专题02 锐角的三角比7大题型（专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 锐角的三角比 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与正弦有关的计算 1 题型二、与余弦有关的计算 1 题型三、与正切有关的计算 2 题型四、有关特殊角三角函数值的计算或判定（常考点） 3 题型五、三角函数值的比较以及角度的取值范围 4 题型六、同角或余角的三角函数关系 4 题型七、三角函数综合问题（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与正弦有关的计算 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 3．在中，，，，那么 ． 4．如图，在中，，，．求的大小和的长． 题型二、与余弦有关的计算 5．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 8．如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，请直接写出的长. 题型三、与正切有关的计算 9．在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则∠B的正切值等于（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，将△绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为5，那么的正切值是 ． 12．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型四、有关特殊角三角函数值的计算或判定（常考点） 13．已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 14．的值是（　　） A． B． C． D． 15．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 16．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 17．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 18．已知α为锐角，且，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 19．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 20．计算：3tan30°+sin45°= ． 21．如果，那么锐角 度． 22．如果是锐角，，那么 ． 23．计算：． 24．计算：． 题型五、三角函数值的比较以及角度的取值范围 25．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 26．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 27．已知是锐角，且 ，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 29．如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 30．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 32．已知，则锐角的取值范围是 ． 题型六、同角或余角的三角函数关系 33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（    ） A． B． C． D．   35．如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 37．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 39．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七、三角函数综合问题（难点） 40．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 41．如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 42．已知：如图，在中，，点D是中点，E在边上，且，如果．    (1)求边的长； (2)求的值． 43．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为 (1)求证：△BDF∽△DCF； (2)求BC的长． 44．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 45．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 1．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 3．下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 4．在中，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 6．在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 7．对于锐角，已知，则 ． 8．在中，，若，则 ． 9．如图，将矩形的边绕平面上一点旋转至射线上，点、的对应点分别为点，如果，那么的值是 ．    10．已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时， ． 11． 计算： 12． 计算： 13． 计算：． 14．计算：． 15．计算：． 16．已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求： (1)的长； (2)的长． 17．平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 18．如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 19．某个小组在探究等分线段的方法的过程中发现：可以用折纸的方法将一条线段三等分． 具体方法如下：如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点分别是边的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于．那么就是线段的一个三等分点． (1)试求的正弦值； (2)求证：点线段的一个三等分点． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角的三角比 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与正弦有关的计算 1 题型二、与余弦有关的计算 2 题型三、与正切有关的计算 6 题型四、有关特殊角三角函数值的计算或判定（常考点） 8 题型五、三角函数值的比较以及角度的取值范围 11 题型六、同角或余角的三角函数关系 14 题型七、三角函数综合问题（难点） 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与正弦有关的计算 1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∴sinB=， 故不能表示sinB的是． 故选B． 2．在中，，，，那么的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，，，， 则， 故选：A． 3．在中，，，，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴ ∵ ∴，解得：BC=12． 故填：12． 4．如图，在中，，，．求的大小和的长． 【答案】， 【解析】解： ； ∵， ∴ ； 答：，． 题型二、与余弦有关的计算 5．在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 6．在中，，那么的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 7．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 8．如图，在中，，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，请直接写出的长. 【答案】或或 【解析】过点作，垂足为点． ∵， ∴，． 设，则， ∵ ， ， ∴． ∵四边形是正方形， ． 当是等腰三角形时，根据点的位置，分以下情况讨论： （1）当点在内部时，因为，所以该情况下只可能． 过点作于点H． ， ∴， ∴， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； （2）当点在外面时，分以下情况讨论 ①当时，则，解得：； ②当时，设与交点为，则可得：且点为中点， ∴， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； ③当，不成立． 综上可得：当是等腰三角形时，AD的长度为或或． 题型三、与正切有关的计算 9．在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在△中，，，， ∴BC= ∴= 故选C. 10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，则∠B的正切值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴， 故选：A． 11．如图，在中，，，，将△绕点旋转到的位置，其中点与点对应，点与点对应．如果图中阴影部分的面积为5，那么的正切值是 ． 【答案】 【解析】解：设与的交点为，作于， 在△中，，，， ，， 图中阴影部分的面积为5， ， ， ， ， ，， △△， ，即 ， ， ， ，即， ． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． （2）解：， 在直角中，，， ，， 四边形是菱形， ，、互相平分， 在直角中，，， ， 点是的中点， ． 题型四、有关特殊角三角函数值的计算或判定（常考点） 13．已知，，那么为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【解答】解：，， ， ， 故选：C． 14．的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 原式． 故选：C． 15．下列不等式，成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：特殊角的三角函数值如下表所示： 角度三角函数名 由表格可知： 选项A错误，正确应为：； 选项B错误，正确应为：； 选项C错误，正确应为：； 选项D正确， 故选D． 16．下列计算不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 17．在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 18．已知α为锐角，且，则α的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， ， 故选：． 19．在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【解析】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 20．计算：3tan30°+sin45°= ． 【答案】 【解析】3tan30°+sin45°==. 故答案为 21．如果，那么锐角 度． 【答案】60 【解析】解：∵ ∴锐角度， 故答案为：． 22．如果是锐角，，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵是锐角，， ∴， ∴， 故答案为： 23．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 24．计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 题型五、三角函数值的比较以及角度的取值范围 25．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， ，， ，， ， 故选：D． 26．如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【解析】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 27．已知是锐角，且 ，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：，，， 又∵解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小， ∴ ． 故选：B． 28．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：当时，， ∵为锐角，正弦值随着角度的增大而增大， ∴； 故选A． 29．如果锐角的正切值是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵，，，，，， 而， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 30．比较大小： ．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知， ， 故答案为：． 31．比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 【答案】 【解析】，正弦值随着角度的增大而增大 故答案为： 32．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【解析】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 题型六、同角或余角的三角函数关系 33．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 34．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图，画出， ∵， 设，， 根据勾股定理，， ∴． 故选：D．    35．如图，在中，于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵在中，， ∴, ∵于点， ∴， ∴，， ∴∽， ∴，即，， ∵， ∴设，， ∴， ∴， 故选：B． 36．对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 37．下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 38．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、tanA=，tanB=，只有当a=b时，tanA=tanB，所以不一定成立； B、tanA=，cotB=，只有当a=b时，，所以不一定成立； C、sinA==cosB，故正确； D、cosA=，cosB=，只有当a=b时， ，所以不一定成立； 故选：C． 39．⊿ABC中，∠C=90°，下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，Rt△ABC中，设AC=b，BC=a，AB=c．根据锐角三角函数的定义： A、∵tanA=，cotA=， ，∴ ，故成立； B、∵tanA=，cotB=， ，∴ ，故不成立； C、∵tanA=，cotB=，∴，故不成立； D、∵cotA= ，tanB=，∴，故不成立； 故选：A． 题型七、三角函数综合问题（难点） 40．如图，在中，，为边上的中线，点是的边上的一点，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：在中，，为边上的中线， ，即， ， ， 又 ， ， ， ； （2）解：在中，，，为边上的中线， ，， ， ， ， ． 41．如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【解析】（1）∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 42．已知：如图，在中，，点D是中点，E在边上，且，如果．    (1)求边的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：过点C作交于点H，如图所示：    ∵， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，或（舍去）， ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 43．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF＝5，∠B的正切值为 (1)求证：△BDF∽△DCF； (2)求BC的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【解析】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴DE＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD， ∵∠ACB＝90°，∠BDC＝90° ∴∠ECD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°， ∴∠ECD＝∠B， ∴∠B＝∠FDC， 又∵∠F＝∠F， ∴△BDF∽△DCF； （2）解：设DE＝x，则AC＝2DE＝2x，DF＝DE+EF＝x+5． ∵△BDF∽△DCF， ∴＝＝＝tan∠B＝， ∴BF＝2DF＝2（x+5），CF＝DF＝（x+5）， ∴BC＝BF﹣CF＝（x+5）， 在直角△ABC中，∵tan∠B＝＝， ∴BC＝2AC，即（x+5）＝2×2x， 解得x＝3 ∴BC＝（3+5）＝12． 44．如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且． (1)求证：； (2)如果，，求FC的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【解析】（1）证明：∵ ， ∴△EAD∽△ECB， ∴ ，即， ∵，∠AEB=∠DEF， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ，， ∴ ，即AC=9， ∴ ， ∵， ∴AD=3， ∵， ∴∠BAD=90°， ∴ ， ∵△EAD∽△ECB， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，， ∴EC=6， ， ∵， ∴ ， ∴EF=4， ∴FC=EC-EF=6-4=2． 45．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；；证明见解析 (3)图见解析， 【解析】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． 故答案为：；． （3）解：作使得，，则，如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 1．下列各数中是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：、，是分数，属于有理数，不合题意； 、是有限小数，属于有理数，不合题意； 、是整数，属于有理数，不合题意； 、，是无理数，符合题意； 故选：． 2．中，，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如下图： ∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 3．下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】解：①，故①错误； ②∵，， ∴；故②正确； ③若，则，故③错误； ④，故④正确； 综上所述，正确的说法有②④，共2个； 故选：C． 4．在中，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵， ∴，， ，， ，， ， 故选：A． 5．在中，，，，那么的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，画出图形如下： 则，即， 解得， 故选：A． 6．在中，若锐角，满足，则的度数是 ． 【答案】/75度 【解析】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 7．对于锐角，已知，则 ． 【答案】 【解析】解：由互余两角三角函数的关系可得，，而且， 所以．即， 故答案为：． 8．在中，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】解：如图，∵， ∴， 故答案为：． ． 9．如图，将矩形的边绕平面上一点旋转至射线上，点、的对应点分别为点，如果，那么的值是 ．    【答案】/ 【解析】解：∵ ，则，点在的左侧， 如图所示，连接    ∵旋转， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 同理可得 ∵ ∴ ∴ ∵，设，则 ∴， 在中， ∴ 故答案为：． 10．已知正方形的边长为4，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边分别与边的延长线交于点，连接．当是直角三角形时， ． 【答案】或 【解析】①当时，如图所示， 即 ∵ ∴是等腰直角三角形    ∴ ∵四边形是正方形   ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴； ②当时，如图所示： 方法如①，同理可得， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或． 11．计算： 【答案】 【解析】解： 12．计算： 【答案】 【解析】解：原式 ． 13．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 14．计算：． 【答案】 【解析】解： ． 15．计算：． 【答案】 【解析】解： ， ， ． 16．已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：过点A作于E，交于F． ∵，， ∴， 由勾股定理得，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：由题意知，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，点在直线l上，点B在双曲线上． (1)求直线l与双曲线的表达式； (2)联结，若直线和直线l平行，求的值． 【答案】(1)直线l的解析式为；双曲线解析式为， (2) 【解析】（1）解：∵直线l：与x轴交于点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 把点代入解析式得 ，解得：， ∴双曲线解析式为； （2）解：如图， ∵，直线l的解析式为， ∴直线解析式为：， 联立直线和反比例函数解析式得：， 解得：，不合题意，舍去， ∴点， ∵， ∴轴，，， ∴， ∴， ∴ 18．如图，在直角梯形中 ，，， ． (1)求梯形的面积； (2)连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：过作于， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积 ； （2）解：如图，连接，过点作于点， 则， 在中，，， 则， ， ， ， ，即， 解得：， 由勾股定理得：， ． 19．某个小组在探究等分线段的方法的过程中发现：可以用折纸的方法将一条线段三等分． 具体方法如下：如图，将正方形纸片对折，得到折痕（其中，点分别是边的中点），连接，将纸片沿翻折，使点落在点处，连接并延长交于．那么就是线段的一个三等分点． (1)试求的正弦值； (2)求证：点线段的一个三等分点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）解：如图，设相交于点，正方形的边长为， 由折叠可得，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点线段的一个三等分点． 16 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$