1.3空间向量及其运算的坐标表示讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 2．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据数量积和投影向量公式计算即可. 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量投影公式结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】已知，得， 所以在方向上投影的数量为. 故选：D. 5．（23-24高二上·山西运城·期中）已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】应用空间向量的夹角余弦公式结合空间向量的数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】因为空间向量，， 则向量与夹角的余弦值为. 故选：C. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量夹角公式的坐标表示求解. 【详解】由已知两式相加，得即， 两式相减可得即， 所以. 故选：C 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【知识点】空间向量模长的坐标表示 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 8．（24-25高二上�广东江门�阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】由空间向量共线设求出点坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可； 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据空间向量坐标表示及线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， ，故D错误. 故选：BC. 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，．记在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】A选项，计算出，设，根据得到方程，求出，A正确；B选项，计算出，结合A选项得到不平行；C选项，利用空间向量夹角余弦公式计算出答案；D选项，根据投影向量公式进行求解. 【详解】A选项，， 设，则， ，即， 所以，解得，故，A正确； B选项，， 又，设，则，无解， 故不平行，B错误； C选项，，， ， ，C正确； D选项，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 11．（24-25高一下·江西宜春·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、null 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；根据空间直角坐标系中点的对称性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，且， 因为对空间中任意一点有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，已知两个向量，，且， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，， 则，C对； 对于D选项，点关于平面对称的点的坐标是，D对. 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果. 【详解】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】由空间向量共面的推论可得，再应用空间向量夹角的坐标公式求夹角余弦值. 【详解】因为四点共面，， 所以，则， 所以，，则，， 所以，，， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 16．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 17．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)3； (3). 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得 （2）由（1）得，而量，因此， 所以. （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以 18．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（2）（3）法1，由题图结合数量积运算律，向量模长公式，向量夹角公式可得答案； 法2，由图建立空间直角坐标系，由数量积坐标计算运算律，向量模长坐标公式，向量夹角坐标公式可得答案； 【详解】（1）法1，结合题图，， 由题，， 则， 所以，即； 法2，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以，所以，， 又，所以，即； （2）法1，，，则，从而 ，则，即的长为； 法2，由（1），，则，所以的长为 （3）法1，由于，， 因此，故． ，故． ， 故； 法2，，， 所以，，， 则． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量与几何最值、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据题设及向量模的求法，线线夹角的求法可得结果． 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设． ，， 由于，所以，即． 又，所以， 由于，所以当时取得最小值． （2），， 因为，所以，即． 又． 由于，所以（利用二次函数的性质求解）， 即当或1时，取得最小值，因此的最大值为， 即与夹角的最大值为． 能力提升 20．已知向量，，则的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】三角函数的图象与性质 【详解】试题分析：∵向量a＝（cos θ，sin θ，1），b＝（，－1,2）， ∴||=，||=， ． ∴， 则=1时，取最大值4． 21．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ． 【答案】 0 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量模长的坐标表示 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标, ，当时，，．，．从而当时，取得最小值，最小值为1；当或，时，取得最大值，最大值为． 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，，， ，， 所以当时，，． 因为，，所以， 所以，，． 所以， 所以，． 当时，取得最小值，最小值为1； 当或，时，取得最大值，最大值为． 所以． 故答案为：0，    22．（24-25高二上�河北�阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可. 【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点， 连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，且， 所以，于是令， 所以，， 又函数在上为增函数， 所以当时，，即线段长度的最小值为. 故选：D. 23．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，可得∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0，即 ，从而可求λ的取值范围． 【详解】 由题设，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1） ∴ =（1，1，-1），∴ =（λ，λ，-λ）， ∴ = + =（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1） = + =（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1） 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＜0 ∴ ∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得 ＜λ＜1 因此，λ的取值范围是（ ，1），故选B. 点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题． 24．（多选）（24-25高二上�福建莆田�阶段练习）在正四棱柱中，，点满足，其中，则（    ） A．当时，的面积为定值 B．当时，四棱锥的体积为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，的取值范围时 【答案】BCD 【知识点】锥体体积的有关计算、求空间中两点间的距离 【分析】建立空间直角坐标系，然后根据不同情况确定点的轨迹，分别判断每一个选项即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 得 因为 所以 当时，因为，所以点在线段上运动， 显然点到直线的距离随着点的位置变化而变化，线段的长度确定， 故的面积不为定值，所以选项A错误； 当时，，，故此时点在线段上运动,由题可知， 四边形的面积确定，,显然平面，平面， 故平面， 所以到平面的距离确定， 所以四棱锥的体积为定值，故选项B正确； 当时，此时，因为， 所以此时点的轨迹为线段,易知，故选项C正确； 当时，此时， 因为 所以 因为 所以得，故选项D正确. 故选：BCD 25．（多选）（2025高三�全国�专题练习）正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的值不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】做出几何图，得出Q的位置，即可得到的最大值，即可选出答案. 【详解】由题意，如图所示， 设点 为正四面体 的外接球球心， 则 ， 且 ， 当与同向时， 的值最大， ，， ∴，， ∴， 故选：ABD. 26．（多选）已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列是真命题的有（    ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最大值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】CD 【知识点】棱锥表面积的有关计算、空间向量的坐标运算、空间向量与立体几何综合 【分析】理解仿射向量的概念，利用空间向量共线定理及数量积运算即可﹒ 【详解】 ． 因为，且，所以，故A错误． 如图所示：    设，，则点A在xOy平面内，点B在z轴上， 由图易知当时，最小， 即向量，的夹角取得最小值，故B错误． 根据“仿射”坐标的定义，可得 ，故C正确． 由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1， 其表面积，故D正确． 故选：CD. 27．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，． (1)求证：面； (2)根据上述定义，计算的绝对值的值； (3)求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；的绝对值的值是四棱锥体积的倍；的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积. 【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量的坐标运算、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用空间向量坐标运算可证得，，由线面垂直的判定可证得结论； （2）根据已知中的向量运算定义可直接求得结果； （3）利用向量夹角公式可求得，进而得到，结合棱锥体积公式可求得四棱锥体积，由此可得绝对值的值与四棱锥体积的关系，进而猜想得到结论. 【详解】（1），，，， 又，平面，平面. （2）. （3）， ， ， 的绝对值的值是四棱锥体积的倍， 猜想：的绝对值的几何意义是以为邻边的平行六面体的体积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型1 空间向量的坐标运算 5 考点1 空间向量运算的坐标表示 5 考点2 利用空间向量的坐标运算求坐标 7 题型2 空间向量的平行于垂直问题 8 考点1 空间向量平行、垂直关系的判定 8 考点2 由平行、垂直关系求值 10 题型3 空间向量的夹角、模的问题 18 考点1 求夹角、模的运算 18 考点2 利用夹角、模的坐标运算求参数 22 知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的定义 (1)空间直角坐标系的定义 在空间选定一点和一个单位正交基底(如图).以点为原点,分别以,,的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2)空间直角坐标系的画法 在画空间直角坐标系时,一般是遵循以下两点： ①轴与轴、轴与轴的夹角均为(如图所示). ②轴垂直于轴,轴和轴上的单位长度是一致的,与轴、轴平行的线段的长度与实际长度一致,轴上的单位长度取轴(或轴)上的单位长度的一半,与轴平行的线段的长度是实际长度的一半. 2．空间直角坐标系点的坐标 (1)空间点的坐标的定义 在空间直角坐标系中(如图),,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标. (2)几个特殊位置的点的坐标 ①在轴上的点的坐标为 ②在轴上的点的坐标为 ③在轴上的点的坐标为 ④在平面内的点的坐标为 ⑤在平面内的点的坐标为 ⑥在平面内的点的坐标为 (3)空间中点的对称问题:设点为空间直角坐标系中的点,则： ①与关于原点对称的点是 ②与关于轴对称的点是. ③与关于轴对称的点是 ④与关于轴对称的点是 ⑤与关于坐标平面对称的点是 ⑥与关于坐标平面对称的点是. ⑦与关于坐标平面对称的点是 3．空间直角坐标系向量的坐标 在空间直角坐标系中,给定向量,作(如图).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. 知识点二 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设,,为坐标原点, 则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 2．空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示 设则 ( , ) ( ,, ) 3．向量长度的坐标计算公式 若则此公式的几何意义表示以,,分别为长、宽、高的长方体的体对角线的长度. 4．两个向量夹角的坐标计算公式 若则 知识点三 空间向量平行于垂直的坐标运算 设则 (1) (2) 注：(1)空间两向量平行与平面向量平行的表达方式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例. (2)空间两向量垂直的充要条件形式上与平面向量垂直类似,仅多了一个基向量. 知识点四 空间向量坐标的应用 1．空间两点间的距离公式 一般地,空间中任意两点间的距离 2．空间两点间的距离公式的推导 设空间中任意两点如图所示,以线段.为体对角线作长方体,使它的所有棱分别与坐标轴平行,则有点 在中, 在中, 故 3．空间直角坐标系中的中点坐标公式 平面内,两点的中点坐标为空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到,即已知空间中两点,,则AB的中点P的坐标为 题型1 空间向量的坐标运算 考点1 空间向量运算的坐标表示 1．已知，求. 【答案】，，，， 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意， ， ， ， ， . 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，， 得，而， 所以. 故选：D 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 4．已知给出下列等式： ①；②；③ ④.其中正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量及其加减运算、空间向量的数量积运算、空间向量运算的坐标表示 【详解】由题设可得，则； ，，则①正确； 因， ，故②正确； 又因，而， 所以，即③正确； 又，则， 而，故，也即④正确. 故选：D． 考点2 利用空间向量的坐标运算求坐标 5．（24-25高二上�山东泰安�期中）已知是坐标原点，且三点的坐标分别是，，，若，则点的坐标为 ；若，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】求得，可求点点的坐标. 【详解】因为三点的坐标分别是，，， 所以，， 若，则. 若， 则，所以. 故答案为：；. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】由题意，得到，，再利用向量线性关系求解. 【详解】由题意，，，所以，， 所以． 故选：D 7．（23-24高一下�四川成都�期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的计算直接可得解. 【详解】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 题型2 空间向量的平行于垂直问题 考点1 空间向量平行、垂直关系的判定 8．已知向量，，，．求证：，． 【答案】证明见解析 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】要证明，就是要证明；证明，需证明． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 9．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 10．（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知点是所在的平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的坐标运算，以及模的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量， 对于A中，由，所以， 即，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以与不垂直， 即与不垂直，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 即，所以C不正确； 对于D中，由，所以，即， 所以D正确. 故选：AD. 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量平行和垂直的坐标运算求解. 【详解】所以， ，，，所以， ，所以. 故选：C. 考点2 由平行、垂直关系求值 12．（23-24高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 13．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）由空间向量的坐标运算直接求解； （2）分别求出，的坐标，由平行可得，再由向量相等的条件求解即可. 【详解】（1）由，得． （2）由（1）知， 所以，， 又，则， 即， 所以， 则． 14．已知，若∥，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据两个向量平行，首先求得，然后求得的值. 【详解】由于，所以，且. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查根据空间向量平行求参数，属于基础题. 15．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 考点3 平行、垂直关系在立体几何中的应用 16．（23-24高二上�辽宁朝阳�阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明： (1)； (2)不与平行； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出，可证得结论成立； （2）证明出、不共线，可证得结论成立； （3）计算得出，可证得结论成立. 【详解】（1）证明：设正方体的棱长为， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， 所以，，，则， 又因为不在直线上，所以，. （2）证明：，，显然、不共线， 所以，不与平行. （3）证明：，， 则，所以，. 17．在正方体中，已知、、、分别是、、和的中点． 证明：（1），； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，通过直线的方向向量共线，证得两条直线平行；通过直线的方向向量的数量积为零，证得两条直线垂直. （2）通过计算，，即证得，，从而证得平面. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则、、、、、、、，由中点性质得、，，. （1）则，，， 因为，， 所以，， 即，. （2）因为，，， ∴， ， ∴，. 又，所以平面. 【点睛】本小题主要考查空间向量法证明线线平行、垂直以及证明线面垂直，考查运算求解能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）G为AD的中点，证明见解析. 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，写出各点坐标，求得向量，由证明垂直； （2）设G(x，0，z)，求出平面内两个不共线向量，由和求得确定点位置． 【详解】（1）证明　如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设AD＝a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F. ＝，＝(0，a，0)． ∵＝0，∴，即EF⊥CD. （2）解：设G(x，0，z)，则＝， 若使GF⊥平面PCB，则需且 由＝·(a，0，0) ＝a＝0，得x＝； 由＝·(0，－a，a) ＝＋a＝0，得z＝0. ∴G点坐标为，即G为AD的中点． 【点睛】方法点睛：本题考查用向量研究空间的线线垂直与线面垂直，解题方法是建立空间直角坐标系，设出长度得出直线的方向向量，利用向量的数量积为0证明线线垂直．同样利用两个数量积为0研究线面垂直． 19．（24-25高二上�福建莆田�阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．    (1)求证：； (2)求与所成的角的余弦值； 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】求异面直线所成的角、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用正方体三条相互垂直直线建立空间直角坐标系，写出点的坐标即可得到向量坐标，利用向量的数量积为0时，向量垂直即得证； （2）利用点的坐标求出向量坐标，由向量数量积与向量模长求得向量夹角的余弦值. 【详解】（1）如图：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    ∴，，， ∵分别是的中点 ∴ ∴， ∴ ∴ （2）∵，∴， ∴ 由（1）知：， 设与所成的角为 ∴ ∴与所成的角的余弦值为 题型3 空间向量的夹角、模的问题 考点1 求夹角、模的运算 20．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 21．（多选）（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】我们可以利用平面向量的基本定理判断选项A；然后利用向量的坐标运算计算其他选项即可. 【详解】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确； ，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选：AD 22．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时， ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据向量的运算求得其坐标，根据二次函数的性质，求得最值，利用向量模长公式可得答案. 【详解】由题意可知：，可设， ， ， 当时，取得最小值为，此时， 则. 故答案为：. 23．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 24．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 考点2 利用夹角、模的坐标运算求参数 25．（多选）若，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】AD 【知识点】null、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据求出，然后再利用向量模长公式，求出，从而确定的值. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得或. 故选：AD. 26．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 27．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间三点，，，且的面积为，则 ． 【答案】或， 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据坐标算出的、与，即可利用面积为，解方程即可． 【详解】，，， ,,，,,， 由此可得，， 设与的夹角为，则， 则 由于的面积， 故，解得或， 故答案为：或， 28．（多选）（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，，则（ ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 D．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 【答案】AD 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】根据向量的模建立方程，利用方程有解无解判断AB，根据向量夹角公式利用数量积的正负及是否共线判断CD. 【详解】对于A，，，因为， 所以有，整理有， ，所以存在，使得，故A正确； 对于B，，因为，即， 整理有，，， 所以不存在，使得，故B错误； 对于C，，，向量，的夹角是锐角， 则且，不共线， 又， 整理有且 ，因为，，所以，即，解得； 若，即，解得， 所以若，，综上所述，若向量的夹角是锐角， 则的取值范围是：，故C错误； 对于D，若向量的夹角是钝角，则且，不共线， 即且 ，根据C中结果，有且， 所以若向量的夹角是钝角，则的取值范围是，故D正确. 故选：AD 29．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． （2）解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 30．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知向量，则在方向上投影的数量为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西运城·期中）已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·开学考试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 8．（24-25高二上�广东江门�阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·四川成都·开学考试）在空间直角坐标系中，为坐标原点，，，．记在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江西宜春·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B．已知两个向量，，且，则 C．若，且，，则 D．点关于平面对称的点的坐标是 三、填空题 12．（24-25高二下·福建龙岩·期末）已知，，，若，则的值为 . 13．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，三点，点在平面内，点是平面外一点，且，则 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 16．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 17．（24-25高二上·江西景德镇·期末）已知. (1)求向量的坐标； (2)设向量，求； (3)若，求的值. 18．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． (1)求证：； (2)求的长； (3)求． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）． (1)若，求的最小值； (2)若，求与夹角的最大值． 能力提升 20．已知向量，，则的最大值为 ． 21．（25-26高二上·全国·单元测试）在正方体中，，动点满足，则当时， ；当时，的取值范围是 ．    22．（24-25高二上�河北�阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 23．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 24．（多选）（24-25高二上�福建莆田�阶段练习）在正四棱柱中，，点满足，其中，则（    ） A．当时，的面积为定值 B．当时，四棱锥的体积为定值 C．当时，点的轨迹长为 D．当时，的取值范围时 25．（多选）（2025高三�全国�专题练习）正四面体的棱长为，若点是该正四面体外接球球面上的一动点，则的值不可能为（ ） A． B． C． D． 26．（多选）已知单位向量，，两两的夹角均为 (，且)，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，则下列是真命题的有（    ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量，的夹角取得最大值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 27．已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，． (1)求证：面； (2)根据上述定义，计算的绝对值的值； (3)求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 题型1 空间向量的坐标运算 5 考点1 空间向量运算的坐标表示 5 考点2 利用空间向量的坐标运算求坐标 7 题型2 空间向量的平行于垂直问题 8 考点1 空间向量平行、垂直关系的判定 8 考点2 由平行、垂直关系求值 10 题型3 空间向量的夹角、模的问题 18 考点1 求夹角、模的运算 18 考点2 利用夹角、模的坐标运算求参数 22 知识点一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的定义 (1)空间直角坐标系的定义 在空间选定一点和一个单位正交基底(如图).以点为原点,分别以,,的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系,叫做原点,,,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为平面,平面,平面,它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向轴的正方向,食指指向轴的正方向,如果中指指向轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2)空间直角坐标系的画法 在画空间直角坐标系时,一般是遵循以下两点： ①轴与轴、轴与轴的夹角均为(如图所示). ②轴垂直于轴,轴和轴上的单位长度是一致的,与轴、轴平行的线段的长度与实际长度一致,轴上的单位长度取轴(或轴)上的单位长度的一半,与轴平行的线段的长度是实际长度的一半. 2．空间直角坐标系点的坐标 (1)空间点的坐标的定义 在空间直角坐标系中(如图),,,为坐标向量,对空间任意一点,对应一个向量,且点的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中叫做点的横坐标,叫做点的纵坐标,叫做点的竖坐标. (2)几个特殊位置的点的坐标 ①在轴上的点的坐标为 ②在轴上的点的坐标为 ③在轴上的点的坐标为 ④在平面内的点的坐标为 ⑤在平面内的点的坐标为 ⑥在平面内的点的坐标为 (3)空间中点的对称问题:设点为空间直角坐标系中的点,则： ①与关于原点对称的点是 ②与关于轴对称的点是. ③与关于轴对称的点是 ④与关于轴对称的点是 ⑤与关于坐标平面对称的点是 ⑥与关于坐标平面对称的点是. ⑦与关于坐标平面对称的点是 3．空间直角坐标系向量的坐标 在空间直角坐标系中,给定向量,作(如图).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组,使 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标,上式可简记作. 知识点二 空间向量运算的坐标表示 1．空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设,,为坐标原点, 则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 2．空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示 设则 ( , ) ( ,, ) 3．向量长度的坐标计算公式 若则此公式的几何意义表示以,,分别为长、宽、高的长方体的体对角线的长度. 4．两个向量夹角的坐标计算公式 若则 知识点三 空间向量平行于垂直的坐标运算 设则 (1) (2) 注：(1)空间两向量平行与平面向量平行的表达方式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例. (2)空间两向量垂直的充要条件形式上与平面向量垂直类似,仅多了一个基向量. 知识点四 空间向量坐标的应用 1．空间两点间的距离公式 一般地,空间中任意两点间的距离 2．空间两点间的距离公式的推导 设空间中任意两点如图所示,以线段.为体对角线作长方体,使它的所有棱分别与坐标轴平行,则有点 在中, 在中, 故 3．空间直角坐标系中的中点坐标公式 平面内,两点的中点坐标为空间线段的中点坐标公式可以类比平面中的结论得到,即已知空间中两点,,则AB的中点P的坐标为 题型1 空间向量的坐标运算 考点1 空间向量运算的坐标表示 1． 已知，求. 2．（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 3．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 4．已知给出下列等式： ①；②；③ ④.其中正确的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2 利用空间向量的坐标运算求坐标 5．（24-25高二上�山东泰安�期中）已知是坐标原点，且三点的坐标分别是，，，若，则点的坐标为 ；若，则点的坐标为 . 6．（25-26高二上·全国·单元测试）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正方体的棱长为2，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下�四川成都�期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   题型2 空间向量的平行于垂直问题 考点1 空间向量平行、垂直关系的判定 8．已知向量，，，．求证：，． 9．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 10．（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知点是所在的平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知向量，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上都不对 考点2 由平行、垂直关系求值 12．（23-24高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 13．（25-26高二上·山东德州·开学考试）已知． (1)求向量的坐标； (2)若，求的值． 14．已知，若∥，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点3 平行、垂直关系在立体几何中的应用 16．（23-24高二上�辽宁朝阳�阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明： (1)； (2)不与平行； (3)． 17．在正方体中，已知、、、分别是、、和的中点． 证明：（1），； （2）平面. 18．如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论． 19．（24-25高二上�福建莆田�阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，为的中点，应用空间向量方法求解下列问题．    (1)求证：； (2)求与所成的角的余弦值； 题型3 空间向量的夹角、模的问题 考点1 求夹角、模的运算 20．（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 21．（多选）（24-25高二上·河南郑州·期末）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 22．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时， ． 23．已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 24．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 考点2 利用夹角、模的坐标运算求参数 25．（多选）若，且，则的值是（    ） A． B． C． D．4 26．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知空间三点，，，且的面积为，则 ． 28．（多选）（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知在空间直角坐标系中，，，则（ ） A．存在，使得 B．存在，使得 C．若向量的夹角是锐角，则的取值范围是 D．若向量的夹角是钝角，则的取值范围是 29．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知，，，，， (1)若、共线，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 30．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$