精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三9月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解． 【详解】因为，所以． 故选：B． 2. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式计算即可解决. 【详解】由题意， 所以在上的投影向量为， 故选：A 3. 已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设所求圆的方程为，利用点到直线距离公式列式求出得解. 【详解】设所求圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：D. 4. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴 B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心 C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴 D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案. 【详解】令，得，解得，可知的定义域是， 因为， 且在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数， 又因为，即， 所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确. 故选：B. 5. 在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可. 详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况： ①三个路口人数情况3，1，1，共有种情况； ②三个路口人数情况2，2，1，共有种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有种， 故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有种. 故选：D. 点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将两表达式结合诱导公式化简，再结合万能公式即可求解 【详解】， 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式和万能公式的使用，属于基础题 7. 数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 的虚部与的虚部之和为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算即可判断A，计算即可判断B，计算即可判断C，根据题意得的虚部与的虚部即可判断D. 【详解】由题意得，，，所以，故A正确； 因为，其对应点位于第三象限，故B正确； 因为，故C错误； 的虚部为2，的虚部为1，虚部和为3，故D正确； 故选：ABD. 10. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 在区间上单调递减 C. 点为曲线的对称中心 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项：对函数因式分解，令其为求根，确定零点个数；对于B选项：先求导，再令导数小于，解不等式得单调递减区间；对于C选项：计算，根据中心对称性质判断；对于D选项：令导数大于，解不等式得单调递增区间，即可判断式子大小. 【详解】对于A，因为 ， 令得：或，有且仅有两个零点，故A错误； 对于B，，由得：， 所以在区间上单调递减，故B正确； 对于C，，因为，， 所以，所以曲线关于点中心对称，故C正确； 对于D，，由得：或， 所以在区间上单调递增， 故当时，， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有两个交点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据几何性质求解动点的轨迹方程，A项，由两点间距离公式及三角函数有界性可得；B项，由点，利用参数方程解方程组可得；C项，联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数；D项，由，利用均值不等式可得. 【详解】设与切于点，则始终关于点对称. 所以当切点绕逆时针转动弧度时，致使点绕圆心也转了弧度，， 如图，连接，，延长与轴交于点， 过作轴于点， ， ， ， 则， 即曲线的参数方程为，为参数，. 对于A，， 上不存在到原点的距离超过的点，A错； 对于B，若在上，则， 由①解得或0， 验证知仅当时，代入②符合，在曲线上，故B正确； 对于C，由，将曲线的参数方程代入得 ， 即， ， 如下图，分别作出与的大致图象， 可知两函数图象共有两个交点，故C正确； 对于D，， ， ，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】0.04## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，代入数据计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，求出，再由余弦定理结合三角形面积公式可得，最后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，因为， 所以，即， 因为，所以，解得 因为的面积等于，则，得， 在中，由余弦定理得 的周长为， 当且仅当时等号成立， 综上所述，当且仅当是以为顶角的等腰三角形时， 的周长取到最小值，且最小值为． 故答案为：. 14. 如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】过点O作，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO，根据圆锥性质及线面垂直的判定及性质定理求得平面CEF，则平面CEF为截面，进而有，当OP最大时，DP最大，以C为原点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程为，设，结合距离公式利用二次函数性质求得，即可解答. 【详解】过点O作，交底面圆于E，F两点，连接SO，DO，CO， 设，则，所以当DP最大时，最大， 由圆锥的性质得底面，因为底面，所以， 又，且SO，平面SAB，所以平面SAB， 因为平面SAB，所以， 因为C，O分别是SA，AB的中点，所以，又，则， 因为，且CO，平面CEF，所以平面CEF，则平面CEF为截面， 因为D，O为SB，AB中点，所以，所以平面CEF，因为平面CEF， 所以，所以， 则当OP最大时，DP最大. 如图为截面的平面图， 以C为原点，CO为x轴，过点C垂直CO向上的方向为y轴正方向建系， ，，，，则抛物线方程为， 设，， 则， 所以，则此时，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，是数列的前项和，记． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求． 【答案】（1） 由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）； （3）10170. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出通项公式. （3）由（2），利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，所以数列的通项公式. 【小问3详解】 由（2）得，， . 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用等面积法结合、可得出，利用基本不等式可求得的最小值，结合三角形的面积公式可求得面积的最小值. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以， 由于，则，所以，即， 又，所以. 【小问2详解】 因为的角平分线交于点，且，， 根据三角形面积公式可得， 又，得，得，当时等号成立， 所以， 即的面积最小值为． 17. 如图，在梯形BCEF中，EF∥BC，FB⊥BC，EF=1，BC=3，CE=4，AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体ABCDEF，点G为BC上靠近点B的三等分点，DG⊥CF. （1）证明：AB⊥DE； （2）求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值. 【答案】（1）如图，连接AG，AC， ∵，CD=CG=2，AD//CG， ∴四边形AGCD为菱形，∴AC⊥DG， 又∵CF⊥DG，AC∩CF=C，AC，平面ACF， ∴DG⊥平面ACF，又∵平面ACF， ∴DG⊥AF，∵AD⊥AF，AD∩DG=D，AD，平面ABCD， ∴AF⊥平面ABCD，∵平面ABCD， ∴AB⊥AF，又∵AB⊥AD，AD∩AF=A，AD，平面ADF， ∴AB⊥平面ADEF，∵平面ABCD， ∴AB⊥DE. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的定义及判定定理，判断AB⊥平面ADEF，进而可证AB⊥DE. （2）根据（1）的结论。建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，AB⊥AF，AB⊥AD，AD⊥AF，如图，以A为原点，分别以AB，AD，AF所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 不难求得，则，，，，， ∴， 设平面CDE的法向量，则有即 ∴可取， ∵DG⊥平面ACF，∴平面ACF的法向量， ∴， 即平面ACF与平面CDE夹角的余弦值为. 18. 阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. （1）测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. （2）工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【答案】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（i）分布列: 2 4 5 数学期望为； （ii）证明：设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 【解析】 【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解. （2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：本题第2问第2小问，根据题意结合相互独立事件的概率公式分析得到是求解的关键. 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 【解析】 【分析】（1）当时，，根据的定义求解； （2）解法一：如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积，曲面梯形的面积大于，，得证； 解法二：转化为证明：，设，，则不等式可化为，构造函数：，利用导数证明在恒成立； （3）令，故，直线与曲线交于，，所以，即有：①，②，进一步变形可得，从而得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三9月月考 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆与直线和都相切，且圆心在轴上，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，且曲线存在对称轴 B. 在上单调递增，且曲线存在对称中心 C. 在上单调递减，且曲线存在对称轴 D. 在上单调递减，且曲线存在对称中心 5. 在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A. 180种 B. 150种 C. 96种 D. 114种 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. 的虚部与的虚部之和为3 10. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 在区间上单调递减 C. 点为曲线的对称中心 D. 当时， 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线上 C. 曲线与直线有两个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 13. 已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为______． 14. 如图，已知Rt是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分.若P在上，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，是数列的前项和，记． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求． 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若的角平分线交于点，且，求面积的最小值. 17. 如图，在梯形BCEF中，EF∥BC，FB⊥BC，EF=1，BC=3，CE=4，AD是梯形BCEF的中位线，将梯形BCEF沿AD翻折得到五面体ABCDEF，点G为BC上靠近点B的三等分点，DG⊥CF. （1）证明：AB⊥DE； （2）求平面ACF与平面CDE夹角的余弦值. 18. 阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. （1）测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. （2）工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． （1）若时，求证：； （2）若时，求证：； （3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $