25.2 用列举法求概率-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

25.2用列举法求概率 第3课时 古典概型和列表法 基础巩固 1.现有编号为1~100的卡片100张，从中任取 6.从1至9这9个自然数中任取一个，是2的 一张，卡片号是5的倍数的概率是( 倍数的概率是 A司 B司 c房 D品 7.一个不透明的袋子中装有除颜色外其余都相 同的2个白球和3个黑球，从中随机取出两 2.掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正 个球，求： 面朝上的概率等于() (1)两个都是白球的概率： A.1 B号 c D.0 (2)两个都是黑球的概率； (3)1个白球，1个黑球的概率。 3.在0,1,2三个数中任取两个，组成两位数，则 在组成的两位数中是奇数的概率为( ) A青 B吉 c D.是 4.某中学举行了“童心向党，从我做起”为主题 的演讲比赛.经预赛，七、八年级各有一名同 8.口袋中有1红3黑共4个小球，一次从中取 学进入决赛，九年级有两名同学进人决赛，那 出两个小球，求取出的小球都是黑球的概率. 么九年级同学获得前两名的概率是( A司 R司 c D. 5.一副没有大小王的扑克，共52张，抽出1张 是红桃的概率为 能力提升 1.红红和娜娜按如图25一3一1所示的规则玩 A.红红不是胜就是输，所以红红胜的概率 一次“锤子、剪刀、布”游戏，下列命题中错误 的是( 为对 游戏规则：若一人出“剪刀”，另 B.红红胜或娜娜胜的概率相等 一人出“布”，则出“剪刀”者胜： 若一人出“锤子”，另一人出“剪 C.两人出相同手势的概率为号 刀”，则出“锤子”者胜：若一人出 “布”，另一人出“锈子”，则出 D.娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率 “布”者胜.若两人出相同的手 样 势，则两人平局. 图25-3-1 2.如图25一3一2，数轴上有两点A、B,在线段：7.有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同 AB上任取一点C,则点C到表示1的点的距 外，其他均相同（如图25一3一3所示）.将这5 离不大于2的概率是 .(A、B、C为 张卡片背面向上洗匀后放在桌面上， 整数) (1)从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是 201这 中心对称图形的概率为 图25-3-2 (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随 3有四张不透明的卡片，正面分别写有2，号。 机抽取1张，请用列表的方法，求两次所 抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率. π√2，除正面的数不同外，其余都相同，将它 们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片， ☑口回☆ 抽到写有无理数卡片的概率为 D 4.从一1,1,2三个数中任取一个，作为一次函 图25-3-3 数y=k.x十3的k值，则所得一次函数中y随 x的增大而增大的概率是 5.设A=x十y,其中x可取-1,2，y可取-1， -2,3. (1)求出A的所有等可能结果； (2)试求A是正值的概率。 精彩一题 甲、乙两个盒子中装有质地、大小都相同的小 球，甲盒中有2个白球、1个黄球和1个蓝球； 乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球. 从乙盒中任意摸出一球为蓝球的概率是从甲 盒中任意摸出一球为蓝球的概率的2倍。 6.甲同学口袋中有三张卡片，分别写着数字1， (1)求乙盒中蓝球的个数： 1,2:乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着 (2)从甲、乙两盒中分别任意摸出一球，求这 数字1,2,2.两人各自从自己的口袋中随机摸 两个球均为蓝球的概率。 出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之 和为偶数，则甲胜；否则乙胜.求甲胜的概率. 第4课时树状图法 基础巩固 1.让图25-4-1中 4.在一个口袋中装有只有颜色不同，其他都相 两个转盘分别自由 同的白、红，黑三种颜色的小球各1个，甲、乙 转动一次，当转盘 两人进行摸球游戏，甲先从袋中摸出一球看 停止转动时，两个 图25-4一1 清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球 指针分别落在某两个数所表示的区域，则这 (1)试用树状图表示摸球游戏所有可能的 两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率 结果 等于( ) (2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙 A音 B号 c. D号 胜，否则为甲胜，试求乙在游戏中获胜的 概率。 2.经过某十字路口的汽车，可能继续直行，也可 能向左转或向右转，如果这三种可能性大小 相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少 有两辆车向左转的概率为 3.如图25一4一2，电路图上有四个开关A,B C,D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合 开关A,B,C都可使小灯泡发光。 (1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的 概率等于 (2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或 列表的方法求出小灯泡发光的概率。 图25-4-2 能力提升 1.两个正四面体骰子的各面上分别刻有1,2,3， 精彩-题 4个点，若同时抛掷这两个正四面体骰子，则 有A,B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号 着地的面所得的点数之和等于5的概率 外完全相同的小球，小球上分别标有数字0， 为() 1,2,3,B布袋中有三个除标号外完全相同的 A. B音 c D是 小球，小球上分别标有数字0,1,2，小明先从 2.某班举行的演讲比赛中有一个抽奖活动.活 A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出 动规则是：进入最后决赛的甲、乙两位同学， 的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出 每人只有一次抽奖机会，在如图25一4一3所 一个小球，用表示取出的球上标有的数字. 示的翻奖牌正面的4个数字中任选一个数 (1)若用(m,n)表示小明取球时，m与n的对 字，选中后可以得到该数字后面的奖品，第一 应值，据此请用画树状图法写出m与n的 人选中的数字，第二人就不能再选择该数字 所有对应值： (1)第一位抽奖的同学抽中文具与计算器的 (2)求关于x的一元二次方程x2-m.x+ 概率分别是多少？ 1 m=0有实数根的概率。 (2)有同学认为，如果甲先抽，那么他抽到图 书的概率会大些，你同意这种说法吗？并 用画树状图的方式加以说明。 12 文具计算器 34 计算器图书 翻奖牌正南 型奖牌肾面 图25-4-37.(1)可能性极小：(2)可能性极小；(3)可能： (4)很可能：(5)一定：(6)不可能 【能力提升】 1.B 2.不可能事件（或确定性事件）点拨：此题 将三角形的构成条件与事件发生的可能性 综合在一起进行考查.解题要灵活运用各 知识点 3.甲点拨：两枚硬币同时抛出时，出现的可 能情况有：两个正面，两个反面，一正一反， 一反一正共4种结果，出现两个正面只有1 种结果，而出现其他情况的有3种结果，所 以甲获胜的机会大。 4.解：(1)出现的可能性一样.因为出现点数 为2或1(6的对面)的机会都是。 (2)出现的可能性不一样.其中取到红球的 可能性要大一些， (3)出现的可能性一样.因为一副扑克牌中 只有一张小王和一张黑桃3. (4)出现的可能性不一样.因为点数和为2 的只有“1+1”这一种情况，点数和为5的 有“4十1”“1十4”“2十3”“3十2”四种情况. 5.(1)随机事件：(2)随机事件：(3)随机事件： (4)必然事件；(5)不可能事件 精彩一题 解：随机事件不一定在每一次试验时都 会发生，当试验次数很多时，它的频率才可能 稳定在某数值附近， 第2课时概率 【基础巩固】 1.C2.D3.C4.D 6.g 7.解：抽取一件产品共有100种可能.(1)抽 到合格产品的可能结果有95种，所以 P(轴到合格产品)=流-品 (2)抽到不合格产品的可能结果有5种，所 以P(抽到不合格产品)=100一20： 51 【能力提升】 1.A2.A 346号 $2 ·千1点拨：首先黑球出现规律为第几个 图就有几个黑球，所以第⑩个图形中黑球 的个数为”个，总球数为m1D个，所以 2 取出一球是照球的概率为卫子 2 2 6.解：可以在20个扇形区域中，任意将其中 6个扇形涂上黄色，而余下14个均为非黄 色即可，设计不确定事件发生的概率为器 的方法很多，只要合理即可. 精彩一题 解：(1)4×25×200+200×50=30000（元）. (2)品0 25.2用列举法求概率 第3课时古典概型和列表法 【基础巩固】 1.B点拔：卡片号是5的倍数的概率为器 2.C点拔：掷两枚硬币可能出现的结果是： 正正，正反，反正，反反，其中全部正面朝上 的只有一种，所以全部正面朝上的概率 是品 3.A点拨：组成的两位数有10,12,20,21共 四种可能，其中是奇数的有一种可能，所以 组成的两位数中是奇数的概率为，故 选A 4.D点拨：列表如下： 七 八 九 九： 七 (七，八) (七，九) (七，九2) 八 (八，七)》 (八，九) (八，九) 九（九，七） (九1，八) (九，九) 九：（九，七） (九：·八) (九：，九) 由表格可知所有等可能的结果共有12种， 其中，九年级同学获得前两名有2种，所以 九年级同学获得前两名的概率是号=合 点拨：红桃有13张，共52张，P= 131 524 6. 4 7.解：如答图所示，用编号把2个白球、3个黑 球进行编号，用圆来代替球.所有组合的结 果有：①②.①③，①④，①⑤，②③，②④， ②⑤，③④，③⑤，④⑤.(1)两个都是白球 的概率是 (2)两个都是黑球的概率是 3 10 (3)1个白球、1个黑球的概率是品： ① ② ③④ ⑤ 白球 黑球 答图 8.解：一次从口袋中取出两个小球时，所有可能 出现的结果共6种，即（红，黑1），（红，黑2）， (红，黑3)，（黑1，黑2），（黑1，黑3）， (黑2，黑3)，且它们出现的可能性相等.满 足取出的小球都是黑球（记为事件A)的结 果有3种，即（黑1，黑2），（黑1，黑3）， (黑2，黑3)，则PA=号- 点拨：此题是用列举法来解决问题的，注 意：一次取出两个球与一次取出一个球放 回去，再取出一个球得到的两个球的结果， 是不一样的 【能力提升】 1.A点拨：红红和娜娜玩“锤子、剪刀、布”游 戏，所有可能出现的结果列表如下： 红红 锤子 剪刀 布 娜娜 锈子 (锈子，锤子) (锤子，剪刀)（锤子，布） 剪刀 (剪刀，锤子) (剪刀，剪刀)（剪刀，布 布 (布，锤子) (布，剪刀) (布，布) 由表格可知，共有9种等可能的情况.其中 平局的有3种：（锤子，锤子），（剪刀，剪 刀)，（布，布）：红红胜的有3种：（锤子， 布)，（剪刀，锤子），（布，剪刀）：娜娜胜的有 3种：（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）. 因此，红红和娜娜两人出相同手势的概率 为了，两人获胜的概率都为3，故选A. 2号 3.2 点拨：无理数有两个：π、√2，P(无理 数卡片)=子号 4号 点拔：此题是学科内一次函数的性质 与概率的综合题.当>0时，y随x的增大 而增大。 5.解：(1)列表如下： y值 A的结果 -1 -2 x值 -1 -2 -3 2 1 0 由上表可知，A的所有等可能结果为一2， -3,2,1,0,5,共有6种 (2)由(1)知，A是正值的结果有3种.所以 PA是正值)=音一立： 31 6.解：所有可能的结果列表如下： 和 甲 2 乙 1 偶数 偶数 奇数 2 奇数 奇数 偶数 2 奇数 奇数 偶数 由上表可知，共有9种结果，和为偶数的结 果有4种，所以P(甲胜)=号所以甲胜的 概率是总 点拨：本题采用列表法将所有等可能出现 的结果不重不漏地列出，再数出事件包含 的结果，借助计算公式便可求出这个事件 的概率. 7.解：0号 (2)列表如下： A B D E A AB AC AD AE B BA BC BD BE c CA CB CD CE D DA DB DC DE E EA EB EC ED 由表格可知，共有20种等可能的结果，其 中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形 的有6种结果，.两次所抽取的卡片恰好 都是轴对称图形的概率为品-品。 精彩一题 解：(1)设乙盒中有x个蓝球，则从乙盒 中任意摸出一球，摸到蓝球的概率为P,= 千3从甲盒中任意摸出一球，摸到蓝球的概 率为P=子，根据题意，得千3=合，解得 x=3,所以乙盒中有3个蓝球. (2)列表如下： 个 黄： 蓝 甲 (白，白)白1，黄4)（白1，黄：）（白1，蓝1）（白，蓝2）（白1，蓝3） 白 《白2，白)（白，黄1）（白：黄：》（白：蓝1）（白：蓝2）（白：蓝》 《黄，白) (黄，黄1)（黄，黄：）（黄，蓝）（黄，蓝）（黄，蓝：） 蓝（蓝，白）（蓝，黄1）（蓝，黄：》（蓝，蓝：）（蓝，蓝）（蓝，蓝x） 由表格可以看出，可能的结果有24种， 其中均为蓝球的有3种，因此从甲、乙两盒中 各摸出一球，两球均为蓝球的概率为P= 3=1 2481 第4课时树状图法 【基础巩固】 1.C点拨：共有16种等可能情况，这两个数 的和是2的倍数或是3的倍数的有：1+ 1=2,1+2=3.1+3=4.2+1=3,2+2= 4,2+4=6,3+1=4,3+3=6,4+2=6, 4十4=8，共10种，其概率为8=名，放 选C. 2 点拔：如答图25-4一1所示，共有27 种等可能的结果，其中至少有两辆车向左 转的结果有7种，故P(至少有两辆车向左 转)=品 第一辆车 第二炳 答图25一4一1 3.解：1) (2)树状图如答图25-4-2. 第1个开关 第2个开关 △&春 答图25一4-2 任意闭合其中两个开关的结果共有12种， 其中能使小灯泡发光的结果有6种，所以 小灯泡发光的概率是 点拨：本题把概率知识和物理电学知识相 结合，实现学科之间的联系。 4.解：(1)树状图如答图25一4一3. 甲模到的球 乙摸到的球白红黑白红黑白红闲 答图25-4一3 由树状图可知，所有可能的结果有9种，分 别是白白，白红，白黑，红白，红红，红黑，黑 白，黑红，黑黑 (2)因为乙摸到与甲相同颜色的球有3种 情况，即白白，红红，黑黑.所以乙能取胜的 概率为号-司 点拨：甲摸出一球后放回，因此乙再摸球 时，口袋中还是白、红、黑三个球 【能力提升】 1.A点拨：利用树状图分析，如答图25一 4一4所示，可看出共有16种情况，着地的 面所得的点数之和等于5的共有4种，则 着地的面所得的点数之和等于5的概率 为品 答图25-4-4 2.解：(1)第一位抽奖的同学抽中文具的概率 是子，抽中计算器的概率是分 (2)不同意.从答图25一4一5所示的树状 图中可以看出，所有可能出现的结果共有 12种，而且这些情况都是等可能的.先抽取 的人抽中图书的概率是子：后抽取的人抽 中图书的概率是是-子 所以甲、乙两位同学抽中图书的概率是相 等的. 甲 计算器 计算器 文具 答图25-4-5 点拨：本问题验证了我们生活中常用的一 种公平的抽签方式. 精彩一题 解：(1)如答图25一4一6所示，由图可知 m与n的所有对应值为：(0,0)，(0,1)， (0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1), (2,2),(3,0),(3,1),(3,2) (2)由方程得△=m2一2n,当m,n的对应 值为(0,0)，(1.0)，(2,0)，(2,1)，(2,2) (3,0),(3,1),(3,2)时，△≥0，原方程有实数 根，故P4>0)=是-号放方程有实数根的 概率为号 开始 答图25-4-6