专题4.1 成比例线段（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题4.1 成比例线段 教学目标 1. 理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概念。 2. 熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 。 3. 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质等。 （2）能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线段长度、证明线段成比例。 2.难点 （1）理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌握从原理到应用的思维过程。 （2）培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解 。 ； 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【即学即练2】下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．， ， ， B．， ， ， C．， ， ， D．， ， ， 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【即学即练3】已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 知识点04 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【即学即练4】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 题型01 求线段的比 【典例1】如果线段a＝2cm，b＝3cm，那么的值为(    ) A． B． C． D． 【变式1】已知线段a＝10cm，b＝25cm，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式2】如果线段，那么的值为（　　） A． B． C． D．2 【变式3】若线段，，则（    ） A．2 B． C． D．50 题型02 由比例尺求距离 【典例2】在比例尺为的地图上，相当于实际 【变式1】在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 【变式2】在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 【变式3】在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 题型03 判断四边是否成比例线段 【典例3】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【变式1】下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 【变式2】是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 题型04 已知成比例线段求其中一边长 【典例4】若a，b，c，d四条线段是成比例线段，且，，则d的长为 ． 【变式1】已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【变式2】已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段 cm． 【变式3】已知线段是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 题型05 利用比例的性质进行求解 【典例5】已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 【变式1】若，则 ． 【变式2】已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【变式3】已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 题型06 利用比例中的等比性质进行求解 【典例6】已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【变式1】已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【变式2】阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【变式3】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 题型07 黄金分割 【典例6】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 【变式1】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出（图4）． 求证：矩形是黄金矩形．（提示：设的长为2） 【变式2】阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【变式3】材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数． 材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G． 问题： (1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值． (2) （填） (3)是的黄金分割线吗？为什么？ 一、单选题 1．已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 2．下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 4．已知，且，则的值是（   ） A． B．3 C．1 D．0 5．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则 ；若m是5和4的比例中项，则 7．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 8．已知，其中，则的值为 ． 9．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 10．若，则的值为 ． 三、解答题 11．已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 12．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 13．已知线段a，b，且． (1)求的值． (2)如果线段a，b满足，求的值． 14．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 15．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 16．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 17．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 18．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 成比例线段 教学目标 1. 理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概念。 2. 熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 。 3. 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质等。 （2）能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线段长度、证明线段成比例。 2.难点 （1）理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌握从原理到应用的思维过程。 （2）培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解 。 ； 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质、分式化简求值 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【即学即练2】下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．， ， ， B．， ， ， C．， ， ， D．， ， ， 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】此题考查了成比例线段，如果四条线段、、、满足，则线段、、、成比例，根据成比例线段的定义进行判断即可求解． 【详解】解：A．， ， ， ， 是成比例线段，符合题意； B． ， ，，，不是成比例线段，不符合题意； C．， ， ， ， 不是成比例线段，不符合题意； D． ， ，，，不是成比例线段，不符合题意． 故选：A． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【即学即练3】已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 知识点04 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【即学即练4】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 题型01 求线段的比 【典例1】如果线段a＝2cm，b＝3cm，那么的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段的比的定义解答即可． 【详解】因为线段a=2cm，b=3cm， 所以． 故选A． 【点睛】本题考查了线段的比．解题的关键是要统一单位． 【变式1】已知线段a＝10cm，b＝25cm，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接代入计算即可求解． 【详解】解：∵a＝10cm，b＝25cm， ∴＝＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，是基础题型，采用代入法． 【变式2】如果线段，那么的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据线段的比的定义，按照题中条件直接求解即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查线段的比，熟记线段的比的定义是解决问题的关键． 【变式3】若线段，，则（    ） A．2 B． C． D．50 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】先把转化为，然后根据线段的比的意义，把，直接代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数． 题型02 由比例尺求距离 【典例2】在比例尺为的地图上，相当于实际 【答案】20 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 【变式1】在比例尺为的地图上量得两个城市间的距离是，那么这两个城市的实际距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查比例尺，根据“实际距离纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 【详解】解：两个城市的实际距离是， 故答案为：． 【变式2】在比例尺为的无锡旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 km． 【答案】 【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为： 【变式3】在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】40 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 题型03 判断四边是否成比例线段 【典例3】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是（    ） A．1，2，2，4 B．3，4，9，12 C．7，5，3，2 D．1，，， 【答案】C 【详解】解：A．，成比例； B．，成比例； C．，不成比例； D．，成比例． 故选：C． 【变式1】下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（    ） A．，，， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 【变式2】是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可． 【详解】解：A．，不成比例，不合题意； B．，成比例， 符合题意； C．，不成比例，不合题意； D．，不成比例，不合题意； 故选B． 【变式3】下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积． 根据成比例线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 题型04 已知成比例线段求其中一边长 【典例4】若a，b，c，d四条线段是成比例线段，且，，则d的长为 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，即：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式1】已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么 ． 【答案】3 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项． 【详解】解∶根据比例中项的概念结合比例的基本性质， 得∶比例中项的平方等于两条线段的乘积．则， 解得 (线段是正数，负值舍去)， 所以． 故答案为：3． 【变式2】已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段 cm． 【答案】6 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：6． 【变式3】已知线段是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查线段成比例计算．根据题意可得，代入数值计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，即：， 故答案为：． 题型05 利用比例的性质进行求解 【典例5】已知线段、满足，且． (1)求线段、的长； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为6，线段的长为4． (2)线段的长为 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得答案． 【详解】（1）解：， 设，， ∵， ， ， ，， 线段的长为6，线段的长为4． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为． 【变式1】若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的内项之积与外项之积相等是解题关键．根据题意得出，即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】已知线段，，． (1)求线段与线段的比和线段与线段的比； (2)如果线段、、、成比例，求线段的长． (3)在比例式或中，我们把称为、的比例中项，那么本题中是和的比例中项吗？为什么？ 【答案】(1)； (2) (3)是和的比例中项，理由见解析 【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键． （1）根据；，，即可求得的值，的值； （2）根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长； （3）根据，，可得，进而得出是和的比例中项． 【详解】（1）解：，， ； ，， ； （2）解：线段、、、是成比例线段， ， ， ； （3）解：，， ， 是和的比例中项． 【变式3】已知线段，，满足，且． (1)求，，的值； (2)若线段是线段，的比例中项，求． 【答案】(1)6；4；12 (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段、b的比例中项，可得，计算即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∵， 所以， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段x是线段、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 题型06 利用比例中的等比性质进行求解 【典例6】已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 【变式1】已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可： （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设 ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 【变式2】阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 【变式3】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 题型07 黄金分割 【典例6】美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长与身高的比值是． (1)求该女士下半身长； (2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到） 【答案】(1)该女士下半身x为； (2)她应穿的高跟鞋的高度为． 【分析】（1）列式计算即可求解； （2）设需要穿的高跟鞋是，列方程求解即可． 【详解】（1）解：； 答：该女士下半身x为； （2）解：设需要穿的高跟鞋是，则 ， 解得：， 答：她应穿的高跟鞋的高度为． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键． 【变式1】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出（图4）． 求证：矩形是黄金矩形．（提示：设的长为2） 【答案】见解析 【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质和勾股定理求出，，再结合黄金矩形的定义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：设的长为2， 由折叠的性质可知，， ， ， ，即矩形是黄金矩形． 【变式2】阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴，，， ∴，即， ∴点P是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3】材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数． 材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G． 问题： (1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值． (2) （填） (3)是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)是，理由见解析 【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解； （2）根据平行线间的距离处处相等，可得，即可求解； （3）根据，可得，，从而得到，再由线段所在的直线是的黄金分割线，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵a为0，1的黄金数，且实数， ∴，即， 解得： （舍确），； （2）解：设点F到的距离为h， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为： （3）解：是 理由如下： ∵， ∴，， ∴， 又∵线段所在的直线是的黄金分割线， ∴， ∴， ∴是的黄金分割线． 一、单选题 1．已知线段，若 ，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段，由条件得到，然后利用比例的性质求d即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， 解得：， 故选：B． 2．下列各线段的长度成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段就叫做成比例线段.根据比例的基本性质，可以检验是否存在两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积的情况，若存在则成比例． 【详解】解：A、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； B、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； C、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意； D、由于，则，，，四条线段的长度成比例，符合题意； 故选：D． 3．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 4．已知，且，则的值是（   ） A． B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子的分子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ， ∴． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ∴ ． 经检验：是原方程的根， ． 故选：D． 二、填空题 6．若，则 ；若m是5和4的比例中项，则 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质，比例中项，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据，通过设法表示，再代入求值即可；根据比例中项的定义得到，再利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为： ∵m是5和4的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 7．在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】设甲、乙两地间的实际距离为，则： 解得：． ． 故答案为：． 8．已知，其中，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，根据条件，令是解决问题的关键． 根据条件，令，从而得到，从而得到，根据解得，从而可得的值． 【详解】解：， 令，则， ， ， ，即， ． 故答案为：． 9．善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 10．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 11．已知，，为的三边，且，，求的三边，，的长． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， 答：的三边长分别为，，． 12．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，以及设k法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵； ∴设， ∴． 13．已知线段a，b，且． (1)求的值． (2)如果线段a，b满足，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】此题主要考查了比例的性质． （1）根据比例的性质即可求解； （2）设，，根据可求得k的值，进而得到a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 14．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，成比例线段， （1）根据题意可设，由得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据比例中项的定义得到，解之可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 15．已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 16．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 17．定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 【答案】(1) (2)①见详解；② 【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，代入计算即可． （2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用证明，得，即可证明结论； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，将数据代入计算可得． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①证明：∵，， ∴， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、是线段的勾股分割点； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量． 18．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$