专题4.6 图形的位似（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.6 图形的位似 教学目标 1. 了解位似图形及其相关概念，明晰位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质，如对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离之比等于位似比 。 2. 熟练掌握位似图形的画法，能够依据给定的位似比，将一个图形放大或缩小 。 3. 探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时位似图形对应点坐标的变化规律 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解位似图形的有关概念，包括位似中心、位似比等，以及位似图形的性质 。 （2）熟练掌握位似图形的作图方法，能准确根据要求作出位似图形 。 2.难点 （1）灵活运用位似图形的性质，将一个图形按要求放大或缩小，特别是在解决复杂图形和实际问题时 。 （2）深入理解在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标变化规律的原理，并能正确应用于解题和作图 。 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： （1）位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； （2）两个位似图形的位似中心只有一个； （3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； （4）位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； （5）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 （6）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即学即练1-1】如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练1-2】在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【即学即练1-3】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 【即学即练1-4】．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 题型01 位似图形的识别 【典例1】下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【变式2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 确定位似中心 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型03 由位似图形的性质判断结论正误 【典例3】按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形，位似中心为 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【变式1】如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【变式3】如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C．是的中位线 D． 题型04 求位似图形的相似比 【典例4】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在上，若，则 ． 【变式1】如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 【变式2】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 题型05 求位似图形的线段长度 【典例5】如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【变式1】如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知、两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小后得到线段，则的长度等于 ． 题型06 求位似图形的周长 【典例6】已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 【变式1】如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    【变式2】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，若，则和的周长比为 题型07 求位似图形的面积 【典例7】如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为，则的面积为 ． 【变式1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 【变式2】如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 【变式3】如图所示，四边形与四边形位似，位似中心为点O，若，则 ． 【变式4】《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是 ． 题型08 求位似图形的坐标 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与位似，点是位似中心，且．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【变式2】在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 题型09 画位似图形 【典例9】如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． (1)以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：______． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【变式3】已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； (2)的面积为_________． (3)若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.6 图形的位似 教学目标 1. 了解位似图形及其相关概念，明晰位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质，如对应顶点连线过位似中心，对应点到位似中心距离之比等于位似比 。 2. 熟练掌握位似图形的画法，能够依据给定的位似比，将一个图形放大或缩小 。 3. 探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心时位似图形对应点坐标的变化规律 。 教学重难点 1.重点 （1）透彻理解位似图形的有关概念，包括位似中心、位似比等，以及位似图形的性质 。 （2）熟练掌握位似图形的作图方法，能准确根据要求作出位似图形 。 2.难点 （1）灵活运用位似图形的性质，将一个图形按要求放大或缩小，特别是在解决复杂图形和实际问题时 。 （2）深入理解在平面直角坐标系中，位似图形对应点坐标变化规律的原理，并能正确应用于解题和作图 。 知识点01 图形的位似变换 1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： （1）位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； （2）两个位似图形的位似中心只有一个； （3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； （4）位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； （5）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 （6）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【即学即练1-1】如图，已知与位似，点为位似中心，，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似图形的性质判断解答即可，掌握位似的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与位似，点为位似中心， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵与位似，点为位似中心， ∴， ∴，原选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【即学即练1-2】在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，与的顶点都在正方形网格的格点上，且与为位似图形，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键． 连接、，并延长交于一点，交点即为所求． 【详解】解：如图，    连接、，并延长交于一点，点即为所求．由网格图形可知，点的坐标为． 故答案为：． 【即学即练1-3】如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 【即学即练1-4】．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：． (1)作出关于x轴对称的图形； (2)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使它与的相似比是； (3)若是线段上一点，则点M的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于x轴对称的图形； （2）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出缩小后的图形； （3）依据原点O为位似中心，位似比为，即可得出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵原点O为位似中心，位似比为， ∴点的对应点的坐标为， 故答案为：． 题型01 位似图形的识别 【典例1】下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 【变式1】方框中的两个图形不是位似图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换的知识，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选：D． 【变式2】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 题型02 确定位似中心 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 【变式1】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 【变式2】如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，据此即可求解． 此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上是解题关键． 【详解】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点A、B为对应点， ∴位似中心在A、B所在的直线上， ∵点D在直线上， ∴点D为位似中心． 故选：D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 题型03 由位似图形的性质判断结论正误 【典例3】按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（   ） A．与是位似图形，位似中心为 B．与相似 C．与的面积之比为 D．与的周长之比为 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，位似中心为，故本选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； C、∵将的三边缩小为原来的， 与的相似比为， ∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意； D、由上可知与的周长之比等于相似比，即为，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到，下列说法中错误的是（   ） A． B． C．点，，三点在同一条直线上 D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质“1、位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；2、位似图形对应点连线交于一点；3、位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；4、位似图形是相似图形”，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．根据位似图形的性质即可得选项A、B、C正确；先判断出，，再根据相似三角形的性质即可判断选项D错误． 【详解】解：∵以点为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，点、、三点在同一条直线上，，；则选项B和C正确； ∴，，则选项A正确；选项D错误； 故选：D． 【变式2】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （　　） A．点 的坐标为 B． C． 与 的周长之比为 D． 与 的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 、点的坐标为，原选项正确，不符合题意； 、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意； 、∵与的位似比为， ∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意； 故选：． 【变式3】如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C．是的中位线 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，，，， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线，故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意， 故选：D． 题型04 求位似图形的相似比 【典例4】如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形的性质．首先得到，然后根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，，，且，则与是位似图形，与的位似比为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴,， ∴与的位似比为， 故答案为：． 【变式2】如图所示，与位似，点为位似中心，若与的面积比，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，位似中心与对应点连线之比等于位似比，据此即可求解； 【详解】解：∵与的面积比， ∴与的位似比为， ∴， 故答案为： 题型05 求位似图形的线段长度 【典例5】如图，与是位似图形，点为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为：6． 【变式1】如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为，若，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，位似比为， ， ， ， 故答案为： 12． 【变式2】在平面直角坐标系中，已知、两点，以坐标原点O为位似中心，相似比为，把线段缩小后得到线段，则的长度等于 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了勾股定理和位似变换的知识，先根据勾股定理算出，再根据对应线段成比例计算即可． 【详解】解：∵、， ∴， 又相似比为， ∴， ∴． 故答案为． 题型06 求位似图形的周长 【典例6】已知与是位似三角形，且，则与的周长比为 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵与是位似三角形，且， ∴，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 【变式1】如图，与位似，其位似中心为点，且，若的周长为5，则的周长为 ．    【答案】12.5 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形，根据两个位似图形一定相似，且相似比等于位似比，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似，且， ∴，， ∴与的相似比为：， ∴与的周长比为：， ∵的周长为5， ∴的周长为12.5； 故答案为：12.5． 【变式2】如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，若，则和的周长比为 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，位似图形的周长之比等于位似比，据此只需要根据得到即可得到答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形，点在线段，且， ∴， ∴和的周长比为， 故答案为：． 题型07 求位似图形的面积 【典例7】如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了位似的性质，位似比等于相似比，位似三角形的面积比等于位似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．根据位似的性质求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ， ∴， ∵△ABC的面积为， ∴ 故答案为：． 【变式1】如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 和的面积比为， 故答案为：． 【变式2】如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形关于点O位似，且， 四边形与四边形的相似比为， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为5， 四边形的面积为20． 故答案为：20． 【变式3】如图所示，四边形与四边形位似，位似中心为点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意可得位似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形与四边形位似，位似中心为点O， ∴， 故答案为：． 【变式4】《周解》记载：“圆出于方，方出于矩．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为2，以其对角线交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据正方形的面积公式求出正方形的面积，根据位似图形的概念得到正方形正方形，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：正方形的边长为2， 正方形的面积为4， 正方形与正方形是位似图形， 正方形正方形， ∵ 正方形与正方形的相似比为， 正方形与正方形的面积比为， 正方形的面积为， 故答案为：． 题型08 求位似图形的坐标 【典例8】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，与位似，点是位似中心，且．若点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长． 【详解】解：设 ∵与位似，原点是位似中心，且．点的坐标是， ∴位似比为， ∴， 解得，， ∴ 故答案为： 【变式2】在平面直角坐标系中，和的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为，则其对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据以原点为位似中心的位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵和是关于原点O的位似图形，相似比等于，点A的坐标为， ∴点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 题型09 画位似图形 【典例9】如图，已知点是坐标原点，小方格的边长为1，，，都在格点上，边与轴交于点． (1)以点为位似中心，在轴的上方将放大到原图的2倍，（即新图与原图的相似比为），画出对应的（顶点用实心黑点标记一下）； (2)直接写出四边形的面积：______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）四边形的面积为 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)与是位似图形，作图见解析， 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键． （1）①分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；②分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的定义进行判断，连接，并延长交于点M，由交点可得位似中心，从而可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意：， 如图，为所作； ②根据题意：， 如图，为所作； （2）解：由平移的性质得与全等，由（1）知与时位似图形， 则与是位似图形； 如图，点为所求，坐标为． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【变式3】已知是坐标原点，A、的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出放大后的图形； (2)的面积为_________． (3)若点在线段上，点对应点的坐标为_________． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】本题主要考查了位似变换、坐标与图形等知识点，掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出，然后再顺次连接即可； （2）根据坐标系，用长方形的面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：的面积为：． （3）解：点在线段上，点D对应点的坐标为． 故答案为：． 一、单选题 1．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（   ） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 2．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，的面积为2，则的面积为（   ） A．32 B．18 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是位似图形，点O为位似中心，， ∴位似比， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴的面积为：． 故选：A． 3．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 4．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心，且相似比为，点，，均在x轴上．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据位似变换的性质得出，求出，，再根据位似变换的性质得出，得出，从而得出，求出、的长即可． 【详解】解：正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， ， 相似比为， ，， ， 正方形与正方形是位似图形，原点为位似中心， 相似比为， ，即， ，， 点的坐标为 故选：B． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似图形的性质．位似多边形的对应边平行或共线，位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 二、填空题 7．如图，与是位似图形，点O是位似中心，位似比为，如果，那么 ． 【答案】3 【分析】本题考查位似变换，解题关键是掌握位似变换的性质，根据位似图形的性质得到，求出即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O是位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 8．如图，与位似，点是它们的位似中心，已知，则与的周长之比是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长． 故答案为： 9．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，点的对应点为，若为12，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形，正确解得两三角形的相似比是解题关键． 首先结合点、点的坐标确定与的位似比为3，即可获得答案． 【详解】解：∵点的对应点为，与是以原点为位似中心的位似图形， ∴与的位似比为， ∴， ∵为12， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为： 10．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 11．如图，以点为位似中心，把放大为原来的2倍得到．以下说法正确的是 ．（填序号） ①；②；③点、、在同一条直线上；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质判断③正确；①错误；②正确；再由，可得，可得，可判断④正确． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，且相似比为，点，，三点在同一条直线上，故③正确； ∴，，，故①错误；②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，以为底边作等腰三角形，且．过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且；过点作的平行线，分别交轴、轴于点，，以为底边作等腰三角形，且……以此类推，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似的性质，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是依据等腰三角形的性质找出规律． 利用等腰三角形的性质，勾股定理和线段的比值确定中点的坐标，找出各中点之间的数量关系，最后确定答案． 【详解】解： 如图，根据题意可得，根据三线合一，等腰，等腰，等腰……底边上的中点都在一条直线上，即在直线上，假设的中点为， ∵ ∴， 在中，由勾股定理得， 根据等腰直角三角形的性质可得， ∵ 在中，由勾股定理得， 同理可得 ，即 以此类推，点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题 13．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的端点都在格点（网格线的交点）上． (1)以点O为位似中心，将在点O的另一侧放大2倍得到，画出； (2)计算的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查作图位似变换、三角形的面积等知识点，熟练掌握位似变换的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质确定得对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由图可知，的面积为． 14．如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） (1)图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； (2)图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． 勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）取格点、，连接交于点P． 【详解】（1）解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； （2）解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，与关于点成位似图形． (1)在图中找出点的位置，并写出点的坐标． (2)以坐标原点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，且使与的相似比为． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查位似图形的性质与作图，关键在于理解位似中心是对应点连线的交点，以及以原点为位似中心时位似图形的坐标变换规律（相似比与坐标缩放的关系）． （1）利用位似图形的性质：位似图形的对应点连线相交于位似中心，先连接与的对应点（A与、B与、C与），其交点即为位似中心P，然后确定P的坐标； （2）连接，根据网格特点分别取的中点，然后连接，则即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：连接A与、B与、C与，这三条线段的交点即为位似中心P， 点P的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 16．如图，已知是坐标原点，、的坐标分别为， (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似，使新图与原图的相似比为 (2)分别写出、的对应点、的坐标． (3)点为轴上一点，当最小时，点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2))，) (3) 【分析】本题考查了位似变换的性质，轴对称的性质，一次函数与坐标轴交点问题；熟知位似变换的性质是解决问题的关键． （1）根据位似变换的性质，即可画出位似； （2）根据位似变换的性质，即可求得、的对应点、的坐标. （3）取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，进而待定系数法求得直线解析式，令，即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）根据坐标系可得)，)； （3）解：如图，取关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求； 设直线的解析式为，代入，， 得，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系中、的顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为． (2)的面积为______． (3)画出将先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (4)判断与是位似图形吗？若是，请标出位似中心点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 (4)与是位似图形, 【分析】（1）利用位似中心为原点、位似比，将原顶点坐标对应放大得到新顶点，进而画图； （2）利用割补法求出面积即可； （3）依据平移规律对顶点平移后画图； （4）通过观察对应顶点连线是否交于一点，判断是否为位似图形，若为位似图形，交点即为位似中心，求其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ； （3）解：如图，即为所求， （4）解：如图，连接与的对应顶点、、并延长，发现三线交于一点，故两三角形是位似图形． 直线：、，纵坐标恒为，即； 设直线为， 把、代入， 得， 解得，， ∴直线为； 联立与，得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查位似图形的性质与画法、平移变换的坐标规律及三角形面积计算，熟练掌握位似图形“对应顶点连线交于位似中心”、平移“左减右加，上加下减”的坐标变化是解题关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在格点上，请利用坐标系中的格点的特点按下列要求作图： (1)如图1，在格点上作出以原点O为位似中心，在第三象限内的，使得它与为位似图形，且位似比为2：1（不写作法，保留作图痕迹），并写出点的坐标． (2)如图2，在线段上利用格点求作点M，使得并利用相似三角形的知识简要说明理由． (3)如图3，请利用格点在的边上，求作一点N，使得，并简要写出你的作法． 【答案】(1)见解析，点 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了位似图形的作图、利用相似三角形确定线段比例点以及构造相似三角形的作图，解题的关键是熟练运用位似性质、相似三角形的判定与性质进行作图和推理． （1）根据位似图形性质，以原点为位似中心，位似比，将各顶点坐标变换后在第三象限找点作图，再确定坐标； （2）通过构造格点三角形，利用相似三角形对应边成比例找到点，再依据相似性质说明； （3）利用格点构造角相等，依据相似三角形判定（两角分别相等）确定点，通过作特定格点连线找到交点． 【详解】（1）解：作出的位似图形如图所示，点； （2）解：作出的点如图所示． 理由：如图，∵， ∴， ∴； （3）解：作出的点如图所示． 作法：（1）将边绕着点逆时针旋转得到； （2）将线段平移，使得点与点重合，此时点的对应点为点； （3）连接交于点，则点为所求． 证明：将边绕着点逆时针旋转得到， ，， ， 在中， ，，， ， 为直角三角形，， 在和中， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$