专题06 函数的定义域、值域及最值（期中真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题06 函数的定义域、值域及最值 3大高频考点概览 考点01 函数的定义域 考点02 函数的值域 考点03 函数的最值 地 城 考点01 函数的定义域 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)函数的定义域为 ． 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)函数的定义域为 ． 四、解答题 8．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)已知函数. (1)求的值； (2)求的定义域. 9．(23-24高一上·河北名校强基联盟·期中)已知函数，集合. (1)求的定义域； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 地 城 考点02 函数的值域 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(23-24高一上·河北石家庄第十七中学·期中)下列函数值域为的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 三、填空题 7．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)函数的值域是 ． 8．(24-25高一上·河北唐山·期中)设函数，即表示函数，中的较大者.已知函数，，若的值域为，则 . 四、解答题 9．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 10．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有. （1）求的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若，求在上的值域. 地 城 考点03 函数的最值 一、单选题 1．(24-25高一上·河北邯郸·期中)定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（    ） A．0 B．7 C．4 D．2 2．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)设，若是的最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知函数，若，记，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为5 D．的最小值为3 四、解答题 4．(23-24高一上·河北石家庄六中·期中)已知是二次函数，若，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知函数在的最小值为． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 6．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的值域； (3)若，求函数的最大值． 7．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知实数，函数，. (1)试判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. (3)当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的定义域、值域及最值 3大高频考点概览 考点01 函数的定义域 考点02 函数的值域 考点03 函数的最值 地 城 考点01 函数的定义域 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得，所以原函数的定义域为. 故选：A 2．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式函数的定义域求集合B，再结合补集、交集运算求解. 【详解】令，解得，即，可得，所以. 故选：B. 3．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以函数的定义域为，由，得， 所以函数的定义域为.故选：B. 4．(23-24高一上·河北石家庄师大附中·期中)已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域列出不等式组求解即可. 【详解】函数的定义域是，由，得，且， 函数的定义域是， 故选：A. 5．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求的取值范围得函数的定义域. 【详解】由题意： 且.所以函数的定义域为：. 故选：A. 三、填空题 6．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)函数的定义域为 ． 【答案】且， 【分析】根据根式以及分式的性质即可列不等式求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为且， 7．(24-25高一上·河北石家庄二中教育集团·期中)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据求函数的定义域. 【详解】由题意： 且.所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 四、解答题 8．(23-24高一上·河北保定部分高中·期中)已知函数. (1)求的值； (2)求的定义域. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）直接计算得到答案. （2）函数定义域满足，解得答案. 【详解】（1），. （2）函数定义域满足，得且， 故的定义域为. 9．(23-24高一上·河北名校强基联盟·期中)已知函数，集合. (1)求的定义域； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据函数有意义，从而求出其定义域； （2）根据“”是“”的充分不必要条件得出集合与集合间的关系，从而求解. 【详解】（1）由题意得，解之得：，故集合的定义域为：. （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以得：集合是集合的真子集， 所以得：或， 解之得：或，故的取值范围为. 地 城 考点02 函数的值域 一、单选题 1．(24-25高一上·河北石家庄二十二中·期中)函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的取值范围后可得原函数的值域. 【详解】当时，，故，故函数的值域为.故选：B. 【点睛】本题考查分式函数的值域，注意可根据定义域和不等式的性质来求，本题属于容易题. 2．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定集合，由并集运算即可求解. 【详解】由条件可得：，，则．故选：B 3．(24-25高一上·河北石家庄正定中学·期中)函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离常数可得函数单调性，进而可得值域. 【详解】由已知函数定义域为，且， 则，即，故选：C. 4．(24-25高一上·河北承德高新区第一中学·期中)已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域. 【详解】设，则， 可得，解得，即，令，则， 可得， 因为的图象开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，且当时，，可得，即函数的值域为.故选：B. 二、多选题 5．(23-24高一上·河北石家庄第十七中学·期中)下列函数值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断. 【详解】因为函数的值域为,故错误；因为， 故函数的值域为，故正确；因为，故函数的值域为，则错误；因为函数在上均单调递增，所以当时，有最小值，故函数的值域为，故正确， 故选： 6．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)下列说法正确的是（   ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．函数满足，则 【答案】AD 【分析】根据抽象函数的定义域的求法求解可判断A；利用同一函数的定义判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域可判断C；利用方程组法求解函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为，故A正确；对于B，定义域为，定义域为R， 所以和不是同一个函数，故B错误；对于C，令，则，， 所以因为，所以在上单调递减，所以，所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为①，所以②， ②得③，①③得，，解得，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 7．(24-25高一上·河北衡水河北枣强中学·期中)函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数，求得值域. 【详解】，因为，所以，所以值域为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·河北唐山·期中)设函数，即表示函数，中的较大者.已知函数，，若的值域为，则 . 【答案】3或 【分析】由，解得或.再结合二次函数对称轴或两种情况讨论即可. 【详解】因为的值域为，所以，解得或. ，对称轴为：，图像恒过 当时，因为的值域为，所以当时，，解得； 当，因为的值域为，所以当时，，解得. 综上，或. 四、解答题 9．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，， (3) 【分析】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解； （2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值； （3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 则，即，所以函数在上单调递减， 则，. （3）由（1）知，， 则，， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且时，， 所以函数的值域为． 10．(24-25高一上·河北石家庄二十七中·期中)函数的定义域为，且对一切，都有，当时，有. （1）求的值； （2）判断的单调性并加以证明； （3）若，求在上的值域. 【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）. 【分析】（1），根据函数性质即可求出； （2）根据单调性的定义及可证明函数为增函数； （3）根据函数的单调性及函数满足的性质可求出函数值域. 【详解】当，时，，令，则 设，且，则，，， ，，即在上是增函数 由知在上是增函数，， ，由，知，， 在上的值域为. 地 城 考点03 函数的最值 一、单选题 1．(24-25高一上·河北邯郸·期中)定义：函数，即表示函数，中的较大者．已知函数，，则的最小值为（    ） A．0 B．7 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，由一次函数和二次函数的图象作图，即可求出函数的最小值，从而可得出答案. 【详解】令，即，解得或； 令，即，解得．故 作出的图象（图中的实线部分）． 由图象结合函数解析式可知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，的最小值为2．故选：D. 2．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)设，若是的最小值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式和基本不等式，求得分段函数各段的最小值，列出关系式，即可求解. 【详解】由题意，函数，若是的最小值， 可得，对称轴为，若是的最小值，则，即得，可得， 当时，可得，当且仅当时等号成立， 要使得函数的最小值为，则，解得，综上可得实数的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高一上·河北唐山第一中学·期中)已知函数，若，记，则（    ） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为5 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式作出函数图象，确定时m的范围，进而可得，将m作为自变量，表示，结合二次函数知识，即可判断答案. 【详解】依题意，函数在上递减，在上递减，其图象如图：    当，时，， 由，得 ，且，因此，， 对于AB，，当时，， 当时，，AB正确；对于CD，， 函数在上单调递增，当时，，无最大值，C错误，D正确. 故选：ABD 四、解答题 4．(23-24高一上·河北石家庄六中·期中)已知是二次函数，若，且． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据系数相等得到方程组，求出的值即可； （2）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设，由，得， 所以，由，得， 即，即， 所以，解得，所以； （2）函数的对称轴为，所以. 5．(24-25高一上·河北衡水中学·期中)已知函数在的最小值为． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的动轴定区间问题分类讨论得函数单调性从而可得函数的最小值； （2）根据的解析式确定函数单调性从而解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）函数，对称轴为， ①当即时，在上单调递增， 所以，即； ②当即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③当即时，函数在上单调递减， 所以，即， 故. （2）由（1）知，当时，，函数单调递增， 当时，，对称轴为，函数在上单调递增， 当时，，所以函数在R上单调递增. 由，得或，解得或 故实数m的取值范围为. 6．(24-25高一上·河北邯郸·期中)已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的值域； (3)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先确定的取值范围，两边平方解方程，即可得的值. （2）设，两边平方，结合的取值范围，可求的取值范围，即为所求函数的定义域. （3）在（2）的基础上，把问题转化为二次函数在给定区间上的值域问题解决.需要对抛物线的开口方向和抛物线的对称轴与区间的位置关系分类讨论. 【详解】（1）因为 . 由 . （2）设（），则. 因为，所以，又，所以.即函数的值域为. （3）由（2）得：设，则，. 所以可转化为，. 若，因为抛物线的对称轴，所以抛物线开口方向向上，在上单调递增，所以； 若，则在上单调递增，所以； 若，因为抛物线的对称轴，抛物线开口方向向下. 当即时，在上单调递减，所以； 当即时，， 当即时，在上单调递增，所以. 综上可知：. 7．(24-25高一上·河北承德第八中学·期中)已知函数，点是图象上的两点． (1)求的值： (2)用定义判断函数在上的单调性，并求该函数的最大值和最小值. (3)若函数，求函数的值域． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，， (3) 【分析】（1）根据题意将两点代入函数解析式列出方程组即可求解； （2）根据函数单调性的定义判断即可，进而结合单调性求解最值； （3）由题意可得，令，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）知，，任取，且， 则， 因为，所以，， 则，即， 所以函数在上单调递减，则，. （3）由（1）知，， 则，， 令，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，且时，，所以函数的值域为． 8．(24-25高一上·河北保定示范性高中·期中)已知实数，函数，. (1)试判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在上单调递增，并判断在是否也单调，如果单调，判断是增函数还是减函数. (3)当，时，用表示、的最大者，记为，求的最值. 【答案】(1)偶函数 (2)证明见解析，函数在上是增函数 (3)最小值为，最大值为 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取、且，作差，变形，判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；同理结合函数单调性的定义可判断出函数在上的单调性； （3）化简函数在上的解析式，并分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在上的最小值和最大值. 【详解】（1）因为实数，函数，， 则，其中， ，则函数为偶函数. （2）因为，任取、且，则，， 则 ，即，所以，函数在上为增函数， 函数在上也为增函数，理由如下： 因为，任取、且，则，， 则 ，即， 所以，函数在上为增函数. （3）当时，，，则， 因为，当时，，即， 当时，，即， 故当时，， 由对勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又因为，，则， 所以，当时，函数在区间上的最小值为，最大值为. 试卷第1页，共3页 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$