23.2 中心对称-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

23.2中心对称 第2课时中心对称 基础巩固 1.下列说法中正确的是( 5.如图23一2一4，在等腰梯形ABCD中，AD∥ A.形状和大小完全相同的两个图形成中心对称 BC,且AD=号BC=2cm,E是BC的中点， B.成中心对称的两个图形必重合 则△ABE可以看成是由△DEC向左平移得 C,成中心对称的两个图形形状和大小完全相同 到的，平移的距离为 :而△AED与 D.旋转后能重合的两个图形成中心对称 △CDE是成中心对称的两个三角形，它们的 2.如图23-2-1，△ABC与△A'B'C关于点O 对称中心是 成中心对称，则下列结论不成立的是( 6.如图23-2-5，已知△ABC和△A"B"C”及 A.点A与点A'是对称点 点O. B.BO=B'O (1)画出△ABC关于点O对称的△A'BC': C.AB∥A'B 图23-2-1 (2)若△A"B"C"与△A'B'C关于点O'对称， D.∠ACB=∠CA'B 请确定点O的位置： 3.图23一2一2中的四组图形中成中心对称的 (3)探究线段O0与线段CC"之间的关系，并 有( 说明理由。 ① ② ③ 图23-2-2 A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 图23-2-5 4.如图23一2-3，在等腰直角三角形ABC中， ∠C=90°，BC=2cm,如果以AC的中点O为 旋转中心，将这个图形旋转180°，点B落在点 B处，那么点B与点B的距离为 cm, 图23-2-3 图23-2-4 7.如图23一2一6，在正方形网格上有一个 △ABC. (1)作出△ABC关于点O的中心对称图形 △A'B'C':(不写作法，但要标出字母) (2)若网格上的最小正方形边长为1，求出 △ABC的面积. 图23-2-6 能力提升 1.如图23一2一7，在平面直角坐标系中，若 (1)请你在图23一2一8②中画出青蛙跳跃的 △ABC与△ABC1关于E点成中心对称 路径（画图工具不作限制）： 则对称中心E点的坐标是 (2)青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A相 距 cm,与竹竿I相距 cm. 3.如图23一2一9，四边形ABCD是平行四 410 边形 (1)画出☐AB,CD,使□A,B,CD,与 □ABCD关于直线MN对称： (2)画出□A2B,C2D2,使□A,B,C2D2与 图23-2-7 □ABCD关于点O中心对称； 2.已知石头A和石头B相距80cm,且关于竹 (3)□A,B,CD,与□ABC,D,是对称图形 竿1对称，一只电动青蛙在距竹竿30cm,距 吗？若是，请在图上画出对称轴或对称 石头A60cm的P,处，按图23一2-8①所示 的顺序循环跳跃： 中心. 从P点以石头 A为对称中心 从P点以为对 跳至P点 称轴跳至P点 B● ●A 从P点以石头 从P点以I为对 称轴跳至P点 B为对称中心 跳至P4点 ●P1 图23-2-9 ① 图23-2-8 精彩一题 已知一次函数)y=x十2与x轴交于点A, 与y轴交于点B,若将一次函数绕着原点O 旋转180°后得到一个新的一次函数，求新一 次函数的解析式。 第3课时中心对称图形 基础巩固 1.在图23一3一1中，是中心对称图形的有 有( ( 公函贵函 ① ② ③ ① 图23-3-3 图23-3-1 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.小明把如图23一3一2①所示的扑克牌放在 4.在如图23一3一4所示的四个图形中，既是轴 张桌子上，请一位同学避开他任意将其中一 对称图形，又是中心对称图形的是( 张牌倒过来，如图23一3一2②，然后小明很快 辨认出被倒过来的那张扑克牌是( ① ② ③ 图23-3-4 颠倒前 ① A.①② B.①③ C.②③ D.①④ 5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称 ”学◆◆！ 图形的有( ) 颠倒后 ①线段：②射线：③角：④矩形：⑤平行四边形. ② 图23-3-2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A.方块5B.梅花6C.红桃7D.黑桃8 6.观察“一、羊、口、王、田、旦”这六个汉字，它们 3.如图23一3一3是四种正多边形的瓷砖图案， 都是 图形，其中 字可看成 其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的 中心对称图形 7.将下列常见图形的序号填在相应的横线上：：9.如图23一3一6①，方格纸中有三个点A、B、 ①圆：②角：③两条相交直线：④等腰直角三 C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边 角形；⑤正方形：⑥正五边形：⑦正八边形 形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方 (1)只有一条对称轴的轴对称图形有 格的顶点上 (2)只有两条对称轴的轴对称图形有 (1)在图23一3一6②中作出的四边形是中心 (3)有三条或三条以上对称轴的轴对称图形 对称图形但不是轴对称图形： 有 (2)在图23一3一6③中作出的四边形是轴对 (4)旋转对称图形有 称图形但不是中心对称图形： (5)中心对称图形有 (3)在图23一3一6④中作出的四边形既是轴 8.请你用一条直线将图23-3一5分成面积相 对称图形又是中心对称图形 等的两部分。 C C B C ① ② 图23-3-6 图23-3-5 能力提升 1.下列说法： 3.如图23一3-一7，已知BC为等腰三角形纸片 ①平行四边形是中心对称图形，其对角线的 ABC的底边，AD⊥BC,∠BAC≠90°.将此三 交点为对称中心： 角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把 ②只有正方形才既是中心对称图形，又是轴 这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出中 对称图形： 心对称图形 ③成中心对称的两个图形是全等图形，两个 全等图形也一定成中心对称： A ④若将一个图形绕某定点旋转后和另一个图形 不重合，那么这两个图形不可能成中心对称。 其中正确说法的个数是( 图23-3-7 A.1 B.2 C.3 D.4 4.观察如图23一3一8所示的用纸折叠成的 2.把26个英文字母按规律分成5组，现在还有 图案 5个字母D、M、Q、X、Z,请你按原来规律补 上，其顺序依次是() ①FRPJLG☐②HIO☐ ③NS☐ ④BCKE☐ ⑤VATYWU☐ 信封 飞机 裤子 褂子 A.QXZMD B.DMQZX 图23-3-8 C.ZXMDQ D.QXZDM 其中，是中心对称图形的是 5.如图23一3一9，菱形ABCD的对角线相交于 片2处，依此方法继续操作，即可拼接成一个 点O,E,F在线段BD上，且BE=DF,根据 新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解 已知条件问答下列问题. 决下列问题 (1)四边形AECF是否是中心对称图形？说 (1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排 明理由， 列形式如图23一3一11③所示.请将其分 (2)四边形AECF的对称中心是什么？ 割后拼接成一个平行四边形.要求：在图 23一3-11③中画出并指明拼接成的平行 四边形：（画出一个符合条件的平行四边 形即可)》 图23-3-9 (2)如图23一3一11④所示，在面积为2的平 行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是 边AB,BC,CD,DA的中点，分别连接 AF,BG,CH,DE得到一个新的平行四边 形MNPQ.请在图23一3-11④中探究平 行四边形MNPQ面积的大小.（画图并直 6.如图23一3一10，已知矩形ABCD各顶点的坐 接写出结果》 标分别为A(0,4),B(2,0),C(8,3),D(6,7). 直线y=kx十1平分矩形ABCD的面积，求k 的值。 图23-3-10 图23-3-11 少精彩一题 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形 纸片排列形式如图23一3一11①所示，将它们 分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是： 按如图23一3-11②所示的方法分割后，将三 角形纸片1绕AB的中点O旋转至三角形纸 第4课时关于原点对称的点的坐标 基础巩固 1.如果点A(一2，b)和点B(a,1)关于坐标原点 (3)若点P(-1一2a,2a一4)关于原点对称的 对称，那么a,b的值分别是( 点在第一象限内，则整数a的值是 A.-2,1 B.2,1 C.-2,-1 D.2,-1 6.在图23一4一2所示的编号为①②③④的四 2.矩形ABCD中的顶点A、B、C,D按顺时针方 个三角形中，关于y轴对称的两个三角形的 向排列，若在平面直角坐标系内，B、D两点对 编号为 ,关于坐标原点O对称的两 应的坐标分别是(2,0)，(0,0)，且A、C两点 个三角形的编号为 关于x轴对称，则C点对应的坐标是( A.(1,1) B.(1,-1) C.(1,-2) D.(2,-√2) 3.在图23一4一1所示的方格纸中，每个小正方 形的边长为1，如果以MN所在的直线为y 图23-4-2 轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面 7.如图23-4一3所示，在平面直角坐标系中， 直角坐标系，使A点与B点关于原点对称， 四边形ABCD和四边形EFGH关于坐标原 则这时C点的坐标是( 点O对称，请利用关于原点对称的点的特征 作出四边形EFGH. 图23-4-1 5-43212341 A.(1,3) B.(2,-1) 45 C.(2,1) D.(3,1) 图23-4-3 4.已知A(3x一1,2y)和B(2x,3y一1)是坐标平 8.如图23一4一4所示，已知A(3,1)、B(2,2)、 面上的两点，若A、B两点关于原点对称，则 C(1,一1)，利用关于原点对称的点的坐标特 点A的坐标为 点，作出与△ABC关于原点对称的图形. 5.(1)已知点P(a-1,a2-9)在x轴的负半轴 上，则P点关于原点对称的点的坐标 为 (2)已知点A与点B(1,一6)关于y轴对称， 3-2-101 则点A关于原点的对称点C的坐标 为 图23-4一4 能力提升 1.如图23一4一5所示，在平面直角坐标系中， 6.在平面直角坐标系中，点P(2,3)与点P(2a+ 正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1), b,a+2b)关于原点对称，则a一b的值为 B(1,-1),C(-1,-1),D(-1,1),y轴上有 一点P(0,2),作点P关于点A的对称点P 7.已知直线y=一x+2m+1与双曲线y= 作点P,关于点B的对称点P,作点P:关于 m+1有两个不同的公共点A、B. 点C的对称点P,作点P关于点D的对称 (1)求m的取值范围： 点P,作点P关于点A的对称点P,作点 (2)点A、B能否关于原点成中心对称？若能， P关于点B的对称点P。…按此操作下 求出此时m的值：若不能，请说明理由. 去，则点Po1的坐标为( A.(0,2)B.(2,0)C.(0,-2) D.(一2,0) 代 P0.2) D-1,1) A1.1) 2.1 0 C-1,-1)B1-0 图23-4-5 图23-4-6 2.已知点P的坐标为(2-a,3a十6)，且点P到 两坐标轴的距离相等，则点P关于原点O对 称的点的坐标为() 精彩一题 A.(-3,3) B.(-3,-3) 如图23一4一7所示，菱形ABCD的中心在 C.(-6,6) D.(-3,-3)或(-6,6) 直角坐标系的原点上，且AD平行于x轴，点 3.如图23-4-6所示，矩形OABC的顶点O A的坐标为（一4,3），求其他各顶点B、C、D 为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为 的坐标. (2,1).如果将矩形OABC绕点O旋转180°， 旋转后的图形为矩形OA,B,C1,那么点B,的 坐标为() A.(2,1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,-1) 4.若a,b为实数，且a、b是方程2x2+3x十1=0 图23-4-7 的两根，则点P(a,b)关于原点对称的点Q的 坐标为 5.如果点M(1一x,1一y)在第二象限，那么点 N(1一x,y-1)关于原点对称的点在第 象限.旋转中心.(2)旋转前后点的变化可以通过 观察进行判断. 【能力提升】 1.B2.C 3.90 4.解：(1)如答图23一1一2. 答图23-1-2 (2)A(0,1),B1(2,0), 直线AB,的解析式为y=一2十1 5.解：如答图23一1一3，把△BOA绕B点顺 时针旋转60°，得到△BPC,连接OP, 由旋转的性质，得BP=BO,∠OBP=60°， .△OBP为等边三角形， ..OP=OB=3.PC=OA=4,OC=5, ∴.OP+PC=O,∴.∠OPC=90°， 而∠OPB=60°，.∠CPB=60°+90°= 150°，.∠AOB=∠CPB=150° 答图23-1-3 6.解：(1)·△ABC和△CDE都为等边三 角形， ∴.AC=BC,CD=CE, ∴.AC-CD=BC-CE,∴.AD=BE. (2)AD=BE还成立.理由如下： 当△CDE绕C点旋转时， 旋转角为∠BCE或∠ACD, ∴.∠BCE=∠ACD, 可证△BCE≌△ACD,∴.AD=BE. 精彩一题 解：(1)不正确. 若将正方形AEFG绕点A顺时针旋 转45°， 这时点F落在边AB上（如答图23一1一4 所示)， 答图23-1-4 根据“垂线段最短”的性质， 可知DF>AD,而AD=AB,BF是AB 的一部分， 因此有DF>BF,即此时线段DF与BF 的长不相等， (2)连接BE,BE=DG.理由如下： ,四边形ABCD,AEFG是正方形， ∴.AD=AB,AG=AE 又∠DAG+∠GAB=90°，∠GAB+ ∠BAE=90°， .∠DAG=∠BAE. .△ABE可以看作是由△ADG绕点A 顺时针旋转而得， .BE=DG. 23.21 中心对称 第2课时中心对称 【基础巩固】 1.C2.D3.C 4.2√55.2cmDE的中点 6.解：如答图23一2-1. 答图23-2-1 (1)①连接AO,并延长至点A',使得A'O A0, ②连接BO,并延长至点B',使得BO=BO, ③连接CO,并延长至点C,使得CO=CO, 连接A'B',BC',A'C',则△A'BC'为所求三 角形 (2)连接A'A",CC",交于点O,则点O即 为所求点， (3)连接OO,CC”,则可得OO∥CC”且 00'=2cc 7.解：(1)如答图23-2-2. (2)5aA=2X3-×2X1-7×2×1- 多X3X1 =6-2-昌 5 2 答图23-2-2 【能力提升】 1.(3,一1)点拨：对称中心E为对应点连线 的中点，由AA1的中点(3，一1)可知对称 中心E点的坐标为(3，一1). 2.解：(1)如答图23一2一3所示. 答图23一2-3 (2)6050 点拨：命题很有创意，作图的过程相对比较 简单，在青蛙跳25次后停在点P2处，此时 PA=P2A=60cm,与竹竿的距离是40× 2-30=50(cm). 3.解：(1)、(2)如答图23一2一4所示 (3)□A1B1C1D1与□A2B2C2D2是轴对称 图形，对称轴为直线EF. 答图23-2-4 精彩一题 解：将一次函数绕原点旋转180°得到新的 一次函数，则两直线是关于原点O成中心对称 的，直线上的每一个点也关于原点对称，如 答图23一2一5所示，B点关于原点对称的点 为C点，A点关于原点对称的点为D点. “y=十2与x轴、)y轴分别交于点 A、点B, D.- 答图23-2-5 六令y=0,则分x+2=0. x=-4,.A(-4,0) 令x=0,则y=2,.B(0,2) 两直线关于原点成中心对称， ∴·点A与点D关于原点成中心对称，点 B与点C关于原点成中心对称， .D(4,0),C(0,-2) 设新一次函数的解析式为y=k+b(k≠O), 将D(4,0)、C(0,-2)代入y=k.x+b中， 0=4k十b, 得 解得 2 -2=b. b=-2. ∴新一次函数的解析式为y=2x一2. 第3课时 中心对称图形 【基础巩固】 1.B2.A 3.A点拨：所有图形都是轴对称图形，但其 中的①③并不是中心对称图形 4.B 5.A点拨：①线段既是轴对称图形又是中心 对称图形；②射线不是中心对称图形只是 轴对称图形：③角是轴对称图形：④矩形既 是轴对称图形又是中心对称图形；⑤平行 四边形是中心对称图形。 6.轴对称一、口、王、田 7.(1)②④(2)③(3)①⑤⑥⑦ (4)①③⑤⑥⑦(5)①③⑤⑦ 8.解：如答图23-3一1. 答图23-3-1 点拨：画过圆心和矩形中心的直线， 9.解：(1)如答图23-3一2①. (2)如答图23-3-2② (3)如答图23-3-2③. B C 9 答图23-3-2 点拔：答案不唯一 【能力提升】 1.A2.D3.34.褂子 5.解：(1)四边形AECF是中心对称图形.理 由如下：四边形ABCD是菱形， .AC和BD互相平分， 即OA=OC,OB=OD. 又BE=DF,∴.OE=OF, 即AC和EF互相平分， ∴.四边形AECF是中心对称图形 (2)四边形AECF的对称中心是点O. 6.解：设P为矩形ABCD的对称中心， 则P点坐标为4，)： ,直线y=kx十1平分矩形面积，故此直线 要经过点P 5号=4+1=号 点拨：矩形是中心对称图形，经过对称中心 的直线必平分这个图形的面积. 精彩一题 解：(1)如答图23一3一3①所示. (2)如答图23-3-3②所示.□MNPQ 的面积是号。 答图23-3-3 第4课时关于原点对称的点的坐标 【基础巩固】 1.D 2.B点拨：由矩形对角线互相平分且相等可 知AC=2,且过BD的中点(1,0)，又A、 C两点关于x轴对称，则易得C的坐标为 (1,-1). 3.B点拨：由MN所在直线为y轴可知，点 C横坐标为2；又A点与B点关于原点对 称，则点C到x轴的距离为1，且在x轴下 方，故C点的坐标为(2，一1). 4.(号，号)点拔：AB关于原点对称， 3x-1+2x=0, x51 解得 2y+3y-1=0, y=51 ∴点A的坐标为（一号，号） 5.(1)(4,0) (2)(1,6)(3)0或1 6.①②①③ 7.解：作法如下： 12345 答图23-4-1 由答图23-4一1可知：A(2,1),B(3,3), C(5,4),D(5,1). (1)A(2,1)关于原点对称的点的坐标是 E(-2,-1), 在平面直角坐标系中描出： (2)照(1)的作法，画出点B、C、D分别关于 原点对称的点F,G、H的位置： (3)顺次连接E、F、G、H即可（如答图23一 4-1). 8.解：点P(x,y)关于原点的对称点为P(一x, -y),因此△ABC的三个顶点A(3,1)、 B(2,2)、C(1,一1)关于原点的对称点分别 为A(-3,-1)、B(-2,-2)、C1(-1,1), 依次连接AB、B,C、C1A,就可得到 △ABC关于原点对称的△AB,C(如答图 23-4-2). 答图23一4一2 【能力提升】 1.D点拨：根据对称的性质，可得P(2,0), P2(0,-2),P3(-2,0),P(0,2),P(2, 0),观察点的坐标可以发现，每4个点为一 个循环周期，而2011÷4=502…3，故点 Po1与点Pa重合，故选D. 2.D点拨：由2-a=|3a十6|可得a=一1 或一4，即点P的坐标为(3,3)或(6，一6)， 故点P关于原点O的对称点坐标为（一3， -3)或(-6,6). 3.C点拨：矩形OA1BC1是由矩形OABC 绕原点旋转180°得到的，矩形OABC与矩 形OA,B,C,关于原点成中心对称，因此B 的坐标为（一2，一1） 4.(1,)或（侵，1点拔：方程2x2+3x十 1=0的两根为石=-1，=一号，所以@，6 a=-1, a=- 的值应分两种情况，为 2 b=-1. 5.一点拨：因为点M(1一x,1-y)在第二象 限，所以1-x<0,1-y>0,所以y-1<0, 所以点V(1一x,y一1)在第三象限，与它关 于原点对称的点必定在第一象限 6.1点拨：根据关于原点对称的点的坐标的 特点可得2a+b=-2,a+2b=一3，两式相 减得a-b=1. 7.解：1)联立y=一x+2m+1与y=m+1 消去y整理得x2-(2m十1)x十m2十1=0. 两个图象有两个不同的公共点， ∴(2m+1)2-4(m2+1)>0,解得m> 4 (2)若A、B两点关于原点成中心对称，则 A、B两点的横坐标互为相反数， 西十x=2m+1=0.m=-号 2 :m>∴不存在符合题意的m,即A,B 不可能关于原点对称 精彩一题 解：如题图23一4-7，连接AO、DO,因为 O是菱形ABCD的中心，所以点C与点A,点 B与D关于原点对称，所以点C的坐标为 (4,一3).因为AD平行于x轴，所以D点的 纵坐标与A点的纵坐标相同，设D点的坐标 为(a,3),则AD=|-4一a=|a十4， 在Rt△ADO中，由勾股定理得：AOP+ DO=AD*, 即(-4)2+32+a2+32=(a+4)2, 解得a=是 所以D(是，3，由点B与点D关于原点 对称得B(一号，-3片 23.3课题学习 图案设计 第5课时课题学习图案设计 【基础巩固】 1.B2.D 3.轴对称轴对称旋转中心旋转90 4.解：图(1)中①向上平移3个单位，再向右 平移3个单位得到②： 图(2)中①以点C为中心，旋转180得到②； 图(3)中①以点A为中心，旋转180得到②： 图(4)中①通过轴对称得到②，直线AB为 对称轴： 图(5)中①以点B为中心，旋转180得到②. 【能力提升】 1.B点拨：此题虽然是计算题，但我们不必 计算，利用图形的对称性巧妙地进行解答. 2.D3.C 4.平移 5.略 6.解：(1)点D的坐标为(0，-1)， y轴经过点D 又点A的坐标为(1,1)，.A点到y轴的 距离为1， .y轴为过D点且垂直于BC的直线. 又，点D的纵坐标为一1， ∴x轴为平行于BC,在点D上方一个单位 的直线， 坐标系如答图23一5-1. .B(-1,-1)、C(3,-1) (2)将△ABC向右平移10个单位，再向上 平移5个单位，得到△A,BC1,再作 △AB,C,关于B,C1的对称图形△AzB2C 即可 答图23-5-1