精品解析：山东省烟台市牟平第一中学2024-2025学年高二上学期开学测试数学试题

24级高二数学开学测试题 （2025.9.1） 一､单项选择题（共8小题） 1. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 3. 为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 6. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 二､多选题（共3小题） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为 10. 设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与圆C可能相离 B. 直线不可能将圆C的周长平分 C. 当时，直线被圆C截得的弦长为 D. 直线被圆C截得的最短弦长为 11. 空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 若 且 ，则 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 三､填空题（共3小题） 12. 直线的倾斜角为___________. 13. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则__________. 14. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 四､解答题（共5小题） 15. 已知，根据下列条件，分别求与的数量积. （1）； （2）； （3）与的夹角为 16. 如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． （1）求证：; （2）求与所成角的余弦值 17. 如图，在三棱锥中，两两垂直，. （1）求点到直线的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在长方体中，. （1）求证：平面平面.（使用向量方法） （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级高二数学开学测试题 （2025.9.1） 一､单项选择题（共8小题） 1. 在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于面对称的点的特征求解即可. 【详解】点关于面对称的点的坐标为. 故选：A. 2. 已知直线和直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程的平行关系列式求解即可. 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得， 当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去. 故选：B 3. 为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面的基本定理可得答案. 【详解】若四点共面，则， 解得. 故选：C. 4. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 5. 若，，则等于（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量的线性运算求出的坐标，再根据数量积的坐标运算求解. 【详解】，， ，即， 所以， . 故选：C. 6. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径. 【详解】，即， 故该圆的圆心坐标为，半径为． 故选：A． 7. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【详解】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A 8. 若点，到直线的距离相等，则（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 二､多选题（共3小题） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理，可判断A的正误；根据向量共面的定理及条件，分析即可判断B的正误；当时，可得，分析即可判断C的正误；根据直线的方向向量，可得斜率k，代入点斜式方程，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线可能在平面内，故A错误； 选项B：若为空间的一个基底，则不共面， 假设共面，则， 此时共面，与已知条件矛盾，故假设不成立， 即不共面，则可构成空间的另一个基底，故B正确； 选项C： 当时，， 此时，即，夹角为，不符合题意，故C错误； 选项D：因为直线的一个方向向量为， 所以斜率，又过点， 所以的方程为，整理得，故D正确； 故选：BD 10. 设直线：与圆C：，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与圆C可能相离 B. 直线不可能将圆C的周长平分 C. 当时，直线被圆C截得的弦长为 D. 直线被圆C截得的最短弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由直线过圆内的定点即可判断；对于B，直线不可能过圆心即原点，由此即可判断；对于CD，由点到直线距离公式、圆的弦长公式验算即可. 【详解】因为直线过定点，且点在圆内，所以直线与圆必相交，A错误； 若直线将圆的周长平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，但这是不可能的，所以B正确； 当时，直线的方程为，圆心C到直线的距离为，所以直线被截得的弦长为，C错误； 因为圆心到直线的距离为， 所以直线被截得的弦长为，等号成立当且仅当，即，D正确， 故选：BD. 11. 空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（ ） A. 平面的一个法向量为 B. 若 且 ，则 C. 点到直线的距离为 D. 四点共面 【答案】AD 【解析】 【分析】求出平面的一个法向量可判断A；设，利用求出可判断B；利用点到直线的距离向量求法可判断C；设，求出可判断D. 【详解】对于A，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，则，故A正确； 对于B，，因为，设， 若，则，解得，则或，故B错误； 对于C，，则点到直线的距离为 ， 故C错误； 对于D，设，因为， ， 则有， ，解得，故，则四点共面. 故D正确. 故选：AD. 三､填空题（共3小题） 12. 直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角. 【详解】由题意得，， 即直线的斜率为， 所以直线的倾斜角的正切值为， 则直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的减法可得，，由向量的加法可得，最后根据，求解即可. 【详解】解：因为， 所以，， 因为是正方形， 所以， 又因为为的中点， 所以. 故答案为： 14. 已知向量在向量上的投影向量是，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入公式计算即可. 【详解】因为，则，且向量在向量上的投影向量是， 所以，即，所以， 故答案为：. 四､解答题（共5小题） 15. 已知，根据下列条件，分别求与的数量积. （1）； （2）； （3）与的夹角为 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与的夹角为，分反向与同向分别计算即可得； （2）（3）根据向量数量积的定义式可得. 【小问1详解】 设与的夹角为. 若与同向，则； 若与反向，则. 【小问2详解】 若，则与夹角为. 【小问3详解】 与的夹角为. 16. 如图，正方体的棱长为1，分别为的中点． （1）求证：; （2）求与所成角的余弦值 【答案】（1）令， 分别是的中点， ， 而， 所以有，且不过同一点， 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量数量积的定义求即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别是的中点， ， 正方体的棱长为1，， ，， ， ， ， 设的夹角为， 则有 ， 即与所成角的余弦值为. 17. 如图，在三棱锥中，两两垂直，. （1）求点到直线的距离； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到直线的距离即可； （2）求出平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 由题意两两垂直，所以以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则根据题意可得：， 所以， 设， 所以， 所以点到直线的距离为： ； 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在长方体中，. （1）求证：平面平面.（使用向量方法） （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. （2）存在，为线段的中点 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 19. 已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 【答案】（1），的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）. 【解析】 【分析】（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $