22.3 实际问题与二次函数-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

5.x1=-1.5,x2=3.5 6,k>-子且k≠0点拔：“此函数为二次函 数，.k≠0.又，该二次函数的图象与x轴 有两个交点，∴.b一4ac=(一7)2一4×k× (-7)=49+28k>0,解得k>-4且k≠0. 7.解：(1)，抛物线y=(m一1)x2十(m一2)x 一1与x轴有两个交点， .△=(m-2)2-4(m-1)×(-1)>0且 m一1≠0， 可知当m≠0时，△=m2>0,因此当n≠0 且m≠1时， 抛物线与x轴有两个交点. (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,0), (x2,0). 抛物线与y轴交于点C,∴·点C的坐标 为(0，-1). .AB=|x2-x1,OC=1. :Sax=号AB0C=2, 2-=2.即有1-=4 由根与系数的关系，得 |x2一2=(x2十x1)2-4x1x2 m2 (m-1)F, “m)=16,解得m-=号 m= 精彩一题 解：(1)①，m=5,.点A的坐标为(5， 0),把A(5,0)代入y1=kx+2得5k十 2=0, 解得k=一 “直线表达式为少=一 +2 当x=0时，y=2,.点B的坐标为(0,2). 将A(5,0),B(0,2)代人y2=ax2-4ax+c, 2 25a-20a+c=0, 得 解得 a=-5 c=2, c=2. …抛物线的表达式为y=一 r++2. 2 ②设点P的坐标为（红，一号x+2),则 Q,号r+ x+2, PQ=-+g+2-(-+2) 号r+2,当Q-, 即-号x+2x-号 解得x1=1,x2=4, ∴当z=1或x=4时，PQ-多 (2)设P(x,kx+2),则Q(x,ax2-4ax十 2),PQ的长用1表示， .l=a.x2-4ax+2-(kx+2)=ax2- (4a十k)x. PQ长的最大值为16， 当h=16时，一元二次方程a.x2-4a.x一 kx=h有两个相等的实数解： 当h>16时，一元二次方程ax2-4a.x kx=h没有实数解： 当0<h<16时，一元二次方程a.x2-4a.x一 k.x=h有两个实数解。 22.3实际问题与二次函数 第8课时实际问题与二次函数（一） 【基础巩固】 1.C点拨：设提高x元，获利y元，则y= (50+x)(100-品×10)=-(x-25)2+ 5625.所以当x=25时，获利最大，但由题 意，每次提高的钱数都是整十数，所以x= 20或30时获利最大，而x=30时租出的房 间较少，投资少，故选C. 2.A点拨：设降价x元，利润为W元，则 W=(80-x-50)(20+x)=-x2+10.x+ 600=一(x-5)2十625，所以要想获得最大 利润，应降价5元. 3.B 4.14 5.830976点拨：设增加x台，此时生产总 量为y件，则y=(80+x)(384一4x)= 一4x2+64x十30720，利用公式或配方法 求得 6.解：(1)设y=kx+b,由图象可知， 30k+b=400, k=一20， 解得 40k+b=200. b=1000. .y=-20x+1000. (2)p=(x-20)y=(x-20)·(-20x+ 1000)=-20x2+1400.x-20000. .a=一20<0，∴.力有最大值. 当x= 2×(-20)=35时，p最大=4500. 1400 (3)31元≤x≤34元或36元≤x≤39元 点拨：y与x之间是一次函数关系，且过点 (30,400)和(40,200)，故y与x之间的关 系易求；每天获得的利润应为销售单价减 去进价，再乘销售数量，即p=(x一20)y. 【能力提升】 1.B点拨：由函数解析式可知，抛物线与x 轴的两个交点为(10,0)、(40,0).根据二次 函数图象的性质可知，当x=25时，y取得 最大值. 2.1040003.70 4.解：(1)=(x一18)y =(x一18)(-2x十100) =-2x2+136.x-1800. (2)由之=350，得350=-2x2+136x 1800, 解得x1=25,x2=43, ∴.销售单价定为25元或43元，厂商每月 获利350万元. ,x=-2x2+136.x-1800=-2(x-34)2 +512, ∴.当销售单价为34元时，每月能获得最大 利润，最大利润是512万元. (3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1800 的图象（如答图）可知， 515元 350 0253443元 答图 当25≤x≤43时≥350， 又由限价32元，得25≤x≤32， 根据一次函数的性质，得 y=一2x+100中y随x的增大而减小， ∴.当x=32时，每月制造成本最低， 最低制造成本是18×（一2×32+100）= 648(万元)， 因此，每月最低制造成本为648万元. 精彩一题 解：(1)6= 6c=1. ②)=日+ +1=-(-) 73 24 可知当x=时y有最大值为强。 故大棚的最高处到地面的距离为受m: +6x+1=37 3)令y贸则有-+ 249 13 解得西=2w= 21 又，0≤x≤6， 大棚内可以搭建支架的土地的宽为 6-m. 又，大棚的长为16m, 需要搭建支架部分的土地的面积为 16×号=8(m). 故共需要88×4=352（根）竹竿. 第9课时实际问题与二次函数（二） 【基础巩固】 1.C2.B 3.189162 4.解：设AD=x,则DB=1一x,△DBE和 △DAF的面积之和为S. 因为AB=AC=1,∠BAC=90°， 所以∠B=∠C=45° 又因为DE⊥BC,所以BE=DE 因为BD=1-x, 所以BE=DE=号1-x 所以s=[号1-)+女 =》+ 因为点D在线段AB上，所以0≤x≤1 所以当x=时，S最小，最小值为后 所以当D点在AB上距点A为3时： △DBE和△DAF的面积之和最小，最小 面积是行 点拨：本题考查了二次函数的应用问题及 其最值的求法，关键是建立起两个三角形 的面积之和与某条线段的函数关系，那么 这条线段应该是与△DBE和△DAF都有 联系的线段AD,然后通过配方求出S的最 小值 5.解：(1)由题意知，AP=2xcm,BQ=xcm, 所以PB=(22-2x)cm. 所以Sam=合PB·BQ=(22-2x)· x=-x2+11x. 所以S四边形APQc=S△Ac一S△PBQ =号AB·BC-(-+11 =2×22×20+x2-1u =220+x2-11x. 即y=x2-11x+220. 因为0<2.x<22,所以0<x<11. 2)因为y=2-11x+20=(-号+ 759 4· 所以当x-号时y=79 4 【能力提升】 1.B2.B 3.4 4.解：由题图知半圆的半径为xm,矩形的长 为ym,则宽为2xm. 由制造窗框的材料总长为15m, 得4y+7x十πx=15. y=15-7x-.再由>0，y>0, 4 得0<51.48 设窗户的面积为S, 则S=15-7延.2x+7x, 即S=-3.5.x2+7.5x. x=一 6 7.5 2x3.司≈1.07. 此时x在其取值范围内， ∴S大=4如二花≈4.0， Aa .当x大约为1.07m时，窗户通过的光线 最多，此时窗户的面积大约为4.0m. 5.解：(1)依题意，得 2+50 养鸡场面积y=x.501=一1 3 . 配方，得y=一 号(x250x)三-5(x 25)2+625 3 当x=25时，y大=625 3 即养鸡场的长为25m时，其面积最大，为 5m. 3 (2)如中间有n道隔墙，则养鸡场宽为 50-x n+2 m. y=50-g.z n+2 +2x2+50 1 n十2x 1 +2x2-50x) n+2x-25)2+625 =一1 n千2' 六当x=25时y大=625 n+2' 即养鸡场的长为25m时，养鸡场面积最 大，为625 n+2m2. 结论：无论养鸡场中间有多少道篱笆隔墙， 要使养鸡场面积最大，其长都是25m. 点拔：近年的中考试题中，出现了很多分析 和表示不同背景下实际问题中变量之间的 二次函数关系的题型，并要求运用二次函 数的知识解决实际问题中的最大（小）值问 题，使同学们进一步获得利用数学方法解 决实际问题的经验，并进一步感受数学模 型思想和数学的应用价值. 6.解：(1)(60-3x) (2)由题意得x(60一3.x)+ =-320. 解得x1=8,x2=16. x>2, 60-3.r≤27，解得11≤r<5 3 60-3.x>2, .x=16 当AB为16米时，游乐场的面积是320平 方米 (3)设游乐场的面积为y平方米，由题意得 y=x(60一3x)+2x2=5号2+60x月 (x-12)2+360. 5 :11<x<婴当x=12时y有最大值， 最大值为360. .当AB为12米时，游乐场的面积达到最 大，最大值为360平方米. 精彩一题 解：(1)①设剪掉的正方形的边长为 xcm,则 (40-2x)2=484,即40-2x=±22， 解得x1=31(不合题意，舍去)，x2=9. ∴.剪掉的正方形的边长为9cm. ②侧面积有最大值， 设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的 侧面积为ycm2, 则y与x的函数关系式为y=4(40一 2x)x, 即y=-8(x-10)2+800. ∴.x=10时，y最大=800. 即当剪掉的正方形的边长为10cm时， 长方体盒子的侧面积最大，为800cm. (2)如答图阴影部分为剪掉部分， 设剪掉的正方形的边长为xcm, 则剪掉的矩形长为(20一x)cm. 答图 则2(40-2x)(20-x)+2x(20一x)十 2.x(40-2.x)=550, 解得x1=一35（不合题意，舍去），x2=15. .剪掉的正方形的边长为15cm. 此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm, 高为5cm. 复习课 【综合复习】 1.D2.D3.B4.B 5.D点拨：抛物线的开口向下，与y轴交 于正半轴，对称轴在y轴右侧，.a<0,b> 0,c>0,∴.ab<0,故①错误；：抛物线y= ax2十bx十c经过点(-2,0)，(3,0)，∴.对称 辅为直线x=之：即一品-安ia=-6把 (-2,0)的坐标代入y=ax2+bx十c得 4a-2b十c=一4b一2b十c=0,∴.c=6b,故 ②错误：抛物线开口向下，-3-号> ->-7引“<n<购故 ③正确：.a=一b,c=6b,∴.方程cx2十 bx十a=0可变成6bx2+bx-b=0,即 6x2+x-1=0,解得1=名=一分故 ④错误.故选D. 6.x1=-1,x2=3 7.y=一(x-2)2(答案不唯一)8.39.三 10.解：(1)由抛物线与x轴交于A(一3,0)， (1,0)两点， (-3)2·a-3b+3=0, a=-1. 得 a+b+3=0, 解得 b=-2. .抛物线的表达式为y=一x2一2x十3. (2)存在，点P的坐标为（一2,3）或(3， -12).理由如下：A(-3,0),B(1,0), ∴.AB=4,抛物线y=一x2-2x十3与y轴 交于点C,且x=0时，y=3,.C点的坐标 为0,3).0C=3∴56g=2AB·0C= 2×4X3=6Sam=号Sam=3. 作PE∥x轴交直线BC于点E,如答图 22-1.设直线BC的表达式为y=kx+ k十m=0, m,将B,C的坐标代入得 3=m, 解得 k=一3， .直线BC的表达式为y=-3x十 m=3, 3.设点P的坐标为(t,一f一 2t+3),令-3.x+3=-2 21+3,解得x=+24」 3 E(2.--2+3 答图22-1 PE=告24-号5m 之×号×3=3，解得1=-2或3 .点P的坐标为(-2,3)或(3，一12) 11.(1)400点拨：由题意可得， p=500-10(x-50)=-10.x+1000, 即日销售量（盒）与每盒售价x(元)之间 的函数关系式是p=一10x十1000. 当x=60时，p=一10×60+1000=400(x≥ 50). 解：(2)由题意可得，22.3 实际问题与二次面数 第8课时实际问题与二次函数（一） 基础巩固 1.某旅社有100个床位，当每床每晚收费50元 6.某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果 时，客床可以全部租出，已知收费每增加 以30元/千克销售，那么每天可售出400千 10元，就会少租出10个床位，为了减少投资 克.由销售经验知，每天销售量y(千克)与销 而使利润增加，每床每晚应提高( 售单价x(元)(x≥30)存在如图22-8一1所 A.20元或30元 B.20元 示的一次函数关系 C.30元 D.40元 y 2.将进货单价为50元的某种商品按零售价每 400 个80元出售时，每天能卖出20个，若这种商 200 3040 品的零售价在一定范用内每降1元，其日销 0 售量就增加1个，为了获得最大利润，应降 图22-8-1 价() (1)试求出y与x的函数关系式： A.5元 B.10元 (2)设某超市销售该绿色食品每天获得利润 C.15元 D.20元 p元，当销售单价为何值时，每天可获得 3.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量 最大利润？最大利润是多少？ x(万件)满足函数表达式y=一2x2+4.x十5， (3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润 则盈利最值为( 不超过4480元，现该超市经理要求每天利 A.最大值5万元 B.最大值7万元 润不得低于4180元，请你帮助该超市确定 C.最小值5万元 D.最大值6万元 绿色食品销售单价x的取值范围（直接写 4.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可 出结果) 售出(28一x)个，则当x= 时，一天 出售该种手工艺品的总利润y最大 5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生 产384件产品，现准备增加一批同类机器以提 高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产 条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平 均每天将少生产4件产品，则增加 台机器可以使每天的生产总量最大，最大为 件 能力提升 1.某产品每件成本为10元，试销阶段的售价 精彩一题 x(元)与销售利润y(元)满足y=(x一10)· 我国的大棚（如图22一8一2①）种植技术已十 (40一x),那么获利最多时的售价为( 分成熟.小明家的菜地上有一个长为16m的 A.10元 B.25元 蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形状，大棚 C.40元 D.55元 的一端固定在离地面高1m的墙体A处，另 2.某商店购进一批单价为25元的日用品，如果 一端固定在离地面高2m的墙体B处，现对 以单价35元销售，那么半月内可销售出300 其横截面建立如图22一8一2②所示的平面直 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售 角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度 量减少.销售单价每提高1元，销售量相应减 y(m)与其离墙体A的水平距离x(m)之间的 少10件，当销售单价提高 元时，半月 可获得最大利润，最大利润为 元 关系满足y=二6x+bx十，现测得A,B两 3.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元， 墙体之间的水平距离为6m. 据市场分析，若按每千克50元销售，一个月 (1)直接写出b,c的值； 能售出500千克：销售价每涨1元，月销售量 (2)求大棚的最高处到地面的距离： 就减少10千克，针对这种水产品的销售情 (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建 况，销售单价定为 元时，获得的利润 最多。 高为贸m的竹竿支架若干，已知大棚内 4.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制 可以搭建支架的土地平均每平方米需要 造成本为18元，试销过程中发现，每月销售 4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可 y/m 以近似地看作一次函数y=一2.x+100(利润 =售价一制造成本). (1)写出每月的利润：（万元）与销售单价 图22一8-2 x(元)之间的函数关系式： (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350万元的利润？当销售单价为多少元 时，厂商每月能获得最大利润？最大利润 是多少？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售 单价不能高于32元，如果厂商要获得每月 不低于350万元的利润，那么制造出这种 产品每月的最低制造成木需要多少万元？ 第9课时 实际问题与二次函数（二） 基础巩固 1.如果用长8m的铝合金条制成如图22一9-1 面积之和最小？最小面积是多少？ 所示形状的矩形窗框，且使窗户的透光面积 最大，那么这个窗户最大的透光面积是 () A器mB音mC号m D.4 m2 图22-9-3 8 n 图22-9-1 图22-9-2 5.如图22-9-4，在△ABC中，∠B=90°，AB= 2.某大学的校门是如图22一9一2所示的一抛 22cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB 物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m, 边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B 两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用 开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动， 的铁环，两铁环的水平距离为6，则校门的 P、Q分别从A、B同时出发. 高为（精确到0.1m,水泥建筑物厚度忽略不 (1)求四边形APQC的面积y(单位：cm)与 计)( P、Q的运动时间x(单位：s)的函数关系 式及这个函数自变量x的取值范围： A.9.2m B.9.1m (2)求四边形APQC面积的最小值，并求此 C.9m D.5.1m 时x的值， 3.某中学准备用一面墙，另三边用竹篱笆围成 一个面积为y(m)的长方形花坛，竹篱笆的 长为36m,墙长为20m,则当花坛的长和宽 分别为 m和 m时，才能使 B-0 竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最 图22-9-4 大面积为 m2. 4.如图22-9-3，在△ABC中，AB=AC=1, ∠CAB=90°，D是AB上的一点，过D作 DE⊥BC于E,延长ED交CA的延长线于 F,当D在什么位置时，△DBE和△DAF的 能力提升 1.有一个底角为60°，周长为40的等腰梯形，最 光线最多（精确到0.01m)?此时窗户的面 大面积为() 积是多少（精确到0.1m)? A.20 B.503 C.100 D.83 2.如图22一9一5，在矩形ABCD中，AB= 6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q 图22-9-7 从点B出发，沿BC边向点C以2cms的速 度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两 点后就停止运动，设运动t秒时，五边形 APQCD的面积为Scm”,在运动过程中，S 最小为() 5.如图22一9-8，要建一个长方形养鸡场，养鸡 A.9 B.63 C.72 D.54 场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中 间有一道篱爸隔墙的养鸡场，设养鸡场的长 为xm (1)要使养鸡场面积最大，养鸡场的长应为 多少？ 图22-9-5 (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆 3.如图22一9一6，抛物线的对称轴是直线x= 隔墙，要使养鸡场面积最大，养鸡场的长 1,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 应为多少？比较(1)(2)的结果，你能得到 点，点A,C的坐标分别是(-1,0.(0，) 什么结论？ 若点P是抛物线上位于x轴上方的一动点， 则△ABP面积的最大值是 -xm- 图22-9-8 图22-9-6 4.某建筑物的窗户如图22一9一7，它的上半部 分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料 总长为15m,当x等于多少时，窗户通过的 6.某景区要建一个游乐场（如图22一9一9所 精彩一题 示)，其中AD,CD分别靠现有墙DM,DN 把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当 (墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用 的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽 篱笆围成.篱笆DE将游乐场隔成等腰直角 略不计)。 三角形CED和长方形ADEB两部分，并在 (1)如图22一9一10，若在正方形硬纸板的四 三处各留2米宽的大门.已知篱笆总长为54 角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余 米.设AB的长为x米. 部分折成一个无盖的长方体盒子。 (1)BE的长为 米（用含x的代数式 表示)： (2)当AB为多长时，游乐场的面积为320平 方米？ 图22-9-10 (3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面 ①要使折成的长方体盒子的底面积为 积达到最大，最大值为多少平方米？ 484cm,那么剪掉的正方形的边长为 多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最 大值？如果有，求出这个最大值和此时 图22-9-9 剪掉的正方形的边长；如果没有，说明 理由： (2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形 (即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬 纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖 的长方体盒子，若折成的长方体盒子的表 面积为550cm2,求此时长方体盒子的长、 宽、高（只需求出符合要求的一种情况）.