第13讲 图形的位似 （知识清单+10大题型+好题必刷）- 【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第13讲 图形的位似 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 题型十 坐标与图形综合 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 【题型一】位似图形的识别 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形的识别 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．（九年级上·全国·期中）如图，，，则与 位似图形． 【答案】是 【知识点】位似图形的识别 【分析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形，因而△ADE与△ABC是位似图形． 【详解】∵DE∥BC，AD:DB=1:1， ∴△ADE∽△ABC，且每组对应点所在的直线都经过同一个点， ∴△ADE与△ABC是位似图形. 【点睛】本题考查的是位似图形，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键. 3．（九年级上·陕西汉中·期中）如图，如果，，BA，DC，FE的延长线交于一点O，那么与是位似三角形吗？为什么？ 【答案】是位似三角形，理由见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、位似图形的识别 【分析】证明与的对应顶点到点O的距离成比例即可． 【详解】解：与是位似三角形，理由： ∵，， ∴，， ∴， 又∵BA、DC、FE的延长线交于一点O， ∴与是位似三角形． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，以及位似三角形的判定，注意相似三角形的各对应顶点连线过同一个点，即可得位似． 【题型二】判断位似中心 【例2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【知识点】判断位似中心 【分析】本题主要考查了位似中心的确定，连接对应点，对应点连线的交点即为位似中心，作图可得答案． 【详解】解：如图所示，位似中心是点． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 2．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【答案】或 【知识点】判断位似中心 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，正确分类讨论是解题的关键； 当B与F是对应点时，利用待定系数法求出直线的解析式，再求得直线与y轴的交点，即可求出位似中心的坐标； 当C与E是对应点时，分别利用待定系数法求出直线和的解析式，再将两个解析式组成方程组，求得x和y的值即可得出位似中心的坐标． 【详解】解：①若B和F是对应点，点A与点E是对应点，则位似中心在y轴上， 由题意可得，， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 当时，， 即位似中心是：； ②若点C和E是对应点，点D和F是对应点， 由题意可得 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 故直线的解析式为：， 则， 解得：， 即位似中心是：， 综上所述：所述位似中心为：或． 【题型三】位似图形相关概念辨析 【例3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的定义和性质，是解题的关键．根据位似图形的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴，故D不正确，符合题意． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似图形的周长比等于位似比，掌握位似图形的周长比等于位似比是解答本题的关键． 根据位似图形的周长比等于位似比解答即可． 【详解】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是， 图形的周长是， 故选：C． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    【答案】16 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据题意可得与是位似图形，且位似比为，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得，与是位似图形，且位似比为， ∵的面积为4， ∴阴影部分的面积为16， 故答案为：16． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15或5 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】此题考查了位似图形的性质． （1）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行证明即可； （2）分两种情况画出图形，利用位似的性质进行求解即可． 【详解】（1）如图所示，与平行，理由： ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴ ∴． 如图， ∵与是位似图形，点A、B、、O共线， ∴， ∴． （2）如图． ∵， ∴， ∴的长为； 如图． ∵， ∴， ∴的长为； 综上所述，的长为15或5． 【题型四】求两个位似图形的相似比 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．由已知可得，再根据位似图形的性质，证，得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为 ． 【答案】 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似变换，解题的关键是理解位似变换的性质，属于中考常考题型．利用位似变换的性质判断即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心为点，位似比为， ∴，即比值为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，位似比为，将放大得，请在网格中画出（不要超出方格区域）； (2)与的面积比为_______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】在坐标系中画位似图形、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查作图-位似变换，位似图形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型； （1）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可； 【详解】（1）（1）解：如图所示，即为所求，． （2）与的相似比为，故面积比为． 【题型五】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了作图-位似变换，连接并延长，使得，得到的对应点，即可求解． 【详解】解：如图所示连接并延长，使得，得到的对应点为，    故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题主要考查已知位似中心画位似图形，对应边满足比值等于位似比，根据此解题即可． 【详解】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确． 故选：C． 2．（九年级上·全国·课后作业）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 【答案】 2 全等 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】在三角形中，以其一顶点为位似中心所作出的两个位似图形，必是关于点A成中心对称且全等． 【详解】解：以点A为位似中心，作出△ADE，使△ADE是△ABC放大2倍的图形， 可作出两个位似图形， 由于其是关于同一个点的位似图形，所以其位似图形为关于点A成中心对称，而且全等． 故答案为：2；全等． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质问题，能够熟练掌握． 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、判断位似中心 【分析】本题考查了位似图形的性质，找位似中心． （1）连接对应点并延长，交点即为位似中心； （2）由（1）可知，，则连接并延长，使，再连接即可． 【详解】（1）解：如图所示：点O即为位似中心； （2）解：补全如图所示： 【题型六】求位似图形的对应坐标 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了位似的性质，解题的关键是正确理解位似的性质． 利用位似的性质进行求点的坐标即可． 【详解】解：根据位似的性质和关于原点对称的性质可得， ∵ ∴点关于原点对称点的坐标为， ∴ 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．先根据网格特点求出点的坐标，根据以原点为位似中心的位似图形的性质计算即可． 【详解】解：∵正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为， ∴根据网格可知：点的坐标为， 以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把放大为原来的3倍，可以得到，点B的坐标为， ∴点的坐标是或，即或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为．并写出与的而积之比为______； (3)在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点对应的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标、利用相似三角形的性质求解、画轴对称图形 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握轴对称图形的定义和作图，位似图形的定义及作图，位似比的性质等知识是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义和性质作图即可； （2）根据位似图形的定义作图即可作图，再根据位似比的平方等于面积比即可求解； （3）根据位似比的性质即可求解． 【详解】（1）解：关于轴的轴对称图形，作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为，作图如下， ∴即为所求图形， ∵与位似，且位似比为, ∴， ∵与关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：根据题意，与的相似比为， ∵内一点的坐标为在第二象限， ∴，， ∵在第一象限， ∴， 故答案为：． 【题型七】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例7】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点，点、点，若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【答案】A 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题主要考查位似变换，正确得出相似比是解题的关键．直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：和位似，位似中心为点，点、点， 和的相似比为：， 的周长为4， 的周长是． 故选A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点，点，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似图形的比值关系，相似三角形面积比与相似比的关系，熟悉掌握面积比为相似比的平方是解题的关键． 根据位似图形的比值关系得到两三角形的相似比，再利用面积比为相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点，点， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的倍后的位似图形； (2)若的周长为，则的周长是 （用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】（）连接，使得，，，顺次连接即可； （）与为位似图形，则，且相似比为，故有的周长与周长的比为，代入即可求解； 本题考查了画位似图形，求位似图形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，使得，，，顺次连接 ∴即为所求； （2）解：∵与为位似图形， ∴，且相似比为， ∴的周长与周长的比为， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【题型八】在坐标系中画位似图形 【例8】（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】此题考查作图-位似变换，解题关键是画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．根据题意分两种情况画出满足题意的线段，即可做出判断． 【详解】解：画出图形，如图所示： 故选D． 2．（九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 【答案】答案见详解. 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 【答案】作图见解析， 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作图-位似变换，根据位似的性质作图，即可得出答案．熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，即为所求， ， 可得． 【题型九】在坐标系中画位似中心 【例9】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】此题考查的是位似图形及位似中心的定义，根据位似中心的定义，连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，掌握位似中心的确定方法：位似图形的各个对应点连线的交点即为位似中心是解决此题的关键． 【详解】解：连接，，，如图，交点即为所求，由图可知位似中心的坐标是：．    故选：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ． 【答案】 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】本题考查的是位似图形的概念．由位似图形的概念可知、位似中心是直线与直线的交点，据此解答即可． 【详解】解：如图， 由图形可知，位似中心的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； (2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为，点的坐标为； (2)点在中的对应点的坐标为． 【知识点】在坐标系中画位似中心、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）设点在中的对应点的坐标为，根据中点的性质，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，点为所作； ； 点P的坐标为，点B的对应点的坐标为； （2）解：设点在中的对应点的坐标为， ∵位似中心P的坐标为，点M的坐标为， ∴，， 解得，． ∴点在中的对应点的坐标为． 【题型十】坐标与图形综合 【例10】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】坐标与图形综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似图形的性质，坐标与图形，由已知可得矩形与矩形的位似比为，点的坐标为，进而即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴矩形与矩形的位似比为， ∵点、坐标分别为和， ∴点的坐标为， ∴点的对应点的坐标是或，即或， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点、、、均在轴上，若点的坐标为，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【知识点】坐标与图形综合、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了坐标与图形，位似图形的性质，掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题关键．根据坐标可得，，再根据位似图形的性质，得到，，进而得到，即可求出的长度． 【详解】解：点的坐标为， ，， 正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， ，， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【知识点】坐标与图形综合、在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的相关知识是解题的关键． （1）根据位似比和位似图形的性质先找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）理由割补法求解即可； （3）根据相似比为，结合位似图形的位置只需要把M的横纵坐标都乘以2即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）面积； （3）解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，是内部一点，相似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． (1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； (2)在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点E的坐标为或． 【知识点】坐标与图形综合、利用网格求三角形面积、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形是解题的关键． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，D的对应点，，，顺次连接，，得出，即可解题； （2）根据建立等式，求出的长，进而即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：， ， 解得， 点A的坐标为， 点E的坐标为或． 好题必刷 一、单选题 1．下列各组图形中不是位似图形的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义解答即可，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是位似图形． 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 2．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质；根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与是位似图形， ∴与的周长为， ∴的周长为， 故选：B． 3．如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为， ∴与相似，他们的相似比为， ∴与的面积比为， 故选：A． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，.以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换，直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标． 【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，将的横纵坐标先扩大为原来的倍为，再变为相反数为． 故选：C． 5．下列语句正确的是（    ） A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比 C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形 D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形 【答案】B 【详解】相似图形对应点的连线不一定都经过同一点，所以不一定是位似图形，故选项A错误；位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比，故选项B正确；利用位似变换能放大图形，也能缩小图形，故C和D选项错误， 故选B． 6．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知D，E，F分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故选：D． 7．如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，则五边形的周长与五边形的周长比是（  ） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶3 【答案】A 【分析】先根据题意得出两个位似图形的位似比，进而得出相似比，然后进一步利用“两个相似多边形的周长的比等于它们的相似比”进一步求解即可. 【详解】由题意，知五边形五边形， ∵， ∴位似比为，即相似比为1∶2， ∴五边形的周长与五边形的周长比为1∶2， 故选A. 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 8．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的应用，过点作于点，延长交于点，根据位似图形的性质推出，分别求出遮挡板水平移动前后的长，再进行比较即可。掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形，位似中心为点， ∴， ∴， ∴、分别为和对应边、上的高， ∴， ∵和成位似图形，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，， 又∵，即， ∴， 此时， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动． 故选：B． 9．如图，矩形的顶点是坐标原点，边在轴上，边在轴上．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A．(3，2) B．(－2，－3) C．(2，3)或(－2，－3) D．(3，2)或(－3，－2) 【答案】D 【分析】根据位似图形的位似比求得相似比，然后根据点的坐标确定其对应点的坐标即可． 【详解】解：若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的， 两矩形的相似比为， 点的坐标为， 点的坐标是或．故选：． 【点睛】本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比． 10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次变换后，正方形的边长放大3倍，可得出作2005次变换后的正方形的边长为 ，从而计算面积即可. 【详解】因为ABCD的面积为1，所以AB=BC=CD=DA=1，一次变换后正方形的边长为3=3，二次变换后正方形的边长为：9=，三次变换后正方形的边长为：27=，…n次变换后正方形的边长为：，故作2005次变换后的正方形的边长为， 此时正方形的面积为：， 故选C. 【点睛】本题考查了位似变换的知识，根据每次变换后边长放大3倍，得出2005次变换后正方形的边长是解题关键. 二、填空题 11．如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标是 . 【答案】 【分析】由图中易得两对对应点的横纵坐标均为原来的-2倍，那么点P的坐标也应符合这个规律． 【详解】∵P(x,y)，相似比为1:2，点O为位似中心， ∴P′的坐标是(−2x,−2y).故答案为(−2x,−2y). 【点睛】本题考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是掌握位似变换、坐标与图形性质. 12．已知，如图，，，且，则与 是位似图形，位似比为 . 【答案】 7：4 【分析】由平行易得△ABC∽△A′B′C′，且两三角形位似，位似比等于OA′：OA． 【详解】解：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ，， ∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO， ，∠A′B′C′=∠ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′是位似图形， 位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4． 【点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比． 13．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 【答案】答案见详解. 【分析】根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可. 【详解】∵三个顶点的坐标分别为，，， ∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示： 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可. 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 是解题关键． 根据位似图形的性质得出的长，进而得出 ，然后相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】先利用位似的性质得到△ABC和△EDC的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题． 【详解】解：∵△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形， 而△ABC和△EDC的周长之比为1：2， ∴△ABC和△EDC的位似比为1：2， 把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6）， 把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6）， ∴E点坐标为（2，-6）． 故填：． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了转化的思想． 16．如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据，，推出，求出值，得到位似比，进而求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴轴，； ∵的对应点， ∴， ∴ ∴的坐标为：，即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标系中的位似．熟练掌握位似图形的性质，求出位似比，是解题的关键． 17．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为 ． 【答案】4 【分析】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积． 【详解】延长EG交CD于点H，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG， ∴AD∥EG， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴． ∵位似图形与原图形的位似比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键． 18．以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为．请在网格内画出，并写出点的坐标 ． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】如图所示：A1（1，4）． 故答案为（1，4）． 【点睛】此题主要考查了位似图形画法，得出对应点位置是解题关键． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为． (1)画出； (2)请直接写出△DEF的顶点坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)D的坐标为，E的坐标为，F的坐标为 【分析】 （1）根据位数定义，及位似比即可作图； （2）的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，由此可求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：原点为位似中心，位似比为， ∴如图所示， 和即为所求． （2）解：的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为， ∴，，，， ，． 【点睛】本题主要考查图形的位似，掌握位似图形的定义及位似比的计算是解题的关键． 20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1． （2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）如图，为所作． （2）如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）． 【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 21．画图：点，把以点为位似中心放大到原来的倍，且写出对应顶点的坐标．    【答案】作图见解析，，，或，，． 【分析】根据作位似变换图形的要求可知以点为位似中心放大到原来2倍，延长到，使，得到点的对应点，同法得到点的对应点，点的对应点不变，连接，就是所求的三角形；也可以反向延长或，由同样的方法得到的对应点连接就是所求的三角形；再由所画的位似图形点的横纵坐标均为原来各对应点横纵坐标的倍，即可得到答案． 【详解】解：延长到，使，得到点的对应点， 同法得到点的对应点，点的对应点不变，连接， 就是所求的三角形； 或反向延长或，由同样的方法得到的对应点 连接就是所求的三角形； 由， ，，． 或，，．    【点睛】主要考查画位似图形；用到的知识点为：新图形的各顶点到位似中心的距离与原图形到位似中心的距离的比等于位似比，掌握两个位似图形的点的坐标规律是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的面积等于矩形面积的，求点的坐标． 【答案】或． 【分析】根据位似图形的概念得到矩形∽矩形OABC，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形∽矩形OABC， ∵矩形的面积等于矩形OABC面积的， ∴矩形与矩形OABC的相似比为， ∵点B的坐标为（6，4）， ∴点的坐标为（6×，4×）或（-6×，-4×），即（3，2）或（-3，-2）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 23．如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心； （2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？ 【答案】；它们的位似中心是；（2）是的位似图形，相似比为；（3）如果相似比为，那么的位似图形是． 【分析】（1）根据三角形对应边的关系得出相似之比以及利用图形得出位似中心即可； （2）利用位似图形的性质得出相似之比即可； （3）利用位似图形的性质以及相似之比即可得出位似图形． 【详解】与的相似比为：；它们的位似中心是； （2）是的位似图形， 相似比为：； （3）如果相似比为，那么的位似图形是． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形对应边之间的关系得出是解题关键． 24．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，， 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称与位似： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似的性质，画出即可； （3）直接写出的坐标，根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）由图可知，， ∵翻折， ∴， ∵与的相似比为 ∴与的相似比为， ∴与的周长比是，与的面积比是； 故答案为：，，． 25．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)3 【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比； （2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案； （3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：和的相似比是； 故答案为：； （2）如图所示，即为所求； （3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是； 故答案为：； （4）的面积是：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 26．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 【答案】（1）所求见解析；（2）所求见解析；B2(10，8) ． 【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形即可； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：△即为所求： （2）如图所示：△即为所求； 【点睛】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 图形的位似 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 位似图形的识别 题型二 判断位似中心 题型三 位似图形相关概念辨析 题型四 求两个位似图形的相似比 题型五 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型六 求位似图形的对应坐标 题型七 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型八 在坐标系中画位似图形 题型九 在坐标系中画位似中心 题型十 坐标与图形综合 知识清单 知识点1．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点2．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点3．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 【题型一】位似图形的识别 【例1】（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）下列图形中不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（九年级上·全国·期中）如图，，，则与 位似图形． 3．（九年级上·陕西汉中·期中）如图，如果，，BA，DC，FE的延长线交于一点O，那么与是位似三角形吗？为什么？ 【题型二】判断位似中心 【例2】（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，正方形网格图中的与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，正方形与正方形是位似图形，已知，，，，求位似中心的坐标． 【题型三】位似图形相关概念辨析 【例3】（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，且点，，在同一直线上，若，，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）如图，平行于地面的三角形纸片上方有一灯泡（看作一个点O），灯泡发出的光线照射后，在地面上形成阴影．已知灯泡距离地面，灯泡距离纸片，若的面积为4，则阴影部分的面积为 ．    3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知与是位似图形，点A、B、、O共线，点O为位似中心． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【题型四】求两个位似图形的相似比 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图与位似，位似中心为点，位似比为，则的比值为 ． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为． (1)以点O为位似中心，位似比为，将放大得，请在网格中画出（不要超出方格区域）； (2)与的面积比为_______． 【题型五】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例5】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在由小正方形组成的网格中，以点为位似中心，作与的相似比为的位似图形，则点的对应点可能为（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的相似比为．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法中均保证，则下列说法正确的是（   ） A．只有珍珍的作法正确 B．只有明明的作法正确 C．两个人的作法都正确 D．两个人的作法都不正确 2．（九年级上·全国·课后作业）已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出 个．他们之间的关系是 . 3．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点为位似中心的位似图形，点，的对应点分别为点，．按下列要求完成画图，并保留画图痕迹． (1)请在方格图中画出位似中心O； (2)请在方格图中将补画完整． 【题型六】求位似图形的对应坐标 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，在异侧把扩大到原来的3倍，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C．或 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在由相同的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，正方形的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点的坐标为．以原点为位似中心，把正方形缩小为原来的一半，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，的顶点坐标是，，，以点为位似中心，将放大为原来的3倍，得到，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)以原点为位似中心，在第一象限内出画出，使得与位似，且位似比为．并写出与的而积之比为______； (3)在（1）、（2）的条件下，设内一点的坐标为，则内与点对应的对应点的坐标为______． 【题型七】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例7】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点，点、点，若的周长为4，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．14 D．16 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点，点，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是个单位长度． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画出将放大为原来的倍后的位似图形； (2)若的周长为，则的周长是 （用含的代数式表示）． 【题型八】在坐标系中画位似图形 【例8】（2023·北京海淀·二模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以坐标原点O为位似中心作一条线段，使该线段与线段AB的相似比为，正确的画法是（    ） A． B． C． D． 2．（九年级上·北京西城·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 3．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，以原点为位似中心，在第二象限内画一个，使它与位似，且相似比为2，并写出点的坐标． 【题型九】在坐标系中画位似中心 【例9】（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三】 1．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，和是位似图形，则位似中心的坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，若、的顶点都在格点上且成位似关系，则位似中心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点的坐标； (2)的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标． 【题型十】坐标与图形综合 【例10】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点位于坐标原点，点、坐标分别为和．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，点、、、均在轴上，若点的坐标为，则的长度为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． (1)以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； (2)在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 好题必刷 一、单选题 1．下列各组图形中不是位似图形的是（） A． B． C． D． 2．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知的周长为1，则的周长为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 3．如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，.以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将放大，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．下列语句正确的是（    ） A．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形 B．位似图形一定是相似图形，而且位似比等于相似比 C．利用位似变换只能放大图形，不能缩小图形 D．利用位似变换只能缩小图形，不能放大图形 6．如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 7．如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，则五边形的周长与五边形的周长比是（  ） A．1∶2 B．1∶4 C．2∶3 D．1∶3 8．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（   ） A．水平向右移动 B．水平向左移动 C．水平向右移动 D．水平向左移动 9．如图，矩形的顶点是坐标原点，边在轴上，边在轴上．若矩形与矩形关于点位似，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标是（ ） A．(3，2) B．(－2，－3) C．(2，3)或(－2，－3) D．(3，2)或(－3，－2) 10．如图，正方形可看成是分别以、、、为位似中心将正方形放大一倍得到的图形（正方形的边长放大到原来的倍），由正方形到正方形，我们称之作了一次变换，再将正方形作一次变换就得到正方形，…，依此下去，作了次变换后得到正方形，若正方形的面积是，那么正方形的面积是多少（ ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标是 . 12．已知，如图，，，且，则与 是位似图形，位似比为 . 13．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为 °． 14．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，且与位似，原点O是位似中心，则与的面积比为 ． 15．如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且点C与点D在直线同侧和的周长之比为，点C的坐标为(-2，0)，若点A的坐标为(-4，3)，则点E的坐标为 ． 16．如图，中，，边在轴上，以为位似中心，作与位似，若的对应点，则的坐标为 ． 17．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为 ． 18．以原点为位似中心，将缩小，使变换后得到的与对应边的比为．请在网格内画出，并写出点的坐标 ． 三、解答题 19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为． (1)画出； (2)请直接写出△DEF的顶点坐标． 20．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（4，1）．    (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标． 21．画图：点，把以点为位似中心放大到原来的倍，且写出对应顶点的坐标．    22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的面积等于矩形面积的，求点的坐标． 23．如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心； （2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？ 24．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，在第一象限画出与位似的三角形，使与的相似比为； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 25．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是． (1)和的相似比是 ； (2)请画出； (3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ； (4)的面积是 ． 26．已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$