第1章有理数 单元测试卷 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第1章 有理数 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列各数中，是负数的是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的识别，根据常见的负数形式逐项判断即可得到答案，熟记小于的数是负数是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故是正数，不符合题意； B、，故是正数，不符合题意； C、，故是负数，符合题意； D、既不是正数也不是负数，不符合题意； 故选：C． 2．（本题4分）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】规定了原点、正方向以及单位长度的直线，叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解： 选项A中的数轴没有原点，因此选项A不符合题意； 选项B的数轴符合数轴的定义，因此选项B符合题意； 选项C中的数据标识不正确，因此选项C不符合题意； 选项D中的数轴单位长度不一致，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查数轴的三要素及画法，熟知数轴三要素是解答的关键． 3．（本题4分）下列式子不可读作“负1，负3，正6，负8”的和的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】几个数相加即为几个数的和，根据有理数和的定义解答． 【详解】解：A、-1-3+6-8可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； B、=-1+（-3）+（-6）+（+8），不可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故符合题意； C、=-1+（-3）+（-6）+（-8），可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； D、=-1+（-3）+（-6）+（-8），可读作“负1，负3，正6，负8”的和，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了多个有理数加法运算的读法，正确掌握读法是解题的关键． 4．（本题4分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】此题考查正数和负数表示相反意义的量，正确理解正负数的定义是解题的关键．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作元， 故选：A． 5．（本题4分）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 6．（本题4分）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减运算． 有理数大小比较的法则∶正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解∶ A．， 比小1，故符合题意； B．， 比大1，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选∶A． 7．（本题4分）下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A．2 B． C．0 D．-3 【答案】D 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了求一个数的绝对值、有理数大小比较等知识点，掌握求一个的绝对值的方法是解题的关键． 先求出各项的绝对值，然后再比较其大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴绝对值最大的数是． 故选：D． 8．（本题4分）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：数据亿精确到的位数是十万位． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 9．（本题4分）下面两个数互为相反数的是(　　) A．－(＋9)与＋(－9) B．－0.5与－(＋0.5) C．－1.25与 D．＋(－0.01)与－(－) 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【详解】解：A． －(＋9)与＋(－9)相等； B． －0.5与－(＋0.5)相等； C． －1.25与 不是相反数； D． ＋(－0.01)= －0.01，－(－)=0.01，故＋(－0.01)与－(－)互为相反数． 故选D． 10．（本题4分）若a，b两数之和，两数之积以及b的相反数都小于0，则比较大小正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较 【分析】由题意即可推出a＋b＜0，ab＜0，−b＜0，然后即可推出a、b的取值范围，便可得a、b、−a、−b、a−b、b−a的大小． 【详解】解：∵a＋b＜0，ab＜0，−b＜0 ∴b＞0，−b＞a，b＜−a， ∴a＜0 且|a|＞|b|，b−a＞−a，b−a＞b， ∴−a＞b， ∴−a＞0，b＞0，a−b＜0，b−a＞0，a−b＜−b， ∴a−b＜a＜−b＜b＜−a＜b−a． 故选：A. 【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，关键在于熟练运用计算法则结合数轴分析逐个推出各项的大小关系． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）如果“节约”记作，那么“浪费”记作 ． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查正数和负数的意义，解题的关键是明确题意，节约则用“”表示，浪费用“”表示，即可． 【详解】∵“节约”记作， ∴“浪费”记作． 故答案为：． 12．（本题5分）据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】9.89×1013 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：98.9万亿=98900000000000=9.89×1013． 故答案为：9.89×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．（本题5分）如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 处．（填“”“”“”或“”）    【答案】 C D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义，分三种情况进行讨论． 【详解】解：由图示知，， ①当，时，由题意可得，即，解得，，舍去； ②当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点； ③当，时，由题意可得，即，解得，，故数轴的原点在点； 综上可得，数轴的原点在点或点． 故答案为：、． 【点睛】本题考查的是数轴的特点及绝对值的定义，注意不要漏解． 14．（本题5分）（学习情境•程序框图）如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查程序流程图，有理数的混合运算，熟练掌握带乘方的混合运算是解题的关键； 根据操作步骤列式计算即可求解； 【详解】解：由题意得：； 故答案为： 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，0，，，． 正数集合：｛______…｝； 负分数集合：｛______…｝； 非负整数集合：｛______…｝； 有理数集合：｛______…｝； 【答案】，，；，，；，；，，，，，， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、化简多重符号 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解：， 正数集合：｛，，，……｝ 负分数集合：｛，，，……｝ 非负整数集合：｛，，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，，……｝ 16．（本题8分）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来： ． 【答案】数轴见解析； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】此题考查了在数轴上表示有理数、绝对值和多重符号化简、有理数比较大小等知识．先化简绝对值和多重符号后，再把各数表示在数轴上，借助数轴比较有理数的大小，并用“”连接起来即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示出来如下： 按从小到大的顺序用“”连接起来： 17．（本题8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数的乘除混合计算，有理数乘法分配律，含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可； （3）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （4）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．（本题8分）若有理数满足 (1)求x、y的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)10或6 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数加法运算、有理数的乘方运算 【分析】（1）利用有理数的乘方的定义、绝对值的定义计算即可； （2）根据题意确定x、y的值，代入求代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴时，， ∴， 或， ∴或6． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和绝对值的意义，做题的关键是掌握有理数的乘方的定义、绝对值的定义． 19．（本题10分）小虫从点出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到出发点，理由见解析 (2)小虫在第三次距点最远，为 (3)小虫一共可以得到粒芝麻 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】此题主要考查了正数与负数，有理数的加减运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）直接将所有数据相加得出答案； （2）分别计算每次距O地的距离，进行比较即可； （3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴小虫最后回到出发点； （2）解：由题意得， 第一次距点， 第二次距点， 第三次距点， 第四次距点， 第五次距点， 第六次距点， 第七次距点， ∴在第三次小虫距点最远，为； （3）解：由题意可得：， （粒） ∴小虫一共可以得到粒芝麻． 20．（本题10分）十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了千米 (2)第四个动作是下降，下降千米 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，以及有理数的运算在实际问题中的应用．注意计算的准确性． （１）计算即可求解； （２）计算第四个动作是下降，下降千米即可求解； 【详解】（1）解： ∴此时这架飞机比起飞点高了千米 （2）解： ∴第四个动作是下降，下降千米 21．（本题12分）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍 (3)点表示的数为或0或3或4 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、乘方运算的符号规律 【分析】（1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点表示的数为2，进而可求得，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点在点右侧，两点同向而行，②当点在点左侧，两点同向而行，③当点在点左侧，两点背向而行，④当点在点右侧，两点背向而行，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点在之间，且点到点的距离是到点距离的3倍， 所以， 因为点表示的数为8，点在点的左边， 所以点表示的数为：， 所以， 因为点以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点的运动时间为：（秒时，点到点距离是到点距离的3倍． （3）能，理由如下： 点从点运动到点需要秒，而点从点运动到点需要秒，点到达点时，此时点表示的数为2， 所以当点从点运动到点的过程中，点从点运动到点，又从点返回，因此可分为四种情况讨论： 点到达点之前： ①点在点右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ②当点在点左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； 点从点返回后： ③当点在点左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为； ④当点在点右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或0或3或4． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 22．（本题12分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 【答案】（1），9；（2），；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意，可以计算出所求式子的值； （2）根据题意，可以计算出所求式子的值； （3）先算乘方和除方，再算乘除法，然后算减法即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：，9； （2）由题意可得， ， ， 故答案为：，； （3） ． 23．（本题14分）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；1；②1275 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值方程、有理数四则混合运算 【分析】（1）根据“友谊数”定义进行求解即可； （2）根据“友谊数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算即可； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值即可． 【详解】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 【点睛】本题考查了绝对值的应用，解绝对值方程，绝对值的意义，数轴上两点间距离公式，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列各数中，是负数的是（   ） A． B．1 C． D．0 2．（本题4分）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列式子不可读作“负1，负3，正6，负8”的和的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利10元记作元，那么亏本50元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（本题4分）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 6．（本题4分）下列各数中，比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．6 7．（本题4分）下列四个数中，绝对值最大的是（   ） A．2 B． C．0 D．-3 8．（本题4分）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资亿元．其中数据亿元精确到哪位？（　　） A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位 9．（本题4分）下面两个数互为相反数的是(　　) A．－(＋9)与＋(－9) B．－0.5与－(＋0.5) C．－1.25与 D．＋(－0.01)与－(－) 10．（本题4分）若a，b两数之和，两数之积以及b的相反数都小于0，则比较大小正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）如果“节约”记作，那么“浪费”记作 ． 12．（本题5分）据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 13．（本题5分）如图，若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或点 处．（填“”“”“”或“”）    14．（本题5分）（学习情境•程序框图）如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）把下列各数填在相应的集合中： 15，，，，0，，，． 正数集合：｛______…｝； 负分数集合：｛______…｝； 非负整数集合：｛______…｝； 有理数集合：｛______…｝； 16．（本题8分）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来： ． 17．（本题8分）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（本题8分）若有理数满足 (1)求x、y的值； (2)若，求的值． 19．（本题10分）小虫从点出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 20．（本题10分）十一国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如下表．请解答下列问题：（写出计算过程） 高度变化 记作 上升千米 千米 下降千米 千米 上升千米 千米 下降千米 千米 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下∶上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 21．（本题12分）如图，，，三个点在数轴上表示的数分别为，，，且．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动． (1)求，，的值； (2)点运动到点前，若点到点距离是到点距离的3倍，求点运动的时间； (3)若点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点，在点开始运动后，，两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． 22．（本题12分）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作2的圈3次方，记作，读作的圈4次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：_________，__________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：_____， _________（其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算：． 23．（本题14分）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 学科网（北京）股份有限公司 $$