专题4.5 相似三角形的性质（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.5 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练1-1】已知两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的周长之比为 ． 【即学即练1-2】若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是 ． 【即学即练1-3】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【即学即练1-4】如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求DF的长． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】已知，则的度数为 ． 【变式1】已知，且，则 ． 【变式2】如图，已知，，，则 ． 【变式3】如图，，，，则的度数为 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，已知，点是的中点，，则的长为 【变式1】如图，，且，，，则的长是 ． 【变式2】如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【变式3】在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 【变式1】如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 【变式2】如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 ． 【变式3】若两个三角形相似，相似比为，则它们对应角平分线之比是 ；若其中较小三角形的一条角平分线的长为，则另一个三角形对应角平分线的长为 ． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，若与的周长比为，则 ． 【变式1】如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【变式2】如果两个相似三角形的相似比是，其中一个较小的三角形周长是6，那么另一个三角形的周长是 ． 【变式3】已知，相似比为，则与的周长比为 ． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 【变式1】如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应高之比为 ． 【变式2】两个相似三角形的周长比是，则它们的面积之比是 ． 【变式3】已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【变式1】如图，在和中，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【变式2】如图，在四边形中，点在上，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)设的边上的高为，的边上的高为．若的面积9，的面积为4，求的值及的面积． 【变式3】如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 一、单选题 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 4．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、填空题 7．已知，且，，则 ． 8．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 11．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 三、解答题 13．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 14．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 15．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 16．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 17．已知：如图，四边形，，，，为对角线，是上一点，连接并延长交的延长线于点．设四边形的面积为． (1)若为的中点，则与的关系为 ； (2)若，则与的关系为 ； (3)若，则与的关系为 ． 18．已知，，，E为直线上一点，过E作的垂线交直线于点F． (1)若E、D重合时，，，求证：F为的中点； (2)若E为线段BD上一点，，，， ，求的长； (3)若F为线段AB的延长线上一点，，求 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 相似三角形的性质 教学目标 1. 知识掌握：理解并牢记相似三角形对应角相等、对应边成比例这一基本性质，明晰相似比概念，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积与相似比的关系 。 2. 能力提升：通过对相似三角形性质的推导证明过程，锻炼逻辑推理、归纳总结能力，学会运用性质解决有关计算、证明问题，提高分析和解决几何问题的能力。 3. 思维培养：体会从特殊到一般、类比等数学思想方法，在探究性质过程中，养成独立思考、合作交流的学习习惯，激发对数学的探索兴趣 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比，以及相似三角形周长比等于相似比 ，面积比等于相似比的平方这些性质，并能运用性质进行简单计算和证明。 （2）理解相似三角形性质的推导过程，熟悉从相似三角形基本定义出发，逐步推导其他性质的思路 。 2.难点 （1）相似三角形性质中面积比等于相似比平方的证明，涉及到三角形面积公式及对应边、对应高的关系，推理过程复杂，学生较难理解 。 （2）在复杂的几何图形中准确识别相似三角形，并灵活运用相似三角形性质解决综合问题，需要学生具备较强的观察能力和知识迁移能力 ，对学生来说有一定挑战。 知识点01 相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比. ∽，则 由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∽，则分别作出与的高和，则 要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【即学即练1-1】已知两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边上的中线支比，周长比都等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴它们的周长之比为； 故答案为：． 【即学即练1-2】若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是． 故答案为：． 【即学即练1-3】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的相似比等于高的比，得相似三角形的相似比，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，、分别为边，边上的高， ∴ ∴ ∵的面积为27， ∴ 故答案为：3． 【即学即练1-4】如图，在矩形中，E是的中点，，垂足为F． (1)求证：； (2)若，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据相似三角形对应边成比例求出边长成为解题的关键． （1）根据矩形的性质可知，根据两直线平行、内错角相等可得，根据矩形的性质以及垂直的定义可得，根据两个角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）根据中点的定义以及勾股定理可得，由矩形的性质可得，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型01 利用相似三角形对应角相等求角 【典例1】已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． 在中利用三角形内角和定理计算出的度数，再根据相似三角形对应角相等得，可得答案． 【详解】， ， ， 故答案为： ． 【变式1】已知，且，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，运用相似三角形的性质得到是解此题的关键． 根据，得到，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，，，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 题型02 利用相似三角形对应边成比例求边 【典例2】如图，已知，点是的中点，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的特点，相似三角形性质，根据线段中点的特点得到，再结合相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：点是的中点，， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【变式1】如图，，且，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，特殊三角函数值等知识点的应用，解决此题的关键是合理的运用特殊三角函数值和正确的计算；先根据相似三角形得到角相等，再运用三角函数特殊值即可解决问题； 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 故答案为：． 【变式2】如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故答案为：或． 【变式3】在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 题型03 利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 【典例3】如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． 【变式1】如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应中线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，即相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于相似比． 【详解】解：∵两三角形相似，且对应边比为， ∴相似比为 ∴它们对应中线的比为 故答案为：． 【变式2】如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 ． 【答案】2：3/ 【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3， ∴它们对应高线的比为2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键． 【变式3】若两个三角形相似，相似比为，则它们对应角平分线之比是 ；若其中较小三角形的一条角平分线的长为，则另一个三角形对应角平分线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形相似，相似比为， ∴它们对应角平分线之比是， ∵其中较小三角形的一条角平分线的长为， ∴另一个三角形对应角平分线的长为， 故答案为：，． 题型04 利用相似三角形对应周长的比成比例 【典例4】已知，若与的周长比为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 【变式1】如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 【变式2】如果两个相似三角形的相似比是，其中一个较小的三角形周长是6，那么另一个三角形的周长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，且较小的三角形的周长是6， ∴另一个三角形的周长是． 故答案为：9． 【变式3】已知，相似比为，则与的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长之比等于相似比”是解本题的关键． 相似三角形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的周长比等于相似比． 故答案为：． 题型05 利用相似三角形对应面积的比成比例 【典例5】若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解∶∵两个相似三角形的相似比是， ∴这两个相似三角形的面积比是， 故答案为∶ ． 【变式1】如果两个相似三角形面积之比为，那么它们对应高之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴它们对应高之比为， 故答案为：． 【变式2】两个相似三角形的周长比是，则它们的面积之比是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的性质是解题关键．根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，即可获得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比是． 故答案为：． 【变式3】已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：两个等边三角形的面积比为， 这两个等边三角形的相似比为：， 这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为． 故答案为：． 题型06 相似三角形的性质与判定综合问题 【典例6】已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 【变式1】如图，在和中，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1），证明如下： ， ，即， 又， ； （2）由（1）可得， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为9． 【变式2】如图，在四边形中，点在上，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)设的边上的高为，的边上的高为．若的面积9，的面积为4，求的值及的面积． 【答案】(1)相似 (2)， 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． （1）利用平行可得到，，可证明； （2）利用面积可求得相似比，再利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比可求得，再根据和同底，可知其面积比等于，可求得的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，点在平行四边形的边的延长线上，连接交于点．    (1)求证：． (2)若，求与四边形的面积比的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例的性质，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得，证明，即可求证； （2）利用，，得出，再证明，，得出，设，则，，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴与四边形的面积比的值为． 一、单选题 1．已知，相似比为，那么和的周长比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴和的周长比为． 故选：A． 2．如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 3．如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 4．如图，在中，，，平分交于，交延长线于，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行四边形的性质可得，进而得到再结合得到，即；再由线段的和差可得；然后根据可得，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 5．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在、上，在边上，若，，且，则矩形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质确定平行线，证明，根据矩形性质，相似三角形的性质列比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， 设， 则． ∴， 解得． ∴矩形的周长为， 故选：A． 6．如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（  ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题 7．已知，且，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再利用相似三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，E在上，交于F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得出，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：由题意共线，连接，，由全等三角形和等腰三角形的性质可得，，，，证明四边形是平行四边形可得，再证明可得，即；同理可得，，即；由三角形中线的性质可得，再证明可得，进而得到，最后根据三角形等分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：由题意共线，连接，， ∵，，是三个全等的等腰三角形， ∴，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 11．有7个大小完全相同的小正方形，恰好按如图方式放置在中，点D，E在上，点F在上，点G，H在上．若每个小正方形的边长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】过点E作于点M，利用相似三角形的性质计算长度，即可得到的周长． 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点M， 由题意得：，，，，， ， ，， 设，则， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， ， ， ， 的周长， 故答案为： 12．如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为 ． 【答案】1或3或9 【分析】本题考查轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意平行于其中一条直角边，分类讨论进行计算求解． 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 三、解答题 13．如图，在平行四边形中，连接，是边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，则，求出，然后通过线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 16．如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 【详解】（1）证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 17．已知：如图，四边形，，，，为对角线，是上一点，连接并延长交的延长线于点．设四边形的面积为． (1)若为的中点，则与的关系为 ； (2)若，则与的关系为 ； (3)若，则与的关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积比是解题的关键． （1）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； （2）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可； （3）利用平行线得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∽， ， ； ∵为中点， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：∵，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．已知，，，E为直线上一点，过E作的垂线交直线于点F． (1)若E、D重合时，，，求证：F为的中点； (2)若E为线段BD上一点，，，， ，求的长； (3)若F为线段AB的延长线上一点，，求 ． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）过D点作于G点．证明四边形是正方形，则，，．再根据证明，则可得，则，进而可得． （2）作于M点，于N点．先证，则可得，设，，易得四边形是矩形，则，根据，可求出，进而可得． （3）作于M点，于N点．由（2）知，则可得．设，，易得四边形是矩形，则，，．再证，则可得，，，，，再求得，代入即可得解． 【详解】（1）证明：如图，过D点作于G点． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴F为的中点． （2）解：如图，作于M点，于N点． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图，作于M点，于N点． 由（2）得， ∴， 设，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$