专题07 函数的单调性、奇偶性（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题07 函数的单调性、奇偶性 3大高频考点概览 考点01 函数单调的判断（或证明）及求单调区间 考点02 函数单调性的应用 考点03 函数单调性与奇偶性的综合问题 地 城 考点01 函数单调性的判断（或证明）及求单调区间 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 5．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 6．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知函数. (1)求该函数的定义域并判断该函数的奇偶性； (2)当时，判断该函数在的单调性并证明； (3)讨论该函数在上的单调性，并说明理由. 地 城 考点02 函数单调性的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北唐山·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 4．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)是函数在上是减函数的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)若函数在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(    ) A．0 B．2 C．－2 D．－3 三、填空题 10．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．(24-25高一上·河北沧衡名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式. (2)证明：在上单调递增. (3)求不等式的解集. 地 城 考点03 函数单调性与奇偶性的综合问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4． (24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)定义在上的奇函数在上单调递增， 且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．函数的图象关于点中心对称 D．若，则 二、多选题 9．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数与的定义域均为，且为奇函数， 为偶函数，，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递增 C．为奇函数 D． 三、填空题 10．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为 . 11．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ，不等式的解集是 ． 12．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知是定义上的偶函数，在区间上单调递增，且，则的解集为 . 13．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，且，都有，则不等式的解集为 ． 四、解答题 14．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论． 15．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 16．(23-24高一上·河北唐山迁安·期中)已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数的单调性、奇偶性 3大高频考点概览 考点01 函数单调的判断（或证明）及求单调区间 考点02 函数单调性的应用 考点03 函数单调性与奇偶性的综合问题 地 城 考点01 函数单调性的判断（或证明）及求单调区间 一、单选题 1．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用各选项中函数式直接判断单调性即可. 【详解】对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是； 对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是； 对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是； 对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是.故选：A 2．(24-25高一上·河北承德圣泉高级中学·期中)已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，设， 由，解得或，所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 3．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 二、解答题 4．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【详解】（1），，，解得，. （2）在上单调递减，证明如下：任取，，且， 则 ， ，，且，，，， ，即，所以函数在上单调递减. （3）由（2）知在上单调递减，函数在上的最大值为， 由知，，所以m的最小值为. 5．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意列出方程组并解出即可得； （2）结合单调性定义，令，求出的正负即可得； （3）结合函数单调性，可得，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得，故； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则，由，故，，即，故在上单调递增； （3）由在上单调递增，则当时，有，即. 6．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知函数. (1)求该函数的定义域并判断该函数的奇偶性； (2)当时，判断该函数在的单调性并证明； (3)讨论该函数在上的单调性，并说明理由. 【答案】(1)函数的定义域为，是奇函数； (2)当时，函数在上是单调增函数；证明见解析； (3)函数在上是单调减函数；在上是单调增函数，理由见解析. 【分析】（1）根据求分式的分母不为零求得函数定义域，再根据函数奇偶性定义进行判断； （2）根据函数单调性定义进行判断与证明； （3）利用函数单调性定义，分类分析讨论函数的单调性. 【详解】（1）（1）由题意，得，∴函数的定义域为， 对于任意，， 因为，所以函数是奇函数. （2）当时，在上是单调增函数,证明如下： 任取，不妨设，则 ∵，∴，，所以，即， 所以，函数在上是单调增函数. （3）函数在上是单调减函数；在上是单调增函数. 理由如下： ，任取，不妨设，则， ∵ 当时， ，∴，即， 所以函数在上是单调减函数.当时， ， ∴，即，所以函数在上是单调增函数. 地 城 考点02 函数单调性的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)函数在上是减函数．则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得， 故选：B． 2．(24-25高一上·河北唐山·期中)函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次函数的对称轴与区间的关系即可判断. 【详解】的对称轴为：，由题意可得，解得. 故选：D 3．(24-25高一上·河北唐山迁安·期中)已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数且为增函数求解即可. 【详解】的定义域为R，函数为奇函数且为增函数，又， 故，则， 即，解得或. 故选：B 4．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)已知函数在区间上是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称轴为，根据二次函数的性质可得或，解出即可得出实数k的取值范围 【详解】，其对称轴为，若函数在区间上是单调增函数，则，∴若函数在区间上是单调减函数，则，∴ 所以，实数k的取值范围是. 故选：A. 5．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得是上的增函数，则函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 6．(24-25高一上·河北承德承德县六沟高级中学·期中)是函数在上是减函数的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果. 【详解】若，则，则函数在上不是减函数， 若函数在上是减函数，则，即，则成立， 所以是函数在上是减函数的必要不充分条件. 故选：B. 7．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定对称轴为，进而确定函数单调性，由单调性即可判断. 【详解】由已知得函数的图象关于直线对称，所以在上单调递增，在上单调递减，所以．又，所以． 因为，所以．故，即． 故选：D 二、多选题 8．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小. 【详解】因为的图象关于直线对称，所以， ，又因为在区间上单调递增，且， 所以，所以， 所以和正确； 故选：BD. 9．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)若函数在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(    ) A．0 B．2 C．－2 D．－3 【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，写出f(x)的分段函数解析式，作出其大致图像，数形结合分析即可﹒ 【详解】根据题意可知f(x)＝， 对于及，其图象的对称轴均为直线x． 当≥－a，即a≥－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图所示： 由图可知，此时要满足题意，只需－a≥2或≤1，解得a≤－2或a≥－1，故a≥－1； 当＜－a，即a＜－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图所示： 由图可知，此时要满足题意，只需－a≤1或≥2，解得a≥－1或a≤－3，故a≤－3． 综上所述，a≥－1或a≤－3． 故选：ABD． 三、填空题 10．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性得到，解得答案. 【详解】函数是上的减函数，则，解得. 四、解答题 11．(24-25高一上·河北沧衡名校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式. (2)证明：在上单调递增. (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据及求出，，检验后得到答案； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）根据函数奇偶性和（2）中结论得到在上单调递增，从而得到不等式，求出不等式解集. 【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，故，即，解得， ，又，故， 故，所以，解得，故，经检验，满足要求； （2）任取且， 则， 因为且，所以且， 所以，所以，故在上单调递增； （3）因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增， ，故，解得， 的解集为. 地 城 考点03 函数单调性与奇偶性的综合问题 一、单选题 1．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)以下函数中，在上单调递增且是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性和奇偶性，结合选项依次判断即可． 【详解】对于A，函数为奇函数，故选项A错误； 对于B，函数为偶函数，且在上, 单调递减，故选项B错误； 对于C，函数为偶函数，且在上单调递减，故选项C错误； 对于D，函数为偶函数，且在上, 单调递增且恒为正，故在单调递增，故选项D正确． 故选：D 2．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知函数是偶函数，，且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知函数关于直线对称且在上为单调递减函数，然后利用函数的单调性和对称性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，即，可知函数的图象关于直线对称， 则，又因为，且时，恒成立， 可知函数在上为单调递减函数，可得，即， 所以.故选：B. 3．(24-25高一上·河北承德第一中学·期中)已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称以及的单调性可得在区间上递增，将写成分段函数的形式，分析可得在区间上为增函数，据此可得的取值范围． 【详解】根据题意，函数与函数的图象关于轴对称．若在区间内单调递减，则在区间上递增，而，在区间上为增函数， 则有，即的取值范围为 故选：B． 4． (24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)定义在上的奇函数在上单调递增， 且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可． 【详解】由题意可知是定义在上的奇函数，在上单调递增， 且，故，由，得，或， 时，，或，又，即，或， 故，解得，时，，或， 又，即，故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：C． 5．(24-25高一上·河北唐山·期中)已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可； 【详解】设，则，故是奇函数． 不等式等价于不等式 即不等式因为是奇函数，所以 易证是上的减函数，则，即，解得．故选：B. 6．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由题意先研究其奇偶性，再判断其单调性，最后利用单调性求解抽象不等式即可. 【详解】设，由是定义在上的偶函数，则， 所以是定义在上的奇函数.由题意得，若，且，都有， 所以是上的减函数，又 是上的奇函数，所以图象关于原点对称，则是上的减函数.由不等式可知. ①当时，不等式可化为， 即，由，则，解得（舍），或； ②当时，不等式可化为， 即，由，则，解得，或（舍）； 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 7．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系. 【详解】对任意的，有,即对任意的,设，都有，所以在上单调递减.又函数为偶函数，即.则的图像关于直线对称.所以, 则. 故选：B. 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知函数的图象关于y轴对称，若，且，都有，则下列结论正确的是（   ） A．的最大值为 B． C．函数的图象关于点中心对称 D．若，则 【答案】D 【分析】A选项，将条件变形后，由定义法得到在上单调递增，结合的图象关于y轴对称，求出有最小值，A错误；B选项，在上单调递减，B错误；C选项，的图象关于直线对称，C错误；D选项，先得到，由在上单调递增得到D正确. 【详解】A选项，，且，都有， 即，故在上单调递增， 又的图象关于y轴对称，故在上单调递减，故有最小值，A错误； B选项，在上单调递减，故，B错误； C选项，由平移法则知的图象关于直线对称，C错误； D选项，若，则，当，则， 当，则， 综上，，又在上单调递增，故，D正确.故选：D 二、多选题 9．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数与的定义域均为，且为奇函数， 为偶函数，，则下列说法正确的有（    ） A． B．在上单调递增 C．为奇函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据和函数奇偶性得到，，再依次判断每个选项即可. 【详解】为奇函数， 为偶函数，， 则，即，解得，， 对选项A：，正确；对选项B：在上单调递减，错误； 对选项C：设，函数定义域为，，函数为奇函数，正确；对选项D：，正确； 故选：ACD 三、填空题 10．(24-25高一上·河北承德双桥卉原中学·期中)已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，分或两种情况解不等式即可. 【详解】因为在上是增函数，且，可知：当时，；当时，；又因为是奇函数，可知：当时，； 当时，；当时，；对于不等式， 等价于或，可得或， 解得或，所以不等式的解集为. 11．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】利用函数为奇函数，由求解析式；利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】当时，，所以． 因为是奇函数，所以，所以． 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，则，即． 结合二次函数的性质可知在上为增函数，所以，解得． 故原不等式的解集为． 12．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)已知是定义上的偶函数，在区间上单调递增，且，则的解集为 . 【答案】 【分析】根据对称性与单调性的关系直接列式即可. 【详解】因为是定义上的偶函数，在区间上单调递增，且， 所以不等式可转化为：，解得或. 故答案为： 13．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，且，都有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】设函数，分析函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】不妨设，则 ， 所以即. 设，则在上单调递增. 又是定义在上的偶函数，，所以 ， 所以为奇函数.根据奇函数的性质，在上单调递增. 又 ， 也就是： ，解得：或. 所以所求不等式的解集为： 四、解答题 14．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式； （2）在上是增函数，由单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由在上是奇函数，所以，则， 则，由，得，所以，经检验，符合题意. （2）在上单调递增，证明如下： 设，且，则， 又，所以，因为，，所以， 所以，则，故在上单调递增. 15．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为定义域上的奇函数，证明见解析 (2)为上的增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到一元二次不等式在恒成立，结合二次函数的图象即可列出不等式求解. 【详解】（1）为定义域上的奇函数 证明：易知为定义域为，关于原点对称 又由，故为奇函数 （2）为上的增函数 证明：当时， 任取，且， 可得 因为且，可得，， 所以，即，故为上的增函数 （3）由为奇函数，可得在上为增函数 又由，可得为定义域上的增函数 由，可得 从而有对于任意实数恒成立 即对于任意实数恒成立 令，易知开口向上，故只需 解得，故的取值范围为 16．(23-24高一上·河北唐山迁安·期中)已知是定义域为的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； (3)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2)在R上单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可得出的值； （2）根据函数单调性的定义判断即可； （3）结合（2）的结论和奇函数的性质，不等式可转化为，利用换元法和二次函数的知识求出右式的最大值即可． 【详解】（1）是R上的奇函数， ，对任意，即， 即，对任意恒成立，，即. （2）为R上的增函数，证明如下：任取，，且， ， ，，，即， 所以函数为R上的增函数. （3）不等式在R上恒成立， ，又为R上的增函数， 在R上恒成立， 即，令，， 上式等价于对恒成立， 即，令，只需即可， 又，开口向下，对称轴为，， ，.所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$