24.4 弧长和扇形面积-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

24.4孤长和扇形面积 第11课时弧长和扇形面积 基础巩固 1.如图24一11一1所示是一个零件示意图，A, 5.一扇形的面积等于一圆的面积，且扇形半径 B,C处都是直角，MN是圆心角为90°的弧， 是圆的半径的2倍，则此扇形的圆心角是 则MN的长是() A. C.2π D.4x 6.如图24一11一4.在4×4的方格纸中（共有 16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正 43-N 方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇 形OAB的弧长等于 图24-11-1 图24-11-2 2.如图24-11-2，在△ABC中，AB=AC, AB=8,BC=12,分别以AB、AC为直径作半 图24-11-4 圆，则图中阴影部分的面积是( 7.如图24-11-5，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、 A.64π-12√/7 B.16x-32 ⊙E外离，它们的半径都是1，顺次连接五个 C.16π-24√7 D.16π-12√7 圆的圆心，得到五边形ABCDE,求图中阴影 3.如图24一11一3所示，⊙O的半径是1，A,B, 部分的面积. C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC 的长是( 图24-11-5 图24-11-3 A吉x 6系 c D.5 4.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个 扇形的弧长为（结果保留π）( A.元 B.2 C.3π D.4x 能力提升 1.如图24-11一6所示，分别以Rt△ABC的三 精影一题 边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线 (1)规察与思考：如图24一11一8①，已知⊙0 AB左边阴影部分的面积为S,,右边阴影部 的半径为R(常数)，当⊙O与直线AB切 分的面积和为S2,则( 于点A时，将⊙O沿直线AB滚动（无滑 A.S=S2 动)一周到点B,则圆心O移动的距离 B.S<S2 名 C.S>S D.无法确定 图24-11-6 2.已知，AB为半圆的直径，AB长为11，在半圆 内作⊙O使之与AB、AB都相切，⊙O的周长 为l2,则山与2的关系是() 图24-11-8 A.l>B.=l:C.l D. (2)实验与计算：如图24一11一8②、③，当 3.圆心角为40°的扇形的面积为9π，则此扇形 ⊙O与边长等于⊙O周长的三角形或正 所在的圆的半径为 方形的一边相切时，将⊙O沿正三角形或 4.(1)在⊙O中，半径是30cm,AB的长是 正方形周边滚动（无滑动）回到初始位置， 8πcm,则AB所对的圆心角是 分别求出圆心O移动的路程： (2)在⊙O中，108°的圆心角所对的弧长是 (3)探究与推广：一般地，将(2)中的“正三角形 12πcm,则⊙O的半径R= cm. 或正方形”改为正边形，其他条件和操作 5.如图24-11一7，已知点A、B、C、D均在已知 要求不变，求圆心O移动的路程s与n( 圆上，AD∥BC,BD平分∠ABC,∠BAD= 为大于或等于3的整数)之间的关系 120°，且四边形ABCD的周长为15.求： (1)此圆的半径： (2)图中阴影部分的面积. 图24-11-7 第12课时圆锥的侧面积和全面积 基础巩固 1.用半径为12cm,圆心角为90°的扇形纸片，： 6.若圆锥的侧面展开图是一个弧长为16π的扇 围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径 形，则这个圆锥的底面半径是 为() 7.已知一个圆锥形的零件的母线长为3cm,底 A.1.5 cm B.3 cm C.6 cm D.12 cm 面半径为2cm,则这个圆锥形零件的侧面积 2.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到 为 cm2.(用π表示) 一个半圆，则该圆锥的母线长为( 8.图24一12一3是一纸杯，将它的母线AC和 A.2.5 B.5 C.10 D.15 EF延长后形成的立体图形是圆锥.该圆锥的 3.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为 侧面展开图是扇形OAB.经测量，纸杯上开 5cm,则圆锥的侧面积是() 口圆的直径为6cm,下底面直径为4cm,母 A.20 cm2 B.20πcm 线长EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这 C.10πcm D.5πcm 个纸杯的表面积.（面积计算结果用π表示） 4.如图24一12一1，已知圆锥的母 线长为6cm,底面圆的半径为 3cm,则此圆锥侧面展开图的圆 心角是( 图24一12-1 A.30° B.60° C.90° D.180° 5.如图24一12-2，从一个直径为 图24-12-3 2的圆形铁皮中剪下一个圆心 角为60的扇形ABC,将剪下来 的扇形围成一个圆锥，则圆锥的 图24一12一2 底面圆半径为( A号 B 6 C 3 能力提升 1.如图24-12-4，在Rt△ABC 2.如图24-12-5，圆排 中，∠BAC=90°，AB=3,BC= 的底面半径OB为 5,若把Rt△ABC绕直线AC旋 10cm,在它的侧面展 转一周，则所得圆锥的侧面积等图24-12-4 开图中，扇形的半径 图24-12-5 于() AB为30cm,则这个扇形的圆心角a的度数 A.6π B.9π C.12π D.15π 为 3.如果圆锥的底面周长是20πcm,侧面展开后 精彩一题 所得的扇形的圆心角是120°，则该圆锥的侧 在一次数学探究性活动中，某学习小组要制 面积是 cm.(结果保留π) 作一个圆锥模型，制作方法是：在一块边长是 4.如图24一12-6，有一直径是1米的圆形铁 16cm的正方形纸片上剪下一个扇形和一个 皮，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形 圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆 ABC.求： 锥的底面.他们首先设计了如图24一12一8① (1)被剪掉阴影部分的面积： 所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他 (2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆 们调整了扇形和圆的半径，设计了如图 锥底面圆的半径是多少？ 24一12一8②所示的方案二.（两个方案的图 中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切. 方案一中扇形的弧与正方形两边相切) (1)请说明方案一不可行的理由： (2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆 图24-12-6 锥的母线长及其底面圆的半径；若不可 行，请说明理由. 5.如图24-12一7，从一个直径是2的圆形铁皮 中剪下一个圆心角为90的扇形. (1)求这个扇形的面积：（结果保留π） (2)在剩下的三块余料中，能否从第③块余料 图24-12-8 中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一 个圆锥？请说明理由； (3)当⊙O的半径R(R>0)为任意值时， (2)中的结论是否仍然成立？请说明理由， 3 图24一12-7【能力提升】 1.A点拨：设⊙O的半径为r,则AB,= r2 2.A点拨：设圆心为O,分别连接O与正八 边形的顶点，则可得八个全等的三角形，即 S正人边形ABCDEFGH=8S△ODE=4S△ADE=40. 3.4 4.解：1)正△ABC的内切圆半径为。 3a,外 接圆半径为2。，则圆环面积为。 (2)只需测量正△ABC的边长即可. (3)若改为正方形，则正方形的内切圆半径 为a,外接圆半径为√2a,圆环面积为πa2; 若改为正六边形，则正六边形的内切圆半 径为√3a,外接圆半径为2a,圆环面积为 πa2,由此得出结论：边长为2a的正三角 形、正方形、正六边形的内切圆与外接圆组 成的圆环面积为πa (4)正n边形的边长为2a时，它的内切圆 与外接圆组成的圆环面积为πa. 5.解：(1)连接圆心O和T1的六个顶点可得 六个全等的正三角形， 所以r：a=1：1;连接圆心O和T:的相 邻两个顶点，可得以⊙O的半径为高的正 三角形，所以r：b=√3：2. (2)T1与T2的边长比是3：2，.S：S= (a:b)2=3:4. 精彩一题 (1)证明：由题中图①知，∠AFC所对的 弧为ABC,因为AD=CF,而∠DAF所对的 弧DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC,所 以∠AFC=∠DAF,同理可证∠ADB ∠DBE=∠BEC=∠ECF=∠AFC.所以六 边形ADBECF的各内角相等. (2)证明：因为∠A所对的弧为BEG,∠B 所对的弧为CEA,∠A=∠B,所以BEG= CEA,所以BC=AG.同理可证AB=CD= EF=AG=BC=DE=FG.AB=BC= CD=DE=EF=FG=GA,所以七边形ABC DEFG是正七边形. (3)猜想：当边数是奇数时（即当边数是 3,5,7,9,…,时)，各角相等的圆内接多边形 是正多边形 24.4弧长和扇形面积 第11课时弧长和扇形面积 【基础巩固】 1.C 2.D点拨：本题考查等腰三角形的性质、扇 形面积公式，由图可知阴影部分的面积= 图中两个半圆的面积一等腰△ABC的面 积，所以S用s=16π一12√7，故选D, 3.B点拔：连接OB,OC,根据圆周角定理可 知∠0C=72,所以劣弧BC的长=渴x 4.A点拨：扇形弧长可用公式：1-求得， 由于本题n=90,r=2,因此这个扇形的弧 长为π. 5.90 Bx点拨：1=需-022=E 180 7.解：设五个扇形的圆心角依次为n°、2°、 °、n:°、n°，面积依次为SA、SB、Sc、SD、 SE,则S阴s=SA十SB十Sc十SD十SE= xX1+πX1'+西πX1'+X1十 360 360 360 360 5πX12 "360=3(m十十%十m十店).因为 五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180° 540°，所以h十2十+n十5=540，所以 Se=高×540=多x 【能力提升】 1.A点拨：5=·)= 82,5 9+)=4C+C, 8.因 为△ABC是直角三角形，所以AB2=AC2+ C=(AC)AB=S. 故选A. 2.C 3.94.(1)48°(2)20 5.解：(1).AD∥BC,∠BAD=120°， .∠ABC=60° 又，BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC=∠ADB=30°， ∴AB=AD=CD,∠BCD=60°， ∴.AB=AD=DC,∠BDC=90° 在Rt△BDC中，BC是圆的直径，BC=2DC, BC+BC-15,BC-6. 此圆的半径为3. (2)设BC的中点为O,由(1)可知O即为 圆心，连接OA,OD,过O作OE⊥AD于 E.在Rt△AOE中，∠AOE=30°， 0E=0M=39 2 Saw=2X3×25=9 4 S用影=SR形0D一SaD=60XxX3 360 -经-是5-6m9园 4 精彩一题 解：(1)2πR (2)如答图，⊙O沿 11A △ABC周边滚动时圆心O移 动线路是C1→C2→B1→B2→ A,→A2→C1,因为AzC1+ 答图 CB1+B2A1=3X2πR= 6πR.当⊙O滚动到与AC切于C时，O与C 重合，所以C,C⊥AC.当⊙O滚动到与BC切 于C时，O与C:重合，所以CC⊥BC.因为 ∠ACB=60°，所以∠C,CC=120°.所以⊙O 在三个顶点处三段弧(AA,B,B2,C,C2)的总 长为3×120mR=2xR,⊙0的圆心移动的路 180 程为6πR十2πR=8πR.当⊙O沿正方形的周 边滚动时，圆心移动的路程为4×2πR+4× 90R=10xR. 180 (3)从(2)可知，当⊙O沿正n边形的周边 滚动时，圆心O移动的路程为：s=n·2πR十 180-(n-2)180 180 一·πR·=n·2πR十2πR= 2(n+1)πR. 第12课时 圆锥的侧面积和全面积 【基础巩固】 1.B2.C3.C4.D5.B 6.87.6π 8.解：由题意可知：BA=6π，CD=4π， 设∠AOB=n°，AO=R,则CO=R-8. 由弧长公式得"R=6元，nrR8》=4: 180 180 6×180=nR, 解方程组 4×180=nR-8n, 解得/n45, ”R=24. 故扇形OAB的圆心角是45° ,R=24cm,R-8=16cm, .S扇形0CD= 号×4rX16=32π(cm2), Sa6mu=号×6rX24=72x(cm), S纸标解面积=S累形aAB一S第形cD=72π一32π= 40π(cm), S纸杯底面：=πX22=4π(cm2), S纸杯表面积=40π十4x=44π(cm). 【能力提升】 1.D 2.120°3.300π 4.解：(1)如答图24一12一1， 设O为圆心， 连接OA、OB、OC .OA=OC=OB.AB=AC, 答图24-12-1 ∴.△ABO≌△ACO 又∠BAC=120°， ∴.∠BAO=∠CAO=60°， ∴△AB0是等边三角形∴AB=)米。 .S扇形ABC 器x位-平方米)， ∴5m=广--晋（平方米. (2②)在扇形ABC中，C的长为}需x×号 (米). 设底面圆的半径为r 则2xr=号…r=后米。 5.解：(1)如答图24-12-2， 连接BC,由勾股定理求得 AB=AC=2,S=TR2 360 答图24-12-2 1 2x. (2)连接AO并延长，与BC和⊙O分别交于 点E、F. EF=AF-AE=2-E,C的长为惑 ② 元. “2r= 2， ·圆锥的底面直径为2= 2 2<9, ∴.不能在余料③中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成圆锥， (3)由勾股定理求得AB=AC=√2R, BC的长=IπR'=2 180 2r=是R 六圆维的底面直径为2-号R .EF=AF-AE=2R-√2R=(2-√2)R :2-E<号且R>0,∴(2-E)R<号R. 即无论半径R为何值，都有EF<2r .不能在余料③中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成圆锥， 精彩一题 解：(1)理由如下：，扇形的弧长= 90xX16=8x(cm),圆锥的底面周长=2 180 .底面圆的半径为4cm.由于所给正方形纸 片的对角线长为16√2cm,而制作这样的圆 锥实际需要正方形纸片的对角线长为16十 4+4√2=(20+4√2)(cm),20+4√2>16√2， 方案一不可行 (2)方案二可行，求解过程如下：设圆锥 底面圆的半径为rcm,圆锥的母线长为 Rcm,则(1+√2)r+R=16√2①，2πr= $@.由①@，可得R-4-2012s 5+√2 23 ,=162=80B-32,故所求圆锥的母线长为 5+√2 23 320√2-128 m,底面圆的半径为80-32m 23 23 复习课 【综合复习】 1.D2.C3.C4.D5.C 6.B点拨：作DF⊥CA,交CA的延长线于 点F,作DG⊥CB于点G,连接DA,DB.由 CD平分∠ACB,根据角平分线的性质得出 DF=DG,证明△AFD≌△BGD,△CDF ≌△CDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直 角三角形，从而求出CD=7√2. 7.C点拨：连接OC,,点I是△ABC的内 心，∴.AI平分∠BAC.∠CAI=35°， .∠BAC=2∠CAI=70°.，点O是△ABC 外接圆的圆心，.∠BOC=2∠BAC= 140.0B=0C,∠0BC=2×(180° ∠BOC)=20°.故选C. 8.60°或120°点拨：分两种情况：①当点C 在优弧AB上时，∠ACB=60°：②当点C 在劣弧AB上时，∠ACB=120° 9.解：如答图24一1，连接AO 在Rt△AOE中，AE=VAO-OE= √/52-4'=3(cm), 则弦AB的长为6cm. 答图24一1 10.解：(1)直线BD与⊙O相切.理由如下： 如答图24一2，连接OD, .∠ODA=∠DAB=∠B=30°， ∴.∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B= 180°-30°-30°-30°=90， 即OD⊥BD,.直线BD与⊙O相切. (2)由(1)知，∠ODA=∠DAB=30°， .∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°. 又.OC=OD,.△DOC是等边三角形， ..OA=OD=CD=5. 又.∠B=30°，∠ODB=90°， .OB=2OD=10. .AB=OA+OB=5+10=15. 答图24-2 【聚焦中考】 1.B2.D3.D4.B 5.B点拨：本题考查弧长公式、等边三角形 的判定与性质.如答图24一3，连接CD.因 为∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8,所以 ∠BAC=90°-30=60°，AC=2AB=4.又 AC=CD,所以△ACD为等边三角形，所以 ∠ACD=60,所以D的长为60XxX4 180 冬故选B 答图24-3 6.30°点拨：OB=OC,∴.∠OCB=∠OBC= 55°，则∠BOC=180°-2∠OBC=70°， ∴.∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°.又