第三章 函数的概念与性质（单元测试·提升卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B A B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．9 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）因为，， 令，即，（1分） 所以，则，解得，（2分） 所以， 令，，则，（3分） 则，， 所以函数的解析式为.（5分） （2）由（1）知，任取，，且， 则，（7分） 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增，（8分） 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减，（10分） 故在上单调递减，在上单调递增，（11分） 又，，（12分） 故在上的最小值为，最大值为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，（1分） 解得或，（3分） 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数， 所以为偶数，所以，（4分） （2）由（1）得，所以，（5分） 由或，（7分） 所以的定义域为，（9分） 令，则，（11分） 根据复合函数的单调性可得，单调递增区间即是时单调递增区间，（13分） 即且，所以，（14分） 所以的单调递增区间是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题知，当时，；（1分） 当时,,（2分） 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人，（3分） 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人，（4分） ，解得，（5分） 此时，（6分） 所以.（7分） （2）依题意， 当时，，满足题意；（8分） 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人.（10分） （3）由（1）知 时，当且仅当等号成立，（12分） 时（13分） 当上,单调递减,则（14分） 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，（1分） 可得，（3分） 解得，可得，（5分） ，是奇函数，满足题意， 所以，.（6分） （2），在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ，（8分） 由，可得， 又，，， 则，则，（9分） 则在上单调递增；（10分） （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为，（12分） 的对称轴为， 当时，在上为增函数，（13分） 值域为，（14分） 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为，都有， 所以令，有，解得.（2分） 令，有，（3分） 所以，所以为奇函数.（4分） （2）令时，有，所以，（5分） .（9分） （3）不妨设，因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减.（11分） 因为在上单调递减，所以时，，（13分） ，时，， 即时，所以，即在上恒成立.（14分） 设，，由对勾函数性质可知在上单调递增，（16分） 所以，所以，得.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 3．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 11．“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（    ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为，则的定义域为 ． 13．某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 14．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 16．（15分） 已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求实数的值； (2)设函数，求的定义域和单调递增区间. 17．（15分） 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. (1)求的表达式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18．（17分） 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知函数对任意，恒有，且当时，. (1)证明：函数为奇函数； (2)求的值； (3)时，成立，求实数的取值范围 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 3．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 11．“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（    ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为，则的定义域为 ． 13．某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 14．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 16．（15分） 已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求实数的值； (2)设函数，求的定义域和单调递增区间. 17．（15分） 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. (1)求的表达式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18．（17分） 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 已知函数对任意，恒有，且当时，. (1)证明：函数为奇函数； (2)求的值； (3)时，成立，求实数的取值范围 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第三章 函数的概念与性质·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 3．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据吗函数的定义和图象与性质可得，进而求出，结合二次函数在区间上单调性求出参数即可. 【详解】由幂函数的定义知，，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，故. 所以，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为直线， 又在上单调，则或， 解得或，即实数的取值范围为. 故选：D 5．定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小． 【详解】∵函数图象关于对称，且对任意， 当时都有， ∴在上单调递减，在单调递增， ， ∵，∴， ∴． 故选：B． 6．若函数在上为单调递减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数和分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 7．若定义在上的奇函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，由此分情况解不等式可得答案． 【详解】根据题意，设，， 是定义在,,上的奇函数，即， 故，函数为偶函数， 由题意当时，有，函数在上为减函数， 又由为偶函数，则在上为增函数， 又由，则，同时， 或， 必有或，即的取值范围为. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性解不等式，关键是构造函数明确其奇偶性，并分情况解不等式. 8．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数， 所以是R上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即， ，又， ，令， ， ， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到，利用基本不等式求出最值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据幂函数所过点求解析式，进而判断其奇偶性、单调性，依次判断各项正误. 【详解】由题设得，故，则定义域为，故为非奇非偶函数， 且在上单调递增，A对，B错， 当，则，C对； 当，则， 所以，即，D对. 故选：ACD 11．“二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（    ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A：直接代入即可得结果；对于B：代入结合基本不等式分析判断；对于C：可得，结合判别式运算求解；对于D：可得，根据对勾函数性质分析求解即可. 【详解】因为. 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即， 则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即， 因为在内单调递增，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点； （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义以及分式的性质即可求解. 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 13．某医院开展某种病毒的检测工作，第天时每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时），（为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时为 小时．（精确到1小时） 【答案】9 【分析】先根据函数解析式得出函数的单调性，进而结合已知得出.将代入函数，求出，进而根据可推得，得出分段函数解析式.代入，即可得出答案. 【详解】根据函数的解析式可知，当时，单调递减；当时，为常数. 且第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时， 所以有， 所以，. 又，所以. 所以，. 所以. 故答案为：9. 14．若函数与对于任意，都有，则称函数与是区间上的“m阶依附函数”.已知函数与是区间上的“2阶依附函数”，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出的值域，将问题转化为，然后分，讨论即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以当时，， 依题意，对任意时，都有， 对任意时，都有，即， 因为， 所以当，即时，，解得； 又因为，所以，解得. 当，即时，，解得(舍去)； 当，即时，， 化简得：，解得， 又因为，，解得. 综上，实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数，且 (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）法一：根据求出的值，利用换元法求的解析式即可； 法二：根据配凑法得到，根据求出的值，即得到解析式. （2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性，进而求得最值. 【详解】（1）方法一：因为，，令，即， 所以，则，解得， 所以， 令，，则， 则，， 所以函数的解析式为. 方法二：由题意，所以， 又，所以，解得， 所以，即函数的解析式为. （2）由（1）知，任取，，且， 则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递增， 同理，任取，且，则， 因为，，所以，即， 所以函数在上单调递减， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的最小值为，最大值为. 16．（15分） 已知幂函数的图像关于轴对称. (1)求实数的值； (2)设函数，求的定义域和单调递增区间. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可； （2）由（1）可得，求出定义域结合复合函数的单调性可得解. 【详解】（1）由，解得或， 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数， 所以为偶数，所以， （2）由（1）得，所以， 由或， 所以的定义域为， 令，则， 根据复合函数的单调性可得，单调递增区间即是时单调递增区间， 即且，所以， 所以的单调递增区间是. 17．（15分） 2024年9月29日，渝昆高铁正式开通运行，重庆到泸州最快30分钟，完成了川渝两地旅客高铁出行的最后一块拼图.现在已知列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足.经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数，（k为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人.记列车载客量为. (1)求的表达式； (2)为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，问列车发车间隔时间至少多少分钟？ (3)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)； (2)至少5分钟； (3)时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 【分析】（1）当时，，当时,,由题可求出,即可得到答案. （2）由（1）知，结合基本不等式和函数单调性即可求出的净收益最大值. 【详解】（1）由题知，当时，； 当时,, 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为人， 此时发车时间间隔为3分钟时的载客量为人， ，解得， 此时， 所以. （2）依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即， 解得，所以列车发车间隔时间至少5分钟，列车载客量至少达到524人. （3）由（1）知 时，当且仅当等号成立， 时 当上,单调递减,则 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元. 18．（17分） 已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解； （2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可； （3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以满足，又，可得， 解得，可得， ，是奇函数，满足题意， 所以，. （2），在上单调递增，证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增； （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即，则在上的值域为， 的对称轴为， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解. 19．（17分） 已知函数对任意，恒有，且当时，. (1)证明：函数为奇函数； (2)求的值； (3)时，成立，求实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2)-2024 (3) 【分析】（1）通过赋值法及奇偶性的定义即可证明. （2）令得，再结合抽象函数法则化简求值即可. （3）先根据单调性的定义得在上单调递减，然后利用恒成立法则把问题转化为在上恒成立，构造函数，利用函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】（1）因为，都有， 所以令，有，解得. 令，有， 所以，所以为奇函数. （2）令时，有，所以， . （3）不妨设，因为时，，所以， 所以，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，所以时，， ，时，， 即时，所以，即在上恒成立. 设，，由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，所以，得. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$