21.2 解一元二次方程-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

为-0.21. (3)设四周草地的宽为x米，则由题意得 (8-2x)(6-2x)=16, 化为一般形式为x2一7x十8=0， 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项 为8. 7.解：.a是方程x2一2013.x十1=0的一 个根， 代入即得a2-2013a+1=0, .a2-2013a=-1,a2+1=2013a. 2013 .∴.a2-2012a+ a2+1 2013 =(a2-2013a)+a+2013a =-1+a+ d =-1+02+1 =-1+2013a 0 =-1+2013 =2012. 精彩一题 解：设a是这两个方程的一个公共根，则 a2十pa十q=0,a2十qa十p=0, .a2十pa十q=a2+ga+p,∴.(p-q)a= p一4 .p≠q,.a=1. 把x=a=1代人x+px十q=0, 得p十q=-1.∴.(p十q)215=(-1)2015= -1. 21.2解一元二次方程 第2课时配方法 【基础巩固】 1.C2.D3.B4.B5.A 6.士2点拨：由 21m 2 =4m2,得m= 士√2 7.x1=一1，x2=一3点拨：根据题意可得 x2十4x十3=0，解得x1=一1，x2=一3. 8.解：(1)移项，得9x2=25,直接开平方，得 (2)配方，得(x十4)2=25， .x十4=±5，x1=1,x2=-9. (3)移项，得4(3x-1)2=9(3x+1)2, 直接开平方，得2(3x-1)=士3(3x十1)， .2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)= -3(3.x+1). 5 1 六西=一3=一5 ()整理，得-2x=一青配方，得(x一 1)=-1<0 此方程无实数根. 【能力提升】 1.B点拨：解方程得x1=2,x2=4.因为三角 形的两边长分别为3和6，则第三边长大于 3且小于9，所以第三边长为4，这个三角形 的周长为13. 2.C点拨：只有当n≥0时，方程才有解，故 A错误，∴.x十m=±√n,即x=一m士√n 3.B点拨：(x-1)2+(y+2)2+(x-3) =0,.x=1,y=-2,z=3,.x十y十2=2， .选B 4.B点拨：，a2+b+l√c-1-2=10a+ 2√6-4-22. .a2-10a+b-2/6-4+22+W-1-2=0. .a2-10a+25+(b-4)-2b-4+1+ c-1-2=0, ∴.(a-5)2+(b-4-1)2+c-1-21= a-5=0, 0.由非负数的性质得√b一4一1=0，解得 /c-1-2=0. a=5, b=5,∴.a=b=c,故为等边三角形， c=5. 选B. 5.1或-2 6.2点拔：分子为0，分母不为0. 7.解：(1)配方，得(x-3)2=15, .x-3=±15， ∴.x1=3十/15，x2=3-√/15. (2).(y-2√3)2=0， .y1=%=2√3. (3)移项，得2x2一3x=一1， 二次项系数化为1，得一多 x=-21 配方，得2-2x+(保)=-+(). (-是= (4)整理，得2x2-5x=-2. 2-=-1 =-1+路-品 F41 =2=2 8.解：将x=2代入原方程，得3×22一(2a一 5)×2-3a-1=0, a=3. .原方程为3x2一x一10=0. 移项，得3x2-x=10.系数化为1，得x2一 配方，得)广- 361 3 故另一个根为x= 31 9.解：(1)3※x=32-x2+2=10, 化简得x2=1,即x1=1,x2=-1. (2)由题意，得(2x十1)2-x2十2=10， 即3x2+4x-7=0. 7 解得x1=1,x2=一 3 10.解：(1)都能达到.理由如下：设与墙垂直 的边为xm,则与墙相对的边为(40一 2x)m: 依题意，得x(40一2x)=180, 整理，得x2-20x+90=0,x1=10+√10， x2=10-J/10, 则40-2x=40-20-2√/10=20-2√10 或40-2.x=40-20+2/10=20+2/10 (不合题意，舍去)； 同理x(40-2x)=200,x1=x2=10,40 2x=40-20=20. (2)不能达到.理由如下：依题意，得x(40 -2x)=210,即x2-20x+105=0, 配方，得x2-20.x十102=-105+100， .(x-10)2=-5. 一个数的平方不能是负数，.无实数根， 即养鸡场的面积不能达到210m. 精彩一题 解：设一段铁丝长为xm,则另一段铁丝 长为(16-x)m, 由题意知，S=()'+(6)=2+ (16-x)门=g(x2-16x+128)=g(x-8 +8, 则当x=8时，S有最小值. 即将这段铁丝分别截成8m,8m的两 段，才能使两个正方形的面积和最小. 第3课时公式法 【基础巩固】 1.C2.C 3.B点拨：b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1) =8>0,故方程有两个不相等的实数根，故 选B. 4.C 5.2x2+5x+1=017-5-/17 -5十/17 4 4 6.4(答案不唯一) 7.解：(1)a=2,b=3,c=-4,△=b2-4ac= 32-4×2×(-4)=9+32=41>0,方程有 两个不相等的实数根 (2)整理，得4y一12y十9=0.a=4,b -12,c=9,△=-4ac=(-12)2-4×4× 9=144一144=0，方程有两个相等的实 数根 (3)整理，得5x2一7x十5=0，a=5,b=一7， c=5,△=8-4ac=(-7)2-4×5×5= 49一100=一51<0，方程没有实数根。 点拨：要确定一元二次方程根的情况，计算 b2一4ac即可.因此所给的方程首先应整理 成一元二次方程的一般形式，由此确定a、 b、c的值 8.解：(1).a=1,b=3,c=1, .∴.△=W-4ac=9-4×1×1=5>0, x=-3±5 2 x-3+5 -3-5 2x2= 2 (2)-4ac=(-2√2)2-4×2×1=0， x=22±6-区 2文22·x=x气 (3)整理得4x2-6x十4=0， .'6-4ac=(-6)2-4×4×4=36-64= -28<0, 原方程没有实数根。 (4)整理得3.x2-11x十9=0， .2-4ac=(-11)2-4×3×9=13, x=11/图_11±3 2×3 6 4-1+区x,-11 6 6 【能力提升】 1.A 2.D点拔：将方程x2十4x=2变为一般形 式，得x2+4x-2=0,.a=1,b=4,c= -2,.-4ac=42-4×1×(-2)=24> 0,x=-4±24 x1=-2+6,x2= 2×1 一2一√6，故正根为x=一2十√6. 3.m<4且m≠04.-3 5.解：(1)因为a=1,b=-3,c=-1,所以 b-4ac=(一3)2一4×1×(-1)=13，所以 01=3+/13 ,-3= 2 2 (2)整理，得3.x2-5x-2=0.因为a=3, b=-5,c=-2,b2-4ac=(-5)2-4×3× 一2》=49所以=5若1-2-5.7怎 6 、1 3 (3)因为a=2,b=一4，c=一1，所以b2 4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0.x= （团=生5=，所以 2×2 4 26,=26 西=2+6 2 (4)因为a=4,b=-3,c=1,所以b 4ac=(-3)2一4×4X1=一7<0，所以方 程无实数根。 6.证明：4=4k-4×(合2-2）=2k+8,因 为2k2≥0，所以2k+8>0,即△>0.所以 不论k为何值，方程总有两个不相等的实 数根。 点拔：此类题应从△出发，当确定△的取值 范围时，即可证明方程根的情况 7.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， .(-3)2-4(-k)>0. 即4>一9，解得k>-9 4 (2)若k是负整数，k只能为一1或一2. 如果k=一1，原方程为x2一3.x十1=0， 解得1=35,4=3， 2 2 如果k=一2，原方程为x2一3.x十2=0， 解得x1=1,x2=2. 8.解：因为关于x的一元二次方程(a一2)x 一2ax十a十1=0没有实数根，所以（一2a)9 -4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0. 解得a<一2.因为ax+3>0,即ax>一3， 所以x<一 ，所以所求不等式的解集为 点拨：此题是一元二次方程根的情况与解 不等式的综合题，要求ax十3>0的解集， 就是求ax>一3的解集，那么就转化为判 定a的值的情况问题.因为一元二次方程 (a一2)x2-2ax十a十1=0没有实数根，即 根据(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求 出a的取值范围. 精彩一题 解：对于方程mx2一4x十5=0，b2一4ac= 16-20m, 对于方程x2一41.x十4m2一3m一3=0， b2-4ac=12m+12. 16-20m≥0， 由题意，可得 解得-1≤ 12m+12≥0， 存在整数m,使得两方程的根都是整数. 若m为整数，m应取一1,0. 当m=一1时，方程m.x2一4x+5=0变 为x2十4x-5=0, 此时解为x1=一5，x2=1; 方程x2一4m.x十4m2-3m一3=0变为 x2+4x+4=0, 它的解为x1=x2=一2. 当m=0时，方程mx2一4x十5=0不是 一元二次方程， ∴.m=0应舍去，.m=一1. 第4课时 因式分解法 【基础巩固】 1.D2.C3.D 4.B点拨：在A中，由(x一3)(x-5)=10× 2不能得出x一3=10，x一5=2：在C中，解 不出x1=2,x2=一2两个解；在D中，方程 两边不能同除以x,因为x可以等于0，故 B是正确的， 5.x1=0,x2=5 6.4点拔：解得方程的根为一3和1，则 x1-x2|=-3-1=4. 2.解：0=-号=4 (2)分解因式，得(2x+1+2)(2x+1-2) =0, 即(2x+3)(2x-1)=0,西=- 2 x2一2 (3)分解因式，得(2x-3)[2(2x-3)-3] =0, 3 9 (2x-3)(4x-9)=0…x1=2x= 4 【能力提升】 1.C点拨：将x=1代入方程x2+bx一2 0,求得b=1,则原方程为x2十x一2=0，解 得x1=1,x2=一2. 2.D 3.5或一6点拨：此题把y的值代入得到关 于x的一元二次方程，解之即可.如：根据 题意，得x2十x一6=24，整理得x2十x 30=0,解得x1=5,2=-6. 4.1点拨：m2-3m+4=2,则m2-3n+2 0,∴.=1或m=2.又m一2≠0，.m=1. 5.1或-4点拨：(2x+3y)2+3(2x+3y) 4=0,(2x+3y-1)·(2x+3y+4)=0, 2.x+3y=1或2x+3y=-4. 6.解：(1)原方程可变形为3x(x一1)十2x一 2=0.分解因式，得(x-1)(3x十2)=0.所 以x一1=0或3x十2=0，所以x1=1,x2= 、2 3 (2)原方程可化为(2x-1)2=3x(2x-1). 移项，得(2x一1)2一3.x(2x一1)=0.分解因 式，得(2x-1)[(2x-1)-3x]=0,即 (2x一1(-x一1D=0,解得石=2=-1 (3)移项，得25(x一7)2一16(x+4)=0.分 解因式，得[5(x-7)-4(x+4)][5(x一7) +4(x+4)]=0.即(x-51)(9x-19)=0. 所以x-51=0或9x-19=0,所以x1= 51-9 (4)原方程可变形为5x2一4x=0,x(5x一 4)=0,x=0或5.x-4=0,所以x1=0,x2= 悬 (5)原方程可变形为x一2-x(x-2)=0, (x-2)(1-x)=0,x-2=0或1-x=0, 所以x1=2,x2=1. (6)移项，得(x-2)2一2x十4=0，即(x-2)2 一2(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(x-2- 2)=0.整理，得(x-2)(x一4)=0.于是得 x一2=0或x一4=0，所以x1=2,x2=4. 7.解：原式=0-6-a2-2=一2b ab ,9a2-4b=0,.(3a+2b)(3a-2b)=0. a=-号b或a=号 当a=一b时，原式=二2弘=3 当a=号b时，原式=-3. 8.证明：设这个一元二次方程为ax2十(a十c)x十 c=0(a≠0)， 则(ax十c)(x十1)=0，所以ax十c=0或 x+1=0, 所以x1=-￡，x2=-1. 点拨：按所给出的条件设出一元二次方程， 再利用因式分解法进行证明. 精彩一题 解：(1)换元转化 (2)令x2一x=t,则原方程转化为一 4t-12=0,解这个方程得t1=一2，t2=6.当 1=一2时，x2一x十2=0，此方程无实数根；当 t=6时，x2一x一6=0，解得x1=一2，x2=3, 所以原方程有两个根为x1=一2，x=3. ·第5课时 一元二次方程的根与系 数的关系 【基础巩固】 1.B 2.B点拔：由题意，得△=(2m十3)2-4m2> 0,解得m>-,且}+合= -(2m+32=-1,解得m=3. 3.A4.C5.B 6.-3 7.5点拨：(y-1)(2-1)=yy2一(y十 y2)+1=1-(-3)+1=5. 8.解：a=3,b=2,c=-3, .b2-4ac=22-4×3×(-3)=40>0, 8十=-号x=-1 (1)1+1=+=2 TIT2 3 (2)x+x号=(x1+x2)2一2x1x2 +2 22 9 【能力提升】 1.D 2.D点拨：因为方程x2一x十3=0的判别式 △=(-1)2一4×1×3=一11<0，故此方程 无实数根，而方程x2一3x一1=0的两根 x1,x2的和为1十x2=3,从而两个方程所 有实数根的和等于3. 3.B点拨：因为a≠B,所以a、3可看作一元 二次方程x2十x一1=0的两个根，于是a十 3=一1，a3=-1,从而a3+a十3=-2. 4.A点拨：由△=[-2(1-k)]2-4×1× k=4-8≥0，得k≤7即1->7： ∴.a+3=2(1-k)≥1. 5.B点拨：a2+23-33=(a+3)2+(3 33-5)-2a3+5=32+0-2×(-5)+5=24. 6.2一16点拨：由根与系数的关系知 x1十x2=2,x1x2=-1,x十x=(x1+x2)2 -2x1x2=6. 7.0点拨：，x1、xg是方程x-一x一1=0的 两根，∴.x1+x2=1,x1x2=一1，.x1+ x2+x1x2=1-1=0. 8.一23（两空顺序可颠倒） 点拔：因为方程有两个实数 根，所以△=（一2）2一4×2×(3m一1)≥0. 解得m≤交又因为是方程2x一 2x十3m一1=0的两个实数根，由一元二次 方程根与系数的关系知，x十x2=1,x1x2= 3面十1，即2》 2 1-4 一<1， 解得m>- ，故m的取值范围是一号< m2 10.解：设方程的两个根分别为x1,x2,则 x1十x2=6,x1x2=7. :x,x2是直角三角形的两条直角边 的长， 直角三角形的面积S= 7 24x= 设斜边长为c,由勾股定理，得 c2=x+x号=(x1十x2)2-2x1x2=62- 2×7=22, .c=√22（负值舍去） 11.解：，△=(2a)-4(a2+4a-2)≥0， a≤2 ,'x1十x2=-2a,x1x2=a2十4a-2, ∴.x2+x2=(m十x)2-2mx2=2(a-2)2-4. :a≤号心当a=时，x+云的值最小， 此时x十=，即最小值为2 12.解：(1)，x1,x2是方程x2一6.x十k=0的 两个根， .x1十x2=6,x1x2=k. .k2-6=115,解得k1=11,k2=-11. 当1=11时，b2-4ac=36-44<0. .k=11不符合题意，舍去： 当k2=-11时，b2-4ac=36+44>0, .k=一11符合题意， .k的值为一11. (2):x1十x2=6,xx2=-11, .xi十x十8=(x1十x2)2-2x1x2十8= 36+2×11+8=66. 精彩一题 解：小玉的解法不正确 因为解出的m的值中，m=9时，b2 4ac<0,应舍去，又题中要求正数m的值，因 此m=一1也应舍去，综上，m的值不存在. 21.3实际问题与一元二次方程 第6课时实际问题与一元二次方程 【基础巩固】 1.C2.B3.B 4.B点拨：此题易出现选D项的错误，其原 因是审题不清.“互赠”说明甲同学赠送给 乙同学，乙同学也赠送给甲同学，因此，每 人需赠送(x一1)件. 5.350(1-x)2=224 6.2或4点拨：P、Q经过xs,则BP=(6 x)cm,BQ=2xcm,由题意可得2(6-x)· 2x=8,解得x1=2,x2=4. 7.22 8.解：设成本价平均每月降低的百分数为 x,则 625×(1-20%)×(1+6%)-500(1-x) =625-500, 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). 答：该产品的成本价平均每月应降低10%. 【能力提升】 1.D点拨：把2022年的生产总值看作“单位 1” 2.B点拨：设每双运动鞋应降价x元，则每 双盈利(40一x)元，每天可以销售(20+2x) 双，依题意，得(40一x)(20+2x)=1200,整 理得x2-30x+200=0,解得1=10，x2= 20.又，要尽可能让利于顾客，x=20. 3.2 4.1点拨：设AB=xm,BC=(6-2x)m,且 AB≠BC,则x(6一2x)=4,解得x1=1, x2=2.当x=2时，AB=BC=2m,舍去. 故AB=1m. 5.26点拔：设个位上的数字为x,十位上的 数字为x一4，由题意得(x一4)2十x2= 5(x十x-4),解得x1=3,x2=6.,x-4> 0,.x=6,.所求两位数是26. 6.解：设共有x(x为正整数)名选手参赛， 所以共有2x(x一1)局比赛。 因为每局比赛共记2分，所以全部选手的 得分总和为x(x一1)分， 由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个 位数字只能是0,2,6， 故总得分不能为2005分，2004分，2008分， 所以可得方程x(x一1)=2070. 解得x1=46,x2=一45（不符合题意，舍去）. 答：这次比赛共有46名选手参赛.21.2解一元二次方程 第2课时配方法 基础巩固 1.方程(.x一3)2=8的根为() 8.解下列方程： A.x=3+2√2 (1)9x2-25=0: B.x=3-22 C.x=3+2√2，x2=3-2√2 D.x1=-3+22,xe=-3-2√2 2.下列配方有错误的是( A.x-4x-1=0,化为(x-2)2=5 (2)x2+8x-9=0: B.x2十6x十8=0，化为(x+3)2=1 c2r-1x-6=0,化为--器 D.3x2-4x-2=0,化为(3x-2)2=6 3.将二次三项式4x2一12.x+9配方后得( A.(2x+3) B.(2x-3) (3)4(3x-1)2-9(3.x+1)2=0: C.(3.x+2) D.(3x-2)2 4.用配方法解方程x2一2x一5=0时，原方程应 变形为() A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)=9 5.方程(x-2)2=9的解是() (4)3x2-6x+4=0. A.x1=5,x2=-1 B.x1=-5,x2=1 C.x1=11,x2=-7D.x1=-11,x2=7 6,若关于x的二次三项式x2+2m.x十4-m2是 一个完全平方式，则m的值为 7.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为 ab=a十6，根据这个规则，方程(4x十3) x=0的解为 能力提升 1.已知三角形的两边的长分别为3和6，第三边 (3)2.x2+1=3x: 是方程x2一6.x+8=0的解，则这个三角形的 周长是() A.11 B.13 C.11或13D.11和13 2.对于形如(x十m)=n的方程，它的解的正确 表达式为() (4)(x-3)(2x+1)=-5. A.x=士√m B.当n≥0时，x=m士√m C.当n≥0时，x=士√n一m D.当n≥0时，x=士√n一m 3.已知x2+y2+22-2x+4y-6x+14=0,则 8.已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有 x十y+x的值是() 一个根为x=2,求另一根并确定4的值. A.1B.2 C.-1 D.-2 4.已知△ABC的三边a、b、c满足a2+b+ 1√/-I-21=10a+26-4-22,则△ABC 为() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5.若代数式(2x+1)2的值为9，则x的值为 6.代数式号的值为0，则x的值为 9.对于符号“※”，我们作如下规定：a※b=a2 +2.如：2※3=2一32+2=4一9+2=一3. 7.用配方法解下列方程： (1)若3※x=10,求x的值； (1)x2-6x-6=0: (2)试求满足(2x+1)※x=10的x的值. (2)y2-4√5y+12=0: 10.某农场要建一个长方形的养鸡场·养鸡场的 精彩一题 一边靠墙（墙长25m),另三边用木栏围成， 如果把一根长16m的铁丝截成两段，且用这 木栏长40m. 两段铁丝各自围成一个正方形.试试看，怎样 (1)养鸡场的面积能达到180m2吗？能达 分才能使两个正方形的面积和最小？并说明 到200m吗？为什么？ 理由 (2)养鸡场的面积能达到210m吗？为 什么？ 第3课时公式法 基础巩固 1.关于x的方程x2一2x十2=0的根是( A.x=5+/13 6 B.x=-5-13 A.x=1±√3 B.x=-1±√3 3 C.无实根 Dx=1±5 C.x=5±/13 6 D.x=-5±13 6 2 5.方程(2.x十1)(x+2)=1,化为一般形式为 2.若关于x的一元二次方程x2一2x+m=0没 ,b2-4ac= >0,用求根公 有实数根，则实数m的取值范围是( 式求得无= A.m<1 B.m>-1 6.若关于x的方程x2一mx十3=0有实数根， C.m>1 D.m<-1 则n的值可以为 .(任意给出一个符 3.一元二次方程x2一2x一1=0的根的情况 合条件的值即可) 为() 7.利用判别式判断下列方程根的情况： A.有两个相等的实数根 (1)2x2+3.x-4=0: B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.用公式法解方程3x2一5x十1=0，正确的结 果是() (2)4y2+9=12y: (2)2x2-2√2x+1=0: (3)5(x2+1)-7x=0. (3)4(x2+1)-6.x=0: 8.用公式法解下列方程： (4)(x-2)(3x-5)=1. (1)x2+3x+1=0: 能力提升 1.下列说法中不正确的是( ) 5.用公式法解下列方程： A.方程5.x=x只有一个实数根 (1)x2-3x-1=0:(2)3x2=5x十2： B.方程x2一8=0有两个不相等的实数根 C.方程2x2一3x十2=0没有实数根 D.当>号且≠1时，方程(k-1Dx+21 3=0有两个不相等的实数根 2.方程x2十4x=2的正根为() Λ.x=2-6 B.x=2+√6 C.x=-2-√6 D.x=-2+√6 (3)2.x2-4x-1=0:(4)4x2-3x+1=0. 3.关于x的方程mx2+4x十1=0有两个不相 等的实数根，则m的取值范围是 4.若关于x的一元二次方程(m一1)x2十x+ m2十2m一3=0有一个根为0，则m的值是 6.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+:8.若关于x的一元二次方程(a一2)x2一2ax+ 合-2=0 a+1=0没有实数根，求a.x十3>0的解集. (用含a的式子表示) 求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的 实数根 7.关于x的一元二次方程x一3x一k=0有两 精影-题 个不相等的实数根 当m的取值在什么范围内时，关于x的一元 (1)求k的取值范围： 二次方程mx24x十5=0与x2一4mx+ (2)请选择一个k的负整数值，并求出方程 4m2一3m一3=0均有实数根？是否存在整数 的根. m,使得方程的根都是整数？若存在，请求 出：若不存在，请说明理由. 第4课时因式分解法 基础巩固 1.一元二次方程(x一3)(x一5)=0的两个根分 B..(2-5x)+(5x-2)2=0,.(5x-2)(5.x 别为( 3)=0, A.x1=3,x2=-5 B.x1=-3,x4=-5 2 3 x1=5x=3 C.x1=-3,x2=5 D.x1=3,x2=5 2.解下列方程：①(x一2)2=5：②.x2-3x-2= C.(x十2)2+4x=0,.x1=2,x2=-2 0:③x2+x-6=0:④x2十4x-6=0.其中用 D.x=x两边同除以x,得x=1 因式分解法较简便的是() 5.方程(x-2)(x-3)=6的解是 A.① B.② C.③ D.④ 6.设x1x2是方程x(x一1)+3(x一1)=0的两 3.下列说法正确的是() 个根，则|x一x|= A.解方程3.x(x十2)=5(x十2)时，可以在方 7.用因式分解法解下列方程： (1)(3.x十2)(x-4)=0: 程两边同时除以x+2,得3x=5,故x=3 B.解方程(x十2)(x+3)=3×4时.对比方程 两边知x十2=3，x十3=4，故x=1 C.解方程(3y+2)2=4(y-3)2时，只要将两 (2)(2x+1)2-4=0: 边开平方，方程就变形为3y十2=2(y 3),从而解得y=-8 D.若一元二次方程的常数项为0，则0必为 它的一个根 (3)2(2x-3)2-3(2.x-3)=0. 4.下面一元二次方程的解法中，正确的是 () A.(x-3)(x-5)=10×2,.x-3=10, x-5=2, .x1=13,x2=7 能力提升 1.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根， 2.方程5x(x+3)=3(x十3)的解为() 则方程的另一个根是() A.x=3 =3 Rx=号 A.x=1 B.x=2 C.x=-2 D.x=-1 C.=-3, x=-3D.5= 512=-3 3.已知y=x2十x一6，当x= 时y的 值是24. 7已知G-W=0.求代数式号一名 4.若方程(m一2)x-m+十2x一1=0是关于x 的值. 的一元二次方程，则m的值为 5.若(2x+3y)2+3(2.x十3y)-4=0,则2x+3y 的值为 6.用因式分解法解下列方程： (1)3x(x-1)+2x=2: 8.求证：如果一个一元二次方程的一次项系数 等于二次项系数与常数项之和，那么此方程 必有一根是一1. (2)(2x-1)2=6.x2-3x: (3)25(x-7)2=16(x+4)2: 精影-题 解方程x一6.x2+5=0,这是一个一元四次方 (4)5.x2=4x: 程，根据该方程的特点，它的解法是：设x2= y,那么x=y,于是原方程可变为y一6y十 5=0①，解这个方程得y=1,为=5.当y= 1时，x=士1：当y=5时，x=士5，所以原方程 有四个根=1，x2=一1，x=5,x=一√/5. (5)x-2=x(x-2): (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想方法； (2)解方程：(x2-x)2一4(x-x)-12=0. (6)(x-2)2=2x-4. *第5课时一元二次方程的根与系数的关系 基础巩固 1.若x1、x2是一元二次方程x2十4x十3=0的 6.一元二次方程x-ax一3a=0的两根之和为 两个根，则x1x的值是( 2a一1，则两根之积为 A.4 B.3 C.-4 D.-3 7.已知一元二次方程y2+3y十1=0的两个实 2.已知a、3是关于x的一元二次方程x2十(2m 数根分别为y、2,则(y一1)(2一1)的值 +3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满 为 足日+号一1，则m的值是( 8.设方程3x2十2x一3=0的两根为x1,x2,求下 列代数式的值： A.3或-1 B.3 4)1+1: C.1 D.-3或1 xI T2 3.若1、x2是一元二次方程x2一4x一5=0的 (2)x+x. 两根，则1·x2的值为( A.-5B.5 C.-4 D.4 4.方程2x2十6x一1=0的两根为x1、x,则 x1十x2等于() A.-6 B.6 C.-3 D.3 5.在下列方程中，以3，一4为根的一元二次方 程是() A.x2-x-12=0 B.x2十x-12=0 C.x2-x+12=0 D.x2+x+12=0 能力提升 1.已知a,b是关于x的一元二次方程x2十 4.如果关于x的方程x一2(1一k)x十k2=0有 一1=0的两个实数根，则式子：+号的值 实数根a、3,那么a十B的取值范围是() A.a+8>1 B.a+≤1 是() 。1 A.n+2B.-+2C.-2D.-n-2 C.a+22 Da叶K号 2.一元二次方程x2-3x-1=0与x2-x+3=015.若a3是方程x2-3x-5=0的两根，则代数 的所有实数根的和等于() 式a2+232-33的值是() Λ.2 B.-4C.4 D.3 A.21 B.24 C.27 D.29 3.已知a2+a一1=0,32+B-1=0,且a≠B,则 6.已知一元二次方程x2一2x一1=0的两个根 a3十a十B的值为() 是x1、x2,则x1十x2 T1x2 A.2 B.-2 C.-1 D.0 ,x十x= 7.设x1,x2是一元二次方程x2一x一1=0的两： 12.已知x,x2是关于x的一元二次方程x2 根，则x1十x2十x1x= 6x十k=0的两个实数根，且xx一x一 8.设x1,是一元二次方程x2一mx-6=0的两 x2=115.求： 个根，且x1十x2=1,则x= (1)k的值： (2)x十x号+8的值. 9.已知x1和x2为一元二次方程2.x2一2x十 3m一1=0的两个实数根，并且x1和x2满足 不等式<1，则实数m的取值范围 为 10.已知方程x2-一6x十7=0的两个根是一个直 角三角形的两条直角边的长，求这个直角三 角形的面积和斜边的长， 精彩-题 阅读下面的材料： 老师出了一道题：已知关于x的方程x2+ (8一4m)x十4m=0的两根为x1,x2,且x十 x号=136，求正数m的值. 小玉的解法如下： 解：，x1十x2=4n一8,1x2=4m,又x十 x=(x1十x2)2-2x1x,.(4m-8)2-2X 11.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ 4m2=136,解得m1=-1,m2=9. 2ax+a°+4a一2=0的两个实数根，当a为 问题： 何值时，x十x有最小值？最小值是多少？ 小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？ 应如何改正？