22.2 二次函数与一元二次方程-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

22.2二次函数与一元二次方程 第7课时二次函数与一元二次方程 【基础巩固】 1.A 2.C点拨：根据b-4ac=(2m-1)2-4m2>0 求得 3.A4.A5.D 6.(1)x1=-1,x2=2(2)-1<x<2(3)x ≤-1或x≥2 7.42 8.解：(1)利用函数y=x2一2x一2的图象可 知，当x=2时，y<0;当x=3时，y>0, 所以方程的另一个根在2和3之间. (2)函数y=x一2x十c图象的对称轴为直 线x=1. c>0, 由题意得 解得0<c<1. 1-2+c<0, 9.解：(1)一元二次方程x2十x一m=0有两 个不相等的实数根， .△>0，即1十4m>0,.m> 41 (2)二次函数y=x2+x一m图象的对称轴 为直线x=一立 ∴.抛物线与x轴的两个交点关于直线x 一弓对称，由图可知抛物线与x轴的一个 交点为(1,0)， 另一个交点为（一2,0）， ∴.一元二次方程x2十x一m=0的解为 x1=1,x2=-2. 10.解：图象如答图22一7-1： (1)x1≈4.65，x2≈-0.65， .抛物线与x轴的交点坐标为(4.65,0)， (-0.65,0). (2)x1≈4.65，x2≈-0.65. (3)不等式x2-4x-3>0 的解集为x<一0.65或x≥ 4.65;不等式x2-4x-3<0 的解集为-0.65<x<4.65. 答图22-7一1 【能力提升】 1.C2.C 3.B点拨：关于x的方 程x2十2.x-3-m=0 的解为抛物线y= x2十2x-3与直线y= m的交点的横坐标，关 答图22-7-2 于x的方程x2十2x 3一n=0的解为抛物线y=x2十2x一3与 直线y=n的交点的横坐标，如答图22一 7一2，由图可知，x1<x3<x<x2,故选B. 4.B点拨：，抛物线的对称轴为直线x=一1， ÷会-16=2a,:当=1时y a十b十c<0,∴.3a十c<0,故①错误；，抛物 线开口向下，.在对称轴的右侧，y随x的 增大而减小，（一4，y)关于直线x=一1 对称的点为(2，y),2<3,·y>,故② 正确；关于x的方程ax2十bx十c=一1的 解可看作抛物线y=ax2+bx十c与直线 y=一1的交点的横坐标，由图象可知抛物 线y=a.x2十bx十c与直线y=一1有两个 交点，∴.关于x的一元二次方程ax2+bx十 c=一1有两个不相等的实数根，故③错误； 不等式ax十bx十c>2的解集可看作抛物 线y=a.x2+b.x十c在直线y=2上方部分 的点的横坐标组成的集合，抛物线经过 点(0,2)，(0,2)关于直线x=一1对称的点 为（一2,2），∴.x的取值范围为一2<x<0, 故④正确.故选B. 5.x1=-1.5,x2=3.5 6,k>-子且k≠0点拔：“此函数为二次函 数，.k≠0.又，该二次函数的图象与x轴 有两个交点，∴.b一4ac=(一7)2一4×k× (-7)=49+28k>0,解得k>-4且k≠0. 7.解：(1)，抛物线y=(m一1)x2十(m一2)x 一1与x轴有两个交点， .△=(m-2)2-4(m-1)×(-1)>0且 m一1≠0， 可知当m≠0时，△=m2>0,因此当n≠0 且m≠1时， 抛物线与x轴有两个交点. (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,0), (x2,0). 抛物线与y轴交于点C,∴·点C的坐标 为(0，-1). .AB=|x2-x1,OC=1. :Sax=号AB0C=2, 2-=2.即有1-=4 由根与系数的关系，得 |x2一2=(x2十x1)2-4x1x2 m2 (m-1)F, “m)=16,解得m-=号 m= 精彩一题 解：(1)①，m=5,.点A的坐标为(5， 0),把A(5,0)代入y1=kx+2得5k十 2=0, 解得k=一 “直线表达式为少=一 +2 当x=0时，y=2,.点B的坐标为(0,2). 将A(5,0),B(0,2)代人y2=ax2-4ax+c, 2 25a-20a+c=0, 得 解得 a=-5 c=2, c=2. …抛物线的表达式为y=一 r++2. 2 ②设点P的坐标为（红，一号x+2),则 Q,号r+ x+2, PQ=-+g+2-(-+2) 号r+2,当Q-, 即-号x+2x-号 解得x1=1,x2=4, ∴当z=1或x=4时，PQ-多 (2)设P(x,kx+2),则Q(x,ax2-4ax十 2),PQ的长用1表示， .l=a.x2-4ax+2-(kx+2)=ax2- (4a十k)x. PQ长的最大值为16， 当h=16时，一元二次方程a.x2-4a.x一 kx=h有两个相等的实数解： 当h>16时，一元二次方程ax2-4a.x kx=h没有实数解： 当0<h<16时，一元二次方程a.x2-4a.x一 k.x=h有两个实数解。 22.3实际问题与二次函数 第8课时实际问题与二次函数（一） 【基础巩固】 1.C点拨：设提高x元，获利y元，则y= (50+x)(100-品×10)=-(x-25)2+ 5625.所以当x=25时，获利最大，但由题 意，每次提高的钱数都是整十数，所以x=22.2二次通数与一元二次方程 第7课时二次函数与一元二次方程 基础巩固 1.关于x的一元二次方程x2一x一n=0没有实 6.如图22一7-2，抛物线y=ax2+bx十c与x 数根，则抛物线y=x一x一n的顶点 轴交于点A(-1,0),B(2,0) 在() (1)方程a.x2+bx十c=0的解为 A.第一象限 B.第二象限 (2)不等式a.x2十bx十c>0的解集为 C.第三象限 D.第四象限 (3)不等式a.x2+br十≤0的解集为 2.抛物线y=x2+(2m一1)x十m2与x轴有两 7.若抛物线y=x2+bx十8的顶点在x轴的负 个交点，则m的取值范围是( 半轴上，则b的值是 Am>号 B.m>-1 8.可以用如下方法求方程x2一2x一2=0的实 数根的范围：利用函数y=x2一2x一2的图象 Cm<号 Dm<一号 可知，当x=0时，y<0,当x=一1时，y>0, 3.二次函数y=x2十x一6的图象与x轴交点的 所以方程有一个根在一1和0之间. 横坐标是( ) (1)参考上面的方法，求方程x2一2x一2=0 A.2和-3 B.-2和3 的另一个根在哪两个连续整数之间； C.2和3 D.一2和一3 (2)若方程x2一2x十c=0有一个根在0和1 4.抛物线y=一3x2一x十4与坐标轴的交点个 之间，求c的取值范围。 数是( A.3 B.2 C.1 D.0 5.小颖用计算器探索方程ax2+br十c=0的 根，作出如图22一7一1所示的图象，并求得 一个近似根x≈一3.4，则方程的另一个近似 根（精确到0.1）为x≈() A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 图22-7-1 图22一7一2 9.已知关于x的一元二次方程x2+x一n=0. 10.画出函数y=x2一4x一3的图象，根据图象 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的 回答下列问题： 取值范围： (1)图象与x轴的交点坐标是什么？ (2)二次函数y=x+x一m的部分图象如图 (2)方程x2一4x-3=0的解是什么？ 22一7一3所示，求一元二次方程x2十x一 (3)不等式x2-4x-3>0,x2-4x-3<0的 m=0的解. 解集分别是什么？ 图22-7-3 能力提升 1.若关于x的一元二次方程a.x十b.x十c=0的 两个根为x1=一2,2=4，则二次函数y= ax2+b.x+c的图象的对称轴为( A.直线x=-3 B.直线x=3 C.直线x=1 图22一7-4 图22-7-5 D.直线x=一1 3.已知m>n>0,若关于x的方程x2十2x 2.如图22一7一4，以(1，一4)为顶点的二次函数 3一m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x的方 y=ax十br十c的图象与x轴负半轴交于A 程x2+2x-3一n=0的解为x8,x(x<x:). 则下列结论正确的是() 点，则一元二次方程a.x2十bx十c=0的正数 A.I<I<I<B.<n<x<I 解的范围是() C.I<I<<I D.<x<< A.2<x<3 B.3<x<4 4.已知二次函数y=ax+bx十c(a≠0)的部分 C.4<x<5 D.5<x<6 图象如图22一7一5所示，图象经过点(0,2)， 其对称轴为直线x=一1.下列结论：①3a+ 精彩-题 c>0:②若点（一4，y),(3,”)均在二次函数 如图22一7一7，直线y1=kx+2与x轴交于 图象上，则>y2;③关于x的一元二次方程 点A(m,0)(m>4),与y轴交于点B,抛物线 ax2十bz十c=一1有两个相等的实数根：④满 y=ax2-4ax十c(a<0)经过A,B两点.P 足a.x2十bx十c>2的x的取值范围为一2< 为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛 x<0.其中正确结论的个数为( 物线于点Q. A.1 B.2 C.3 D.4 (1)当m=5时： 5.已知抛物线y=a.x2+bx十c的部分图象如图 ①求抛物线的表达式： 22-7一6所示，对称轴为直线x=1,抛物线 ②设点P的横坐标为x,用含x的代数式 与x轴的交点P的坐标是(3.5,0)，则关于x 表示PQ的长，并求当x为何值时， 的一元二次方程ax2十bx十c=0的两个实数 根为 PQ- (2)若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的 一元二次方程ax2一4ax一k.x=h的解的 个数与h的取值范围的关系。 图22-7-6 6.已知二次函数y=kx2一7x一7的图象与x轴 有两个交点，则k的取值范围为 7.已知二次函数y=(m-1)x2十(m-2)x-1 (m为实数). 图22-7-7 (1)当m为何值时.函数图象与x轴有两个 交点？ (2)若抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴 交于C点，且S△BC=2,试确定n的值.