专题04 解直角三角形中常见的6大几何模型（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题04 解直角三角形中常见的几何模型 目录 A题型建模・专项突破 模型一、背靠背模型 1 模型二、子母形模型 3 模型三、拥抱形模型 5 模型四、直角梯形模型 7 模型五、斜截形模型 9 模型六、跨学科融合 11 B综合攻坚・能力跃升 模型一、背靠背模型 1．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（   ） A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米 2．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(     ) A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile 3．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 4．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是 ．（，，结果精确到0.1米）． 5．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 6．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 模型二、子母形模型 7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 8．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ） A． B． C． D． 9．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ） A．米 B．3米 C．米 D．米 10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（    ）． A． B．51 C． D．101 11．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是 米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数） 12．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 13．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 14．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 模型三、拥抱形模型 15．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 16．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 17．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°． （1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73） （2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 18．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              模型四、直角梯形模型 19．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 20．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73） 21．长沙作为“工程机械之都”拥有5家全球工程机械50强企业，近些年长沙制造的工程机械在国内国际市场亮点频频．如图是某款起重机工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕支点A转动，张角为，支点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角为时，求起重臂外端点C距离地面的高度； (2)若起重臂外端点C连接的钢绳（含挂钩）的长固定为，起重臂的长度为．在此条件下，请问该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶吗？（参考数据：） 22．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 23．如左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，求钢架支点到地面的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 24．如图是某机器人的机械臂，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，， (1)求机械臂端点C到工作台的距离的长；结果精确到 (2)求的长结果精确到 参考数据：，，，， 模型五、斜截形模型 25．如图，数学课外兴趣小组的同学们站在建筑物对面的观测点处（其底部与建筑物底部在同一水平面上），由观测点测得该建筑物楼顶上面的旗杆顶端的仰角为、底端的仰角为，已知他们所在观测点与地面的高度为以及旗杆的高度为.求观测点底部与建筑物的距离以及建筑物的高度. （参考数据：，，，，，） 26．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）． 27．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽．如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（参考数据： ） 28．学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 模型六、跨学科融合 29．【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 30．周末，天文爱好者们带着天文望远镜（如图1）到郊外观测土星环．这款天文望远镜由可升降的三脚架、镜筒和可旋转的支架组成．镜筒和旋转支架始终垂直，其中镜筒长，旋转支架长，三脚架三条支撑杆长度始终相同且长度可调节．图2，是已经架设好的一个天文望远镜的侧面结构示意图，已知：镜筒仰角，三脚架支撑杆与地面夹角，支撑杆此时长度为，求此时镜头A到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 31．如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． (1)求的长； (2)求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 32．某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放． 实验说明：如图2所示，于点A，点B在上，，，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，于点D（点O，A，B，C，D在同一平面内）． 问题解决：当时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到．参考数据：，） 33．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 1．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 2．如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 5．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 6．某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步、如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小勇发现爸爸在点处的影长米，沿方向行走5米到达点（即米），此时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为米（人的宽度忽略不计），则路灯杆的高度为 ． 7．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 8．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即的长）为 ． 9．如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 10．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 11．为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 12．如图，为了测量古塔高度，所得测量数据如下：米，，．求古塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 13．如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点处水平前进到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得树顶的仰角为，于点，已知斜坡的坡角为，且点，，，，在同一平面内，求大树的高度．(参考数据： ，， ) 14．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 15．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 17．圭表（如图1）是我国古代的一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，已知表高（即的长）为，，三点共线，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 18．综合与实践：小涛同学在学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下学科融合学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到.的中点..处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线． 【测量数据】如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，求，之间的距离（结果精确到． （参考数据：，，． 19．如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 20．百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题： (1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，） (2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解直角三角形中常见的几何模型 目录 A题型建模・专项突破 模型一、背靠背模型 1 模型二、子母形模型 6 模型三、拥抱形模型 11 模型四、直角梯形模型 14 模型五、斜截形模型 19 模型六、跨学科融合 22 B综合攻坚・能力跃升 模型一、背靠背模型 1．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（   ） A．160米 B．（60+160） C．160米 D．360米 【答案】C 【解析】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×＝m； 在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×＝m. ∴BC＝BD＋DC＝m. 故选C. 2．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(     ) A． n mile B．60 n mile C．120 n mile D．n mile 【答案】D 【解析】过C作CD⊥AB于D点， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60． 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴CD=AC•cos∠ACD=60×． 在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=30， ∴AB=AD+BD=30+30． 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile． 故选D． 3．如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需要绕行地，已知位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长 ．（结果保留整数）（参考数据：；；；） 【答案】/595千米 【解析】解：如图，过点作于点， 地位于地北偏东方向，距离地， ， ， 在，，， 地位于地南偏东方向， ， 在，， ． 答：地到地之间高铁线路的长为， 故答案为：． 4．如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是 ．（，，结果精确到0.1米）． 【答案】6.8米 【解析】解：过点C作CE⊥AB于E． ∵∠FDA=60°，∠ACE=30° ∴∠ADC=90°-60°=30°，∠ACD=90°-30°=60°， ∴∠CAD=180°-30°-60°=90°， ∵CD=10， ∴AC=CD=5． 在Rt△ACE中， ∵∠AEC=90°，∠ACE=30°， ∴AE=AC=， ∵cos∠ACE=， ∴CE=AC•cos∠ACE=5×cos30°=， 在Rt△BCE中， ∵∠BCE=45°， ∴∠CBE=90°-∠BCE=45°， ∴∠BCE=∠CBE， ∴BE=CE=， ∴AB=AE+BE=（+）≈6.8（米）． 所以，雕塑AB的高度约为6.8米， 故答案为6.8米． 5．如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据： ，，，，，） 【答案】巡逻艇能在1小时内到达渔船C处 【解析】解答：过点A作AH⊥BC，垂足为点H． 由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20． 在Rt△ABH中， ∵ ， ， ∴ ， ， 在Rt△ACH中， ∵ ， ∴ ， ∴BC＝BH＋CH≈16＋5＝21， ∵21÷25＜1， ∴巡逻艇能在1小时内到达渔船C处． 6．如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图2，宝塔垂直于地面，在地面上选取两处分别测得和的度数（在同一条直线上）． 数据收集：通过实地测量：地面上两点的距离为． 问题解决：求宝塔的高度（结果保留一位小数）． 参考数据：，． 根据上述方案及数据，请你完成求解过程． 【答案】 【解析】解： 设， 在中，，      在中，，   ， 解得，．            答：宝塔的高度约为． 模型二、子母形模型 7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离为（    ） A．3米 B．米 C．2米 D．1米 【答案】B 【解析】解：由题意知：， ， ， ， ∵ ∴， ∴米， 在中，米， 故选：B． 8．如图，港口在观测站的正东方向，，某船西东从港口出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，则该船航行的距离（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=2， ∴AD=OA=1． 在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°， ∴BD=AD=1， ∴AB=AD=． 即该船航行的距离（即AB的长）为km． 故选：C． 9．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ） A．米 B．3米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】解：在中，， （米， 在中，， （米， 米， 故选：D． 10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（    ）． A． B．51 C． D．101 【答案】C 【解析】试题分析：设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH． 解：设AG=x， 在Rt△AEG中， ∵tan∠AEG=， ∴EG==x， 在Rt△ACG中， ∵tan∠ACG=， ∴CG==x， ∴x﹣x=100， 解得：x=50． 则AB=50+1（米）． 故选C． 11．永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌．如图，在A处测得∠CAD＝30°，在B处测得∠CBD＝45°，并测得AB＝52米，那么永定塔的高CD约是 米．（≈1.4，≈1.7，结果保留整数） 【答案】74 【解析】如图，∵CD⊥AD，∠CBD＝45°， ∴∠CDB＝90°，∠CBD＝∠DCB＝45°， ∴BD＝CD，设BD＝CD＝x， 在Rt△ACD中，∵∠A＝30°， ∴AD＝CD， ∴52+x＝x， ∴x＝≈74（m）， 故答案为74， 12．圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表两个部件组成，垂直于地面的直杆叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”如图是小彬根据学校所在地理位置设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离约为 ．（精确到；参考数据：） 【答案】35 【解析】根据题意，在中，， 即 在中，， 即 即 故答案为：35 13．某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为米 【解析】解：由题意知，米，米，设米，在中， 米，， 米， 米， 在中， ， ， 即， 解得米， 米， 故魁星阁顶端距离地面的高度约为米． 14．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程． 【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析． 【解析】解：由题意得：， ， ， ， ， 在中，， ， 即塔的高度DE为． 模型三、拥抱形模型 15．如图，某幢大楼顶部有广告牌，小宇目高为米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点的仰角为（取，计算结果保留一位小数） (1)求这幢大楼的高； (2)求这块广告牌的高度． 【答案】(1)楼高为米； (2)广告牌的高度为米． 【解析】（1）解：在中，米； 由 ， 得米； 又因为米， 因而大楼米， 答：楼高为米； （2）解：∵在中，米， ， ∴米； 因而广告牌米； 答：广告牌的高度为米． 16．如图所示，塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．（精确到1m，参考数据；sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，≈1.73） 【答案】64m 【解析】解：由题意可得，EC＝54m，AB＝22m，∠DBC＝60°，∠EAC＝34°， 设DE＝xm，则DC＝（x+54）m， 在Rt△DCB中， ∵tan∠DBC＝，即＝， ∴BC＝， 在Rt△ECA中， ∵tanA＝， ∴AC＝≈＝90（m）， 由题意得，90﹣（x+54）＝22， 解得，x≈64， 答：塑像DE的高度约为64m． 17．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高54m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进22m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°． （1）求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.5，cos34°≈0.8，tan34°≈0.6，1.73） （2）“景点简介”显示，“炎帝”塑像高度为63m，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）64m；（2）误差为0.36，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值． 【解析】（1）解：设DE=xm，则DC=（x+54）m． 在Rt△DCB中，tan∠DBC， ∴BC（x+54）． 在Rt△ECA中，tanA， ∴AC90， 由题意得：90（x+54）=22， 解得：x≈64， 答：炎帝塑像DE的高度约为64m． （2）由（1）知，误差为 减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值． 18．某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）              【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米 【解析】解：在Rt△ACD中，，则. 设，则 在Rt△BCD中，. ∴ ∴   解得：.             在Rt△ACE中，. ∴ 答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米. 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错． 模型四、直角梯形模型 19．如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌，小明在斜坡的坡脚处测得宣传牌底部的仰角为，沿斜坡向上走到处测得宣传牌顶部的仰角为，已知斜坡的坡度，米，米，求宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，， 【答案】宣传牌的高度为2米． 【解析】解：过分别作、的垂线，设垂足为、， 则，， 在中， 斜坡的坡度，米， 设米，米， ， ， 米，米， 在中，， 米， （米）， 在中，（米）， （米）． 答：宣传牌的高度为2米． 20．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高12米．求小华家阳台距地面高度CD的长（结果精确到1米，1.41，1.73） 【答案】10米 【解析】解：作CH⊥AB于H， 则四边形HBDC为矩形， ∴BD=CH， 由题意得，∠ACH=30°，∠CED=45°， 设CD=x米，则AH=米， 在Rt△AHC中，HC= 则BD=CH= ∴ED= 在Rt△CDE中，CD=DE 即 解得： 答：立柱CD的高为10米． 21．长沙作为“工程机械之都”拥有5家全球工程机械50强企业，近些年长沙制造的工程机械在国内国际市场亮点频频．如图是某款起重机工作示意图，起重臂是可伸缩的（），且起重臂可绕支点A转动，张角为，支点A距离地面的高度为． (1)当起重臂长度为，张角为时，求起重臂外端点C距离地面的高度； (2)若起重臂外端点C连接的钢绳（含挂钩）的长固定为，起重臂的长度为．在此条件下，请问该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶吗？（参考数据：） 【答案】(1)起重臂外端点C距离地面的高度为 (2)该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶 【解析】（1）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴起重臂外端点C距离地面的高度为； （2）解：该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶， 理由：如图：过点A作，垂足为H， 由题意得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴该起重机能将重物举到离地面高度的楼顶． 22．如图，小明想测量楼的高度，他先从楼的底端C地走了100米到达坡度为的山坡的底端E处，又沿着山坡爬了到了山坡的顶端A处，在A处测得楼的顶端D的仰角为30度，则楼的高度是多少？（） 【答案】楼的高度是204米 【解析】解：过点A作于点F，如图， 由题意，得 ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 答：楼的高度是204米． 23．如左图所示的是一款非常畅销的简约型落地学生小书架，右图是其侧面截面图，为钢管支架，为放置书品的收纳架，，，且，，，求钢架支点到地面的距离（结果保留整数，参考数据：，，）． 【答案】钢架支点到地面的距离约为 【解析】解：过点作于点， ，， 四边形、四边形都为矩形， ，． 在中， ， ， ， 钢架支点到地面的距离约为． 24．如图是某机器人的机械臂，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，， (1)求机械臂端点C到工作台的距离的长；结果精确到 (2)求的长结果精确到 参考数据：，，，， 【答案】(1)机械臂端点C到工作台的距离的长约为 (2)的长约为 【解析】（1）解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为G，过点B作，垂足为F， 由题意得：四边形和四边形是矩形， ，，，， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 机械臂端点C到工作台的距离的长约为； （2）在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 的长约为 模型五、斜截形模型 25．如图，数学课外兴趣小组的同学们站在建筑物对面的观测点处（其底部与建筑物底部在同一水平面上），由观测点测得该建筑物楼顶上面的旗杆顶端的仰角为、底端的仰角为，已知他们所在观测点与地面的高度为以及旗杆的高度为.求观测点底部与建筑物的距离以及建筑物的高度. （参考数据：，，，，，） 【答案】观测点底部与建筑物的距离为和建筑物的高度为. 【解析】过点作，垂足为点. 设.在中，，∴. ∵，∴. 在中，，∴. ∵，∴. ∵，∴，解得，即，， ∴. 答：观测点底部与建筑物的距离为和建筑物的高度为. 26．如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）． 【答案】2600米． 【解析】解：作于，依题意， 则 即 ∴点深度． 答：海底点处距离海面的深度约为． 27．一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽．如图所示，小明在河北岸点A处观测到河对岸有一点C在A的南偏西的方向上，沿河岸向西前行到达B处，又测得C在B的南偏西的方向上，请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（参考数据： ） 【答案】这条河的宽度约为 【解析】解：如图，过点C作于D． 设， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵在中，，，， ∴， 即， 解得． 答：这条河的宽度约为． 28．学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 【答案】(1)观测点 P 到公路的距离是 (2)卡车超过了限制速度 【解析】（1）解：过点P作于点 D， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 在中，设，， 由勾股定理得：， 解得 ， 即观测点 P 到公路的距离是． （2）解：在中，，由（1）知， ， 即  ， 解得． ． ∵， ∴卡车超过了限制速度． 模型六、跨学科融合 29．【学科综合】我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中时会发生折射现象，如图1，我们把称为水的折射率（其中代表入射角，代表折射角），法线与界面垂直． 【观察实验】为了观察光线的折射现象，实验小组设计了图2所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但该物块不在细管所在的直线上，图3是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得，入射角的度数是，点P，D，B恰好共线． (1)求的长度； (2)若，求水的折射率n．（参考数据；，，） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：如图，过点D作，垂足为点G， 结合题意可得：四边形是矩形， ∴，， ∵入射角的度数是， ∴． ∴在中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴折射率， ∴水的折射率n约为． 30．周末，天文爱好者们带着天文望远镜（如图1）到郊外观测土星环．这款天文望远镜由可升降的三脚架、镜筒和可旋转的支架组成．镜筒和旋转支架始终垂直，其中镜筒长，旋转支架长，三脚架三条支撑杆长度始终相同且长度可调节．图2，是已经架设好的一个天文望远镜的侧面结构示意图，已知：镜筒仰角，三脚架支撑杆与地面夹角，支撑杆此时长度为，求此时镜头A到地面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】156cm 【解析】过点C作于点N，交于点P，过点C作于点Q， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，∴， ∵， ∴． 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ， ． 镜头到地面的距离为． 31．如图，将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角． (1)求的长； (2)求B，D之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：在中，， ， ； （2）由题意可知， ． ， ， ， 、D之间的距离约为． 32．某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作： ①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O； ②测出悬点O到水平地面l的距离为； ③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为； ④将小球拉开一个角度，然后由静止释放． 实验说明：如图2所示，于点A，点B在上，，，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，于点D（点O，A，B，C，D在同一平面内）． 问题解决：当时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】 【解析】解：根据题意可知，， ∵，， ∴． 如图，过点作，垂足为， ． 在中，． ． ， ． 四边形为矩形， ． 答：点到水平地面的距离约为． 33．实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长度为 (2)线段的长度为 【解析】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为． （2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 1．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 2．如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】解：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 3．航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功，当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离的长为（    ）（参考数据：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【解析】解：由题意得：， 在中，，千米， （千米），（千米）， 在中，， （千米）， （千米）， 天舟二号从A处到B处的距离的长约为千米， 故选：D． 4．老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（   ） A．的长，的度数 B．的长，的度数 C．的长，的度数 D．的长，的度数 【答案】D 【解析】解：由题意可得，测角仪水平视线到水面的高度为米，即3.5米， 因此，要求只需先求． 设，． 在中，， 则． 在中，， 则． 所以． 又因为是地面上两点的距离，且与测角仪测量点在同一水平线上，测角仪支架高度相同， 所以， 若已知的长，设，则，代入可解得， 进而求得，最终得到． 综上，需要测量、 ，这样就能通过解方程组求出，从而得到． 选项中的长和的度数，无法直接求EH，也无法建立两个方程求解： 选项缺少，无法联立方程组： 选项中的长已知则无需，但实际测量中无法直接得到； 选项中的长、的度数，符合上述分析，通过两个仰角和两点距离可求解，进而得到． 故选：D 5．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 6．某个夏日晚上小勇陪爸爸去小区散步、如图，在路边有一路灯杆，在灯光下，小勇发现爸爸在点处的影长米，沿方向行走5米到达点（即米），此时爸爸的影长米．已知爸爸的身高为米（人的宽度忽略不计），则路灯杆的高度为 ． 【答案】 【解析】解：假设的高度为，根据题意得， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴的高度为． 7．如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【解析】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 8．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，，则缆车从A点到B点上升的高度（即的长）为 ． 【答案】米 【解析】解：如图，在中，， （米）， （米）． 故答案为：米． 9．如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 【答案】57 【解析】解：如图， 根据题意可知四边形是矩形，，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：57． 10．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯的坡度为，的长度是米，是二楼楼顶，，是上处在自动扶梯顶端点正上方的一点，，在自动扶梯底端处测得点的仰角为，则二楼的层高为 米．（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】解：延长交于点D， 由题意可知：，，米， 设，则， ， 米， ∴由勾股定理可知：米， ， 米， 米． 则二楼的层高米． 故答案为：． 11．为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度为米 【解析】（1）解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 12．如图，为了测量古塔高度，所得测量数据如下：米，，．求古塔的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【解析】解： ，， ， 米， ， ， 解得． 13．如图，在综合实践课上，李玲要测量一棵与地面垂直的大树的高度，她从大树底部点处水平前进到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得树顶的仰角为，于点，已知斜坡的坡角为，且点，，，，在同一平面内，求大树的高度．(参考数据： ，， ) 【答案】大树的高度为 【解析】解：由题意可知：，，， 如图：过点作，垂足为，连接， 斜坡的坡角为， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 大树的高度为． 14．如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，，，点B到地面的距离为 (1)求斜坡l的坡角的度数； (2)求点M与点N的高度差． 【答案】(1) (2)点M与点N的高度差为 【解析】（1）解：过B作于E， 在中， ，， ， ， ， 答：斜坡l的坡角的度数为； （2）过点B作于F，则，， ， ， ，， ， ， ， 答：点M与点N的高度差为． 15．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高（结果精确到）． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高约为 【解析】（1）解：由题意得，， ， ， 在中，， 屋顶到横梁的距离为； （2）解：过点作，垂足为，如图所示： 则， 设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， 经检验是原方程的根， ， ， 房屋的高约为． 16．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点在同一条水平直线上．某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）解：在中，， ．即的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，由，得． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． 可得． 在中，， ，即． ． 答：塔的高度约为． 17．圭表（如图1）是我国古代的一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，已知表高（即的长）为，，三点共线，求圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】圭面上冬至线与夏至线之间的长约为． 【解析】解：在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴圭面上冬至线与夏至线之间的长约为． 18．综合与实践：小涛同学在学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下学科融合学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到.的中点..处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线． 【测量数据】如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，求，之间的距离（结果精确到． （参考数据：，，． 【答案】B，D之间的距离约为 【解析】解：根据题意，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在 中，， ， ， ，之间的距离约为． 19．如图，为一栋高楼，楼的底部不能到达．某广告公司计划在楼的顶部安装一块广告宣传画，但不能超出楼顶A也不能遮住这栋楼的窗户．小明先在这栋楼周围的空地上选一个点D，并在D处安装了测角仪，测得楼的顶部A的仰角（视线与水平线所成的锐角）为，窗户顶部M的仰角为，再在的延长线上确定一点G，使米，并在地面G处，水平放置一面镜子，小明沿方向移动，当小明到F处时，恰好在镜子中看到楼的顶部A，此时测得米，小明眼睛与地面的距离米，测角仪的高度米，已知点F，G，D，B在同一条水平线上，均垂直于地面．问：计划安装的广告宣传画的高度不能超过多少米？（参考数据：，） 【答案】计划安装的广告宣传画的高度不能超过米 【解析】解：过点作于点， 由题意得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， 在中，，设 ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴计划安装的广告宣传画的高度不能超过米． 20．百团大战纪念碑（主碑）坐落于山西省阳泉市狮脑山主峰上，雄伟壮观，形如一把锋利的刺刀．某校项目学习小组的同学把“测量百团大战纪念碑（主碑）的高度”作为项目学习课题，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告：    项目课题 测量百团大战纪念碑（主碑）的高度 驱动问题 你如何用所学知识测量百团大战纪念碑（主碑）的高度？ 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 人员分工 测量组：×××    记录组：××× 测量方案 方案一：   说明：如图1，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测点，与点B在同一条水平直线上，且测得.，，，点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上 方案二：   说明：如图，线段表示百团大战纪念碑（主碑），测量角度的仪器，测得的长度和的度数，点，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条直线上，点，在同一条直线上 方案论证 计算结果 交流展示 项目反思 请根据活动报告，完成下面的问题： (1)根据方案一所测数据，计算百团大战纪念碑（主碑）的高度，（结果精确到；参考数据：，） (2)根据方案二的测量过程，项目学习小组最终选择方案一进行测量和计算，请你说明他们这样选择的理由． 【答案】(1)百团大战纪念碑主碑的高度约为； (2)纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 【解析】（1）解：如解，延长交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：百团大战纪念碑主碑的高度约为； （2）解：理由：纪念碑底部无法到达．（答案不唯一） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$