24.3 正多边形和圆-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

3.A点拨：相交时，4一1<OO2<4十1，即 3<O,O,<5.因为取值中不包含3和5两 点，所以用空心圆圈表示，所以表示正确的 为A. 4.A 5.B点拨：1<d<5,即3-2<d<3十2， 也就是说两圆的圆心距大于两圆半径之差 的绝对值而小于两圆半径之和，因此两圆 相交，故选B 6.相交7.2 8.(1)两圆相交(2)两圆内含，且两圆为同心 圆(3)两圆内切(4)两圆外切(5)两圆 外离(6)两圆内含 【能力提升】 1.B点拨：方程的两根为x1=2,x2=3,设 R=3,r=2,则R-r=1.又d=1,.d= R一，.两圆内切. 2.8点拨：连接OA,OC,在Rt△OAC中， AC=√OA2-OC=√5-32=4(cm),所以 AB=2AC=8 cm. 3.6点拨：过切点作大圆直径，设正方形边 长为a,过O作OE⊥AD,则DE=OQ=2, DQ=号，AE=a-2.在Rt△AOE中， 0A=AE+0E,即5=(a-2)2+(受)， 解得a,=6a,=一（会去）AB=6. 4.证明：连接OO2,则P点在OO,上， .OA=0P, .∠A=∠OPA. 同理可证，∠B=∠OPB. 又.∠OPA=∠O2PB, .∠A=∠B,.O1A∥OB. 5.解：由三个圆心构成边长为2的等边三角 形△00.0其商为0,0=号×2=5. .其最高点到地面的距离为2r十√3=2十 5. 精彩一题 í11-2t(0t5.5), 解：(1)d= 2t-11(t>5.5). (2)两圆第一次相切（外切，⊙A在⊙B 左侧)时， AB=1+t+1=(t+2)cm,AB=d= (11-2t)cm,∴.t+2=11-2t,∴.3t=9,t=3. 两圆第二次相切（内切，切点在⊙B左 侧)时， AB=1+t-1=t(cm),AB=d=(11 20m4=1-2,4=号 两圆第三次相切（内切，切点在⊙B右 侧)时， AB=1+t-1=t(cm),AB=d=(2t- 11)cm,∴.t=21-11,∴.t=11. 两圆第四次相切（外切，⊙A在⊙B右 侧)时， AB=1+t+1=(t+2)cm,AB=d= (2t-11)cm,.t+2=2t-11,.t=13. “⊙A出发3s两圆外切，号s两圆内 切，11s两圆内切，13s两圆外切. 24.3正多边形和圆 第10课时正多边形和圆 【基础巩固】 1.C2.D3.B4.B5.D 6.√3cm7.8 8.证明：因为∠A=∠B,所以BDE=CDA.所 以BDE-CE=CDA-CE,即BC=AE.所 以BC=AE,同理可证其余各边都相等.所 以五边形ABCDE是正五边形 【能力提升】 1.A点拨：设⊙O的半径为r,则AB,= r2 2.A点拨：设圆心为O,分别连接O与正八 边形的顶点，则可得八个全等的三角形，即 S正人边形ABCDEFGH=8S△ODE=4S△ADE=40. 3.4 4.解：1)正△ABC的内切圆半径为。 3a,外 接圆半径为2。，则圆环面积为。 (2)只需测量正△ABC的边长即可. (3)若改为正方形，则正方形的内切圆半径 为a,外接圆半径为√2a,圆环面积为πa2; 若改为正六边形，则正六边形的内切圆半 径为√3a,外接圆半径为2a,圆环面积为 πa2,由此得出结论：边长为2a的正三角 形、正方形、正六边形的内切圆与外接圆组 成的圆环面积为πa (4)正n边形的边长为2a时，它的内切圆 与外接圆组成的圆环面积为πa. 5.解：(1)连接圆心O和T1的六个顶点可得 六个全等的正三角形， 所以r：a=1：1;连接圆心O和T:的相 邻两个顶点，可得以⊙O的半径为高的正 三角形，所以r：b=√3：2. (2)T1与T2的边长比是3：2，.S：S= (a:b)2=3:4. 精彩一题 (1)证明：由题中图①知，∠AFC所对的 弧为ABC,因为AD=CF,而∠DAF所对的 弧DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC,所 以∠AFC=∠DAF,同理可证∠ADB ∠DBE=∠BEC=∠ECF=∠AFC.所以六 边形ADBECF的各内角相等. (2)证明：因为∠A所对的弧为BEG,∠B 所对的弧为CEA,∠A=∠B,所以BEG= CEA,所以BC=AG.同理可证AB=CD= EF=AG=BC=DE=FG.AB=BC= CD=DE=EF=FG=GA,所以七边形ABC DEFG是正七边形. (3)猜想：当边数是奇数时（即当边数是 3,5,7,9,…,时)，各角相等的圆内接多边形 是正多边形 24.4弧长和扇形面积 第11课时弧长和扇形面积 【基础巩固】 1.C 2.D点拨：本题考查等腰三角形的性质、扇 形面积公式，由图可知阴影部分的面积= 图中两个半圆的面积一等腰△ABC的面 积，所以S用s=16π一12√7，故选D, 3.B点拔：连接OB,OC,根据圆周角定理可 知∠0C=72,所以劣弧BC的长=渴x 4.A点拨：扇形弧长可用公式：1-求得， 由于本题n=90,r=2,因此这个扇形的弧 长为π. 5.90 Bx点拨：1=需-022=E 180 7.解：设五个扇形的圆心角依次为n°、2°、 °、n:°、n°，面积依次为SA、SB、Sc、SD、 SE,则S阴s=SA十SB十Sc十SD十SE= xX1+πX1'+西πX1'+X1十 360 360 360 36024.3 正多边形和圆 第10课时正多边形和圆 基础巩固 1.如图24一10一1，⊙O是等边三角形ABC的 ·4.如图24一10一3，已知正六边形的边心距为 外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC √3，则它的周长是( 的边长为( 0 A HB 图24-10-3 图24-10-1 A.6 B.12 C.65D.123 A./3 B.5 5.如图24-10-4，在⊙O中，OA=AB,OC1 C.23 D.25 AB,则下列结论错误的是( 2.如图24-10-2，△PQR是⊙O的内接正三 角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR,则∠AOQ的度数为( 图24-10-4 A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 图24-10-2 C.AC=BC A.60° B.65 C.72 D.75 D.∠BAC=30 3.下列说法正确的有() 6.圆的内接正三角形的边长为3cm,则圆的半 ①各边相等的多边形是正多边形： 径为 ②圆内接菱形是正方形： 7.如图24一10一5，以正六边形的 ③各角相等的圆内接多边形是正多边形： 顶点为圆心、4cm为半径的六 ④正多边形都是中心对称图形. 个圆中，相邻两圆外切，则该正 A.0个B.1个 C.2个 D.3个 六边形的边长是 cm, 图24-10-5 8.如图24一10一6，五边形ABCDE内接于 ⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.求证：五 边形ABCDE是正五边形 图24-10-6 能力提升 1.如图24一10一7，若正△A,B,C内接于正 4.如图24一10一10，正三角形的边长为2a. △△BC的内切圆，则治的值为( (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的 面积； A. B② (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测 C.3 量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正 六边形”，你能得出怎样的结论？ (4)已知正n边形的边长为2a,请写出它的内 切圆与外接圆组成的圆环的面积. 图24-10-7图24-10-8图24-10-9 2.如图24一10一8，有一圆内接正八边形ABC DEFGH,若△ADE的面积为10，则正八边 形ABCDEFGH的面积为( 图24-10一10 A.40 B.50 C.60 D.80 3.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图24 10一9中阴影部分的面积为12√3，则⊙O的 半径为 5.如图24-10-11，有一个⊙0和两个正六边 精影-题 形T1,T2.T的6个顶点都在圆周上，T2的 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多 6条边都和⊙O相切（我们称T,T:分别为 边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论： ⊙O的内接正六边形和外切正六边形). 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆 (1)设T,T2的边长分别为a,b,⊙O的半径 内接矩形 为r,求r:a及r:b的值： 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正 (2)求正六边形T,T:的面积比S:：S2 多边形，如图24一10-12①所示，△ABC是 的值 正三角形，AD=BE=CF,可以证明六边形 T ADBECF各内角相等，但它不是正六边形. 丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边 形，我想边数是7时它可能也是正多边形. 图24-10-11 (1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等； (2)请你证明各内角相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图24-10-12②)是正七 边形：（不必写已知、求证） (3)根据以上探索过程，提出你的猜想.（不必 证明) ② 图24-10-12