22.1 二次函数的图象和性质-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 第1课时二次函数 基础巩固 1.自由落体公式：h=2g(其中g为常量)，h 7.下列函数：①y=一2x2:②y=2x:③y=2+ x2-x3:④y=3一t一t产.其中是二次函数的是 与t之间的关系是( (x、t为自变量，填序号) A.正比例函数 B.一次函数 8.当k为何值时，函数y=(k一1)x++1为二 C.二次函数 D.以上答案都不对 次函数？ 2.下列函数中，是二次函数的有( ①y=x+2:@y=3(x+1)-1,③y=(x+ 品+ 3)2-2x2:④y= A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列函数是y关于x的二次函数的是( 9.如图22一1一1，矩形的长是4cm,宽是3cm, A.y=3 B.y=x十2 如果将长和宽都增加xcm,那么面积增加 y cm2. C.y=-3x2 D.y=√/x-3 (1)求y与x之间的函数关系式： 4.二次函数y=2x一3的二次项系数、一次项 (2)当边长增加多少时，面积增加8cm2? 系数和常数项分别是( A.2,0、-3 B.2、-3、0 3 C.2、3、0 D.2、0、3 5.二次函数y=一2.x2十x一2的二次项系数为 图22-1-1 ,一次项系数为 ,常数项 为 6.已知梯形的面积为ycm2,下底与高都是 xcm,上底长是下底长的了，那么y与x的函 数关系式为 能力提升 1.下列函数关系中，是二次函数的是( 6.某超市经销一种销售成本为每件20元的商 A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体 品.据市场调查分析，如果按每件25元销售， 质量x之间的关系 一周能售出1000件：若销售单价每涨1元， B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度 每周销售量就减少20件.设销售单价为x元 之间的关系 (x≥25)，一周的销售量为y件. C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系 (1)写出y与x之间的函数关系式：（标明x D.圆面积S与半径r之间的关系 的取值范围) 2.函数y=(m一5)x2十x是二次函数的条件为 (2)设一周的销售利润为S元，写出S与x之 () 间的函数关系式： A.m为常数，且n≠0 (3)在超市对该种商品投入不超过10000元 B.m为常数，且m≠5 的情况下，使得一周的销售利润达到9000 C.m为常数，且m=0 元，销售单价应定为多少？ D.m可以为任何数 3.半径为3的圆，如果半径增加2x,则面积S 与x之间的函数关系式为 ,其中二次项是 ,一次项系数 是 4.某菜农要搭建截面为半圆形 的全封闭蔬菜塑料暖房，如图 22一1一2，则需要塑料的面积 y(m)与半径R(m)的函数关图22-1-2 系式是 .(不考虑塑料埋在土里的 部分) 5.若函数y=(a+2)xm-+4x一26是二次函 数，求a的取值范围及m的值， 精影一题 (4)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在 问题(3)中，共需花多少元购买瓷砖？ 如图22一1一3，用同样规格黑白两色的正方 (5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？ 形瓷砖铺设矩形地面，请规察下列图形并解 请通过计算说明为什么. 答有关问题： 方= =2 图22-1-3 (1)在第n个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖： (用含n的代数式表示) (2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写 出y与(1)中的n的函数表达式：（不要求 写出自变量n的取值范围) (3)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面 共用了506块瓷砖，求此时n的值； 第2课时二次函数y=ax2的图象和性质 基础巩固 1.函数y=x2具有的性质是( A.无论x取何值，y总是正的 B.图象的对称轴是直线x=0 大木 C.当x的值增加时，y的值也增加 D.图象在第一、三象限 4.在同一坐标系中，作y=x,y=一2x,y 2.下列函数的图象中，有最高点的函数是 () 女的图象，它们的共同特点是() A.y=2.x+7 A.抛物线的开口方向向上 B.y=-3x+2 B.都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的 C.y 增大而增大 C.都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的 D.y=6.x2 增大而减小 3.下列图象中，是二次函数y=x的图象的是 D.都是关于y轴对称的抛物线，有公共的 () 顶点 5.二次函数y=6.x2的图象是 ,它的开↑ 7.在同一坐标系内画出下列函数的图象： 口向 ,顶点坐标是 ,对称轴 山y=2:2)y=2r2,30y=-2: 是 ,在对称轴的左侧，y随x的增大 (4)y=-2x2. 而 6.如图22一2一1的四个二次函数 的图象，分别对应的是：①y= ax2.@y=b.x2,③y=cx,④y= dx2,则a、b、c、d的大小关系 为 图22-2-1 能力提升 1.二次函数y=a.x2与一次函数y=ax十a在同· 6.二次函数y=一ax2的图象如图22一2-2，则 一坐标系中的图象大致为( 不等式ax>a的解集是 华兴太来 y=-ax 2.在二次函数：①y=3x2,②y=- 3x,③y= 图22-2-2 7.已知y=(k+2)x+‘是关于x的二次函 号女中，它们的图象在同一直角坐标系中，开 数，且当x>0时，y随x的增大而减小，求k 的值 口大小的顺序用序号来表示应是( A.②>③>① B.②>①>③ C.③>①>②@ D.③>②>① 3.若抛物线y=号r的图象经过点(a,4.5)和 (-a,y),则y1的值是 4.若对任意实数x,二次函数y=(a十1)x的值 总是非负数，则a的取值范围是 5.已知抛物线y=(m一1)x开口向上，且直线 y=4x十3一m经过第一、二、三象限，则m的 取值范围是 8.已知函数y=a.x+“ 精彩-题 (1)a取何值时，此函数为二次函数？并求出 如图22一2-3，直线AB过x轴上的点A(2,0), 解析式. 且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点 (2)a取何值时，函数图象是开口向上的抛 坐标为(1,1)。 物线？ (1)求直线AB和抛物线所表示的函数关 (3)a取何值时，函数有最大值？并求出最 系式 大值。 (2)在抛物线上是否存在一点D,使得S4D= S。？若不存在，请说明理由；若存在， 请求出点D的坐标. 图22-2-3 第3课时P二次函数y=ax2十k的图象和性质 基础巩固 1.抛物线y=4x2一3的顶点坐标是( 3.抛物线y=x一4的对称轴是( A.(3,0)B(-3,0)C.(0,3)D.(0,-3) A.直线x=1 B.直线x=-1 2.二次函数y=a.x2十c的图象如图22-3-1所 C.直线x=0 D.直线x=-2 示，下列判断错误的是( 4.抛物线y=2x2一3的开口向 ,对称轴 A.a>0 是 ,顶点坐标是 .当x=√2 B.c<0 时，y= ;当y=5时，x C.函数有最小值 5.把函数y=x2一1的图象沿y轴向上平移1 D.y随x的增大而减小 图22-3-1 个单位可以得到函数 的图象。 6.已知y=-2x2-1,当x= 时，y有 大宽度是多少米？ 最 值是 7.如图22一3一2，河上有一座抛物线形桥洞，已 1A 知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB 3240123 为6m,当水位上升0.5m时： 图22-3-2 (1)水面的宽度CD为多少米？ (2)有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一 个长方体形状的遮阳篷，此船正对着桥洞 在上述河流中航行. ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m,从 水面到篷顶的高度为1.8m,问这艘游 船能否从桥洞下通过？ ②若从水面到篷顶的高度为子m的游船 刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最 能力提升 1.已知点(x,y),(x2,y2)均在抛物线y=x2-1 10,3.5) 上，下列说法中正确的是( A.若y=y,则x1=g +25m 21 B.若x1=一x2,则y1=一 图22-3-3 图22-3-4 C.若0<x1<x2,则1>y 4.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 D.若x<x<0,则y>y y=一 5x+3.5的一部分，如图22-3-4. 2.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x的 图象向上平移2个单位，所得图象的解析式 若命中篮圈中心，则他与篮底的距离！是 为() m. A.y=2x2-2 B.y=2x2+2 5.已知抛物线y=2.x2,能否通过上、下平移抛 物线，使之过点(2,4)？如果能，说出平移的 C.y=2(.x-2)9 D.y=2(x+2)月 方向和距离：如果不能，试说明理由。 3.如图2-3-3，两条抛物线=一2父+1， 为=--1与分别经过点(-2,0，(2.0) 且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分 的面积为() A.8 B.6 C.10 D.4 6.若y=(a一4)x“-w十a是二次函数. 精影-题 (1)求a的值； (2)求函数的关系式： 已知抛物线y=女+1（如图22-3-5）. (3)请画出函数的图象，结合图象说一说图象 (1)抛物线的顶点坐标是( 有哪些性质. 对称轴是 (2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线 上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B.若 △PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上.在 平面内是否存在点V,使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件 的点N的坐标；若不存在，请说明理由。 图22-3-5 第4课时二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 基础巩固 1.把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛 2.抛物线y一(x-3)的顶点坐标为( 物线的函数解析式为( A.y=x2+1 B.y=(x+1) A.(0,0) B.(3,0) C.y=x2-1 D.y=(x-1) C.(-3,0) D.(-3》 3.函数y=（x+2)2的图象大致是() 7.已知函数y=2+2x+7子. g (1)把它配方成y=a(x一h)的形式： (2)x取何值时，y随x的增大而增大？x取 何值时，y随x的增大而减小？ 4.对于任意实数h,抛物线y=(x一h)2与抛物 线y=x2() A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最高点 5.若抛物线y=一4(x+h)2沿x轴向右平移5 个单位后经过点(2，一4)，则h 6.将抛物线y=一3(x一1)2先向左平移5个单 位，再向右平移8个单位，得到的抛物线的解 析式为 能力提升 1.二次函数y=一(x-22与y轴( 5.已知抛物线y=一 2-2 A.没有交点 B.有两个交点 (1)写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点 C.只有一个交点 D.交点坐标是(0,3) 坐标； 2.抛物线y=2(x一2)2与x轴交点A的坐标为 (2)在坐标系中画出抛物线的草图： ,与y轴交点B的坐标为 (3)求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标： S△0B= (4)在(3)中，设抛物线与y轴交于点A,与x 3.已知二次函数y=一 (x一1)：的图象上有 轴交于点B,若以A为顶点的抛物线经过 点B,请你求出这条抛物线的函数关系 三个点(x,y1)、(x2,2)、(x,y),且x> 式，指出其开口方向和最大或最小值 x>x3>1,则、、y的大小关系是 4如何平移抛物线y一号(x十2)：可以得到抛 物线y=？ 6.如图22-4-1，在Rt△OAB中，∠OAB= 精彩-题 90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA= AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正 如图22-4-2，直线y=x+6经过点 方向平移1个单位长度后得到△AAB: B(一√3,2)，且与x轴交于点A,将抛物线 (1)求以A为顶点，且经过点B,的抛物线的 解析式： y=子女沿工轴作左右平移，记平移后的抛 (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴 物线为C,其顶点为P 交于点D,求点D,C的坐标 (1)求∠BAO的度数： (2)抛物线C与y轴交于点E,与直线AB交 于两点，其中一个交点为F,当线段EF∥ x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数 关系式： 图22-4-1 (③)在抛物线y=号r平移过程中，将△PAB 沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否 落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线 C顶点P的坐标：如不能，说明理由 图22-4-2 第5课时卜二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 基础巩固 1.二次函数y=x一1+2的开口方向、对 5.将二次函数y=x2十6x+10配方化成y a(x一h)2十k的形式为 称轴、顶点坐标分别是( 开口方向 ,对称轴是 ,顶点 A.向上、直线x=1、(1,2) 坐标是 B.向上、直线x=-1、(-1,2) C.向上、直线x=1、(1,一2) 6.已知y=a(x一h)+是由抛物线y=一2文 D.向下、直线x=一1、（一1,2） 向上平移2个单位，再向右平移1个单位得 2.若抛物线y=(x+1)2一2与x轴的正半轴相 到的抛物线。 交于点A,则点A的坐标为( (1)求a,h、k的值： A.(-1-2,0) B.(2,0)》 (2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x一h)2+k C.(-1,-2) D.(-1+√2,0) 和y=一女的图象： 3.二次函数y=一2(x一1)2的图象大致是 (3)在二次函数y=a(x-h)十k中，当x取 何值时，y随x的增大而增大？ 业欢业 (4)观察y=a(x一h)2+k的图象，你能说出 对于一切x的值，函数y的取值范围吗？ 4.在二次函数y=5(x+3)一2中，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小；当x= 时，函数y有 值（填“最大” 或“最小”)，这个值是 能力提升 1.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x不 A.a>b B.a<b 动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单 C.a=b D.不能确定 位，那么在新坐标系下抛物线的表达式 3.如图22-5-1.把抛物线y=x 是() 沿直线y=x平移√2个单位后， A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2 其顶点在直线上的A处，则平移 10 C.y=2(x-2)2-2D.y=2(x+2)2+2 后的抛物线解析式是() 图22-5-1 2.已知二次函数y=a(x十1)2一b(a≠0)有最 A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 小值1，则a、b的大小关系为() C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1,x1=1+3,x2=1√3； 当m=3时，x2一2x一m=0可化为x2 2x-3=0, .x2-2x+1=3+1, .(x-1)2=4, .x1=3,x2=-1. 11.(1)证明：△=(2m-1)2-4(-3+m) =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0. 无论m为何值，方程总有实数根. (2)解：由根与系数的关系得x1十x2= 2m-1, x1x2=一3m2十m. +五=+=+x)-2. 工1x2x12 TiT2 (2m-1)2 -2=-5 -3n2+m 2 整理得5m2一7m十2=0， 2 解得m=1或m= 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 第1课时二次函数 【基础巩固】 1.C2.B 3.C点拨：只有y=-3x2是形如y=ax2+ bx十c(a≠0)的函数，是二次函数.故选C. 4.A点拨：二次函数y=2x一3的二次项系 数是2，一次项系数是0，常数项是一3.故 选A. 5.-21-26y-号r1.00 k2十k=2, 8.解：由题意知 解得k=一2. k-1≠0， .当k=一2时，函数y=(k一1)x+#+1 为二次函数 点拨：此题中x的次数应为2，且二次项系 数不为0. 9.解：(1)原来的面积是3×4=12(cm), 现在的面积是(4十x)(3十x)cm, ∴.y=(4+x)(3+x)-12=x2+7x (2)由题意，得8=x十7x,∴.x1=1,x2= -8(舍去). 即当边长增加1cm时，面积增加8cm. 点拨：表示简单变量之间的函数关系，要找 到问题的切入点，即存在怎样的等量关系. 【能力提升】 1.D点拨：选项A中y=kx十b(k≠0)，是一 次函数；选项B中t=三(s为距离)，不是二 次函数；选项C中C=3a,是正比例函数： 选项D中S=πr2,是二次函数.故选D 2.B点拨：函数y=(m一5)x十x是二次函 数的条件是m为常数，且m≠5.故选B. 3.S=4πx2+12πx+9π4xx212元 4.y=30πR十πR 5.解：由题意得a十2≠0，a≠一2：m2一2=2， m=±2. .a的取值范围是a≠一2，m的值是士2， 点拨：解答本题的关键是二次函数的最高 次项的次数为2，且二次项系数不能为0. 6.解：(1)y=1000-20(x-25)=1500- 20x(25≤x75). (2)S=(x-20)(1500-20x)=-20x2+ 1900x-30000. (3)由题意知-20.x2十1900x-30000= 9000. 整理得20.x2-1900x+39000=0,即x2 95x+1950=0. .(x-30)(x-65)=0,解得x1=30, x2=65. 当x=30时，成本为20×[1000一20(30 25)]=18000(元)， 18000元>10000元，不符合要求，舍去； 当x=65时，成本为20×[1000-20(65 25)]=4000(元)， 4000元<10000元，符合要求. 即销售价应定为65元，才能使一周的销售 利润达到9000元的同时，投入不超过 10000元. 精彩一题 解：1)(n+3)(n十2) (2)y=(n+2)(n+3)=n2+5m+6. (3)依题意有n2+5n+6=506,解得n1= 20,n4=-25(舍去). (4)在(3)中，白瓷砖有420块，黑瓷砖有86 块，共花了4×86+3×420=1604（元）. (5)不存在.理由如下：在第n个图形中， 白瓷砖有n(n十1)块，黑瓷砖有n2十 5m十6-n(n十1)=(4n十6)（块），若 相等，则n(n十1)=4n十6，而此方程 无整数解，所以不存在。 第2课时 二次函数y=a.x2的 图象和性质 【基础巩固】 1.B 2.C点拔：一次函数的图象为一条直线，没 有最高点，所以A、B项可排除，函数y= ax2的图象为抛物线，当a>0时，开口向 上，有最低点，当a<0时，开口向下，有最 高点.故正确答案应为C. 3.A4.D 5.抛物线上(0,0)y轴减小 6.a>bc>d 7.解：列表如下： -1 0 0.5 0.5 y=2x2 2 -2 -0.5 0 0.5 2 y=-2 -8 一2 -2 8 描点、连线，如答图22一2-1所示. y=2x 6 -2 -4 -8 y=-2x 答图22-2-1 【能力提升】 1.C 2.A 点拨：在y=ax2中，a越大，开口越 小：一<号长3A正确， 3.4.5 点拨：由函数y=号？的图象具有对 称性可知，y=4.5. 4.a>-1 5.1<m<3点拨：，抛物线y=(m一1)x 开口向上，且直线y=4x十3-m经过第 m-1>0, 一、二、三象限， 解得1< 3-m>0, m<3. 6.x>1点拨：由二次函数y=一ax2的图象 知一a<0,即a>0,.ax>a的解集为 x>1. 7.解：函数y=(k十2)x+-4是二次函数，则 k2十k-4=2, 解得 k=-3,k2=2, 所以 k+2≠0 k≠-2. k1=一3，k2=2.又因为当x>0时，y随x 的增大而减小，所以k十2<0，即k<一2， 所以k=一3. 点拨：解答此类问题的关键是明确二次函 数的概念和性质。 8.解：(1)使函数y=ax”+为二次函数，需满 a2十a=2. 足 a≠0. 解得a,=一2，a2=1.此时函数解析式为 y=一2x2或y=x2, (2)当a=1时，抛物线y=x2的开口向上。 (3)当抛物线开口向下时，有最大值，此时 a=一2，当x=0时，y最大=0， 点拨：通过二次函数的定义求出二次函数 的解析式，然后根据y=ax(a≠0)的性质 作出函数图象，通过图象直观地观察何时 取得最值 精彩一题 解：(1)设直线关系式为y=kx十b A(2,0),B(1,1)都在直线y=kx十b 的图象上， (0=2k十b, k=一1， 解得 1=k+b, b=2. ∴.直线AB的关系式为y=一x十2. ,点B(1,1)在y=ax2的图象上，∴a= 1,其关系式为y=x. (2)如答图22-2-2，存在点D,设D(x,x) 答图22-2-2 则S△aD= 21oA·lnl=2×2· x2=x2. y=-x+2, x=1, 由题意，得 解得 y=x2, y1=1, x2=-2, 或 y2=4. .C(-2,4) ∴Saw=Ssx-Sm=号X2X4- 名×2×1=8 S△c=S△amD,x2=3,解得x= 士3. .点D坐标为（一3,3）或(3,3). 第3课时 二次函数y=ax2十k 的图象和性质 【基础巩固】 1.D 2.D点拔：由图象开口向上，可知a>0,函 数有最小值；又，顶点在y轴的负半轴上， c<0:,当x>0时，y随x的增大而增 大，当x<0时，y随x的增大而减小，∴.D 错误 3.C 4.上y轴(0，-3)1±25.y=x2 6.0大-1 7.解：(1)设该抛物线的函数关系式为y= ax+c. ,点A(3,0)和E(0,3)在函数图象上， (9a+c=0, a=- 3r2+3 3'y=- c=3, c=3. 由题意可知，点C和点D的纵坐标为0.5， 3+3=0.5 21 x2 2· CD=30 √/30 =√/30(m). 2 (2)0当x=1时y=号“-0.5>1.8， .这艘游船能从桥洞下通过 ②当y=子+0.5= 时，即- 3x2+3=9 3 3 解得x=2=一2 .这艘游船的最大宽度是3m. 【能力提升】 1.D2.B 3.A点拨：两条抛物线的形状相同，利用图 形的平移，便可知阴影部分的面积为8. 4.4 5.解：方法一：能.理由如下： 设平移后的抛物线的关系式为y=2x2十k 将点(2,4)代入关系式，得2×2+k=4,解 得k=一4. 所以平移后的抛物线的关系式为y=2x2一4. 故应将抛物线y=2x2向下平移4个单位 可过点(2,4). 方法二：能.理由如下： 当x=2时，y=2×2=8,所以抛物线过点 (2,8). 将点(2,8)向下平移4个单位可得点(2,4). 所以将抛物线y=2x2向下平移4个单位 可过点(2,4). 点拨：本题考查了抛物线的平移，我们可用 抛物线上的点的平移代表抛物线的平移，当 抛物线y=a.x上(k>0)、下(k<0)平移k 个单位时，平移后的关系式为y=ax2十k a2-3a-2=2, 6.解：(1)由题意，得 a一4≠0， (a=4或a=一1， 解得 a≠4. a=-1. (2)把a=一1代人得函数关系式为y= -5.x2-1. (3)列表： 2 9 9 -6 如答图22一3一1，它的开口向下，对称轴是 y轴， 顶点坐标为(0，一1)，有最大值一1. 当x<0时，y随x的增大而增大， 当x>0时，y随x的增大而减小. 11r=-5x-1 答图22-3-1 精彩一题 (1)(0,1)y轴（或x=0) 解：(2)如答图22-3-2①， ,△PAB是等边三角形， ∴.∠ABO=90°-60°=30 ∴.AB=2OA=4.∴.PB=4. 把y=4代人y=子2+1，得x=士2B. ∴.P1(23,4),P2(-25,4). 答图22-3-2 (3)点A的坐标为(0,2)，点P的坐标 为(2√3,4)， ∴.设线段AP所在直线的解析式为y= kx十b b=2, 3 k= 解得 3 2√3k+b=4, b=2. y= 3+2 设存在点N使得四边形OAMN是 菱形 .点M在直线AP上， ∴设点M的坐标为m,号m+2). 如答图22一3-2②，作MQ⊥y轴于点 Q,则MQ=m AQ=0Q-0A= 3m+2-2= 3%. ,四边形OAMN为菱形，∴.AM=AO= 2. .在直角三角形AMQ中，AQ十MQ= AM, 即（停+m=2,解得m=士尽 代入直线AP的解析式可得M点坐标为 (5,3)或(-3,1)， 同理可得当点P坐标为（一23,4）时， M点的坐标为(-5,3)或(3,1). .存在N1(3,1),N2(-3,-1). N(-√5,1)，N,(3,一1)使得四边形 OAMN是菱形. 第4课时 二次函数y=a(x一h)2 的图象和性质 【基础巩固】 1.D2.B3.C4.A 5.2或4点拨：抛物线y=一4(x+h)沿x 轴向右平移5个单位后的解析式应为y= 一4(x十h一5)2，由于图象过点(2，一4)，把 x=2,y=-4代人y=-4(x+h-5)2,解 得h=2或h=4. 6.y=-3(x-4) 7.解：1)y=2+2x+=(x+r+0 =2x+20. (2)当x>一2时，y随x的增大而增大：当 x<一2时，y随x的增大而减小. 点拔：解答此题时，要与y=ax的性质进 行对比，从而巩固二次函数y=a(x一h) 的性质。 【能力提升】 1.C 2.(2,0)(0,8)8 3<<点拨：二次函数y=一日（红 1)2的图象开口向下，对称轴是直线x=1, 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴.y1<yg<y 4.解：将抛物线y=青（x十2)向右平移2个 单位可以得到抛物线y=子. 点拨：二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x一h)2的图象形状、开口大小完全 相同，只是位置不同，它们之间可通过平移 相互转化 5.(1)开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐 标为(2,0). (2)略 (3)与x轴交点（即顶点）坐标为(2,0)，与y 轴交点坐标为(0，一2). (4)y=2-2,开口向上y=-2. 6.解：(1)由题意可知，A(1,0),A(2,0), B(2,1). 设以A为顶点的抛物线的解析式为 y=a(x-1)2 ,此抛物线过点B1(2,1),.1=a(2-1)2, .a=1, .所求抛物线的解析式为y=(x一1)2. (2).当x=0时，y=(0-1)2=1, .D点坐标为(0,1). 由题意知OB在第一象限内两坐标轴夹角 的平分线上， 故可设C(m,m),代人y=(x一1)2，得 m=(m-1)2, 解得m,=3,5<1,m,=3+5>1(舍 2 去) 故C点坐标为22,3，). 精彩一题 解：(1)由点B在直线AB上，求得b=3, 号x+3. 六直线AB为y= A(-33,0),即OA=3√3. 如答图，作BH⊥x轴，垂足为H, 则BH=2,OH=√3，AH=25, ..AB=VAH+BH2=4. 在Rt△ABH中，AB=2BH, ∴.∠BAO=30°. 答图 (2)设抛物线C的顶点为P(t,0),则抛 物线的关系式为 Cy=3(x-0∴E0,）月 EF∥x轴，.点E、F关于抛物线C的 对称轴对称， F2,3r）月 点F在直线AB上， =号2+3 解得t1=一√5，t2=3√3. 抛物线C为y=专(x十B)或y= 3u-3. (3)假设点D能落在抛物线C上，不妨设 此时抛物线顶点为P(t,0),则抛物线的关 系式为Cy=号x-0,AP=3B+4 连接DP,作DM⊥x轴，垂足为M. 由已知，得△PAB≌△DAB. 又∠BAO=30°， .△PAD为等边三角形，PM=AM= 235+》, DM-/3AM.:.DM-+ OM=PM-OP=7(3+)-= 号3-0. ∴M(-2(35-),0小，D(-2(35 0,29+) ,点D落在抛物线C上， ∴29+)=[-号3B-0- 即t2=27,.t=±3√3. 当t=一3√3时，点P(-3√3,0)，点P与 点A重合，不能构成三角形，不符合题 意，舍去.∴点P的坐标为(3√3,0) .当点D落在抛物线C上时，顶点P的 坐标为(3√5,0). 第5课时二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 【基础巩固】 1.A 2.D点拨：令y=(x十1)2-2=0，解得x1= √2一1，x2=一√2一1，点A在x轴的正半 轴上，A(2-1,0). 3.B点拨：二次函数y=一2(x一1)2的图象 开口向下，对称轴是x=1,顶点坐标为(1， 0),故选B. 4.>一3<一3-3最小-2 5.y=(x+3)2+1向上直线x=-3 (-3,1) 6,解：)将抛物线)=一2向上平移2个单 位，再向右平移1个单位.得y=一号（x一1 +2,所以a=一A=1,k=2. (2)两个函数的图象如答图. x-1)+2 答图 (3)观察y=一（x一1)+2的图象可知。 当x<1时，y随x的增大而增大. (4)由图象知，函数的最大值是2， 所以对于一切x的值，总有函数值y≤2. 【能力提升】 1.B 2.A点拨：，二次函数y=a(x十1)2 b(a≠0)有最小值，∴.抛物线开口方向向 上，即a>0:又最小值为1，即一b=1, .b=-1,.a>b. 3.C点拨：点A在直线y=x上，.设 A(m,m).,OA=2,.n2+m2=(√2)2， 解得m=士1(m=一1舍去)，.m=1, ∴.A(1,1),.抛物线解析式为y=(x一1) +1. 4.D点拨：根据二次函数解析式确定两抛物 线的顶点坐标分别为(h,k),(m,n),对称 轴都是直线x=m(或x=h),即m=h,由 题图知h<0,k>0,m<0,n>0,因为点(h, k)在点(m,n)的下方，所以k=n不正确.故 选D. 5.一1点拨：AB∥x轴，.点A和点B关于 抛物线的对称轴对称，设点B的横坐标 为m, :二次函数y=3(x十2)2十k的图象的对 称轴为直线x=一2， ∴.m-(-2)=-2-(-3),∴.m=-1. 6.(1)(1,2)(2)2(3)向上(-1，-2) 点拨：(1)，y1=一x2+2的顶点是(0,2)， ∴.抛物线y”向右平移1个单位后顶点坐 标为(1,2).(2)阴影部分的面积通过用割 补法可知正好是一个长为2，宽为1的矩形 面积.(3)：'将抛物线y2绕原点O旋转 180°得到抛物线y3,∴.抛物线y与抛物线 y2关于原点对称..抛物线y的开口向 上，顶点坐标为（一1，一2）. 7.解：(1)开口向下，对称轴为x=3,顶点坐标 为(3,6) (2)令y=0,即-2(x-3)2十6=0，解得 x=士√/3+3. .函数图象与x轴的交点坐标为（√3十3， 0)和（一√3十3,0）. (3)当x<3时，y随x的增大而增大。 (4)当x=3时，函数有最大值，最大值为6. 点拨：本题综合考查了y=a(x一h)2十k的 图象与性质.特别注意图象与x轴的交点 坐标，即要求出y=0时x的值，需解一元 二次方程 8.解：点P与点P'(1,3)关于x轴对称， .P点坐标为(1，一3) ,抛物线y=a(x一1)2+c过点A(1一√5， 0),顶点是P(1,一3)， .a(1-3-1)2+c=0, a=1 解得 a(1-1)2+c=-3. c=-3, 则抛物线的解析式为y=(x-1)2一3， 即y=x2-2x-2. 精彩一题 解：(1)当m=1时，抛物线的解析式为 y=-(x一1)2十1=一x2十2x,正确的结 论有很多，如： ①抛物线的解析式为y=一x2十2x: ②抛物线的开口向下； ③顶点坐标为(1,1)： ④抛物线经过原点； ⑤与x轴的另一个交点的坐标是(2,0)： ⑥对称轴为直线x=1: ⑦当x=1时，函数取得最大值y=1;等等. (2)存在. 当y=0时，一(x-m)2十1=0， 即(x一m)2=1, x1=m-1,x2=m十1. 点B在点A的右边 .点A坐标为(m一1,0)， 点B坐标为(m十1.0). .OB=m+1. .当x=0时，y=一m2+1,点C在原点 下方，∴.OC=m2-1. 当m2-1=m十1时，m2-m一2=0， ∴.m1=2,m2=-1(不符合题意，舍去)， ∴.存在△BOC为等腰三角形的情形，此 时m=2. (3)可写出的命题有： ①对任意的m,抛物线y=一(x一m)2十 1的顶点都在直线y=1上： ②对任意的m,抛物线y=一(x一m)2十 1与x轴的两个交点间的距离是一个 定值； ③对任意的m,抛物线y=一(x一m)2+ 1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对 值是2. 点拔：在解答探究开放型问题时，首先应 理解问题中的条件和图形中的信息，往 往在几个问题的探究过程中都是由浅入 深、循序渐进，同时需要从已给资料或已 经解答的问题（及其过程）中寻求解答后 面问题的思想和方法，对开放型问题的 探究要注意探究所深入的层次和结论的 普遍性意义以及结论的一般性 第6课时二次函数y=ax2十bx十c 的图象和性质 【基础巩固】 1.B 2.C点拨：抛物线y=2x2十4x十m2一m经 过坐标原点，则m2一m=0,即m=0或1. 3.C4.B 5.72 <2 =2 小 6.解：(1)抛物线y=0.0225x2十0.9x+10可 化为y=0.0225(x+20)2+1, .对称轴为x=一20，顶点坐标为（一20,1）. 两条钢缆的抛物线关于y轴对称， ∴.另一条钢缆的抛物线的顶点坐标为(20， 1),对称轴为x=20. (2)钢缆的最低点到桥面的距离是1m. (3)两条钢缆最低点之间的距离是20×2= 40(m),是用配方法求顶点坐标得到的. 点拨：抛物线y=0.0225.x2十0.9x十10是 用抛物线的一般形式来表示的，所以要求 钢缆的顶点坐标和最低点到桥面的距离应 把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x h)2十k或直接代入顶点坐标公式求解， 【能力提升】 1.D 2.A点拨：抛物线y=ax2+bx十c关于x轴 对称的抛物线为y=一ax2一bx一c,关于y 轴对称的抛物线为y=ax2一bx+c. 3.D 4.0.511.25 5.解：1)把A2.0.B0,-6)代人)=- +bx+c得 -2+2b+c=0, b=4, 解得 c=-6, lc=-6. ∴.y=- 2x2+4x-6. (2),该抛物线的对称轴为直线x= =4 2x(】 点C的坐标为(4,0) ∴.AC=OC-OA=4-2=2 “Sar=号<ACxOB=-号X2X6=6, 精彩一题 解：(1)如答图，过点C作CH⊥x轴，垂 足为H. 在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA =30°，AB=2, .OB=4,OA=2√3. 由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=2√5， .∠COH=60°，OH=3,CH=3. ∴.C点的坐标为（√3,3）. (2),抛物线y=a.x2+bx(a≠0)经过 C(√3,3)、A(2√3,0)两点， 「3=(3)a十√3b, a=-1 解得 0=(23)2a+23b, b=25. .此抛物线的解析式为y=一x2十2√x (3)存在. y=一x2+2√3x的顶点坐标为(3,3)， 即为点C 如答图，MP⊥x轴， 设垂足为N,PV=t. ,∠BOA=30°，∴.ON=√3. ∴.P(3t,t). 作PQCD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E. 把x=√3t代入y=-x2十25x得y= -3t+6t ∴.M(3t,-3+6t),E(3,-3+6t) 同理：Q(/3,t),D(√3,1). 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需 CE=QD,即3-(-3+6t)=t-1,解 得-专6=1（舍去. P点坐标为（告，） .存在满足条件的点P,使得四边形 CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标 为（传， 答图