21.1 一元二次方程-2025-2026学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

参考 第二十一章一元二沉方程 21.1一元二次方程 第1课时一元二次方程 【基础巩固】 1.C 2.D点拨：把x=-a代入x十bx十a=0, 得a2一ab十a=0.,a≠0，.等式两边同除 以a,得a-b=-1. 3.B4.D 5.4y2-7y-11=04y24-7y-7 -11 6.3,1 7.①② 8.方程(1)是一元二次方程，方程(2)(3)(4) 不是。 9.解：(1)设其中一直角边长为x,则另两边长 为x十2，x一2(x一2>0)，根据题意，可得 (x十2)2=(x-2)2+x2. (2)设个位上的数字为x,则十位上的数字 为x一2，根据题意得[10(x一2)十x]· [10x+(x-2)]=1855. 【能力提升】 1.B点拨：此题易出现选C项的错误，其原 因是忽略了二次项系数不等于0的条件， 应引起注意。 2.B点拨：本题考查对一元二次方程及其根 的意义的理解和应用，将x=0代入方程， 得a2一1=0，即a2=1,由平方根的意义可 答案 知a=士1，但作为一元二次方程，其二次项 系数a一1≠0，故a≠1，所以a的值为一1. 故选B. 3.x2一2x十1=0点拨：答案不唯一 4.5点拨：将x=1代入方程得a十b=10,则 a-8_(a-b)(atb)_atb-5. 2a-2b2(a-b) 2 5.解：(1)根据题意列方程得 (x+5)(x+2)=54. (2)x的值不可能小于0，因为正方形的边 长不可能为负数， (3)正方形的边长不可能是2m,也不可能 是3m. 将x=2和x=3分别代入方程(x+5)(x+ 2)=54,方程不成立，故不可能， (4)由(x+5)(x十2)=54，化为一般形式为 x2+7x一44=0，列表如下： 3 4 5 x2+7x-44 -14 16 ∴.x=4 6.解：(1)设较长直角边的长为xcm,则较短 直角边的长为(x一2)cm, 由勾股定理得x2+（x一2)2=10， 化为一般形式为x2一2x-48=0, 二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项 为-48. (2)设年平均增长率为x,则由题意得 200(1+x)2=242, 化为一般形式为x2+2x一0.21=0， 二次项系数为1，一次项系数为2，常数项 为-0.21. (3)设四周草地的宽为x米，则由题意得 (8-2x)(6-2x)=16, 化为一般形式为x2一7x十8=0， 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项 为8. 7.解：.a是方程x2一2013.x十1=0的一 个根， 代入即得a2-2013a+1=0, .a2-2013a=-1,a2+1=2013a. 2013 .∴.a2-2012a+ a2+1 2013 =(a2-2013a)+a+2013a =-1+a+ d =-1+02+1 =-1+2013a 0 =-1+2013 =2012. 精彩一题 解：设a是这两个方程的一个公共根，则 a2十pa十q=0,a2十qa十p=0, .a2十pa十q=a2+ga+p,∴.(p-q)a= p一4 .p≠q,.a=1. 把x=a=1代人x+px十q=0, 得p十q=-1.∴.(p十q)215=(-1)2015= -1. 21.2解一元二次方程 第2课时配方法 【基础巩固】 1.C2.D3.B4.B5.A 6.士2点拨：由 21m 2 =4m2,得m= 士√2 7.x1=一1，x2=一3点拨：根据题意可得 x2十4x十3=0，解得x1=一1，x2=一3. 8.解：(1)移项，得9x2=25,直接开平方，得 (2)配方，得(x十4)2=25， .x十4=±5，x1=1,x2=-9. (3)移项，得4(3x-1)2=9(3x+1)2, 直接开平方，得2(3x-1)=士3(3x十1)， .2(3x-1)=3(3x+1)或2(3x-1)= -3(3.x+1). 5 1 六西=一3=一5 ()整理，得-2x=一青配方，得(x一 1)=-1<0 此方程无实数根. 【能力提升】 1.B点拨：解方程得x1=2,x2=4.因为三角 形的两边长分别为3和6，则第三边长大于 3且小于9，所以第三边长为4，这个三角形 的周长为13. 2.C点拨：只有当n≥0时，方程才有解，故 A错误，∴.x十m=±√n,即x=一m士√n 3.B点拨：(x-1)2+(y+2)2+(x-3) =0,.x=1,y=-2,z=3,.x十y十2=2， .选B 4.B点拨：，a2+b+l√c-1-2=10a+ 2√6-4-22. .a2-10a+b-2/6-4+22+W-1-2=0. .a2-10a+25+(b-4)-2b-4+1+ c-1-2=0,第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程 基础巩固 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的 7.下列方程：0r=16:@2生2r=5:@r- 2 是() 2;④2.x2+y-1=0:⑤(x-1)(x+3)=x2+ A2+是=0 B.ax+bx+c=0 7;⑥k2x2十2kx一6=0.其中是一元二次方程 C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y=0 的是 ,(填序号) 2.已知方程x2+bx十a=0有一个根是一a(a≠0). 8.判断下列方程是不是一元二次方程： 则下列等式成立的是( ) a2-3r-9=0: 2 A.ab=2 &=-1 (2)2.x2-y+5=0: C.a+b=1 D.a-b=-1 (3)ax2+bx+c=0: 3.将方程3(2x2-1)=(x十3)(x-√3)+3x+ (4)4x2-1+7=0. 5化成一般形式后，其二次项系数、一次项系 数、常数项分别为( A.5.3,5 B.5,-3,-5 C.7,3,2 D.8,6,1 4.方程(x一3)(x十1)=x一3的解是( 9.根据题意列出方程：（不必求解） A.x=0 B.x=3 (1)一个直角三角形的三边长为三个连续偶 C.x=3,x2=-1 D.x1=3,x2=0 数，求各边长； 5.一元二次方程(2y一1)2+2(3y-4)=9y+4 (2)一个两位数，十位上的数字比个位上的数 的一般形式为 ,二次项为 字小2，若把这个数的十位上的数字和个 ,二次项系数为 ,一次项为 位上的数字对调，那么得到的新的两位数 ，一次项系数为 ,常数项 与原两位数的积为1855，求新的两位数. 为 6.在数-4，一3,1,2中，是方程x十2x-3=0 的根的是 能力提升 1.若一元二次方程(m-3)x2+2x十m2-9=0 (2)某工厂2022年的年产值为200万元，由 的常数项为0，则m的值为( 于技术改进，每年的年产值有所增长， A.3 B.-3 C.±3 D.±9 2024年该工厂的年产值为242万元，求年 2.关于x的一元二次方程(a-1).x2+x+a2一 平均增长率； 1=0的一个根是0，则a的值为( ) (3)某学校计划在一块长8米、宽6米的矩形 草坪的中央划出面积为16平方米的矩形 A.1 B.-1 C1或-1D.号 地块栽花，使这矩形草坪四周的草地的宽 3.写出一个一元二次方程，使它的各项系数之 度都一样，求四周草地的宽度 和为0，则这个方程是 4.已知a≠0，a≠b,1是方程ax2十bx一 10=0的一个根，则二 2a-23的值是 5.有一面积是54cm的矩形，将它的一组对边 剪短5cm,另一组对边剪短2cm后，恰好变 成一个正方形.这个正方形的边长是多少？ (1)若设正方形的边长为xcm,请根据题意 7.已知a是方程x2-2013.x+1=0的一个根， 列出方程： 试求a2-2012a+2013的值. a2+1 (2)x的值可能小于0吗？说说你的理由： (3)正方形的边长可能是2m吗？可能是 3m吗？为什么？ (4)请你用试验的方法估计出正方形的边长. 精彩-题 已知关于x的方程x2十p.x十g=0与x2十gx十 p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)1“的值. 6.根据题意，列出方程，化为一般形式，并指出 各项系数： (1)一个直角三角形的斜边长为10cm,两条 直角边长相差2cm,求较长直角边的长：