第一单元长方体和正方体·单元复习篇（单元复习讲义）【五大篇章】-2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.长方体和正方体的认识：基本含义、基本特征、表面展开图。 £2.长方体和正方体的表面积的含义以及计算公式。 £3.体积和容积的单位以及单位进率。 £4.长方体和正方体的体积的含义以及计算公式。 进阶层 £1.长方体和正方体的棱长的生活实际应用题。 £2.长方体和正方体的表面积的生活实际应用题。 £3.长方体和正方体的体积生活实际应用题。 拓展层 £1.表面积的变化问题。 £2.排水法求不规则物体的体积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】长方体的认识及特征 1. 长方体的定义。 由（ ）个长方形（特殊情况有（ ）个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有（ ）个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有（ ）条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的（ ）。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【知识点二】正方体的认识及特征 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 （ ）是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【知识点三】长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【知识点四】正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【知识点五】长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=（ ），用字母表示为（ ）。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 【知识点六】正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=（ ），用字母表示为（ ）。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【知识点七】长方体的表面积 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=（ ），用字母表示为（ ）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【知识点八】正方体的表面积 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【知识点九】长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【知识点十】立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【知识点十一】体积和容积的认识 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：（ ），1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：（ ）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【知识点十二】体积和容积的单位及进率 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=（ ）立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=（ ）毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【知识点十三】长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=（ ），用字母表示为（ ）。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【知识点十四】正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=（棱长×棱长×棱长），用字母表示（V=a×a×a = a³），读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 【知识点十五】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的（n2）倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【知识点十六】剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【知识点十七】等积变形问题 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【知识点十八】排水法求不规则物体的体积 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十九】求不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【预测考点01】长方体和正方体的认识 1．长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 2．正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到( )个面。 【对应练习】 1．一个正方体相对两个面上的数互为倒数，如图是它的展开图，A面上的数是( )，抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性( )。（填“大”“小”或“相等”） 2．长方体和正方体都有( )个面，相对的面的面积都( )；都有( )条棱，相互平行的棱的长度都( )；都有( )个顶点。 【预测考点02】长方体和正方体的表面积 1．一个长4分米，宽2分米，高4分米的长方体，它的占地面积最大是( )，它的表面积是( )。 2．用长36厘米长的铁丝做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习】 1．将一个长10cm、宽5cm、高15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴），需要( )cm2的商标纸。 2．一个长方体的棱长之和是68cm，它的长是8cm，宽是5cm，高是( )cm，这个长方体的表面积( )cm2。 【预测考点03】体积和容积单位及换算 在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 【对应练习】 1．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 2．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【预测考点04】长方体和正方体的体积 做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为3.5分米的正方形，高5分米，做这个水桶至少需要( )平方分米的铁皮，最多可盛水( )升。 【对应练习】 1．一个长方体长6.2cm，宽4cm，高3cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，它的表面积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 2．一根铁丝正好可以围成一个棱长是8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3；若将这根铁丝改围成一个长10cm，宽8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【预测考点01】长方体和正方体的棱长和问题 五月初，杭州各地茶农忙于采摘售卖茶叶。小聪正在打包一个茶叶礼盒（如下图），打结处用了13厘米长的绸带。打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ 【对应练习】 1．母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 2．一捆彩带长10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长23厘米，那么这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 【预测考点02】长方体和正方体的表面积问题 育红小学要粉刷一个新教室的四周墙壁和顶棚。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗的面积是11.4平方米。如果每平方米要花8元涂料费，粉刷这个教室需要花多少元？ 【对应练习】 1．一个长方体木箱，长12分米，宽8分米，高6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不涂），如果每平方分米用油漆0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 2．文文给妹妹买了一个小闹钟，装闹钟的盒子长12厘米，宽6厘米，高18厘米。为了美观，文文打算把盒子贴上彩纸后再送给妹妹，贴满这个盒子表面需要多少平方厘米的彩纸？ 【预测考点03】长方体和正方体的体积问题 一块长方体石材长9分米，宽3分米，高5分米，如果每立方分米石材重3.2千克，这块石材重多少千克？ 【对应练习】 1．有一堆150立方米的沙石，把它铺在10米宽的长方形公路上，铺3厘米厚，能铺多少米？ 2．一个无水的长方体鱼缸，从里面量长50厘米，宽35厘米，高45厘米，里面放有一块高是30厘米，体积是300立方厘米的假山石，如果以每分钟9立方分米的速度向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假山石淹没？ 【预测考点01】切拼问题 把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【对应练习】 1．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 2．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【预测考点02】剪角折叠求体积问题 如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【对应练习】 一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【预测考点03】等积变形问题 把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【对应练习】 如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【预测考点04】排水法求不规则物体的体积 妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【预测考点05】求不规则或组合立体图形的表面积和体积 计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【对应练习】 计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在括号里填上合适的单位名称。 一台冰箱容积约为240( )；一间教室的面积约为72( )； 一个集装箱的体积约是60( )；一个文具盒的体积约是0.4( )。 2．（2024·江苏宿迁·期末）32厘米＝( )米          4.07立方米＝( )立方分米 天＝( )时              150000平方米＝( )公顷＝( )平方千米 3．（2024·全国·专题练习）一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是( )。 4．（2024·全国·课后作业）把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 5．（2024·安徽六安·期末）小明把一个长方体药盒撕开了，如图是撕开后剩余的部分。这个药盒的体积是( )立方厘米。 6．（2024·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 二、选择题。 7．（2024·江苏苏州·期末）有一个长26厘米、宽18厘米、高0.6厘米的物体，它可能是( )。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 8．（2024·江苏连云港·期中）下列图形中，( )图形沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 9．（2024·江苏苏州·期末）如果把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加( )平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 10．（2024·江苏宿迁·期末）一张长方形纸板长80厘米，宽15厘米，把它对折再对折，打开后围成一个高15厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是( )平方厘米。 A．160 B．225 C．450 D．400 三、计算题。 11．（2024·广西防城港·期末）求下面正方体的体积和表面积。 四、作图题。 12．（2024·山西临汾·期末）下面是一个长方体的前面，左面和下面的展开图。画出展开图的另外三个面，并标出名称。 五、解答题。 13．（2024·江苏扬州·期末）儿童乐园新建一个嬉水池，从里面量长是40米，宽是25米，深1.2米。 （1）在嬉水池内的四周和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）在池中放水后，水面离池口40厘米，嬉水池中有水多少吨？（每立方米水重1吨） 14．（2024·广西防城港·期末）“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 15．（2024·安徽六安·期末）一个正方体容器，棱长20厘米，里面注有18厘米深的水。如果把一块棱长为10厘米的正方体铁块浸入水中，水会溢出来吗？如果有水溢出，求溢出水的体积。 16．（2024·安徽蚌埠·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 40 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 40 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检 基础层 1.长方体和正方体的认识：基本含义、基本特征、表面展开图。 2.长方体和正方体的表面积的含义以及计算公式。 3.体积和容积的单位以及单位进率。 4.长方体和正方体的体积的含义以及计算公式。 进阶层 1.长方体和正方体的棱长的生活实际应用题。 2.长方体和正方体的表面积的生活实际应用题。 3.长方体和正方体的体积生活实际应用题。 拓展层 1.表面积的变化问题。 2.排水法求不规则物体的体积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 第 3 页 共 40 页 【知识点一】长方体的认识及特征 1. 长方体的定义。 由（6）个长方形（特殊情况有（两）个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有（6）个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有（12）条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 第 4 页 共 40 页 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的（长、宽、高）。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【知识点二】正方体的认识及特征 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为 棱。 第 5 页 共 40 页 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区 别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 （正方体）是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【知识点三】长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3个面，上一行 2个面，下一行 1个面，共有 18种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三 个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第 6 页 共 40 页 【知识点四】正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 第 7 页 共 40 页 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三 一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【知识点五】长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=（长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4），用字母表示为（L=（a+b+h）×4）。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化 计算步骤。 【知识点六】正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=（12×棱长），用字母表示为（L=12a）。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【知识点七】长方体的表面积 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或特殊情况下 含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=（2×（长×宽+长×高+宽×高）），用字母表示为（S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh））。 第 8 页 共 40 页 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注 意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、 方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【知识点八】正方体的表面积 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况，例如：无盖 正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【知识点九】长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应 增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方 形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； 第 9 页 共 40 页 ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化， 在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1） 刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少 四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【知识点十】立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的 数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面的小正方体数 量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 第 10 页 共 40 页 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【知识点十一】体积和容积的认识 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：（立方厘米（cm3）、立方分米 （dm3）、立方米(m3)），1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：（升（L）、毫升（mL））。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【知识点十二】体积和容积的单位及进率 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的卧室）、冰箱 外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微波炉的容积、 小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 第 11 页 共 40 页 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、 口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分 米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=（1000）立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=（1000）毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【知识点十三】长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=（长×宽×高=底面积×高），用字母表示为（V=abh=S 底×h）。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【知识点十四】正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=（棱长×棱长×棱长），用字母表示（V=a×a×a = a³），读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a相乘。 第 12 页 共 40 页 【知识点十五】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的（n2）倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【知识点十六】剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【知识点十七】等积变形问题 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场 景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 第 13 页 共 40 页 【知识点十八】排水法求不规则物体的体积 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本 质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十九】求不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形 的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 第 14 页 共 40 页 【预测考点 01】长方体和正方体的认识 1．长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组 相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的 ( )、( )、( )。 【答案】 8 12 3 3 完全相同 长 宽 高 【详解】长方体有 8个顶点，12条棱，包含 3组相对的棱，3组相对的面，相对的面完全相同， 相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 2．正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到 ( )个面。 【答案】 6 12 8 3 【分析】正方体特征：有 6个面都是正方形，且面积相等；有 8个顶点；有 12条棱且长度都 相等。从不同的角度看正方体，最少能看到 1个面，最多能看到 3个面。据此解答。 【详解】正方体有 6个面，12条棱，8个顶点，从不同的角度最多能看到 3个面。 【对应练习】 1．一个正方体相对两个面上的数互为倒数，如图是它的展开图，A面上的数是( )， 抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性( )。（填“大”“小”或“相 等”） 【答案】 1 3 大 第 15 页 共 40 页 【分析】观察展开图，折成正方体后，A面与 3面相对（通过空间想象，把展开图还原成正方 体，可确定 3和 A是对面）。然后根据倒数的定义确定具体的数。 可能性大小与数量多少有关，数量越多，朝上的可能性越大；先确定整数面和分数面的数量。 相对面情况：3和 A（ 13）相对、2和 B相对、1和 C相对。因为 2的倒数是 1 2 ，所以 B＝ 1 2 ； 1的倒数是 1，所以 C＝1。那么 6个面的数分别是 3（整数）、13（分数）、2（整数）、 1 2 （分 数）、1（整数）、1（整数）。统计整数面和分数面数量：整数面有 3、2、1、1，共 4个； 分数面有 1 3、 1 2 ，共 2个。然后比较大小即可解答。 【详解】 13 1 3   所以 A面上的数是 13。 整数面有 3、2、1、1，共 4个；分数面有 13、 1 2 ，共 2个。 4＞2 A面上的数是 13，抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性大。 2．长方体和正方体都有( )个面，相对的面的面积都( )；都有( )条棱， 相互平行的棱的长度都( )；都有( )个顶点。 【答案】 6 相等 12 相等 8 【详解】 长方体和正方体都有 6个面，相对的面的面积都相等，都有 12条棱，相互平行的棱的长度都 相等，都有 8个顶点。 【预测考点 02】长方体和正方体的表面积 1．一个长 4分米，宽 2分米，高 4分米的长方体，它的占地面积最大是( )，它的表 面积是( )。 【答案】 16平方分米 64平方分米 【分析】求它占地面积就是求的底面积，当以长 4分米、高 4分米为底面时的占地面积最大， 根据长方形的面积＝长×宽，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2解答。 第 16 页 共 40 页 【详解】4×4＝16（平方分米） （4×2＋2×4＋4×4）×2 ＝（8＋8＋16）×2 ＝（16＋16）×2 ＝32×2 ＝64（平方分米） 所以占地面积最大是 16平方分米，表面积是 64平方分米。 2．用长 36厘米长的铁丝做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【答案】54 【分析】正方体有 12条长度相等的棱，用 36厘米长的铁丝做正方体框架，意味着铁丝总长等 于正方体 12条棱的长度之和。因此，正方体的棱长＝铁丝总长÷12，即：36÷12＝3（厘米）。 正方体的表面积公式为：S＝6a2（a为棱长）。把棱长 3厘米代入公式计算即可。 【详解】正方体有 12条长度相等的棱。 36÷12＝3（厘米） 6×32 ＝6×9 ＝54（平方厘米） 这个正方体的表面积是 54平方厘米。 【对应练习】 1．将一个长 10cm、宽 5cm、高 15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴）， 需要( )cm2的商标纸。 【答案】450 【分析】上、下面不贴，求商标纸的面积相当于求前、后、左、右，4个面的面积和，商标纸 的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】10×15×2＋5×15×2 ＝300＋150 ＝450（cm2） 需要 450cm2的商标纸。 第 17 页 共 40 页 2．一个长方体的棱长之和是 68cm，它的长是 8cm，宽是 5cm，高是( )cm，这个长方 体的表面积( )cm2。 【答案】 4 184 【分析】已知长方体的棱长之和是 68cm，长是 8cm，宽是 5cm，根据长方体的棱长总和＝（长 ＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出这个长方体的高； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】68÷4－8－5 ＝17－8－5 ＝4（cm） （8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（cm2） 高是（4）cm，这个长方体的表面积（184）cm2。 【预测考点 03】体积和容积单位及换算 在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是 50立方米 ； 一瓶墨水约 60毫升； 一块橡皮的体积约是 6立方厘米； 小轿车油箱的容积约 45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大 小，灵活地选择。 【对应练习】 1．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 第 18 页 共 40 页 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的大小，选择合 适的计量单位，即可解答。 【详解】一瓶矿泉水的体积约 500毫升；一间教室的空间约 200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大 小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据 1dm2＝100cm2，用 3290÷100即可；高级单位换 低级单位乘进率，根据 1L＝1000mL，用 409×1000即可，根据 1m3＝1000L，则用 409÷1000 即可；根据 1m3＝1000dm3，把 7508拆成 7000＋508，然后用 7000÷1000即可；根据 1m3＝1000L， 则 0.09×1000即可，根据 1m3＝1000000mL，用 0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 【预测考点 04】长方体和正方体的体积 做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为 3.5分米的正方形，高 5分米，做这个水桶至少 需要( )平方分米的铁皮，最多可盛水( )升。 【答案】 82.25 61.25 【分析】水桶是无盖的，底面是边长为 3.5分米的正方形，说明水桶的前面、后面、左面和右 第 19 页 共 40 页 面是相同的。所以，根据“底面边长×底面边长＋底面边长×高×4”可求出做这个水桶至少需要多 少平方分米的铁皮。长方体容积＝底面积×高，代入数据求出长方体的容积，再根据 1平方分 米＝1升，将单位换算成升数即可。 【详解】3.5×3.5＋3.5×5×4 ＝12.25＋70 ＝82.25（平方分米） 3.5×3.5×5＝61.25（立方分米） 61.25立方分米＝61.25升 所以做这个水桶至少需要 82.25平方分米的铁皮，最多可盛水 61.25升。 【对应练习】 1．一个长方体长 6.2cm，宽 4cm，高 3cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，它的表面 积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 【答案】 52.8 110.8 74.4 【分析】长方体长 6.2cm，宽 4cm，高 3cm，棱长总和公式为：长方体棱长总和＝4×（长＋宽 ＋高）；表面积公式为：长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）；体积公式为：长方体 体积＝长×宽×高。把数据分别代入公式计算即可。 【详解】棱长总和： 4×（6.2＋4＋3） ＝4×13.2 ＝52.8（cm） 表面积： 2×（6.2×4＋6.2×3＋4×3） ＝2×（24.8＋18.6＋12） ＝2×55.4 ＝110.8（cm2） 体积：6.2×4×3＝74.4（cm3） 这个长方体的棱长总和是 52.8cm，它的表面积是 110.8cm2，它的体积是 74.4cm3。 2．一根铁丝正好可以围成一个棱长是 8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3； 若将这根铁丝改围成一个长 10cm，宽 8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2， 第 20 页 共 40 页 体积是( )cm3。 【答案】 512 376 480 【分析】铁丝长度等于正方体的棱长之和即棱长的 12倍；正方体体积＝棱长×棱长×棱长。长 方体棱长之和等于长宽高和的 4倍，先求出长方体的高；长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高 ＋宽×高），长方体体积＝长×宽×高，据此代入数据解答。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 8×12÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（cm） 2×（10×8＋10×6＋8×6） ＝2×（80＋60＋48） ＝2×188 ＝376（cm2） 10×8×6 ＝80×6 ＝480（cm3） 故围成的正方体的体积是 512 cm3，围成的长方体的表面积是 376cm2，体积是 480cm3。 【预测考点 01】长方体和正方体的棱长和问题 五月初，杭州各地茶农忙于采摘售卖茶叶。小聪正在打包一个茶叶礼盒（如下图），打结处用 了 13厘米长的绸带。打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ 【答案】95厘米 【分析】观察图形可知，打包这个长方体茶叶礼盒的绸带长度，包括 2条长、2条宽、4条高， 第 21 页 共 40 页 再加上打结处的 13厘米；已知该长方体茶叶礼盒长 15厘米、宽 10厘米、高 8厘米，分别算 出 2条长（15×2）、2条宽（10×2）、4条高（8×4）的长度，再加上打结处长度 13厘米，求 和即可计算出所需绸带的长度。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋13 ＝30＋20＋32＋13 ＝50＋32＋13 ＝82＋13 ＝95（厘米） 答：打包这个茶叶礼盒至少需要用 95厘米长的绸带。 【对应练习】 1．母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩 带？（打结处用了 25厘米） 【答案】135厘米 【分析】观察图形可知，彩带的长度由 2条长，2条宽，4条高和打结处的长度组成，即：彩 带总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25。已知礼物的长为 20厘米，宽为 15厘米，高为 10厘米， 打结处为 25厘米，把数据代入计算即可解答。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋25 ＝40＋30＋40＋25 ＝135（厘米） 答：至少需要 135厘米的彩带。 2．一捆彩带长 10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长 23厘米，那么 这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 第 22 页 共 40 页 【答案】8个 【分析】一个礼盒需要的彩带长度＝礼盒的长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度；再用彩带的 总长度÷一个礼盒需要彩带的长度，即可解答，注意单位名数的换算，结果用“去尾法”解答。 【详解】18×2＋12×2＋10×4＋23 ＝36＋24＋40＋23 ＝60＋40＋23 ＝100＋23 ＝123（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷123≈8（个） 答：这捆彩带最多可以捆扎 8个这样的礼盒。 【预测考点 02】长方体和正方体的表面积问题 育红小学要粉刷一个新教室的四周墙壁和顶棚。已知教室的长是 8米，宽是 6米，高是 3米， 扣除门窗的面积是 11.4平方米。如果每平方米要花 8元涂料费，粉刷这个教室需要花多少元？ 【答案】964.8元 【分析】教室是一个长方体，要粉刷四周墙壁和顶棚，也就是求这个长方体除了底面之外的 5 个面的面积之和，再扣除门窗的面积。即：粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗面 积，已知教室的长是 8米，宽是 6米，高是 3米，门窗面积 11.4平方米，把数据代入计算后 再乘 8即可得出粉刷这个教室需要的金额。 【详解】8×6＋（8×3＋6×3）×2－11.4 ＝8×6＋（24＋18）×2－11.4 ＝8×6＋42×2－11.4 ＝48＋84－11.4 ＝120.6（平方米） 120.6×8＝964.8（元） 答：粉刷这个教室需要花 964.8元。 【对应练习】 1．一个长方体木箱，长 12分米，宽 8分米，高 6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不 涂），如果每平方分米用油漆 0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 第 23 页 共 40 页 【答案】89千克 【分析】底面不涂，需要计算五个面的面积之和，用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出需要涂 油漆的面积，再将这个面积乘 0.25，求出涂这个木箱要用油漆多少千克。 【详解】12×8＋12×6.5×2＋8×6.5×2 ＝96＋156＋104 ＝356（平方分米） 356×0.25＝89（千克） 答：涂这个木箱要用油漆 89千克。 2．文文给妹妹买了一个小闹钟，装闹钟的盒子长 12厘米，宽 6厘米，高 18厘米。为了美观， 文文打算把盒子贴上彩纸后再送给妹妹，贴满这个盒子表面需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】792平方厘米 【分析】求彩纸的面积相当于求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽× 高）×2，列式解答即可。 【详解】（12×6＋12×18＋6×18）×2 ＝（72＋216＋108）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） 答：贴满这个盒子表面需要 792平方厘米的彩纸。 【预测考点 03】长方体和正方体的体积问题 一块长方体石材长 9分米，宽 3分米，高 5分米，如果每立方分米石材重 3.2千克，这块石材 重多少千克？ 【答案】432千克 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，先求出石材的体积，石材的体积×每立方分米质量＝这 块石材的重量，据此列式解答。 【详解】9×3×5×3.2 ＝135×3.2 ＝432（千克） 答：这块石材重 432千克。 第 24 页 共 40 页 【对应练习】 1．有一堆 150立方米的沙石，把它铺在 10米宽的长方形公路上，铺 3厘米厚，能铺多少米？ 【答案】500米 【分析】已知沙石的体积为 150立方米，沙石体积不变，根据长方体的体积公式：V abh （其 中 a是长，b是宽，h是高），因为 1米＝100厘米，再将 3厘米换算成米，代入数值即可求解。 【详解】3 100 0.03  （米） 长方形公路的厚度： 150 10 0.03  15 0.03  500 （米） 答：能铺 500米。 2．一个无水的长方体鱼缸，从里面量长 50厘米，宽 35厘米，高 45厘米，里面放有一块高是 30厘米，体积是 300立方厘米的假山石，如果以每分钟 9立方分米的速度向鱼缸内注水，那 么至少需要多长时间才能将假山石淹没？ 【答案】5.8分钟 【分析】淹没假山石需要鱼缸内水位达到 30厘米。计算此时水的体积（长×宽×高－假山石体 积），再除以注水速度即可得到时间。注意单位统一为立方厘米。 【详解】50 35 30 300   52500 300  52200 （立方厘米） 9立方分米＝9000立方厘米 52200÷9000＝5.8（分钟） 答：至少需要 5.8分钟才能将假山石淹没。 【预测考点 01】切拼问题 把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了 0.8平 方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 第 25 页 共 40 页 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了 2个横截面的面积，先用 增加的表面积除以 2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式 V＝Sh，求出这根木 料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是 48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体 的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 1．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每 幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、15厘米 6厘米，请你算一 算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小；2280 平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这 4个长方体盒子的最大面，即（20×15） 这个面摞在一起，拼成一个长 20厘米、宽 15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长 方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的 20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要 2280 平方厘米的包装纸。 第 26 页 共 40 页 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求 解。 2．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了 56 平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加 2厘米后，增加了四个相同的宽为 2厘米的长方形的 面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方体的体积 ＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是 343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加 2厘米后， 增加了四个相同的宽为 2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 【预测考点 02】剪角折叠求体积问题 如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁 盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是 16－3×2＝10（厘米），高是 3厘米。长方 体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 第 27 页 共 40 页 答：这个铁盒的容积是 300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小正方形），盒 子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的高是去掉的小正方形的边长。 【对应练习】 一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如 图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【预测考点 03】等积变形问题 把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的长方体，这个长方 体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不 变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是 50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 【对应练习】 如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高 第 28 页 共 40 页 是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面 朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为 22厘米，宽变为 20厘米，根据长方体的体积公 式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是 14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【预测考点 04】排水法求不规则物体的体积 妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观 察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水 面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是 2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入物体，且物体 完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那部分水的体积。 第 29 页 共 40 页 【对应练习】 一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是 8分米、6分米、4分米，水深 2.8分米，现在 投入一块正方体铁块，铁块的棱长为 4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高 相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正 方体铁块的体积为 4×4×4，长方体空余部分体积为 8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列 式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出 6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分 空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【预测考点 05】求不规则或组合立体图形的表面积和体积 计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为 20厘米、20厘米、12厘米的长方体上 面切下一个长、宽、高分别为 20厘米、6厘米、4厘米的小长方体，算表面积可以用平移的方 第 30 页 共 40 页 法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个6 4 的面，求体积直接用大长方体体积减去 小长方体体积即可。 【详解】12 8 4  （厘米） 表面积：  20 20 20 12 20 12 2 6 4 2         1760 48  1712 （平方厘米） 体积： 20 20 12 20 6 4     4800 480  4320 （立方厘米） 【对应练习】 计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为 875立方厘米；表面积为 700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长 10厘米的正方体挖去一个棱长为 5厘米的正方体得到，根 据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体 4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： 10 10 10 5 5 5     1000 125  875 （立方厘米） 图形表面积为： 10 10 6 5 5 4     600 100  篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年8月2日晚 2025-2026学年六年级数学上册典型例题系列「2025秋」 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检RQ 基础层 £1.长方体和正方体的认识：基本含义、基本特征、表面展开图。 £2.长方体和正方体的表面积的含义以及计算公式。 £3.体积和容积的单位以及单位进率。 £4.长方体和正方体的体积的含义以及计算公式。 进阶层 £1.长方体和正方体的棱长的生活实际应用题。 £2.长方体和正方体的表面积的生活实际应用题。 £3.长方体和正方体的体积生活实际应用题。 拓展层 £1.表面积的变化问题。 £2.排水法求不规则物体的体积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 【知识点一】长方体的认识及特征 1. 长方体的定义。 由（6）个长方形（特殊情况有（两）个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有（6）个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有（12）条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的（长、宽、高）。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【知识点二】正方体的认识及特征 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 （正方体）是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【知识点三】长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【知识点四】正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【知识点五】长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=（长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4），用字母表示为（L=（a+b+h）×4）。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 【知识点六】正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=（12×棱长），用字母表示为（L=12a）。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【知识点七】长方体的表面积 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=（2×（长×宽+长×高+宽×高）），用字母表示为（S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh））。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【知识点八】正方体的表面积 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【知识点九】长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【知识点十】立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【知识点十一】体积和容积的认识 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：（立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)），1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：（升（L）、毫升（mL））。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【知识点十二】体积和容积的单位及进率 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=（1000）立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=（1000）毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【知识点十三】长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=（长×宽×高=底面积×高），用字母表示为（V=abh=S底×h）。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【知识点十四】正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=（棱长×棱长×棱长），用字母表示（V=a×a×a = a³），读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 【知识点十五】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的（n2）倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【知识点十六】剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【知识点十七】等积变形问题 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【知识点十八】排水法求不规则物体的体积 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十九】求不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【预测考点01】长方体和正方体的认识 1．长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的( )、( )、( )。 【答案】 8 12 3 3 完全相同 长 宽 高 【详解】长方体有8个顶点，12条棱，包含3组相对的棱，3组相对的面，相对的面完全相同，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。 2．正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到( )个面。 【答案】 6 12 8 3 【分析】正方体特征：有6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点；有12条棱且长度都相等。从不同的角度看正方体，最少能看到1个面，最多能看到3个面。据此解答。 【详解】正方体有6个面，12条棱，8个顶点，从不同的角度最多能看到3个面。 【对应练习】 1．一个正方体相对两个面上的数互为倒数，如图是它的展开图，A面上的数是( )，抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性( )。（填“大”“小”或“相等”） 【答案】 大 【分析】观察展开图，折成正方体后，A面与3面相对（通过空间想象，把展开图还原成正方体，可确定3和A是对面）。然后根据倒数的定义确定具体的数。 可能性大小与数量多少有关，数量越多，朝上的可能性越大；先确定整数面和分数面的数量。相对面情况：3和A（）相对、2和B相对、1和C相对。因为2的倒数是，所以B＝；1的倒数是1，所以C＝1。那么6个面的数分别是3（整数）、（分数）、2（整数）、（分数）、1（整数）、1（整数）。统计整数面和分数面数量：整数面有3、2、1、1，共4个；分数面有、，共2个。然后比较大小即可解答。 【详解】 所以A面上的数是。 整数面有3、2、1、1，共4个；分数面有、，共2个。 4＞2 A面上的数是，抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性大。 2．长方体和正方体都有( )个面，相对的面的面积都( )；都有( )条棱，相互平行的棱的长度都( )；都有( )个顶点。 【答案】 6 相等 12 相等 8 【详解】 长方体和正方体都有6个面，相对的面的面积都相等，都有12条棱，相互平行的棱的长度都相等，都有8个顶点。 【预测考点02】长方体和正方体的表面积 1．一个长4分米，宽2分米，高4分米的长方体，它的占地面积最大是( )，它的表面积是( )。 【答案】 16平方分米 64平方分米 【分析】求它占地面积就是求的底面积，当以长4分米、高4分米为底面时的占地面积最大，根据长方形的面积＝长×宽，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2解答。 【详解】4×4＝16（平方分米） （4×2＋2×4＋4×4）×2 ＝（8＋8＋16）×2 ＝（16＋16）×2 ＝32×2 ＝64（平方分米） 所以占地面积最大是16平方分米，表面积是64平方分米。 2．用长36厘米长的铁丝做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】54 【分析】正方体有12条长度相等的棱，用36厘米长的铁丝做正方体框架，意味着铁丝总长等于正方体12条棱的长度之和。因此，正方体的棱长＝铁丝总长÷12，即：36÷12＝3（厘米）。正方体的表面积公式为：S＝6a2（a为棱长）。把棱长3厘米代入公式计算即可。 【详解】正方体有12条长度相等的棱。 36÷12＝3（厘米） 6×32 ＝6×9 ＝54（平方厘米） 这个正方体的表面积是54平方厘米。 【对应练习】 1．将一个长10cm、宽5cm、高15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴），需要( )cm2的商标纸。 【答案】450 【分析】上、下面不贴，求商标纸的面积相当于求前、后、左、右，4个面的面积和，商标纸的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答。 【详解】10×15×2＋5×15×2 ＝300＋150 ＝450（cm2） 需要450cm2的商标纸。 2．一个长方体的棱长之和是68cm，它的长是8cm，宽是5cm，高是( )cm，这个长方体的表面积( )cm2。 【答案】 4 184 【分析】已知长方体的棱长之和是68cm，长是8cm，宽是5cm，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出这个长方体的高； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】68÷4－8－5 ＝17－8－5 ＝4（cm） （8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（cm2） 高是（4）cm，这个长方体的表面积（184）cm2。 【预测考点03】体积和容积单位及换算 在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是50立方米 ； 一瓶墨水约60毫升； 一块橡皮的体积约是6立方厘米； 小轿车油箱的容积约45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 【对应练习】 1．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一瓶矿泉水的体积约500毫升；一间教室的空间约200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1dm2＝100cm2，用3290÷100即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1L＝1000mL，用409×1000即可，根据1m3＝1000L，则用409÷1000即可；根据1m3＝1000dm3，把7508拆成7000＋508，然后用7000÷1000即可；根据1m3＝1000L，则0.09×1000即可，根据1m3＝1000000mL，用0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 【预测考点04】长方体和正方体的体积 做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为3.5分米的正方形，高5分米，做这个水桶至少需要( )平方分米的铁皮，最多可盛水( )升。 【答案】 82.25 61.25 【分析】水桶是无盖的，底面是边长为3.5分米的正方形，说明水桶的前面、后面、左面和右面是相同的。所以，根据“底面边长×底面边长＋底面边长×高×4”可求出做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮。长方体容积＝底面积×高，代入数据求出长方体的容积，再根据1平方分米＝1升，将单位换算成升数即可。 【详解】3.5×3.5＋3.5×5×4 ＝12.25＋70 ＝82.25（平方分米） 3.5×3.5×5＝61.25（立方分米） 61.25立方分米＝61.25升 所以做这个水桶至少需要82.25平方分米的铁皮，最多可盛水61.25升。 【对应练习】 1．一个长方体长6.2cm，宽4cm，高3cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，它的表面积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 【答案】 52.8 110.8 74.4 【分析】长方体长6.2cm，宽4cm，高3cm，棱长总和公式为：长方体棱长总和＝4×（长＋宽＋高）；表面积公式为：长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）；体积公式为：长方体体积＝长×宽×高。把数据分别代入公式计算即可。 【详解】棱长总和： 4×（6.2＋4＋3） ＝4×13.2 ＝52.8（cm） 表面积： 2×（6.2×4＋6.2×3＋4×3） ＝2×（24.8＋18.6＋12） ＝2×55.4 ＝110.8（cm2） 体积：6.2×4×3＝74.4（cm3） 这个长方体的棱长总和是52.8cm，它的表面积是110.8cm2，它的体积是74.4cm3。 2．一根铁丝正好可以围成一个棱长是8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3；若将这根铁丝改围成一个长10cm，宽8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 512 376 480 【分析】铁丝长度等于正方体的棱长之和即棱长的12倍；正方体体积＝棱长×棱长×棱长。长方体棱长之和等于长宽高和的4倍，先求出长方体的高；长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），长方体体积＝长×宽×高，据此代入数据解答。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 8×12÷4－10－8 ＝24－10－8 ＝6（cm） 2×（10×8＋10×6＋8×6） ＝2×（80＋60＋48） ＝2×188 ＝376（cm2） 10×8×6 ＝80×6 ＝480（cm3） 故围成的正方体的体积是512 cm3，围成的长方体的表面积是376cm2，体积是480cm3。 【预测考点01】长方体和正方体的棱长和问题 五月初，杭州各地茶农忙于采摘售卖茶叶。小聪正在打包一个茶叶礼盒（如下图），打结处用了13厘米长的绸带。打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ 【答案】95厘米 【分析】观察图形可知，打包这个长方体茶叶礼盒的绸带长度，包括2条长、2条宽、4条高，再加上打结处的13厘米；已知该长方体茶叶礼盒长15厘米、宽10厘米、高8厘米，分别算出2条长（15×2）、2条宽（10×2）、4条高（8×4）的长度，再加上打结处长度13厘米，求和即可计算出所需绸带的长度。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋13 ＝30＋20＋32＋13 ＝50＋32＋13 ＝82＋13 ＝95（厘米） 答：打包这个茶叶礼盒至少需要用95厘米长的绸带。 【对应练习】 1．母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 【答案】135厘米 【分析】观察图形可知，彩带的长度由2条长，2条宽，4条高和打结处的长度组成，即：彩带总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25。已知礼物的长为20厘米，宽为15厘米，高为10厘米，打结处为25厘米，把数据代入计算即可解答。 【详解】20×2＋15×2＋10×4＋25 ＝40＋30＋40＋25 ＝135（厘米） 答：至少需要135厘米的彩带。 2．一捆彩带长10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长23厘米，那么这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 【答案】8个 【分析】一个礼盒需要的彩带长度＝礼盒的长×2＋宽×2＋高×4＋接头处的长度；再用彩带的总长度÷一个礼盒需要彩带的长度，即可解答，注意单位名数的换算，结果用“去尾法”解答。 【详解】18×2＋12×2＋10×4＋23 ＝36＋24＋40＋23 ＝60＋40＋23 ＝100＋23 ＝123（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷123≈8（个） 答：这捆彩带最多可以捆扎8个这样的礼盒。 【预测考点02】长方体和正方体的表面积问题 育红小学要粉刷一个新教室的四周墙壁和顶棚。已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，扣除门窗的面积是11.4平方米。如果每平方米要花8元涂料费，粉刷这个教室需要花多少元？ 【答案】964.8元 【分析】教室是一个长方体，要粉刷四周墙壁和顶棚，也就是求这个长方体除了底面之外的5个面的面积之和，再扣除门窗的面积。即：粉刷面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗面积，已知教室的长是8米，宽是6米，高是3米，门窗面积11.4平方米，把数据代入计算后再乘8即可得出粉刷这个教室需要的金额。 【详解】8×6＋（8×3＋6×3）×2－11.4 ＝8×6＋（24＋18）×2－11.4 ＝8×6＋42×2－11.4 ＝48＋84－11.4 ＝120.6（平方米） 120.6×8＝964.8（元） 答：粉刷这个教室需要花964.8元。 【对应练习】 1．一个长方体木箱，长12分米，宽8分米，高6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不涂），如果每平方分米用油漆0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 【答案】89千克 【分析】底面不涂，需要计算五个面的面积之和，用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出需要涂油漆的面积，再将这个面积乘0.25，求出涂这个木箱要用油漆多少千克。 【详解】12×8＋12×6.5×2＋8×6.5×2 ＝96＋156＋104 ＝356（平方分米） 356×0.25＝89（千克） 答：涂这个木箱要用油漆89千克。 2．文文给妹妹买了一个小闹钟，装闹钟的盒子长12厘米，宽6厘米，高18厘米。为了美观，文文打算把盒子贴上彩纸后再送给妹妹，贴满这个盒子表面需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】792平方厘米 【分析】求彩纸的面积相当于求长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可。 【详解】（12×6＋12×18＋6×18）×2 ＝（72＋216＋108）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） 答：贴满这个盒子表面需要792平方厘米的彩纸。 【预测考点03】长方体和正方体的体积问题 一块长方体石材长9分米，宽3分米，高5分米，如果每立方分米石材重3.2千克，这块石材重多少千克？ 【答案】432千克 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，先求出石材的体积，石材的体积×每立方分米质量＝这块石材的重量，据此列式解答。 【详解】9×3×5×3.2 ＝135×3.2 ＝432（千克） 答：这块石材重432千克。 【对应练习】 1．有一堆150立方米的沙石，把它铺在10米宽的长方形公路上，铺3厘米厚，能铺多少米？ 【答案】500米 【分析】已知沙石的体积为150立方米，沙石体积不变，根据长方体的体积公式：（其中是长，是宽，是高），因为1米＝100厘米，再将3厘米换算成米，代入数值即可求解。 【详解】（米） 长方形公路的厚度： （米） 答：能铺500米。 2．一个无水的长方体鱼缸，从里面量长50厘米，宽35厘米，高45厘米，里面放有一块高是30厘米，体积是300立方厘米的假山石，如果以每分钟9立方分米的速度向鱼缸内注水，那么至少需要多长时间才能将假山石淹没？ 【答案】5.8分钟 【分析】淹没假山石需要鱼缸内水位达到30厘米。计算此时水的体积（长×宽×高－假山石体积），再除以注水速度即可得到时间。注意单位统一为立方厘米。 【详解】 （立方厘米） 9立方分米＝9000立方厘米 52200÷9000＝5.8（分钟） 答：至少需要5.8分钟才能将假山石淹没。 【预测考点01】切拼问题 把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了2个横截面的面积，先用增加的表面积除以2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。 【对应练习】 1．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这4个长方体盒子的最大面，即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 2．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 【预测考点02】剪角折叠求体积问题 如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是16－3×2＝10（厘米），高是3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的高是去掉的小正方形的边长。 【对应练习】 一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【预测考点03】等积变形问题 把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 【对应练习】 如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【预测考点04】排水法求不规则物体的体积 妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那部分水的体积。 【对应练习】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为4×4×4，长方体空余部分体积为8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【预测考点05】求不规则或组合立体图形的表面积和体积 计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为20厘米、20厘米、12厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为20厘米、6厘米、4厘米的小长方体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。 【详解】（厘米） 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 【对应练习】 计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： （立方厘米） 图形表面积为： （平方厘米） 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在括号里填上合适的单位名称。 一台冰箱容积约为240( )；一间教室的面积约为72( )； 一个集装箱的体积约是60( )；一个文具盒的体积约是0.4( )。 【答案】 升/L 平方米/m2 立方米/m3 立方分米/dm3 【分析】根据生活经验以及数据的大小可知：两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量一台冰箱容积用“升”作单位比较合适。16张A4纸的面积为1平方米，所以计量教室的占地面积用“平方米”作单位比较合适。1台洗衣机的体积约1立方米，所以计量集装箱的体积用立方米比较合适。1个粉笔盒的体积约1立方分米，所以计量文具的体积用立方分米比较合适。 【详解】一台冰箱容积约为240升；一间教室的面积约为72平方米； 一个集装箱的体积约是60立方米；一个文具盒的体积约是0.4立方分米。 2．（2024·江苏宿迁·期末）32厘米＝( )米          4.07立方米＝( )立方分米 天＝( )时              150000平方米＝( )公顷＝( )平方千米 【答案】 0.32/ 4070 9 15 0.15/ 【分析】32厘米换算成米：因为1米＝100厘米，将厘米换算成米是低级单位向高级单位换算，要除以进率100。 4.07立方米换算成立方分米：因为1立方米＝1000立方分米，将立方米换算成立方分米是高级单位向低级单位换算，要乘进率1000。 天换算成时因为1天＝24时，将天换算成时是高级单位向低级单位换算，要乘进率24。 150000平方米换算成公顷：因为1公顷＝10000平方米，将平方米换算成公顷是低级单位向高级单位换算，要除以进率10000。公顷换算成平方千米，因为1平方千米＝100公顷，将公顷换算成平方千米是低级单位向高级单位换算，要除以进率100。 【详解】1米＝100厘米 32÷100＝0.32（米）（也可以写成分数形式） 32厘米＝0.32（或）米 1立方米＝1000立方分米 4.07×1000＝4070（立方分米） 4.07立方米＝4070立方分米 1天＝24时 ×24＝9（时） 天＝9时 1公顷＝10000平方米 150000÷10000＝15（公顷） 1平方千米＝100公顷 15÷100＝0.15（平方千米）（也可以写成分数形式） 150000平方米＝15公顷＝0.15（或）平方千米 3．（2024·全国·专题练习）一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是( )。 【答案】爱 【分析】结合3种摆放情况可知，“南”对面不可能“小”，“活”、“狮”、“生”，所以“南”对面是“爱”，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是“爱”。 4．（2024·全国·课后作业）把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 56 24 【分析】拼成的长方体的长是2×3＝6分米，宽是2分米，高是2分米的长方体；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】拼成的长方体的长：2×3＝6（分米），宽是2分米，高是2分米。 （6×2＋6×2＋2×2）×2 ＝（12＋12＋4）×2 ＝（24＋4）×2 ＝28×2 ＝56（平方分米） 6×2×2 ＝12×2 ＝24（立方分米） 把3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是56平方分米，体积是24立方分米。 5．（2024·安徽六安·期末）小明把一个长方体药盒撕开了，如图是撕开后剩余的部分。这个药盒的体积是( )立方厘米。 【答案】240 【分析】由图可知，长方体药盒长8厘米、宽3厘米、高10厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出这个药盒的体积。 【详解】8×3×10 ＝24×10 ＝240（立方厘米） 所以这个药盒的体积是240立方厘米。 6．（2024·江苏盐城·期末）王叔叔从4根1米，6根1.2米和6根8分米的铝合金条中，选了12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台6个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 【答案】 12 5.92 【分析】根据长方体的特点，长、宽、高各有4条，即选在4根1米为长，4根1.2米为宽，4根8分米为高，再根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4；注意单位换算，将8分米换算成以米作单位，即低级单位转化为高级单位用除以两个单位之间的进率，1米＝10分米。 给这个柜台6个面安装玻璃，就是求这个长方体的表面积，根据代入公式计算即可 【详解】8分米＝0.8米 （1＋1.2＋0.8）×4 ＝3×4 ＝12（米） 做这个柜台一共用了12米。 （1×1.2＋1×0.8＋1.2×0.8）×2 ＝（1.2＋0.8＋0.96）×2 ＝2.96×2 ＝5.92（平方米） 则至少需要5.92平方米。 二、选择题。 7．（2024·江苏苏州·期末）有一个长26厘米、宽18厘米、高0.6厘米的物体，它可能是( )。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 【答案】A 【分析】生活中1厘米大约是拇指盖的宽度，根据生活中常见到的物品大小判断每个选项的物品大小是否符合题意，据此解答。 【详解】A．数学书是长方体形状的，长和宽（26厘米×18厘米）符合常见课本尺寸，高0.6厘米虽略薄，但可能是较薄教材或练习册的厚度，符合题意； B．橡皮各种形状都有，尺寸通常较小，如果是长方体形状，长宽高一般都得在5厘米以内，不符合题意； C．新华字典是长方体形状的，但是较厚，实际尺寸一般更小，长约15厘米左右，厚度约4~5厘米，与题目中的高0.6厘米矛盾，不符合题意； D．黑板擦的背面是长方体，其长大约十几厘米、宽5厘米左右，厚度1厘米左右，不符合题意。 故答案为：A 8．（2024·江苏连云港·期中）下列图形中，( )图形沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】A．该展开图属于“1-3-2”结构，正确； B．该展开图属于“1-4-1”结构，正确； C．该展开图不属于展开图，错误； D．该展开图属于“3-3”结构，正确； 故答案为：C 9．（2024·江苏苏州·期末）如果把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加( )平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 【答案】C 【分析】分析题目，把长方体的高增加2厘米，则表面积增加2个长是a厘米宽是2厘米和2个长是b厘米宽是2厘米的长方形的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽列式计算即可。 【详解】a×2×2＋b×2×2 ＝2a×2＋2b×2 ＝4a＋4b ＝4（a＋b）（平方厘米） 如果把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加4（a＋b）平方厘米。 故答案为：C 10．（2024·江苏宿迁·期末）一张长方形纸板长80厘米，宽15厘米，把它对折再对折，打开后围成一个高15厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是( )平方厘米。 A．160 B．225 C．450 D．400 【答案】D 【分析】根据题意可知，把长方形纸板对折再对折，打开后围成一个高15厘米的长方体纸盒的侧面积，则这个长方体的底面的长和宽相同，是个正方形，已知高为15厘米，则底面周长等于长方形纸板的长，即是80厘米，用80÷4，即可求出底面的边长，最后根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求解即可。 【详解】80÷4＝20（厘米） 20×20＝400（平方厘米） 一张长方形纸板长80厘米，宽15厘米，把它对折再对折，打开后围成一个高15厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面的面积是400平方厘米。 故答案为：D 三、计算题。 11．（2024·广西防城港·期末）求下面正方体的体积和表面积。 【答案】27立方厘米； 54平方厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入相关数据计算即可。 【详解】 ＝9×3 （立方厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 体积是27立方厘米，表面积是54平方厘米。 四、作图题。 12．（2024·山西临汾·期末）下面是一个长方体的前面，左面和下面的展开图。画出展开图的另外三个面，并标出名称。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形，相对的面的面积相等，由题意可知，图中给出了3个不相对的面，即下面、前面和左面，上面和下面是完全相同的长方形，后面和前面是完全相同的长方形，右面和左面是完全相同的长方形，据此结合展开的三个面的位置画出上面、右面、后面即可。 【详解】画图如下： 五、解答题。 13．（2024·江苏扬州·期末）儿童乐园新建一个嬉水池，从里面量长是40米，宽是25米，深1.2米。 （1）在嬉水池内的四周和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）在池中放水后，水面离池口40厘米，嬉水池中有水多少吨？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）1156平方米 （2）800吨 【分析】（1）贴瓷砖的区域是水池的内壁和底部，不包括顶部（因为顶部不需要贴瓷砖），因此需要计算长方体5个面的总面积（底面＋四个侧面积），根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出贴瓷砖的面积。 （2）40厘米＝0.4米，先用水池的总深度减去水面到池口的距离，求出水的深度，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；因为每立方米水重1吨，用水的体积乘1，即可求出嬉水池中有水多少吨，据此解答。 【详解】（1）40×25＋40×1.2×2＋25×1.2×2 ＝1000＋96＋60 ＝1156（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1156平方米。 （2）40厘米＝0.4米 40×25×（1.2－0.4） ＝40×25×0.8 ＝800（立方米） 800×1＝800（吨） 答：嬉水池中有水800吨。 14．（2024·广西防城港·期末）“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】10725平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方形的面积＝长×宽，需要纸板的面积＝长方体的表面积－长方形的面积，据此解答。 【详解】（40×30＋40×60＋30×60）×2－5×15 ＝（1200＋2400＋1800）×2－5×15 ＝5400×2－5×15 ＝10800－75 ＝10725（平方厘米） 答：制作这样一个募捐箱至少需要10725平方厘米的纸板。 15．（2024·安徽六安·期末）一个正方体容器，棱长20厘米，里面注有18厘米深的水。如果把一块棱长为10厘米的正方体铁块浸入水中，水会溢出来吗？如果有水溢出，求溢出水的体积。 【答案】水会溢出来；200立方厘米 【分析】根据题意可知：水面离容器口的距离是20－18＝2厘米。用棱长×棱长×水面离容器口的距离，求出容器空余容积，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块体积，比较即可判断。溢出水的体积＝正方体的体积－容器空余容积，即可解答 【详解】20×20×（20－18） ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 800＜1000 1000－800＝200（立方厘米） 答：水会溢出来，溢出水的体积是200立方厘米。 16．（2024·安徽蚌埠·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长18厘米，宽12厘米，高40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1728立方厘米 【分析】根据题意，把一块石头浸没在一个长方体透明容器中，水面由20厘米升高到28厘米，上升了（28－20）厘米，那么水上升部分的体积就是这块石头的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这块石头的体积。 【详解】18×12×（28－20） ＝18×12×8 ＝216×8 ＝1728（立方厘米） 答：这块石头的体积是1728立方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 24 页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为 A卷·基础达标卷和 B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第 5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 8 月 2 日晚 第 2 页 共 24 页 2025-2026 学年六年级数学上册典型例题系列「2025 秋」 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【五大篇章】 问题层级 快速自检 基础层 1.长方体和正方体的认识：基本含义、基本特征、表面展开图。 2.长方体和正方体的表面积的含义以及计算公式。 3.体积和容积的单位以及单位进率。 4.长方体和正方体的体积的含义以及计算公式。 进阶层 1.长方体和正方体的棱长的生活实际应用题。 2.长方体和正方体的表面积的生活实际应用题。 3.长方体和正方体的体积生活实际应用题。 拓展层 1.表面积的变化问题。 2.排水法求不规则物体的体积。 我的疑难问题 1. 2. 3. 第 3 页 共 24 页 【知识点一】长方体的认识及特征 1. 长方体的定义。 由（ ）个长方形（特殊情况有（ ）个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有（ ）个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有（ ）条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 第 4 页 共 24 页 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的（ ）。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【知识点二】正方体的认识及特征 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为 棱。 第 5 页 共 24 页 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区 别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 （ ）是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【知识点三】长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3个面，上一行 2个面，下一行 1个面，共有 18种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三 个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第 6 页 共 24 页 【知识点四】正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 第 7 页 共 24 页 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三 一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【知识点五】长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=（ ），用字母表示为（ ）。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化 计算步骤。 【知识点六】正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=（ ），用字母表示为（ ）。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【知识点七】长方体的表面积 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或特殊情况下 含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=（ ），用字母表示为（ ）。 第 8 页 共 24 页 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注 意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、 方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 【知识点八】正方体的表面积 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况，例如：无盖 正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 【知识点九】长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应 增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方 形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； 第 9 页 共 24 页 ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化， 在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1） 刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少 四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 【知识点十】立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的 数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面的小正方体数 量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 第 10 页 共 24 页 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【知识点十一】体积和容积的认识 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：（ ），1立方厘 米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：（ ）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【知识点十二】体积和容积的单位及进率 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的卧室）、冰箱 外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微波炉的容积、 小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 第 11 页 共 24 页 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、 口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分 米等。 4. 体积单位间的进率。 1立方米=（ ）立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率。 1升=（ ）毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【知识点十三】长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=（ ），用字母表示为（ ）。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【知识点十四】正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=（棱长×棱长×棱长），用字母表示（V=a×a×a = a³），读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a相乘。 第 12 页 共 24 页 【知识点十五】长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系。 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的（n2）倍。 例如： 棱长扩大 3倍，表面积扩大 32=9倍； 棱长扩大 10倍，表面积扩大 102=100倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系。 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【知识点十六】剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【知识点十七】等积变形问题 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场 景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 第 13 页 共 24 页 【知识点十八】排水法求不规则物体的体积 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本 质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十九】求不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形 的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 第 14 页 共 24 页 【预测考点 01】长方体和正方体的认识 1．长方体有( )个顶点，( )条棱，包含( )组相对的棱，( )组 相对的面，相对的面( )，相交于同一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的 ( )、( )、( )。 2．正方体有( )个面，( )条棱，( )个顶点，从不同的角度最多能看到 ( )个面。 【对应练习】 1．一个正方体相对两个面上的数互为倒数，如图是它的展开图，A面上的数是( )， 抛起这个正方体，落下后整数朝上的可能性比分数朝上的可能性( )。（填“大”“小”或“相 等”） 2．长方体和正方体都有( )个面，相对的面的面积都( )；都有( )条棱， 相互平行的棱的长度都( )；都有( )个顶点。 【预测考点 02】长方体和正方体的表面积 1．一个长 4分米，宽 2分米，高 4分米的长方体，它的占地面积最大是( )，它的表 面积是( )。 2．用长 36厘米长的铁丝做成一个正方体框架（接头处忽略不计），这个正方体的表面积是 ( )平方厘米。 第 15 页 共 24 页 【对应练习】 1．将一个长 10cm、宽 5cm、高 15cm的长方体饼干盒四周都贴上商标纸（上、下面不贴）， 需要( )cm2的商标纸。 2．一个长方体的棱长之和是 68cm，它的长是 8cm，宽是 5cm，高是( )cm，这个长方 体的表面积( )cm2。 【预测考点 03】体积和容积单位及换算 在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 【对应练习】 1．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 2．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 【预测考点 04】长方体和正方体的体积 做一个无盖的长方体铁皮水桶，底面是边长为 3.5分米的正方形，高 5分米，做这个水桶至少 需要( )平方分米的铁皮，最多可盛水( )升。 【对应练习】 1．一个长方体长 6.2cm，宽 4cm，高 3cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，它的表面 积是( )cm2，它的体积是( )cm3。 2．一根铁丝正好可以围成一个棱长是 8cm的正方体，围成的正方体的体积是( )cm3； 若将这根铁丝改围成一个长 10cm，宽 8cm的长方体，围成的长方体的表面积是( )cm2， 体积是( )cm3。 第 16 页 共 24 页 【预测考点 01】长方体和正方体的棱长和问题 五月初，杭州各地茶农忙于采摘售卖茶叶。小聪正在打包一个茶叶礼盒（如下图），打结处用 了 13厘米长的绸带。打包这个茶叶礼盒至少需要用多少厘米长的绸带？ 【对应练习】 1．母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩 带？（打结处用了 25厘米） 2．一捆彩带长 10米，现在要捆扎一种礼盒（如下图）。如果打结处的彩带长 23厘米，那么 这捆彩带最多可以捆扎几个这样的礼盒？ 第 17 页 共 24 页 【预测考点 02】长方体和正方体的表面积问题 育红小学要粉刷一个新教室的四周墙壁和顶棚。已知教室的长是 8米，宽是 6米，高是 3米， 扣除门窗的面积是 11.4平方米。如果每平方米要花 8元涂料费，粉刷这个教室需要花多少元？ 【对应练习】 1．一个长方体木箱，长 12分米，宽 8分米，高 6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不 涂），如果每平方分米用油漆 0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 2．文文给妹妹买了一个小闹钟，装闹钟的盒子长 12厘米，宽 6厘米，高 18厘米。为了美观， 文文打算把盒子贴上彩纸后再送给妹妹，贴满这个盒子表面需要多少平方厘米的彩纸？ 【预测考点 03】长方体和正方体的体积问题 一块长方体石材长 9分米，宽 3分米，高 5分米，如果每立方分米石材重 3.2千克，这块石材 重多少千克？ 【对应练习】 1．有一堆 150立方米的沙石，把它铺在 10米宽的长方形公路上，铺 3厘米厚，能铺多少米？ 第 18 页 共 24 页 2．一个无水的长方体鱼缸，从里面量长 50厘米，宽 35厘米，高 45厘米，里面放有一块高是 30厘米，体积是 300立方厘米的假山石，如果以每分钟 9立方分米的速度向鱼缸内注水，那 么至少需要多长时间才能将假山石淹没？ 【预测考点 01】切拼问题 把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了 0.8平 方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【对应练习】 1．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每 幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、15厘米 6厘米，请你算一 算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 2．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了 56 平方厘米。求原来正方体的体积。 第 19 页 共 24 页 【预测考点 02】剪角折叠求体积问题 如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁 盒，这个铁盒的容积是多少？ 【对应练习】 一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如 图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【预测考点 03】等积变形问题 把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的长方体，这个长方 体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 第 20 页 共 24 页 【对应练习】 如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高 是多少厘米？ 【预测考点 04】排水法求不规则物体的体积 妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观 察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 第 21 页 共 24 页 【预测考点 05】求不规则或组合立体图形的表面积和体积 计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【对应练习】 计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 第 22 页 共 24 页 一、填空题。 1．（2024·安徽六安·期末）在括号里填上合适的单位名称。 一台冰箱容积约为 240( )；一间教室的面积约为 72( )； 一个集装箱的体积约是 60( )；一个文具盒的体积约是 0.4( )。 2．（2024·江苏宿迁·期末）32厘米＝( )米 4.07立方米＝( )立方分米 3 8天＝( )时 150000平方米＝( )公顷＝( )平方千米 3．（2024·全国·专题练习）一个正方体木块六个面上分别写上小、南、狮、爱、生、活这六 个汉字。从不同角度看这个正方体，如图所示，通过推断可知“南”的对面是( )。 4．（2024·全国·课后作业）把 3个棱长 2分米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是 ( )平方分米，体积是( )立方分米。 5．（2024·安徽六安·期末）小明把一个长方体药盒撕开了，如图是撕开后剩余的部分。这个 药盒的体积是( )立方厘米。 6．（2024·江苏盐城·期末）王叔叔从 4根 1米，6根 1.2米和 6根 8分米的铝合金条中，选了 12根焊了一个长方体柜台框架，做这个柜台一共用了( )米的铝合金条。给这个柜台 6 个面安装玻璃，至少需要( )平方米玻璃。 二、选择题。 7．（2024·江苏苏州·期末）有一个长 26厘米、宽 18厘米、高 0.6厘米的物体，它可能是( )。 A．数学书 B．橡皮 C．新华字典 D．黑板擦 8．（2024·江苏连云港·期中）下列图形中，( )图形沿虚线折叠后不能围成正方体。 第 23 页 共 24 页 A． B． C． D． 9．（2024·江苏苏州·期末）如果把一个长、宽、高分别是 a厘米、b厘米、h厘米的长方体的 高增加 2厘米，那么这个长方体的表面积会增加( )平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 10．（2024·江苏宿迁·期末）一张长方形纸板长 80厘米，宽 15厘米，把它对折再对折，打开 后围成一个高 15厘米的长方体纸箱的侧面。如果要为这个长方体纸箱配一个底面，这个底面 的面积是( )平方厘米。 A．160 B．225 C．450 D．400 三、计算题。 11．（2024·广西防城港·期末）求下面正方体的体积和表面积。 四、作图题。 12．（2024·山西临汾·期末）下面是一个长方体的前面，左面和下面的展开图。画出展开图的 另外三个面，并标出名称。 五、解答题。 13．（2024·江苏扬州·期末）儿童乐园新建一个嬉水池，从里面量长是 40米，宽是 25米，深 1.2米。 （1）在嬉水池内的四周和底部贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 第 24 页 共 24 页 （2）在池中放水后，水面离池口 40厘米，嬉水池中有水多少吨？（每立方米水重 1吨） 14．（2024·广西防城港·期末）“一方有难，八方支援”某社区居民发起为灾区捐款的活动，需 要制作一个长方体募捐箱（如图，单位：厘米），在它上面挖一个长方形的口，制作这样一个 募捐箱至少需要多少平方厘米的纸板？ 15．（2024·安徽六安·期末）一个正方体容器，棱长 20厘米，里面注有 18厘米深的水。如果 把一块棱长为 10厘米的正方体铁块浸入水中，水会溢出来吗？如果有水溢出，求溢出水的体 积。 16．（2024·安徽蚌埠·期末）安安为了测量一块不规则石头的体积，进行了以下操作。 ①准备一个长方体透明容器，从里面量得长 18厘米，宽 12厘米，高 40厘米。 ②倒入适量的水，水面高度为 20厘米。 ③将石头浸没在水中，量出水面高度为 28厘米。 这块石头的体积是多少立方厘米？