精品解析：北京市广渠门中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

北京市广渠门中学2025-2026学年度第一学期试卷 高三年级 数学 学科 时间：120分钟 满分：150分 2025.8 一、选择题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：D. 2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案. 【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误； B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误； C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确； D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误. 故选：C. 3. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率,化简得, 故选B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5. 已知四个数，，，，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数单调性可求得，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，即可得出结论. 【详解】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 6. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求出，在中，由余弦定理求出，得到答案. 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. 7. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 8. 已知，则“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例、判断即可. 【详解】若，此时满足，但不存在，使得，充分性不成立； 若时，此时为偶数，满足，但无意义，必要性不成立； 故“”是“存在，使得”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算性质计算即可. 【详解】因为， 所以由得： ， 即， 又， 所以. 故选：A. 10. 设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 144 B. 184 C. 232 D. 252 【答案】C 【解析】 【分析】分的值为1,2,3进行讨论，结合组合数的性质计算即可得. 【详解】若， 则中有5个为0，1个为1或， 此时共有种不同元素； 若， 则中有4个为0，2个为1或， 此时共有种不同元素； 若， 则中有3个为0，3个为1或， 此时共有种； 即共有种不同元素， 即集合中满足的元素的个数为232. 故选：C. 二、填空题 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式得到关于自变量的不等式组，其解为函数的定义域. 【详解】由题设有，故， 故答案为：. 12. 若，则____________，____________；（用数字作答） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法求得，由二项式展开式的通项公式求得. 【详解】由， 令得， 令得. ，所以. 故答案为：； 13. 在中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 故答案为：. 14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出即可. 【详解】因为， 要想的最小值为， 需要同时成立， 由得到，， 不妨取，则，即， 解得，取，得. 故答案为：（答案不唯一） 15. 已知函数，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是______． ①在区间上单调递增； ②函数的极大值点是1； ③当时，方程有两个不相等的实根； ④在上没有零点． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】求导，确定函数的单调区间可判断①②，再结合函数的单调性画出图像可判断③，由函数和在上的交点个数可判断④. 【详解】， 由可得，由，可得且， 所以在区间上单调递增；在区间单调递减； 所以函数的极小值点是1；故①对，②错， 又当且时，，当时，， 当且时，，当时，且， ，所以函数如图所示， 又，由图像可知当时，结合图像可知：方程有两个不相等的实根，③对； 在的零点可转换成函数和在上的交点， 因为在区间上单调递增；在区间单调递减，最小值为， 在上的最大值为， 所以函数和在上图像没有交点， 即在上没有零点，④正确， 故选：①③④ 三、解答题 16. 已知函数的图象过原点. （1）求的值及的最小正周期； （2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数图象过原点求得，然后利用三角恒等变换化简函数，利用周期公式求解周期； （2）先利用换元法求解函数的单调递增区间，利用子集关系建立不等式求解即可. 【小问1详解】 由得.所以 . 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 由（），得（）. 所以的单调递增区间为（）. 因为在区间上单调递增，且，此时， 所以，故的最大值为. 17. 在中，． （1）若，求； （2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积 条件①：； 条件②： 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解； （2）若选①：由正弦定理及倍角公式得，不存在；若选②：先判断，再由求出，由及余弦定理求得，再计算面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：，又，故，又，故，； 【小问2详解】 若选①：由正弦定理得：，又，故，此时不存在； 若选②：由，又，则，，由余弦定理得， 即，解得或（舍去），故的面积为. 18. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）该校男生喜欢篮球的概率约为，女生喜欢篮球的概率约为. （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式直接求解即可； （2）结合（1）及相互独立事件同时发生的概率直接求解即可； （3）求解，，即可利用放缩以及不等式的性质求解． 【小问1详解】 该校男生喜欢篮球的概率约为， 该校女生喜欢篮球的概率约为. 【小问2详解】 由题意可知：, , , , 故 【小问3详解】 ．理由如下： ，设该校总人数为，，则该校喜欢羽毛球的人数约为， 由表可知，男生喜欢羽毛球的概率为，女生喜欢羽毛球的概率为， 所以高一年级喜欢羽毛球的人数约为， 故除高一年级外其他年级喜欢羽毛球的概率为． 故 19. 已知椭圆，其中，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程及上顶点的坐标； （2）过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【答案】（1），； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组式求解，进而可得结果； （2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 所以椭圆方程为. 上顶点的坐标为； 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设， 联立方程，消去得： ， 则，解得， 可得， 因为，则直线， 令，解得，即, 同理可得， 所以线段的中点是定点. 20. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 【答案】（1） （2）见详细解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据导数求出切线的斜率，结合点斜式方程即可求解； （2）令，求导研究的单调性，同时结合即可求证； （3）令，求导研究的零点及正负分布，得到的单调性，同时结合即可求解出的零点个数． 【小问1详解】 将代入可得，又， ，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，即证明当时，， 令，，则， 因为，有，所以当时，在上单调递减， 所以当时，，也即． 【小问3详解】 ，令，再求导得， 因为，有，且，故，即在上单调递减， 又因为时，，，且单调递减， 可知在上有且仅有一个零点，其中， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 又因为，则，且时，，时，， 所以有2个零点， 综上，的零点个数为2． 21. 已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． （1）已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． （2）若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； （3）对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 【答案】（1）数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）根据逆序数列的定义可得； （2）根据题意写出数列的通项公式及前项和的表达式，根据他们时逆序数列得到任意的，，据此分别分析当时与时的情况可得； （3）根据逆序数列的定义可得故当时，，当时，，其中，再就的不同范围分类计算后可得最大值. 【小问1详解】 因为数列，由， 但，不满足条件； 数列，由， ，， 符合条件. 所以数列不是的逆序数列，数列是的逆序数列. 【小问2详解】 由题意，数列的通项公式为， 前项和为， 因为数列与数列互为逆序数列， 所以对于任意的，，故， 若，则，故， 故，矛盾； 若，则，故， 故，故即. 综上公差的取值范围为. 【小问3详解】 因为数列互为逆序数列，故时，，必定成立， 故为的一个排列，， 其中， 设，，则在中有项比小，有项比大， 故在中项比大，有项比小， 故当时，，当时，， 故，其中. 若为偶数，设，则. 当时， ; 当时， . 故此时. 若为奇数，设，则. 当时， ; 当时， . 当时，； 当时，； 故此时. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025-2026学年度第一学期试卷 高三年级 数学 学科 时间：120分钟 满分：150分 2025.8 一、选择题 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，图像关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 4. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 5. 已知四个数，，，，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 6. 海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则“”是“存在，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ） A. B. C. D. 10. 设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 144 B. 184 C. 232 D. 252 二、填空题 11. 函数的定义域为______． 12. 若，则____________，____________；（用数字作答） 13. 在中，，则的取值范围是______． 14. 若函数的最小值为，则常数的一个取值为______． 15. 已知函数，给出下列结论，其中所有正确结论的序号是______． ①在区间上单调递增； ②函数的极大值点是1； ③当时，方程有两个不相等的实根； ④在上没有零点． 三、解答题 16. 已知函数的图象过原点. （1）求的值及的最小正周期； （2）若函数在区间上单调递增，求正数的最大值. 17. 在中，． （1）若，求； （2）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在.求的面积 条件①：； 条件②： 18. 某校为了解该校学生对篮球及羽毛球的喜爱情况，对学生进行简单随机抽样；获得的数据如下表：（单位：人） 球类 男生 女生 喜欢 不喜欢 喜欢 不喜欢 篮球 400 100 200 100 羽毛球 350 150 250 50 假设所有学生对篮球及羽毛球是否喜爱相互独立，用频率估计概率． （1）分别估计该校男生喜欢篮球的概率、该校女生喜欢篮球的概率； （2）从该校全体男生和女生中各随机抽取1名，设为这2名学生中喜欢篮球的人数，估计的数学期望； （3）将该校学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，假设该校高一年级有500名男生和400名女生，除高一年级外其他年级学生喜欢羽毛球的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆，其中，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程及上顶点的坐标； （2）过点的直线交椭圆于两点，直线与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 20. 已知函数，． （1）求在点处的切线方程； （2）求证：当时，； （3）求的零点个数． 21. 已知为给定的正整数，．数列，，若对于任意的，，都有，则称互为逆序数列． （1）已知，分别判断下面数列是否为的逆序数列，并说明理由． ①；②． （2）若，数列为等差数列，其前项和为，，．数列与数列互为逆序数列，求数列的公差的取值范围； （3）对于固定的正整数，，总有，，且数列互为逆序数列，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $