第二十四章 圆 复习课-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

$@.由①@，可得R-4-2012s 5+√2 23 ,=162=80B-32,故所求圆锥的母线长为 5+√2 23 320√2-128 m,底面圆的半径为80-32m 23 23 复习课 【综合复习】 1.D2.C3.C4.D5.C 6.B点拨：作DF⊥CA,交CA的延长线于 点F,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.由 CD平分∠ACB,根据角平分线的性质得出 DF=DG,证明△AFD≌△BGD,△CDF ≌△CDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直 角三角形，从而求出CD=7√2. 7.C点拨：连接OC,,点I是△ABC的内 心，∴.AI平分∠BAC.∠CAI=35°， .∠BAC=2∠CAI=70°.，点O是△ABC 外接圆的圆心，.∠BOC=2∠BAC= 140.0B=0C,∠0BC=2×(180° ∠BOC)=20°.故选C. 8.60°或120°点拨：分两种情况：①当点C 在优弧AB上时，∠ACB=60°：②当点C 在劣弧AB上时，∠ACB=120° 9.解：如答图24一1，连接AO 在Rt△AOE中，AE=VAO-OE= √/52-4'=3(cm), 则弦AB的长为6cm. 答图24一1 10.解：(1)直线BD与⊙O相切.理由如下： 如答图24一2，连接OD, .∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴.∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B= 180°-30°-30°-30°=90， 即OD⊥BD,.直线BD与⊙O相切. (2)由(1)知，∠ODA=∠DAB=30°， .∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°. 又.OC=OD,.△DOC是等边三角形， ..OA=OD=CD=5. 又.∠B=30°，∠ODB=90°， .OB=2OD=10. .AB=OA+OB=5+10=15. 答图24-2 【聚焦中考】 1.B2.D3.D4.B 5.B点拨：本题考查弧长公式、等边三角形 的判定与性质.如答图24一3，连接CD.因 为∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8,所以 ∠BAC=90°-30=60°，AC=2AB=4.又 AC=CD,所以△ACD为等边三角形，所以 ∠ACD=60,所以D的长为60XxX4 180 冬故选B 答图24-3 6.30°点拨：OB=OC,∴.∠OCB=∠OBC= 55°，则∠BOC=180°-2∠OBC=70°， ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°.又 :0A=0C,.∠A=∠0CA=号(180° ∠AOC)=30° 7.6点拨：设圆锥的底面半径为r,母线长为 人.：S得维辑=元rl,.r=S网维蟹=36π πl 12π 3(cm),故底面直径为2×3=6(cm). 8.4一π点拨：由题知，BE=CE=CD=AB= 2,∠ABE=∠DCE=90°，.∠BAE= ∠AEB=∠CDE=∠DEC=45°，∴.阴影部 分的面积为2×（合×2×2）-2X(铝× π×22）=4-π. 9.√2点拨：，OA⊥BC,BC=2,·∠ODC 90°，BD=DC=1.,∠AOC=45°， ∴.△OCD是等腰直角三角形，.OC=√2DC √2.又AE是⊙O的切线，∴OA LAE,即 ∠OAE=90°.又，∠AOC=45°，.△AOE 是等腰直角三角形，∴AE=OA=OC=√2. 10.10.5点拨：由于E,F分别是AC,BC的 中点，由三角形中位线定理得EF∥AB,且 EF=2AB,所以EF为定值.由于∠ACB= 30°，则AB=7,EF=3.5,当GH过圆心O 时，GE+FH取得最大值2×7-3.5=10.5. 11.解：(1)证明： 方法一：连接OC, .在△OAB中，OA=OB,CA=CB. .OC⊥AB, 又，OC是⊙O的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线， 方法二：连接OC, OA=OB. 在△AOC和△BOC中，CA=CB, OC=OC. ∴.△AOC≌△BOC(SSS), ∴.∠OCA=∠OCB 又.∠OCA+∠OCB=180°， ∴∠0cA=∠0CB=号×180=90， .OC⊥AB, 又.OC是⊙O的半径， .直线AB是⊙O的切线. 答图24一4 (2)由(1)，知∠OCB=90°， :∠B=30°， .∠C0B=90°-30°=60°， S扇形cn= 60π·428π 360 3· 在Rt△OCB中，∠B=30°，OC=4. ∴.OB=8, ∴.BC=√OB-OC=√/82-4=4√3 ∴Sam=7·BC.0C=号×45X4= 8√5， ÷Se=S6mw-S05uw=8B-8 第二十五章 概率初步 25.1随机事件与概率 第1课时 随机事件 【基础巩固】 1.A2.C3.D4.D5.B 6.随机复习课 典例精析 【例1】如图24一1，AB是半圆O的直径，C· 为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为 为AO的中点，CD⊥AB交⊙O于点D,以C为 什么？ 圆心，CD长为半径画弧交AB于点E,若AB= (1)r=3cm;(2)r=4.8cm;(3)r=6cm. 8cm,则图中阴影部分的面积为 .(不 取近似值) 思路分析：求不规则图形的面积通常要转 化成规则图形的面积的和差关系.本题中阴影 部分的面积转化为S第影ODB一(S帛EDF一S△O) 即可 图24-2 连接DO,在Rt△DOC中， 思路分析：过点C作CD⊥AB于点D,求 .'DO=4 cm,CO=2 cm, 出CD的长，比较r与CD的大小即可判断⊙C ∴.DC=√DO2-COF=23cm,∠DOC= 与直线AB的位置关系， 60°， 解：过点C作CD⊥AB于点D 则S第形DE 90Xx×(23)=3x(cm), 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm, 360 BC=8cm,则AB=10cm, 又：Sa=AB.CD=AC·BC, ∴.10·CD=6×8,.CD=4.8cm 图24-1 (1)当r=3cm时，CD>r,⊙C与直线AB S△0m= 2×2×2月=2(cm). 相离： S06=120xX4-16 (2)当r=4.8cm时，CD=r,⊙C与直线 360 π(cm'). AB相切： .S用影=S扇形00B一(S扇形cDE一S△0） (3)当r=6cm时，CD<r,⊙C与直线AB 16 3x-(3x-23 相交 = 点拔：①判定直线与圆的位置关系有两种方 =(5+2(cm). 法：一是定义；二是根据圆心到直线的距离与半 径的大小关系.②直角三角形斜边上的高是常用 答案：(5+2cm 的辅助线，要注意用面积相等求线段长的方法 点拨：求与圆有关的阴影部分面积的问题， 【例3】如图24一3，PA是⊙O的切线，切点 常用的方法有：直接运用公式、和差法、割补法 为A,AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于点 等，主要思路是将不规则图形转化为规则图形. E,过A点作AB⊥PO于点D,交⊙O于点B, 【例2】如图24-2，在Rt△ABC中，∠C= 连接BC,PB.求证： 90°，AC=6cm,BC=8cm,在下列情况下，以C (1)PB是⊙O的切线： (2)点E为△PAB的内心. (2)如图，连接AE. 由(1)知∠OAP=90°， ∴.∠PAE+∠OAE=90 .AD⊥ED,∴.∠EAD+∠AED=90° ,OE=OA,∴.∠OAE=∠AED 图24-3 ∴.∠PAE=∠DAE,即AE平分∠PAD. 证明：(1)如图24一4，连接OB. 由(1)得△AOP≌△BOP, ∴·∠APO=∠BPO ∴.PD平分∠APB. PD与AE的交点为E, 点E为△PAB的内心 图24-4 点拨：作辅助线判定圆的切线的常用方法： .AO=BO,AB⊥PO (1)有切点，连半径，证垂直.如果已知直线 ∴.∠AOP=∠POB. 经过圆上的一点，那么连接这点和圆心，得到辅 又PO=PO,AO=BO, 助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可， .△AOP≌△BOP(SAS). 简记为：有切点，连半径，证垂直。 .∠OBP=∠OAP (2)无切点：作垂直，证半径.如果已知条件 ,PA为⊙O的切线，∴.∠OAP=90° 中不知道直线与圆是否有公共点，那么过圆心 ∴.∠OBP=90°，即OB⊥PB. 作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半 又：OB是⊙O的半径， 径即可，简记为：无切点，作垂直，证半径 ∴.PB是⊙O的切线. 】综合复习 1.如图24-5，点B、C在⊙O上，且BO=BC, A.1 cm B.5 cm 则圆周角∠BAC等于() C.1cm或5cm D.0.5cm或2.5cm A.60° B.50 C.40° D.30 4.已知⊙O的半径为13cm,弦AB∥CD,AB 2.如图24一6，PA、PB是⊙O的切线，切点分 24cm,CD=10cm,则AB、CD之间的距离为 别是A、B,如果∠P=60°，那么∠AOB等 () 于() A.17 cm B.7 cm 4.60° B.90 C.1209 D.1509 C.12 cm D.17cm或7cm 5.露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片 (如图24一7)，用它们恰好能围成一个圆锥模 型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于 120°，则此扇形的半径为( 图24-5 图24-6 图24-7 A.√3 B.√6 C.3 D.6 3.已知⊙O,与⊙O2相切，⊙O的半径为3cm, 6.如图24-8，⊙O的直径AB长为10，弦AC ⊙O2的半径为2cm,则OO,的长是( 长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D,则 CD的长为() 10.如图24一11，AD是⊙O的弦，AB经过圆心 A.7 B.72 C.82 D.9 O,交⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？ (2)连接CD,若CD=5,求AB的长. 图24-8 图24-9 7.如图24一9，点O是△ABC外接圆的圆心，点 I是△ABC的内心，连接OB,LA.若∠CAI 35°，则∠OBC的度数为( 图24-11 A.15° B.17.5°C.20° D.25 8.在⊙O中，直径为4，弦AB=25,点C是圆 上不同于A、B的点，那么∠ACB的度数 为 9.如图24一10，在直径为10cm的圆中，圆心到 弦AB的距离为4cm,求弦AB的长. 图24-10 聚焦中考 1.(广东)如图24-12，AB是⊙O的直径， 于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= ∠BAC=50°，则∠D=() () A.20°B.40° C.50° D.80° A.60 B.54° C.48 D.36 3.(吉林)如图24一14，AB,AC 是⊙O的弦，OB,OC是⊙O的 半径，点P为OB上任意一点 (点P不与点B重合)，连接 CP.若∠BAC=70°，则∠BPC 图24-14 图24-12 图24一13 的度数可能是() 2.(安徽)如图24一13，正五边形ABCDE内接 A.70 B.105° C.125 D.155 4.(陕西)如图24一15，△ABC内接于⊙O. 线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC ∠A=50°，点E是边BC的中点，连接OE并 45°，BC=2,则线段AE的长为 延长，交⊙O于点D,连接BD,则∠D的大小 为() A.55°B.65° C.60° D.75 图24-19 图24一20 10.(陕西)如图24一20，AB是⊙O的一条弦， 点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点 图24-15 图24-16 E,F分别是AC,BC的中点，直线EF与 5.(湖北)如图24-16，在Rt△ABC中，∠C= ⊙O交于G,H两点.若⊙O的半径为7，则 90°，∠B=30°，AB=8,以点C为圆心，CA的 GE十FH的最大值为 长为半径画弧，交AB于点D,则AD的长为 11.(青海)如图24一21，点C在⊙O上，直线 () AB经过点C.且OA=OB.CA=CB. (1)求证：直线AB是⊙O的切线； A.元 D.2x (2)若圆的半径为4，∠B=30°，求阴影部分 6.(成都)如图24一17，A,B,C是⊙O上的三个 的面积 点，∠AOB=50°，∠B=55°，则∠A的度数 为 图24-21 图24-17 图24-18 7.(哈尔滨)一个圆锥的侧面积是36πcm,母线 长是12cm,则这个圆锥的底面直径是 cm. 8.(重庆)如图24一18，在矩形ABCD中，AB= 2,BC=4,E为BC的中点，连接AE,DE,以 E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE,DE 交于点M,N,则图中阴影部分的面积为 ,(结果保留π) 9.(北京)如图24一19，OA是⊙O的半径，BC是 ⊙O的弦，OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切