1.2空间向量基本定理讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 基础巩固 一、单选题 1．在以下三个命题中，真命题的个数是 ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】①不能构成基底，向量，，一定共面；②向量，与任何一个向量都共面，说明，平行；③，是共面向量，不能构成基底． 【详解】①正确，表示基底的向量必须不共面；②正确，向量，与任何一个向量都不能形成基底，也就是说与任何一个向量都共面，只有当向量，共线时才满足；③不正确，，不共线，当时，，，共面，故只有①②正确．故选C． 【点睛】空间中任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 2．在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（    ）. A．，，，四点不共线 B．，，，四点共面，但不共线 C．，，，四点不共面 D．，，，点中任意三点不共线 【答案】B 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】利用空间向量基底的定义依次判断即可 【详解】选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量，，共面，构不成基底； 选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则，，共面，构不成基底； 选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则，，构不成基底； 选项D对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量，，构不成基底. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量的基底的定义，属于基础题 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】作图，然后根据空间向量基本定理求解即可. 【详解】根据题意，． 故选：B． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 5．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（          ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据向量的加法运算和数乘运算分别利用表示出，加和即可得到结果. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查利用基底表示向量的问题，涉及到向量的加法运算和数乘运算，属于基础题. 6．（24-25高二上�广西钦州�阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 7．已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（    ） A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【解析】本题首先根据得出，然后根据即可列出算式并通过计算得出结果. 【详解】因为，，，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：D. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， 设，，，则不共线． 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在实数使得， 即， 所以，解得，，． 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上�广东广州�阶段练习）平行六面体中，可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】结合图形，依次判断四个选项中的向量是否共面，即可判断是否可以作为基底，从而得到答案. 【详解】    对于A，因为不共面，所以可以作为基底，故A正确； 对于B，因为，共面，所以不可以作为基底，故B错误； 对于C，因为不共面，所以可以作为基底，故C正确； 对于B，因为共面，，共面，所以不可以作为基底，故D错误； 故选：AC. 10．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 【答案】ABD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间基底向量的概念与性质即可判断A，B；根据空间四点共面的充要条件及其推论即可判断C，D. 【详解】对于A，若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基，故A正确； 对于B，与不共线，且不能用和表示，即，，不共面，故B正确； 对于C，由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若， 因为，可得P，A，B，C四点共面，故C错误； 对于D，若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线）， 当时，即，可得，即， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即是A，B，C三点共线的充要条件，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 11．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，9），则在基底下的坐标为 ． 【答案】，，． 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】设，由空间向量基本定理列出方程组，即可求解． 【详解】解：由题意有， 设， 则有，得， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了空间向量基本定理，属简单题． 12．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ． 【答案】2 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据题意利用向量相等列出方程组求出的值． 【详解】因为，且 ， 所以，解得 故答案为：2． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．    【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】用向量表示，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案. 【详解】因为， 设，则， 由于四点共面，故，解得， 故，则． 故答案为：. 四、解答题 14．（2025高二上·全国·专题练习）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间向量的加减运算、判定空间向量共面、空间向量的数乘运算 【分析】（1）根据空间向量的基本定理即可得证； （2）由，结合空间向量的减法和数乘运算可推出，从而得证； （3）由，结合（2）中结论与即可得证. 【详解】（1）由，， 知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； （2）由，，， 得 ， 所以； （3）由（2）知， 所以 ， 所以， 即，又与有一个公共点，所以三点共线． 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用向量的三角形法即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. （3）利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果. 【详解】（1），， 所以． （2），所以，同理可证,所以：． （3）设为异面直线与所成的角， 16．（24-25高二上�山东�期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 【答案】(1)-1 (2) 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用空间向量的基本定理求解即可； （2）设，先利用向量的基本定理求得，因为，所以，求解即可求得. 【详解】（1） ， 而，则，，， 所以 （2）假设存在点，使，设， . 由题意可知设， 又，， 则，， 因为，所以， 即， ∴ . ∴，即，解得， 即时， 则. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知是平行六面体．    (1)在图中标出的结果； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的点，，设，试求的值； (3)设底面是边长为1的正方形，，，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）借助向量空间向量线性运算法则计算后在图中标出即可得； （2）借助向量空间向量线性运算法则计算即可得； （3）借助向量空间向量线性运算法，数量积及其运算律求得，再代入公式求向量夹角的余弦即可. 【详解】（1）如图，取的中点即为所求．    由平行六面体的性质可得， 故． （2） ， 即． （3）， 所以 ． ， ， 所以． 能力提升 18．（24-25高二上�辽宁�阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得. 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得. 故选：D 19．（24-25高二上�广东佛山�阶段练习）设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 【答案】A 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】利用，，是空间一个基底的性质直接求解. 【详解】，，是空间一个基底， 若，，则与不一定垂直，故错误； ，，两两共面，但，，不可能共面，故正确； 对空间任一向量，总存在有序实数组，使，故正确； 设，，共面， 则存在唯一的实数使， 则，方程组无解， 故，，不共面， 则，，一定能构成空间的一个基底，故正确； 故选：. 20．（23-24高二上�全国�课后作业）在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为 ．    【答案】/ 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】根据平行六面体的几何性质，选定一组基底，表示两个垂直的向量，利用垂直向量数量积为零，建立方程，可得答案. 【详解】设，则构成空间的一个基底， 设，因为，所以， 因为， 所以，即， 即，解得． 故答案为：. 21．（多选）在四面体中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 【答案】ABC 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量数量积的应用 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量运算逐项计算判断即得. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由Q为的重心，得， 则， 于是，即，B正确； 对于C，若，，则 ，C正确； 对于D，由四面体的各棱长都为2，得， ， 则，D错误． 故选：ABC 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 题型1 空间向量基底的理解 2 题型2 用基底表示空间向量 6 题型3 由空间向量基本定理求参数 9 题型4 空间向量基本定理的应用 13 知识点一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得 2．空间向量基本定理的证明 如图,已知,,不共面,过点作过点作直线,交平面于点,在平面内过点作,,分别与直线,交于点,,连接,则又向量,共线,所以存在唯一的实数,使,从而而在平面内,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得从而因此,如果,,是空间三个不共面的向量,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得 3.基底与基向量 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量. 注：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 2．正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 题型1 空间向量基底的理解 1．（23-24高二上·山西运城·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】要判断一组向量能否构成空间的一个基底，即判断这组向量是否不共面，逐一分析各选项，找出不共面的向量组即可． 【详解】对于A，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，假设，，共面，则存在实数，使得， 由于为空间的一个基底，所以可得实数的解为， 但与矛盾，假设不成立，即不共面，能构成空间的一个基底，故C正确； 对于D，因为， 所以共面，不能构成空间的一个基底． 故选：C． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 3．（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】作出图形，根据空间向量的线性运算可得，，结合基底的概念依次判断选项即可. 【详解】如图所示，令，，， 则，， 对于A：由四点四点共面，则向量也共面，故A不符合题意； 对于B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意； 对于C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意； 对于D：由不共面，则向量也不共面，故D符合题意.由于 故选：BCD. 4．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】根据空间基底向量的性质逐个选项判断即可. 【详解】对①，若，不共线，则存在向量使得不在，所组成的面上，此时有，，不共面，可以构成空间的一个基底，故，共线，故①正确； 对②，若非零向量，，不构成空间的一个基底，则，，共面，即四点共面，故②正确 对③，由空间向量的基本定理可得③正确. 综上有①②③正确. 故选：D 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量基底概念及辨析、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】设在基底下的坐标为，则，即得，解出即可. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 在下的坐标为， ， 由得， ，即在下的坐标为． 故选：B． 题型2 用基底表示空间向量 6．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的加法运算法则及数乘代换即可. 【详解】如图 ， 故选：C. 7．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由为的重心，得，根据空间向量的运算法则即可求解. 【详解】依题意， ， 故选：A. 8．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 9．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据向量线性运算原则求解即可. 【详解】由题意，， ， 则， 故选：D. 题型3 由空间向量基本定理求参数 10．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知四面体是的重心，若，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】取的中点，根据空间向量线性运算法则及空间向量基本定理计算可得. 【详解】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以. 故选：A. 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】根据垂直时距离最小，即可根据向量的线性运算求解,即可求解. 【详解】当最小时，此时平面，故为等边三角形的中心， 记的中点为，则， 故 ， 故，因此， 故选：C      13．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量的加减运算、空间向量共面求参数、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 题型4 空间向量基本定理的应用 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】先根据空间向量表示，再应用空间向量的数量积运算律计算求解. 【详解】如图所示：    因为六面体是平行六面体， 所以， 则， 由，，，，，设， 故有：， 所以， 得，解得负值舍去 故 故选：B. 16．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据，结合空间向量的基本定理与性质求解即可. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以，相互平分于点， 可得，又为的中点，， 则． 又因为，，，四点共面，所以，即.    故选：B． 17．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 18．（24-25高二下�全国�课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】选择空间中一组基底，利用空间向量数量积公式计算即可. 【详解】选取作为空间的一个基底，设． 由已知条件和三棱柱的性质，得，， ，． 所以， 所以，即． 19．（23-24高二上�安徽�期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）设，，，则为空间的一个基底，根据空间向量的线性运算得出，，，再根据向量的数量积运算得出，，从而得出，进而根据线面垂直的判定定理，即可证明直线平面； （2）根据空间向量的线性运算得出，再根据向量的数量积运算求得和，，最后根据异面直线的夹角公式，即可求出直线和夹角的余弦值. 【详解】（1）设，，， 则为空间的一个基底，且，，， 因为，， 则，， 可得，， 即，且，平面， 所以平面. （2）由（1）得， 则， ，即， 则，即， 设与的夹角为，则， 所以直线和夹角的余弦值为. 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理 基础巩固 一、单选题 1．在以下三个命题中，真命题的个数是 ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底． A． B． C． D． 2．在空间四点，，，中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（    ）. A．，，，四点不共线 B．，，，四点共面，但不共线 C．，，，四点不共面 D．，，，点中任意三点不共线 3．（24-25高二下·江苏南京·期中）在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（   ） A． B． C． D． 5．在平行六面体，设，，，分别是，，的中点，则（       ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上�广西钦州�阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 7．已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（    ） A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1 8．（25-26高二上·全国·课后作业）若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D．0 二、多选题 9．（23-24高二上�广东广州�阶段练习）平行六面体中，可以作为空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，与任何向量都不能构成空间的一组基 B．若是空间的一组基，则也是空间的一组基 C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点不共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有（，不共线），则是A，B，C三点共线的充要条件 三、填空题 11．已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底．若向量在基底下的坐标为（3，5，9），则在基底下的坐标为 ． 12．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ． 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在一次手工创作课上，有一位同学需要将一个如图所示的木质的正四棱锥模型用一个平面进行切割，已知该四棱锥的底面边长和侧棱长均为4，切割平面必须过点，且分别交于点，若，，则的值为 ．    四、解答题 14．（2025高二上·全国·专题练习）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知棱长为1的正四面体，分别是，的中点． (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，； (3)求与所成角的余弦值． 16．（24-25高二上�山东�期中）如图，N是三棱柱的棱的中点， (1)若，求的值； (2)若，，平面，点M在棱上，使，求的值. 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，已知是平行六面体．    (1)在图中标出的结果； (2)设是底面的中心，是侧面对角线上的点，，设，试求的值； (3)设底面是边长为1的正方形，，，求的值． 能力提升 18．（24-25高二上�辽宁�阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，，若不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上�广东佛山�阶段练习）设，，是空间一个基底，下列选项中错误的是（   ） A．若，，则 B．则，，两两共面，但，，不可能共面 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．则，，一定能构成空间的一个基底 20．（23-24高二上�全国�课后作业）在如图所示的平行六面体中，已知，，为上一点，且．若，则的值为 ．    21．（多选）在四面体中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若Q为的重心，则 C．若，，则 D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 题型1 空间向量基底的理解 2 题型2 用基底表示空间向量 6 题型3 由空间向量基本定理求参数 9 题型4 空间向量基本定理的应用 13 知识点一 空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得 2．空间向量基本定理的证明 如图,已知,,不共面,过点作过点作直线,交平面于点,在平面内过点作,,分别与直线,交于点,,连接,则又向量,共线,所以存在唯一的实数,使,从而而在平面内,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得从而因此,如果,,是空间三个不共面的向量,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得 3.基底与基向量 如果三个向量，，不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量，，生成的，我们把叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量. 注：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示. 2．正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 题型1 空间向量基底的理解 1．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ）. A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　） A． B． C． D． 4．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是（    ） ①若，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ②若非零向量，，不构成空间的一个基底，则四点共面； ③若向量，，构成空间的一个基底，则空间内的任意向量可表示为，． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型2 用基底表示空间向量 6．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知空间四边形，，分别是边，的中点，点在线段上，且使，用向量，，表示向量是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·广东·阶段练习）在三棱锥中，分别为线段的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 题型3 由空间向量基本定理求参数 10．（2025·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知四面体是的重心，若，则（   ） A．0 B． C． D． 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）已知点是正四面体底面内一点，满足，其中，当最小时，的值为（   ） A． B． C．2 D．1     13．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 题型4 空间向量基本定理的应用 15．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在平行六面体中，，，，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 16．（2025高二·全国·专题练习）已知四棱锥的底面为平行四边形，为的中点，，若平面与棱相交于点，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 17．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 18．（24-25高二下�全国�课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：． 19．（23-24高二上�安徽�期末）如图在平行六面体中，，．    (1)求证：直线平面； (2)求直线和夹角的余弦值． 20．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$