24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系 第5课时卜点和圆的位置关系 基础巩固 1.若⊙O的半径为5cm,点A到圆心O的距离 7.如图24一5一2，在锐角△ABC中，∠A=45°， 为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是 BC=2cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆 () 形纸片的直径是 cm. A.点A在圆外 B.点A在圆上 C.点A在圆内 D.不能确定 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm, D点是AB边的中点，以A点为圆心，4cm 图24-5-2 为半径作圆，则A、B、C、D四点中，在圆内的 8.如图24一5-3，已知矩形ABCD的边AB= 有() 3 cm,AD=4 cm. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A,则点 3.下列命题中正确的是( ) B、C、D与⊙A的位置关系如何？ A.三点确定一个圆 (2)若以A点为圆心作⊙A,使B、C、D三点 B.任何一个三角形有且仅有一个外接圆 中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆 C.任何一个四边形都有一个外接圆 外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？ D.等腰三角形的外心一定在三角形内 4.用反证法证明命题“若⊙O的半径为r,点P 到圆心的距离为d,且d>r,则点P在⊙O的 外部”，首先应假设() 图24-5-3 A.d<r B.d=r C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或点P在⊙O内 5.已知Rt△ABC的两直角边的长 分别为6cm和8cm,则它的外 接圆的半径为 cm 6.如图24-5-1，△ABC的外心 坐标是 图24一5-1 能力提升 1.矩形ABCD中，AB=8,BC=3√5，点P在边 7.如图24-5-7，在△ABC中，∠C=90°，AB AB上，且BP=3AP,如果⊙P是以点P为 5cm,BC=4cm,以A为圆心，3cm为半径 圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的 作圆，试判断： 是() (1)点C与⊙A的位置关系； A.点B、C均在⊙P外 (2)点B与⊙A的位置关系： B.点B在⊙P外、点C在⊙P内 (3)AB的中点D与⊙A的位置关系. C,点B在⊙P内、点C在⊙P外 D.点B、C均在⊙P内 2.如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那 么∠BAC等于() Λ.35 B.110 图24-5-7 C.145 D.35°或145 3.如图24-5-4，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中 线，以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点 为P,则点P与⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.无法确定 精彩一题 如图24一5一8，已知梯形ABCD中，AB∥ CD,AD=BC,AB=48,CD=30,高为27，求 图24-5-4 图24-5-5 作一个圆经过A,B,C,D四点，写出作法并 4.如图24一5-5，⊙O是正三角形ABC的外接 求出这个圆的半径 圆，点P在劣弧AB上，∠ABP=22°，则 ∠BCP的度数为 5.用反证法证明命题“△ABC中至少有两个锐 角”时，第一步假设为 图24-5-8 6.如图24一5一6，△ABC是⊙O的内接三角 形，点D是BC的中点，已知∠AOB=98°， ∠COB=120°，则∠ABD的度数是 图24-5-6 第6课时直线和圆的位置关系 基础巩固 1.⊙O的半径是9，点O到直线1的距离是7， ·6.如图24一6-1，已知∠AOB=45°，M为OB 则直线1与⊙O的位置关系是( 上一点，且OM=8cm.在下列情况下，以M A.相离 B.相切 为圆心，r为半径的圆与直线OA有何位置 C.相交 D.无法判断 关系？ 2.设⊙O的半径为r,点O到直线1的距离是 (1)r=32cm: d,若⊙O与1至少有一个公共点，则r与d (2)r=4√2cm; 之间的关系是() (3)r=5√2cm. A.d>r B.d=r C.d<r D.d≤r 图24-6-1 3.直线（上的一点到圆心O的距离等于⊙O的 半径，则1与⊙O的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 4.当直线和圆有两个公共点时，直线和圆的位 置关系是 ,圆心到直线的距离d与 圆的半径”之间的关系为 5.已知∠AOB=60°，点C在OA上，且OC=4, 若以C为圆心，R为半径的圆与直线OB相 交，则R的取值范围是 能力提升 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2√2， 3.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心坐标是 以C为圆心，2.5为半径作⊙C,则⊙C与直 (5,一4)，半径为.若⊙O与x轴相切，则r 线AB() A.相交 B.相切 4.⊙O的半径为r,圆心O到直线1的距离为 C.相离 D.相交或相离 d,d、r是方程2x2一17x+36=0的两个根， 2.OC平分∠AOB,M是OC上任一点(O除 则直线和圆的位置关系是 外)，若以M为圆心的⊙M与OA相交，那么 5.如图24-6-2，直线AB,CD 相交于点O,∠AOC=30°，半 h⊙ ⊙M与OB的位置关系是( 0 A.相离 B.相切 径为1cm的⊙P的圆心在 C.相交 D.相交或相切 直线AB上，开始时，PO= 图24-6-2 6cm.如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B Y精彩-题 的方向移动，那么 s后⊙P与直线 已知∠MAN=30°，O为AN上一点，以O为 CD相切. 圆心，2为半径作⊙O,交AN于D,E两点， 6.如图24-6一3，菱形ABCD的对角线AC, 设AD=x. BD交于点O,且AC=6,BD=2√3，以O为 (1)如图24一6一5①所示，当x为何值时， 圆心，1.5为半径作圆.试说明⊙O与AD ⊙O与AM相切？ 相切. (2)如图24一6一5②所示，当x为何值时， ⊙O与AM相交于B,C两点，且∠BOC= 90°？ 图24-6-3 ② 图24-6-5 7.如图24一6一4，⊙O的半径OC=10cm,直线 1⊥CO,垂足为H,交⊙O于A、B两点，AB= 16cm,直线1平移多少厘米时能与⊙O 相切？ 图24-6-4 第7课时圆的切线的性质和判定 基础巩固 1.下列直线是圆的切线的是( 4.如图24一7一2所示，AB是⊙O的直径， A.与圆有公共点的直线 点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C,若 B.圆心到该直线的距离等于圆的半径 ∠A=25°，则∠D等于() C.垂直于圆的半径的直线 A.20 B.309 C.40 D.50 D.过圆的半径外端的直线 5.如图24-7-3，已知PA是 2.圆的切线( ⊙O的切线，A是切点，PC A.垂直于半径 是过圆心的一条割线，点 B.平行于半径 B,C是它与⊙O的交点，且 图24-7-3 C.垂直于经过切点的半径 PA=8,PB=4,则⊙O的半径为 D.以上都不对 6.如图24一7一4所示，在△ABC中，∠B= 3.如图24-7-1所示，AB是⊙O的直径，BC 60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O 交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是 的切线，交CO的延长线于点P,CP交⊙O ⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条 于点D 件不正确的是( (1)求证：AP=AC: A.DE=DO B.AB=AC (2)若AC=3,求PC的长 C.CD=DB D.AC∥OD 图24-7-4 图24-7-1 图24-7-2 能力提升 1.如图24一7一5，若⊙0的直 2.如图24一7一6，在平面直角坐 径AB与弦AC的夹角为 标系中，点A在第一象限，⊙A 30°，切线CD与AB的延长 与x轴相切于点B,与y轴交 图24-7-5 线交于点D,且⊙O的半径 于C(0,1),D(0,4)两点，则点 为2，则CD的长为() A的坐标是( 图24-7-6 A.23 B.4√5 C.2 D.4 A(层)B(层2C.(2)D.(受) 3.如图24-7一7，∠MAB=30°，P为AB上的8.如图24一7-12，AB是⊙O的切线，A为切 点，⊙P与AM相切于点M,且AM=9,则 点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于H. ⊙P的半径为 若OH=2,AB=12,BO=13.求： (1)⊙O的半径： (2)AC的值. 图24-7-7图24-7-8 图24-7-9 4.如图24一7一8，已知三角形ABC内接于 图24-7-12 ⊙O,AB为直径，过点A作直线EF,要使 EF是⊙O的切线，可添加的条件是： ① .② .③ 5.如图24一7-9所示，AB是⊙O的直径，AC 是⊙O的切线，A为切点，连接BC交⊙O于 点D,若∠C=50°，则∠AOD= 度 6.如图24一7-10，已知AB是⊙0的直径，直 线CD与⊙O相切于点C,AC平分∠DAB. (1)求证：AD⊥CD: 精彩一题 (2)若AD=2,AC=√5，求AB的长. 如图24一7-13，在Rt△ABC中，∠B=90°， ∠A的平分线交BC于点D,E为AB上的一 点，DE=DC,以D为圆心，DB长为半径作 ⊙D.求证： (1)AC是⊙D的切线： (2)AB+EB=AC. 图24-7-10 7.如图24-7-11，在△ABC中，AB=BC,以 AB为直径的⊙O与AC交于D,过D作 图24-7-13 DF⊥BC,交AB的延长线于E,垂足为F.求 证：直线DE是⊙O的切线。 图24-7-11 第8课时圆的切线长性质 基础巩固 1.如图24-8一1所示，⊙O的半径为2，直线 ·6.如图24-8-5，PA,PB是⊙O的切线，A,B PA,PB为⊙O的切线，A,B为切点，若PA 为切点，∠OAB=38°，则∠P= PB,则OP的长为( ) 7.如图24一8一6，PA,PB是⊙O的两条切线， A.4√2 B.4 C.22 D.2 A,B为切点，如果OP=4,PA=2√5，求 ∠AOB的度数. 图24-8-1 图24-8-2 图24-8-6 2.如图24一8一2，点O是△ABC的内切圆的圆 心，若∠BAC=80°，则∠BOC等于( A.130° B.100 C.50 D.65 3.下列说法正确的有() ①任意一个三角形都有且只有一个内切圆： ②三角形的内心都在三角形的内部： 8.如图24一8一7，AB为⊙O的直径，C为⊙O ③三角形的内心到三角形各顶点的距离 上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC 相等： 的垂线，垂足为E,连接OD. ④三角形的内心与三角形各顶点的连线分别 (1)求证：∠A=∠DOB: 平分这个三角形的三个内角. (2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 理由 4.如图24一8一3所示，⊙O是边长为2的等边 三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为 图24一8-7 图24-8-3图24-8-4 图24-8-5 5.一根钢管放在V形架内，如图24一8一4是其 截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为 25cm,∠MPN=60°，则OP= 能力提升 1.如图24一8一8，△ABC的内切圆⊙O与各边 而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且 相切于点D、E、F,且∠FOD=∠EOD= 测得PA=5cm,求铁环的半径. 135°，则△ABC一定不是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 图24-8-12 图24-8-8 图24-8-9 2.如图24一8一9，正三角形内切圆的半径为1， 则正三角形的边长为() A.2 B.23 C.3 D.3 3.如图24-8-10，以正方形ABCD的BC边 为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点 6.如图24-8-13，P是⊙O外一点，PA,PB F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EB 分别和⊙O切于A,B,PA=PB=4cm, CD的周长之比为( ) ∠APB=40°，C是AB上任意一点，过C作 ⊙O的切线，分别交PA,PB于D,E.求： A.3:4 B.4:5 C.5:6 D.6:7 (1)△PDE的周长： (2)∠DOE的度数. 图24-8-10 图24-8-11 4.如图24一8-11，AC是⊙O的直径，∠ACB= 60°，连接AB,过A,B两点分别作⊙O的切 图24-8-13 线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1， 则△PAB的周长为 5.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用 了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用有 一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如 图24一8一12所示的方法得到相关数据，进 少精彩一题 (1)理解与应用：利用阅读材料中的结论，计 算三边长分别为5,12,13的三角形内切 阅读材料：如图24一8一14①，△ABC的周长 圆半径； 为l,内切⊙O的半径为r,连接OA,OB,OC, (2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆 △ABC被划分为三个小三角形，用S表示 (与各边都相切的圆，如图24一8一14②) △ABC的面积. 且四边形面积为S,各边长分别为a,b,c, 因为S=S△aAB十S△C十S△xA,又因为 d,试推导四边形的内切圆半径公式： Som-AB r,Some-BCr,- (3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3 AC.r 的整数)存在内切圆，且n边形面积为S, 各边长分别为a1,ag,a…,4m,合理猜想 所以S=AB·r+号BCr+ACr= 其内切圆半径公式（不需说明理由）」 所以r=S ① 图24-8-14 第9课时实验与探究 圆和圆的位置关系 基础巩固 1.两圆没有公共点时，两圆一定( 位后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是() A.相交 A.内含 B.内切 C.相交D.外切 B.外离 C.内含 D.外离或内含 2.如图24一9一1所示，7×4的方格（每个方格的 图24-9-1 边长为1个单位)中，⊙A的半径为1，⊙B的 3.已知⊙O和⊙O的半径分别为1和4，如果 半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单 两圆的位置关系为相交，那么圆心距OO2的 取值范围在数轴上表示正确的是( 8.设⊙O,和⊙O,的半径分别为R和r,圆心距 为d,在下列情况下，⊙O,和⊙O的位置关 012方45→ A 系怎样？ (1)R=6 cm,r=3 cm,d=4 cm: 0123}方 012345 (2)R=6 cm.r=3 cm.d=0 cm; C D (3)R=3 cm,r=7 cm,d=4 cm; 4.已知两圆的直径分别为7十t和7一t,如果它 (4)R=1 cm,r=6 cm.d=7 cm; 们的圆心距为t,那么两圆的位置关系 (5)R=6 cm,r=3 cm,d=10 cm; 是() (6)R=3 cm,r=5 cm.d=1 cm. A.内切 B.外切 C.相交 D.内含 5.同一平面内的两个圆，它们的半径分别为2 和3，圆心距为d.当1<d<5时，两圆的位置 关系是( ) A.外离 B.相交 C.内切或外切 D.内含 6.如图24一9一2所示的是一个小 熊的头像，图中反映出圆与圆的 四种位置关系，但是其中有一种 位置关系没有反映出来，它是两图24一9一2 圆 7.已知⊙O和⊙O的半径分别为3cm和5cm. 且它们内切，则圆心距OO,等于 cm. 能力提升 1.已知两圆的半径R、r分别为方程x2一5.x+ 6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置 关系是() A.外离 B.内切 图24-9-3 图24-9-4 C.相交 D.外切 3.如图24一9-4，PQ=3,以PQ为直径的圆与 2.如图24一9一3，在以O为圆心的两个同心圆 一个以5为半径的圆相切于点P,正方形 中，大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆 ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形 的半径为5cm,小圆的半径为3cm,则弦AB 的外部且与CD切于点Q,则AB= 的长为 cm.∠2+∠D+∠E=360°.又因为∠1+∠2 180°-∠BAC=130°，所以∠D+∠E=230° 答图24一4-2 3.58 4.解：AE=ED.证明如下：连接OE,因为OA 为⊙C的直径，所以OE⊥AE,所以AE ED. 5.解：(1)连接OB,,OA=OB, ∴.∠OBA=∠OAB=35°， ∴.∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=110°. ∴B=2∠A0B=55 (2)a与3的关系为3=90°-a.证明如下： .OA=OB,.∠OBA=∠OAB=a. ∴.∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB= 180°-2a. ∴g=2∠A0B=90-a 精彩一题 解：(1)命题：如果AF=DF,DE⊥AB, 那么AD=CD. 证明：如答图24一4一3，连接BD,AD 答图24一4一3 因为AB为半圆O的直径，所以∠ADE+ ∠BDE=90°. 又因为DE⊥AB,所以∠B+∠BDE= 90°， 所以∠B=∠ADE.因为AF=DF, 所以∠CAD=∠ADE. 所以∠B=∠CAD,所以AD=CD (2)可以得到三个正确的命题： ①如果AD=CD,DE⊥AB. 那么AF=DF; ②如果AD=CD,AF=DF, 那么DE⊥AB: ③如果DE⊥AB,AF=DF, 那么AD=CD 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 第5课时点和圆的位置关系 【基础巩固】 1.C2.B3.B4.D 5.56.(-2,-1) 7.2√2点拔：如答图24-5一1，作圆的直径 CH,连接BH.由圆周角定理的推论得 ∠H=∠A=45°，∠HBC=90°，∴.CH= √2BC=2,/2cm. 答图24-5-1 8.解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D 在⊙A上 (2)3 cm<r<5 cm 【能力提升】 1.C点拨：易得PB=6,PC=9,⊙P的半径 为7，则点B在⊙P内，点C在⊙P外 2.D点拨：∠BAC为△ABC外接圆的圆周 角，又：∠BOC=70°，.∠BAC=35 或145°. 3.A点拨：连接OP,则OP为△ACD的中 位线，OP=AD=}AB=号.由已知易得 ⊙O的半径为3，故点P在⊙O内. 4.38 5.△ABC中只有一个锐角. 6.101°点拨：由∠AOB=98°，∠COB= 120°，得∠AOC=142°，.∠ABC=71. :D是EC的中点，∠CBD=2∠BAC= ∠B0C=30,·∠ABD=∠ABC十 ∠CBD=101. 7.解：(1)由勾股定理，得 AC=52-4=3(cm). 当以点A为圆心，3cm为半径作圆时，有 r=d, 故点C在⊙A上. (2)AB=5cm,有d>r,故点B在⊙A外. (3)因为点D是AB的中点，AB=5cm, 所以AD=2.5cm, d<r,故AB的中点D在⊙A内. 点拔：判断点与圆的位置关系时，只需确定 点与圆心的距离及圆的半径，然后进行比 较即可. 精彩一题 解：分别作DC,AD的垂直平分线1，m, 交点为O, 则O为△ADC的外 接圆圆心（如答图 24-5-2). 设I与CD,AB分别 交于E,F,连接OA,OB, OC.OD. 答图24-5-2 因为四边形ABCD为等腰梯形， 所以1为其对称轴，所以OB=OA, 因为OC=OD,OD=OA,OA=OB, 所以O为等腰梯形ABCD的外接圆的 圆心 以O为圆心，OA为半径作圆，即为所求 的圆 设OE=x,则OF=27-x. 因为OC=OB. 所以W152+x=√/(27-x)2+24, 解得x=20. 所以OC=√/15+202=25， 即这个圆的半径为25， 点拨：要求作一个圆经过A,B,C,D四个 点，应该先选三个点确定一个圆，然后证明第 四个点也在圆上即可.再利用勾股定理列方 程可求得圆的半径。 第6课时直线和圆的位置关系 【基础巩固】 1.C 2.D点拨：“至少有一个”的意思是有一个或 两个 3.D点拨：此题易出现选B项的错误，本题 没有给出圆心到直线的距离，给出的是圆 心到直线上某点的距离，应引起注意. 4.相交d<r 5.R>2√3点拨：画出图形，结合图形可知 圆心C到直线OB的距离为2√3，因此当 R>2√3时，⊙C与直线OB相交. 6.解：过M作MN⊥OA,垂足 为N(如答图24一6一1). 因为∠AOB=45°， 所以ON=MN. 答图24-6一1 所以2MN=OMP=82, 所以MN=4√2cm. 即圆心M到直线OA的距离d为4√2cm. (1)当r=3√2cm时，d>r,直线OA与 ⊙M相离； (2)当r=4√2cm时，d=r,直线OA与 ⊙M相切： (3)当r=5√2cm时，d<r,直线OA与 ⊙M相交， 【能力提升】 1.A2.C 3.4点拨：圆心到x轴的距离是4，所以r=4. 4.相交或相离点拔：此题是直线与圆的位 置关系和解一元二次方程的综合题.通过 解方程得出d与r的值，再进行判定.要注 意此题存在两种情况：d>r或d<r. 5.4或8点拨：对于动点问题我们应结合图形 进行分析、判断，本题应考虑两种可能情况 6.解：如答图24一6一2，过O作OE⊥AD,垂 足为E.在菱形ABCD中，AC=6,BD= 23,BD与AC垂直且平分，所以AO=3, D0=√5.所以AD=√32+(3)2=2√3.由 三角形的面积，得OE·AD=OA·OD,所以 OE-OA:0D=3×5=1.5.所以E0= AD 23 r=1.5.所以⊙O与AD相切. 点拔：判断一个圆与直线相切，我们可以从 圆心到直线的距离是否等于圆的半径入手 进行分析、判断。 答图24-6-2 7.解：连接OA,延长CO交⊙O于D, ,l⊥OC,.OC平分AB,.AH=8cm. 在Rt△AHO中，OH=√AO-AH平= √10-82=6(cm). .'CH=4 cm,DH=16 cm. '.直线AB向左平移4cm或向右平移 16cm时与⊙O相切. 精彩一题 解：(1)假设⊙O与AM相切于点F,如 答图24一6-3①所示， 连接OF,则OF=2 又，在Rt△OAF中，∠A=30°， ∴.OA=2OF=2×2=4, .x=AD=OA-OD=4-2=2, 即x=2时，⊙O与AM相切. (2)如答图24一6-3②所示， 过O作OF⊥BC,垂足为F, ,OB=OC,且∠BOC=90°， ∴.△BOC为等腰直角三角形， OF-BF-CF-7BC. ,BC=√OB+OC=√22+2=2√2， ∴0F=2BC=E. 又.在Rt△AOF中，∠OAF=30°， ..AO=20F, .x+2=22,.x=2√2-2， .当x=2√2-2时，⊙O与AM相交于 B,C两点，且∠BOC=90 答图24-6-3 第7课时圆的切线的性质和判定 【基础巩固】 1.B2.C 3.A点拨：由于D是圆上一点，所以要说明 DE是切线，只需证明OD⊥DE即可，又因 为DE⊥AC,所以当AC∥OD时，可得ODI DE.因为当CD=DB时，即D为BC的中 点，而O为AB的中点，所以OD∥AC.在 当AB=AC时，连接AD,因为AB是直 径，所以AD⊥BC,所以CD=DB,因此B, C,D选项均可以说明DE是⊙O的切线. 4.C点拨：连接OC,由OA=OC得∠OCA= ∠A=25°，再利用三角形外角的性质得 ∠DOC=∠A十∠OCA=50°，由切线性质 得∠DC0=90°，∴.∠D=90°-50°=40°. 5.6点拨：连接OA,构造直角三角形，利用 勾股定理列方程.在几何图形中求线段的 长，常采用代数方法解决几何问题. 6.(1)证明：连接AO,则AO⊥PA, .∠B=60°，.∠AOC=2∠B=120°， ∴.∠AOP=60°，.∠P=30 又，OA=OC,.∠ACP=30°， ∠P=∠ACP,∴.AP=AC. (2)解：在Rt△PAO中，∠P=30°，PA=3 .PO=20A...PO=23.CO=OA=3. .∴.PC=PO+OC=25+√5=3√3. 【能力提升】 1.A点拨：连接OC,利用三角形外角与内 角的关系得出∠COD=60°，再进一步在 Rt△OCD中求CD的长 2.C3.33 4.∠CAE=∠BAB⊥FE∠BAC+ ∠CAE=90°点拨：答案不唯一，本题主 要考查切线的判定，所加条件必须能使 ABLEF成立. 5.80 6.(1)证明：连接BC,OC,则∠ACB=90°， 即∠B+∠CAB=90°. ,直线CD是⊙O的切线， .∠DCO=90°， 即∠DCA+∠ACO=90 .OA=OC,.∠OAC=∠OCA. .∠B=∠ACD. ,AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC. ,∠B+∠BAC=90°， .∠DAC+∠ACD=90°， .∠ADC=90°，.AD⊥CD. (2)解：过C作CE⊥AB.∴.CD=CE, 在Rt△ADC与Rt△AEC中，AC=AC, CD=CE, .∴.Rt△ADC≌Rt△AEC. AD=AE.AD=2,AC=√5， ..CD=/AC-AD=1, .AE=2,CE=1,设BE=x, 则BC=CE+BE=1十x2. Rt△ABC中，BC=AB-AC=(2+x)9 -(5). ∴.1+x2=(2+x)2-(5)2,解得x=0.5. ∴.AB=AE+BE=2.5. 7.证明：如答图，连接OD,BD. 因为AB是⊙O的直径， 所以∠ADB=90°， 所以BD⊥AC 因为AB=BC, 答图 所以AD=DC. 因为OA=OB,所以OD∥BC. 因为DE⊥BC,所以DE⊥OD. 所以直线DE是⊙O的切线. 8.解：(1)连接OA,因为AB是⊙O的切线，A 为切点， 所以OA⊥AB.在Rt△AOB中， A0=√OB2-AB=/132-12=5. 所以⊙0的半径为5. (2)因为OH⊥AC,所以在Rt△AOH中， AH=√A0-OH=√/5-2=√/21. 又因为OH⊥AC,所以AC=2AH=2√2I. 精彩一题 证明：(1)过D作DF⊥AC,AD平分 ∠BAC,DB⊥AB, .BD=DF,∴.AC是⊙O的切线. (2)在Rt△ABD与Rt△AFD中，AD= AD,BD=DF, ∴.Rt△ABD≌Rt△AFD.∴.AB=AF. 在Rt△BDE与Rt△FDC中，BD=DF, DE=DC, ,∴.Rt△BDE≌Rt△FDC. ∴.BE=CF, ..AB+BE=AF+CF=AC. 第8课时圆的切线长性质 【基础巩固】 1.C点拨：连接OA,OB,所以可得四边形 OBPA是正方形，所以OA=PA=2,由勾 股定理可知OP的长为2√2 2.A点拨：三角形内切圆的圆心是三角形三 条角平分线的交点， 3.C 49 5.50cm点拨：连接ON,则ON⊥PV.利用 切线长定理，得出∠OPN=30°，再利用直 角三角形中30°角所对的直角边与斜边的 关系得出OP的长. 6.76点拨：PA,PB是⊙O的切线，.PA PB,PA⊥OA,∴.∠PAB=∠PBA,∠OAP 90°，∴.∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB 90°-38°=52°，∴.∠P=180°-52°-52°=76. 7.解：PA,PB是⊙O的切线，切点为A,B, ∴.OA⊥PA,OB⊥PB,∠APO=∠BPO, ∴.∠AOP=∠BOP. 在Rt△PAO中，由勾股定理，得 OA2=OP2-PA2=42-(2√3)2=4. .0A=2. 又：0p=4.∴0A=20P. .∠APO=30°.∴.∠AOP=60°， ∴.∠AOB=2∠AOP=120. 8.(1)证明：如答图24一8-1. 连接O℃， ,D为BC的中点， ∴CD=BD :∠BOD=2∠BOC. :∠BAC=号∠BOC. 答图24一8一1 .∠A=∠DOB. (2)解：DE与⊙O相切.理由： :∠A=∠DOB, ∴.AE∥OD DE⊥AE,∴.OD⊥DE, .DE与⊙O相切. 【能力提升】 1.B 2.B点拨：利用圆外一点和圆心的连线平分 过这点引的圆的两条切线的夹角，得出一 个锐角是30°的直角三角形，利用勾股定理 再进一步求解。 3.D点拨：设正方形的边长为a,BE=x.由 切线长定理知BE=EF=x,CD=DF=a. 在Rt△AED中，AE=a一x,AD=a,DE= a十x.由勾股定理可知DE=AE十AD, 所以(a十x)2=(a-x)+a2,解得x=子a. 所以△DAE的周长为AD+AE+DE= 3a.直角梯形EBCD的周长为BE+DE+ CD叶BC-a,所以它们的比值为3a:a 6：7. 4.3√3点拨：在Rt△ABC中求出AB的长， 再证明△PAB是等边三角形，由此求出 △PAB的周长.此题虽是填空题，但涉及 的知识点较多. 5.解：设铁环的圆心为O,三角板与⊙O相切 于点B,连接OP,OA(如答图24一8-2). wwnm 答图24一8-2 因为AP,AB是⊙O的切线， 所以OP⊥PA, ∠PA0=2∠PAB=60, 所以∠POA=30°， 所以OA=2PA=10cm, 所以OP=√OA-PA=/100-25=5√3(cm). 所以铁环的半径为5√5cm. 点拔：本题以生活问题为背景，考查了我们 对切线长定理的理解和运用.此类题关键 是将实际问题转化为数学问题，体现了数 学的转化思想 6.解：(1)如答图24一8-3， 答图24一8-3 连接OA,OB,OC ,PA,PB,DE分别是⊙O的切线，A,B,C 为切点， .OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE, .DA=DC,EB=EC. .DE-DC+CE=DA+EB. ∴.△PDE的周长为PD+PE+DE -PD+PE+DA+EB =PA+PB =4十4 =8(cm) (2)PA,PB为⊙O的切线， ∴.∠PAO=∠PBO=90 在四边形APBO中，∠AOB=180°一∠P= 140°. ,DA,DC为⊙O的切线， .DA=DC,∠ADO=∠CDO. 又.DO=DO,.△ADO≌△CDO, .∠1=∠2.同理∠3=∠4. :∠DOE=∠2+∠3=2∠AOB=3× 140°=70°. 精彩一题 解：(1)由勾股定理的逆定理可知，三边 长分别为5,12,13的三角形是直角三角形， 2×30 其面积为30，这时一十12十13=2. (2)设四边形ABCD的内切圆的圆心为 O,连接OA,OB,OC,OD,并设内切圆的半径 为r,依照阅读材料提供的思路，可得：S= 1 SaaB+Sac+S△amn+Sama=豆a·r十 1 1 2S b士c…r2d…r所以宁 a+b+c+d 2S (3)猜想：r一a1十a十…+a 点拨：通过阅读理解，我们学到了推导三 角形内切圆半径公式的方法，并把这种方法 运用到四边形的内切圆半径公式的推导上， 进而推广到存在内切圆的任意多边形中去， 体现了从特殊到一般的研究数学问题的方 法.本题让我们的观察、分析、类比、猜想、探 究等方面能力得到了很好的提高。 第9课时实验与探究圆和圆的 位置关系 【基础巩固】 1.D点拨：两圆没有公共点，则两圆可能是 外离，也可能是内含 2.D 3.A点拨：相交时，4一1<OO2<4十1，即 3<O,O,<5.因为取值中不包含3和5两 点，所以用空心圆圈表示，所以表示正确的 为A. 4.A 5.B点拨：1<d<5,即3-2<d<3十2， 也就是说两圆的圆心距大于两圆半径之差 的绝对值而小于两圆半径之和，因此两圆 相交，故选B 6.相交7.2 8.(1)两圆相交(2)两圆内含，且两圆为同心 圆(3)两圆内切(4)两圆外切(5)两圆 外离(6)两圆内含 【能力提升】 1.B点拨：方程的两根为x1=2,x2=3,设 R=3,r=2,则R-r=1.又d=1,.d= R一，.两圆内切. 2.8点拨：连接OA,OC,在Rt△OAC中， AC=√OA2-OC=√5-32=4(cm),所以 AB=2AC=8 cm. 3.6点拨：过切点作大圆直径，设正方形边 长为a,过O作OE⊥AD,则DE=OQ=2, DQ=号，AE=a-2.在Rt△AOE中， 0A=AE+0E,即5=(a-2)2+(受)， 解得a,=6a,=一（会去）AB=6. 4.证明：连接OO2,则P点在OO,上， .OA=0P, .∠A=∠OPA. 同理可证，∠B=∠OPB. 又.∠OPA=∠O2PB, .∠A=∠B,.O1A∥OB. 5.解：由三个圆心构成边长为2的等边三角 形△00.0其商为0,0=号×2=5. .其最高点到地面的距离为2r十√3=2十 5. 精彩一题 í11-2t(0t5.5), 解：(1)d= 2t-11(t>5.5). (2)两圆第一次相切（外切，⊙A在⊙B 左侧)时， AB=1+t+1=(t+2)cm,AB=d= (11-2t)cm,∴.t+2=11-2t,∴.3t=9,t=3. 两圆第二次相切（内切，切点在⊙B左 侧)时， AB=1+t-1=t(cm),AB=d=(11 20m4=1-2,4=号 两圆第三次相切（内切，切点在⊙B右 侧)时， AB=1+t-1=t(cm),AB=d=(2t- 11)cm,∴.t=21-11,∴.t=11. 两圆第四次相切（外切，⊙A在⊙B右 侧)时， AB=1+t+1=(t+2)cm,AB=d= (2t-11)cm,.t+2=2t-11,.t=13. “⊙A出发3s两圆外切，号s两圆内 切，11s两圆内切，13s两圆外切. 24.3正多边形和圆 第10课时正多边形和圆 【基础巩固】 1.C2.D3.B4.B5.D 6.√3cm7.8 8.证明：因为∠A=∠B,所以BDE=CDA.所 以BDE-CE=CDA-CE,即BC=AE.所 以BC=AE,同理可证其余各边都相等.所 以五边形ABCDE是正五边形