（2025•福建模拟）把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 　 　 ． 11．（2024秋•光山县期末）点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 ． 12．（2024秋•澧县期末）已知y2，当x 　 　 时，函数值随x的增大而减小． 13．（2025•三元区二模）已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　 　 ． 14．（2025•惠城区三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝6，则的最大值为　 　 ． 15．（2025•安徽模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x+1经过A（a+1，y1），B（2a﹣1，y2）两点，则： （1）若y1＝y2，则a＝　 　 ； （2）若y1＜y2，则a的取值范围是　 　 ． 16．（2025•蒙城县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）． （1）若此抛物线对称轴是直线x，点C（0，1）与点P关于直线x轴对称，则点P的坐标是　 　 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t＝a+b+c，则t的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•大理州二模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a是常数且a＞0）． （1）若a＝2，求出该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数图象经过原点，当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 18．（2025•凤庆县模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3﹣m（m为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（1，3），求该二次函数的解析式． （2）若当﹣1≤x≤1时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2m2﹣2m+1，求m的值以及此时函数在x＝﹣1处的函数值． 19．（2025•浙江模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣3a． （1）若函数图象过点（0，﹣3），（2，5）， （i）求二次函数的解析式； （ⅱ）当﹣2≤x≤1时，求函数的最小值与最大值； （2）当﹣4≤x≤0时函数值y有最小值﹣2，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 20．（2025•惠山区一模）已知二次函数y＝ax2﹣3x+c的图象与x轴交于A、B两点，且点B（1，0），其对称轴为过点且平行于y轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点D（0，﹣3）作x轴的平行线与二次函数图象交于点M、N，点E为直线MN上一动点，点P为二次函数图象上一动点（P不与B重合），连结BP、PE、BE，将△BPE沿直线BP翻折得到△BPE′． ①当点E在对称轴左侧，点E′与点A重合时，求点P的坐标． ②当以点B、E、P、E'为顶点的四边形是矩形时，直接写出点E'的坐标． 21．（2025•利辛县二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+6与x轴相交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，且OB＝OC，点M是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．设点P的横坐标为n，△PCD的面积为S． ①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求S的最大值． 22．（2025•雁塔区校级三模）如图，抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），顶点为A． （1）求抛物线L的解析式和顶点A的坐标； （2）将抛物线L上下平移，请问在平移后的抛物线L′上是否存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 22.1二次函数的图象和性质知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B D C C A 一．选择题（共8小题） 1．（2025•安阳县一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为（　　） A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣1）2 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1 【解答】解：抛物线y＝x2向左平移1个单位长度得到的抛物线为：y＝（x+1）2． 故选：A． 2．（2025•鲤城区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（x1，y1），B（x2，y2），C（t，n），D（2﹣t，n）四点，且﹣3＜x1＜﹣1，若存在正数m，使得当m＜x2＜m+1时，总有y1≠y2成立，则正数m的取值范围是（　　） A．0＜m≤5 B．2＜m≤5 C．0＜m≤2或m≥5 D．0＜m≤3或m≥5 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过C（t，n），D（2﹣t，n）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴抛物线在﹣3＜x＜﹣1和3＜x＜5部分是对称的， 依题意，点B（x2，y2）不在这两部分抛物线上， ∵m＞0，m＜x2＜m+1， 或m≥5， 解得：0＜m≤2或m≥5， 故选：C． 3．（2025•桐城市二模）对于抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+3，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是（﹣1，3） C．对称轴为直线x＝1 D．当x＝3时，y＞0 【解答】解：A、∵﹣5＜0， ∴抛物线的开口向下，本选项错误， B、抛物线的顶点为（1，3），本选项错误， C、抛物线的对称轴为直线x＝1，本选项正确， D、把x＝3代入y＝﹣5（x﹣1）2+3，解得：y＝﹣17＜0，本选项错误， 故选：C． 4．（2024秋•虎林市期末）抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）． 故选：B． 5．（2024秋•韶关期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线经过点（3，0），则这条抛物线的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝﹣（x+2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2+1 【解答】解：设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣2）2+1， 把点（3，0）坐标代入得：0＝a+1， 解得a＝﹣1， ∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1． 故选：D． 6．（2024秋•广阳区期末）若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表，则当x＝﹣1时，y的值为（　　） x ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 y ﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3 A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣13 【解答】解：先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴， 由表格可知：x＝﹣4和x＝﹣2的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 则x＝﹣1关于对称轴直线x＝﹣3所对称的是x＝﹣5， ∴x＝1和x＝﹣5的函数值相同，即为﹣3． 故选：C． 7．（2025•东营模拟）二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0，则它的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下三个条件：①ac＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0， 由①a，c同号，排除D选项． 由②可得b2﹣4ac＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点，故排除A选项． 由③可知：当x＝﹣1时，y＜0，排除B选项． 故满足条件的图象可能是C， 故选：C． 8．（2025•蚌埠一模）已知三个不重合的点A（n，y1），B（2n﹣1，y2），C（﹣2，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，且2an+b＝0，点B，C在抛物线对称轴异侧．若y1＞y2＞y3，则n的取值范围为（　　） A．n＞1 B．n＜﹣2 C．n＜﹣2或n＞1 D．﹣2＜n＜1 【解答】解：由条件可知b＝﹣2an， ∴抛物线的对称轴为：， ∴A（n，y1），为抛物线的顶点， ∵y1＞y2＞y3， ∴a＜0， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 由条件可知2n﹣1＜n＜﹣2①或﹣2＜n＜2n﹣1② 解①得，n＜﹣2，解②得，n＞1， ∵点B在点C的左边时不成立， ∴n＞1， 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•海珠区校级二模）已知二次函数y＝﹣2（x+1）2+3，当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围 　﹣29＜y≤3　 ． 【解答】解：由条件可知：函数图象的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴为直线x＝﹣1，开口向下， ∴当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3； ∵﹣2＜x＜3， ∴当x＝﹣2时，函数值y＝1， 当x＝3时，函数值y＝﹣29， ∴当﹣2＜x＜3时，函数值y的取值范围是：﹣29＜x≤3， 故答案为：﹣29＜x≤3． 10．（2025•福建模拟）把抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 　y＝（x+1）2+4　 ． 【解答】解：由题意，抛物线y＝x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位， ∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+1）2+1+3＝（x+1）2+4． 故答案为：y＝（x+1）2+4． 11．（2024秋•光山县期末）点A（﹣2，y1），B（0，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣2x+1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　y1＞y2＞y3　 ． 【解答】解：把A（﹣2，y1）代入y＝x2﹣2x+1得y1＝4+4+1＝9， 把B（0，y2）代入y＝x2﹣2x+1得y2＝0+0+1＝1， 把C（1，y3）代入y＝x2﹣2x+1得y3＝1﹣2+1＝0，∴y1＞y2＞y3． 故答案为：y1＞y2＞y3． 12．（2024秋•澧县期末）已知y2，当x 　＜﹣1　 时，函数值随x的增大而减小． 【解答】解：抛物线y2，可知a0，开口向上， 对称轴x＝﹣1， ∴当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而减小． 故答案为：＜﹣1． 13．（2025•三元区二模）已知点A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，则m的值为 　4　 ． 【解答】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线y＝x2+bx+4上不同的两点， ∴A（x1，n）和B（x2，n）关于抛物线y＝x2+bx+4的对称轴对称， ∴， ∴x1+x2＝﹣b， ∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上， ∴m＝b2+b•（﹣b）+4＝4． 故答案为：4． 14．（2025•惠城区三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝6，则的最大值为　36　 ． 【解答】解：当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时， 设抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（α，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝6， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点坐标为（12﹣α，0）， 即方程ax2+bx+c＝0的两个根为α和12﹣α， 由根与系数的关系得， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当α＝6时， ∴有最大值为36； 当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴没有交点时， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝6， ∴， ∴b＝﹣12a， 此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12a）2﹣4ac＜0， 整理得ac＞36a2＞0， ∴a和c同号， ①若a＞0，c＞0时， ∵ac＞36a2， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； ②若a＜0，c＜0时， ∵ac＞36a2， ∴， 此时无最大值，不符合题意，舍去； 综上，有最大值为36； 故答案为：36． 15．（2025•安徽模拟）已知抛物线y＝x2﹣2x+1经过A（a+1，y1），B（2a﹣1，y2）两点，则： （1）若y1＝y2，则a＝　　 ； （2）若y1＜y2，则a的取值范围是　或a＞2　 ． 【解答】解：（1）∵直线，y1＝y2， ∴， 解得； 故答案为：； （2）由条件可知抛物线开口向上，且对称轴为：直线x＝1， ∵y1＜y2， 分以下四种情况讨论： ①当两点在对称轴为直线x＝1的左侧时，由题意可得， 解得a≤0； ②当两点在对称轴为直线x＝1的右侧时，由题意可得， 解得a＞2； ③当点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧时，， 此不等式组无解； ④当点A在对称轴右侧，点B在对称轴左侧时，， 解得， 综上，或a＞2． 故答案为：或a＞2． 16．（2025•蒙城县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）． （1）若此抛物线对称轴是直线x，点C（0，1）与点P关于直线x轴对称，则点P的坐标是　（1，1）　 ． （2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t＝a+b+c，则t的取值范围是　0＜t＜2　 ． 【解答】解：∵点C（0，1）与点P关于直线x轴对称， ∴点P的纵坐标为1， 横坐标设为x，则， 解得x＝1， ∴点P的坐标是（1，1）； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）和C（0，1）， ∴a﹣b+c＝0， c＝1， ∴b＝a+1， 当x＝1时，y＝t＝a+b+c＝a+a+1+1＝2a+2， ∵顶点在第一象限， ∴a＜0，对称轴直线x0， ∴b＞0， ∴a+1＞0， 2a+2＜2， 即0＜t＜2． 故答案为：（1，1）；0＜t＜2． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•大理州二模）已知二次函数y＝ax2﹣4x+a2﹣1（a是常数且a＞0）． （1）若a＝2，求出该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数图象经过原点，当﹣1≤x≤t时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【解答】解：（1）当a＝2时，y＝2x2﹣4x+22﹣1，即y＝2x2﹣4x+3， 化成顶点式为y＝2（x﹣1）2+1， 则该函数图象的顶点坐标为（1，1）． （2）∵函数图象经过点（0，0）， ∴a2﹣1＝0， ∴a＝1或a＝﹣1＜0（不符合题意，舍去）， ∴y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，其对称轴为直线x＝2， ∴x＝﹣1时的函数值与x＝5时的函数值相等，即为（﹣1﹣2）2﹣4＝5， ∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当﹣1≤t≤5时，则在﹣1≤x≤t内，当x＝﹣1时，y的值最大， ∴4t＝5， 解得，符合题设； ②当t＞5时，则在﹣1≤x≤t内，当x＝t时，y的值最大， ∴t2﹣4t＝4t， ∴t＝8或t＝0＜5（舍去）； ∴t的值为或8． 18．（2025•凤庆县模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+3﹣m（m为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（1，3），求该二次函数的解析式． （2）若当﹣1≤x≤1时，在该范围内的函数值y先增大后减小，最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2m2﹣2m+1，求m的值以及此时函数在x＝﹣1处的函数值． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+2mx+3﹣m的图象经过点（1，3）， ∴﹣1+2m+3﹣m＝3， 解得：m＝1， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+2； （2）∵y＝﹣x2+2mx+3﹣m＝﹣（x﹣m）2+m2﹣m+3， ∴顶点坐标为：（m，m2﹣m+3）， 如图，函数y＝﹣x2+2mx+3﹣m的对称轴为直线x＝﹣1时， ∴， 解得：m＝﹣1， 如图，当x＝﹣1与x＝1函数值相等时， ∴﹣12﹣2m+3﹣m＝﹣12+2m+3﹣m， 解得：m＝0， ∴﹣1＜m≤0时， 如图， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为p＝m2﹣m+3，最小值为x＝1时的函数值q＝﹣1+2m+3﹣m＝m+2， ∵p﹣q＝2m2﹣2m+1， ∴m2﹣m+3﹣m﹣2＝2m2﹣2m+1， 解得：m＝0， ∴二次函数为：y＝﹣x2+3， 当x＝﹣1时，y＝2， 当直线x＝1为对称轴时，如图， ∴， 解得：m＝1， 当0＜m＜1时， 此时满足在该范围内的函数值y先增大后减小， 此时最大值为p＝m2﹣m+3，最小值为x＝﹣1时的函数值q＝﹣1﹣2m+3﹣m＝﹣3m+2， ∵p﹣q＝2m2﹣2m+1， ∴m2﹣m+3+3m﹣2＝2m2﹣2m+1， 解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去）， 综上：m＝0，当x＝﹣1时，y＝2． 19．（2025•浙江模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+bx﹣3a． （1）若函数图象过点（0，﹣3），（2，5）， （i）求二次函数的解析式； （ⅱ）当﹣2≤x≤1时，求函数的最小值与最大值； （2）当﹣4≤x≤0时函数值y有最小值﹣2，若函数图象向右平移3个单位过坐标原点，求a的值． 【解答】解：（1）（i）已知函数y＝ax2+bx﹣3a图象过点（0，﹣3），（2，5）， 将（0，﹣3）代入函数得：﹣3＝a×0+b×0﹣3a，即﹣3a＝﹣3，解得a＝1， 将a＝1，（2，5）代入函数得：5＝1×22+b×2﹣3×1， 即5＝4+2b﹣3，2b＝4，解得b＝2， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （ⅱ）根据（i）知y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，且二次项系数1＞0，函数图象开口向上， 当x＝﹣1时，y取得最小值，ymin＝﹣4， 比较x＝﹣2和x＝1到对称轴直线x＝﹣1的距离，|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|1﹣（﹣1）|＝2， ∴x＝1离对称轴更远． 当x＝1时，y＝12+2×1﹣3＝0， ∴ymax＝0． （2）函数图象向右平移3个单位过坐标原点（0，0），根据函数平移规律“左假右减”，则原函数过点（﹣3，0）． 将（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3a得： 0＝a×（﹣3）2+b×（﹣3）﹣3a，即9a﹣3b﹣3a＝0，6a﹣3b＝0，化简得b＝2a， ∴二次函数的解析式为y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x2+2x﹣3）＝a（x+3）（x﹣1），其对称轴为x1， ∵﹣4≤x≤0时函数值y由最小值﹣2，分情况讨论： 当a＞0时，函数图象开口向上，对称轴直线x＝﹣1在﹣4≤x≤0范围内， ∴当x＝﹣1时，y取得最小值﹣2． 将x＝﹣1，y＝﹣2代入函数得：﹣2＝a×（﹣1）2+2a×（﹣1）﹣3a，即﹣2＝a﹣2a﹣3a，﹣2＝﹣4a，解得a， 当a＜0时，函数图象开口向下，在﹣4≤x≤0范围内，函数在端点处取得最小值． 比较x＝﹣4和x＝0时的函数值： 当x＝﹣4时， y＝a×（﹣4）2+2a×（﹣4）﹣3a＝16a﹣8a﹣3a＝5a； 当x＝0时，y＝a×02+2a×0﹣3a＝﹣3a， ∵a＜0， ∴5a＜﹣3a， 则当x＝﹣4时，y取得最小值5a＝﹣2，解得a， 此时需要验证对称轴处的函数值是否大于等于﹣2，当a时，x＝﹣1时，y（﹣1）2+2×（）×（﹣1）﹣3×（）2，符合a＜0时在端点处取得最小值得情况． 20．（2025•惠山区一模）已知二次函数y＝ax2﹣3x+c的图象与x轴交于A、B两点，且点B（1，0），其对称轴为过点且平行于y轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点D（0，﹣3）作x轴的平行线与二次函数图象交于点M、N，点E为直线MN上一动点，点P为二次函数图象上一动点（P不与B重合），连结BP、PE、BE，将△BPE沿直线BP翻折得到△BPE′． ①当点E在对称轴左侧，点E′与点A重合时，求点P的坐标． ②当以点B、E、P、E'为顶点的四边形是矩形时，直接写出点E'的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：对称轴为直线x， ∴， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣3x+c， 将B（1，0）代入，得：c＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）令y＝0，﹣x2﹣3x+4＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1， ∴AB＝5， ①设E（m，﹣3）， ∵对称， ∴AB＝BE，∠1＝∠2， ∴（m﹣1）2+（﹣3）2＝52， ∴m＝5（舍）或m＝﹣3， 当m＝﹣3时， ∵AB∥FN， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴EF＝BE＝5， ∴F（﹣8，﹣3）， ∴BF：， ， ∴（舍）， ∴P； ②a．设E（m，﹣3）， ∴P（m﹣3，﹣m﹣2）， ∴E'（﹣2，﹣m+1）， ∴﹣m﹣2＝﹣（m﹣3）2﹣3（m﹣3）+4， ∴， ∴E'或； b．设E（﹣m，﹣3）， ∴P（3+m，m﹣4）， ∴E'（4，m﹣1）， ∴m﹣4＝﹣（3+m）2﹣3（3+m）+4， ∴， ∴E'或； 综上所述：E'或或或． 21．（2025•利辛县二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+6与x轴相交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，且OB＝OC，点M是抛物线的顶点． （1）求二次函数的关系式； （2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．设点P的横坐标为n，△PCD的面积为S． ①求S与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求S的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+6交y轴于点C， ∴C（0，6）． ∵OB＝OC， ∴OB＝OC＝6． ∴B（6，0）． 将B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+6中得，b＝5． ∴二次函数的关系式为y＝﹣x2+5x+6． （2）①由（1）知二次函数的关系式为y＝﹣x2+5x+6， ∵点M是抛物线的顶点， ∴， 由点B、M的坐标得，直线BM的解析式为， ∵过点P作PD⊥x轴于点D，点P的横坐标为n， ∴、D（n，0）， ∴△PCD的面积为， ∵、B（6，0）， ∴； ②由①知， ∴ ， ，n＝3满足， ∴△PCD的面积S有最大值，最大值为． 22．（2025•雁塔区校级三模）如图，抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），顶点为A． （1）求抛物线L的解析式和顶点A的坐标； （2）将抛物线L上下平移，请问在平移后的抛物线L′上是否存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式． 【解答】解：（1）抛物线L：y＝ax2+2ax+c（a≠0）与x轴交于点B（﹣3，0）和点D，与y轴交于点C（0，1），将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴该抛物线L的解析式为， ∴顶点A的坐标为； （2）在平移后的抛物线L′上存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下： ∵将抛物线L上下平移， ∴，抛物线对称轴x＝﹣1， ∴设平移后解析式为， 过点B作BC的垂线并在垂线上取一点E，使得BE＝BC，记BC上方的点为E，下方的点为E′，连接CE，则△BCE为等腰直角三角形， 过点E作EF⊥x轴于点F， 则∠EFO＝∠EBC＝∠BOC＝90°， ∴∠CBO+∠EBF＝90°， ∵∠CBO+∠BCO＝90°， ∴∠EBF＝∠BCO， ∵BE＝BC， ∴△EFB≌△BOC（AAS）， ∴EF＝OB＝3，BF＝OC＝1， ∴点E坐标为（﹣4，3）， 把E（﹣4，3）代入得：， 解得：m＝6， ∴将抛物线L向上平移个单位； 同理可得点E′坐标为（﹣2，﹣3）， 把E′（﹣2，﹣3）代入得：， 解得：， ∴将抛物线L向下平移个单位； 综上所述，将抛物线L向上平移个单位或向下平移4个单位，平移后的抛物线L′上存在点E，使得△BCE是以CB为腰，点B为直角顶点的等腰直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$