1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量及其线性运算 题型1 空间向量的有关概念 5 题型2 空间向量的加减和数乘运算 7 题型3 共线向量定理的应用 10 题型4 共面向量定理的应用 14 考点1 空间向量共面的判断及应用 14 考点2 由空间向量共面求参数 18 知识点一 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 表示方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 符号表示 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量,,其模分别记为,. 空间向量可用有向线段表示.如图,向量的起点是,终点是,则向量可记作,其模记为或 2．几类常见的空间向量 名称 定义 方向 模 记法 零向量 长度为的向量叫做零向量，记为 任意 单位向量 模为的向量叫做单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为 相反 相等 的相反向量: 的相反向量: 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量 相同 相等 注：理解空间向量相关概念的注意点 ①单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向.需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. ②在平面内，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间中，这个结论同样成立. ③和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. ④向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等. 知识点二 空间向量的线性运算 1．空间向量的加减运算 已知空间向量，，以任意点为起点，作向量,,我们就可以把它们移到同一平面内，如图1. 类似于平面向量加法运算的三角形法则，如图2，可知.类似于平面向量加法运算的平行四边形法则，如图3，可知,. 2．运算律 (1)交换律:； (2)结合律:. 注：①空间向量的加减运算是类比平面向量的加减运算定义的，因此，平面向量中的有关运算律和结论在空间向量中仍然适用. ②空间向量加法的三角形法则可以推广为多个向量相加的情况： (1)首尾相接的若干个空间向量,,,相加，等于由起始向量的起点指向末向量的终点的向量，如图所示：. (2)首尾相接的若干个空间向量,,,相加，若构成一个封闭的图形，则它们的和为，即(点与点重合) . ③空间向量的减法也可以看成是向量的加法运算，即. ④由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律. ⑤空间向量加法结合律的证明：如图所示，,,所以 3．空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量,称为空间向量的数乘. 任何实数与向量的积仍是一个向量. 几何意义 与向量的方向相同. 的长度是的长度的倍. 与向量的方向相反. ,其方向是任意的. 运算律 结合律 (其中). 分配律 ,(其中). 注：①非零向量与的方向要么相同，要么相反. ②由于向量，可平移到同一个平面内，因此，，，也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律. ③根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立. ④实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法运算. 知识点三 共线向量与共面向量 1．共线向量 (1)定义：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作： 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 (2)共线向量基本定理：对任意两个空间向量，,的充要条件是存在实数，使 (3)方向向量：如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 2．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. (2)共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 (3)共面向量定理的推论：如图，空间一点位于平面内(即，，，四点共面)的充要条件是存在有序实数对，使; 或存在有序实数对，对空间任意一点，有；或存在有序实数组，对空间任意一点，有(其中 注：①与空间任意向量都是共线向量. ②与共线时，表示与的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线. ③共线向量定理中的不可去掉，否则实数可能不唯一. ④空间任意两个向量必共面，但空间任意三个向量不一定共面. ⑤空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. ⑥空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 题型1 空间向量的有关概念 1．（多选）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 3．（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 4．给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（     ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 题型2 空间向量的加减和数乘运算 5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    7．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型3 共线向量定理的应用 10．（21-22高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 11．如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 12．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ） A． B． C． D． 14．已知，，若，求实数的值. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 共面向量定理的应用 考点1 空间向量共面的判断及应用 16．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）.则所有真命题的序号是 ． 17．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 18．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 19．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，． (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 20．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 考点2 由空间向量共面求参数 21．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 22．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 27．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上�河南商丘�阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（    ） ①；        ②； ③；        ④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（24-25高二下�湖北随州�阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上�陕西渭南�期末）如图，在四面体中，，点M在上，且，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上�广东广州�阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上�安徽合肥�期中）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 8．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 13．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝ ；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 16．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    17．（24-25高二下�甘肃甘南�期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 18．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 19．（23-24高二下�江苏连云港�阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 能力提升 1．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 2．在四面体中，在面内，在面内，且满足，若，则线段与的关系是（    ） A．与所在直线是异面直线 B．与所在的直线平行 C．线段与必相交 D．线段与延长后相交 3．（24-25高二上�江苏无锡�阶段练习）如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（    A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且， 平面过点，则点到平面的距离为 5．（23-24高一下�湖南岳阳�期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 6．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 7．如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    8．如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上�河南商丘�阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、零向量与单位向量、空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 2．在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（    ） ①；        ②； ③；        ④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的运算法则直接计算即可判断. 【详解】，①错； ，②错； ，③对； ，④对． 故选：C． 【点睛】本题考查空间向量的运算，属于基础题. 3．（24-25高二下�湖北随州�阶段练习）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】由空间向量的线性运算即可求解； 【详解】=. 故选：C. 4．（24-25高二上�陕西渭南�期末）如图，在四面体中，，点M在上，且，点N为BC的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】在四面体中， . 故选：D. 5．已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量共线的判定、空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解. 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 6．（24-25高二上�广东广州�阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7．（23-24高二上�安徽合肥�期中）如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台，若，点在上，且，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的基本定理可求解. 【详解】因为:， 所以：.又因为：， 所以：， 所以：. 故C项正确. 故选：C. 8．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面 【答案】D 【知识点】空间中的点（线）共面问题、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线和四点共面的条件进行判断即可． 【详解】，，不共线，故A错误； ，则，即与不共线，故B错误； 若，则， 则，得，即， 则，，，四点共面，故C错误；D正确； 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算、向量减法的法则 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 10．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高二下·江苏连云港·期中）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【知识点】平面向量基本定理的应用、判定空间向量共面 【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 13．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则的值是 ． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理直接求解即可. 【详解】四点共面，， ，解得：. 故答案为：. 14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若，则μ＝ ；存在三个不为0的实数λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值为 ． 【答案】 －1 0 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】根据A、B、C三点共线，，得2＋μ＝1，即可求得，由得，可得，即可得λ＋m＋n. 【详解】解：由A、B、C三点共线，，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1， 又由，得， 由A，B，C三点共线知：，则λ＋m＋n＝0． 故答案为：-1；0. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课前预习）已知，，三点不共线，平面外一点，满足，判断，，三个向量是否共面． 【答案】，，三个向量共面 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【详解】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 16．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量共线的判定 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    17．（24-25高二下�甘肃甘南�期中）如图，在平行六面体中 ，E，F 分别在和上，.    (1)求证：A，E，，F四点共面； (2)若，求x+y+z 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明； （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， 所以A，E，，F四点共面. （2） ， ，，， . 18．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 19．（23-24高二下�江苏连云港�阶段练习）已知，，是空间中不共面的向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量共面求参数 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值． 【详解】（1）因为三点共线，则， 又， ， 有}解得； （2）因为四点共面，则， 则， 有 解得， 所以， 当时，取到最大值 能力提升 1．（多选）给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 【答案】BC 【知识点】相等向量、向量减法的法则、用基底表示向量、判定空间向量共面 【分析】根据向量相等不能得出线段相等判断A选项，根据向量减法得出判断B选项，根据重心性质得出向量关系判断C选项，应用特殊向量判断共面判断D选项. 【详解】在平行四边形ABDC中，满足，但不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD不为同一线段，A不正确. 因为，所以，所以，所以，所以，即，B正确. 若Q为的重心，则，所以，所以，即，C正确. 在三棱柱中，令，，，满足与，与，与都是共面向量，但，，不共面，D不正确. 故选：BC. 2．在四面体中，在面内，在面内，且满足，若，则线段与的关系是（    ） A．与所在直线是异面直线 B．与所在的直线平行 C．线段与必相交 D．线段与延长后相交 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面 【分析】分与且两种情况讨论，根据空间向量基本定理得到四点共面，即可判断. 【详解】若，则， ，所以四点共面. 又与不平行； ∴线段与线段相交. 若且，；∴, 不妨设，则, ∴, 即,四点共面, 又与不平行；∴线段与线段相交. 故选：C. 3．（24-25高二上�江苏无锡�阶段练习）如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量加减、数乘的几何意义得到，再由四点共面的推论得，即可得答案. 【详解】由题设，而， 所以， 又四点共面，则，所以. 故选：C 4．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（   ） A．若，则平面 B． C．若且平面过点，则的最小值为4 D．若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、证明线面平行、空间向量的加减运算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D. 【详解】对于选项 A，因为，即，所以，从而平面， 又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确； 对于选项B， 连接并延长交于点H ，连接，则，因为O是重心，所以 ，故B错误； 对于选项C，因为，且，所以，又因为平面过点O，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项 D，延长交于Q，连接，并延长交于F ， 设，在如图②所示的图形中，由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为三点共线，所以，所以 ，即， 所以点F到平面的距离为点C到平面的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为，即点C到平面的距离为，故点F到平面得距离为.故D正确. 故选：ACD. 5．（23-24高一下�湖南岳阳�期末）已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】设，以为基底表示，由共面，求出，可得的值和，可求. 【详解】， 设， 由共面，有，解得，故. 又，有， 则. 故答案为：；2． 6．（23-24高二下·江苏·期中）已知三棱锥的体积为，是空间中一点，，则三棱锥的体积是 . 【答案】4 【知识点】锥体体积的有关计算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】，故，， 不妨令，则，又，故点共面， 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据，转化为，再根据四点共面的向量表示，从而确定的位置，进而求得体积. 7．如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线.    【答案】证明见解析. 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】由空间向量的共线定理证明， 【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE，    因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设，，， 因为M为BCD的重心， 所以 因为，所以， 所以， 同理得， ∴. 又， ∴B，G，N三点共线 8．如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【知识点】判定空间向量共面 【分析】把通过，用和线性表示，得它们共面，从而可得四点共面． 【详解】证明：连接，，，，，．易知，，∴，． ．（*） ∵，，三点共线及，，三点共线， ∴存在实数，，使得，， 代入（*）式，得， ∴，∴，，共面． 又，，过同一点， ∴，，，四点共面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1 空间向量及其线性运算 题型1 空间向量的有关概念 5 题型2 空间向量的加减和数乘运算 7 题型3 共线向量定理的应用 10 题型4 共面向量定理的应用 14 考点1 空间向量共面的判断及应用 14 考点2 由空间向量共面求参数 18 知识点一 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 表示方法 几何表示 与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模. 符号表示 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量,,其模分别记为,. 空间向量可用有向线段表示.如图,向量的起点是,终点是,则向量可记作,其模记为或 2．几类常见的空间向量 名称 定义 方向 模 记法 零向量 长度为的向量叫做零向量，记为 任意 单位向量 模为的向量叫做单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为 相反 相等 的相反向量: 的相反向量: 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量 相同 相等 注：理解空间向量相关概念的注意点 ①单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向.需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等. ②在平面内，若以两个同向向量为对边可构成平行四边形，则这两个向量相等，在空间中，这个结论同样成立. ③和平面向量一样，若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，但起点、终点未必相同. ④向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.因此，关于两个向量的比较，我们仅研究二者是否相等. 知识点二 空间向量的线性运算 1．空间向量的加减运算 已知空间向量，，以任意点为起点，作向量,,我们就可以把它们移到同一平面内，如图1. 类似于平面向量加法运算的三角形法则，如图2，可知.类似于平面向量加法运算的平行四边形法则，如图3，可知,. 2．运算律 (1)交换律:； (2)结合律:. 注：①空间向量的加减运算是类比平面向量的加减运算定义的，因此，平面向量中的有关运算律和结论在空间向量中仍然适用. ②空间向量加法的三角形法则可以推广为多个向量相加的情况： (1)首尾相接的若干个空间向量,,,相加，等于由起始向量的起点指向末向量的终点的向量，如图所示：. (2)首尾相接的若干个空间向量,,,相加，若构成一个封闭的图形，则它们的和为，即(点与点重合) . ③空间向量的减法也可以看成是向量的加法运算，即. ④由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律. ⑤空间向量加法结合律的证明：如图所示，,,所以 3．空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样,实数与空间向量的乘积仍然是一个向量,称为空间向量的数乘. 任何实数与向量的积仍是一个向量. 几何意义 与向量的方向相同. 的长度是的长度的倍. 与向量的方向相反. ,其方向是任意的. 运算律 结合律 (其中). 分配律 ,(其中). 注：①非零向量与的方向要么相同，要么相反. ②由于向量，可平移到同一个平面内，因此，，，也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律. ③根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立. ④实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法运算二 知识点三 共线向量与共面向量 1．共线向量 (1)定义：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作： 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有 (2)共线向量基本定理：对任意两个空间向量，,的充要条件是存在实数，使 (3)方向向量：如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量.这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 2．共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. (2)共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 (3)共面向量定理的推论：如图，空间一点位于平面内(即，，，四点共面)的充要条件是存在有序实数对，使; 或存在有序实数对，对空间任意一点，有；或存在有序实数组，对空间任意一点，有(其中 注：①与空间任意向量都是共线向量. ②与共线时，表示与的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线. ③共线向量定理中的不可去掉，否则实数可能不唯一. ④空间任意两个向量必共面，但空间任意三个向量不一定共面. ⑤空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定. ⑥空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 题型1 空间向量的有关概念 1．（多选）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 2．（多选）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 3．（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 4．给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（     ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【答案】B 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定否定④；根据向量的加法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确. 【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误； 对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误； 对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误； 对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误； 对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题只有⑤， 故选：. 题型2 空间向量的加减和数乘运算 5．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 6．（2025高二·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简： ， ， ．    【答案】 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 7．（24-25高二上·天津·期末）如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 8．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 9．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 题型3 共线向量定理的应用 10．（21-22高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 11．如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 【答案】证明见解析. 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定、用空间基底表示向量 【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答. 【详解】在正方体中，令， ，BD与AC交于点M，即点M是的中点， 于是 ， ， 因此，即，而直线与直线有公共点， 所以三点共线. 12．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、空间向量共线的判定 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 13．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量基本定理及其应用 【分析】设，由空间向量的线性运算可得，由空间向量基本定理即可求解. 【详解】设，因为 ， 所以，，. 因为，所以. 故选:B. 14．已知，，若，求实数的值. 【答案】 【知识点】空间共线向量定理的推论及应用 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件得到关于的等量关系，然后求解方程组可得. 【详解】∵∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、由空间向量共线求参数或值 【分析】利用三点共线得到，再使用共线向量定理即可. 【详解】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 题型4 共面向量定理的应用 考点1 空间向量共面的判断及应用 16．（24-25高二上·上海·期末）有以下命题： ①若（），则与、共面； ②若与、共面，则（）； ③若（），则M、P、A、B共面； ④若M、P、A、B共面，则（）. 则所有真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【知识点】判定空间向量共面 【分析】根据空间向量的共面定理，逐项判断即可. 【详解】由空间向量的共面定理可知，①和③是真命题； 对于②，当与共线，且与、不共线时，满足与、共面， 但不存在实数组，使成立，故②是假命题； 对于④，当M、A、B共线且P与M、A、B不共线时，满足M、P、A、B共面， 但不存在实数组，使成立，故④是假命题. 故答案为：①③. 17．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【知识点】判定空间向量共面 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 19．（23-24高三上·四川成都·开学考试）在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明出四点共面. 【详解】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面且有公共点，则四点共面； 20．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点． (1)若，求证：； (2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间共线向量定理的推论及应用、判定空间向量共面、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】（1）方法一：利用回路法,通过两个不同“路径”表示，再利用相反向量的性质即可得证； 方法二：由，利用平面向量中的定比分点公式结合向量的减法即可得证. （2）同理（1）得，，然后结合空间向量的共面定理证明四点共面 【详解】（1）证法1：由得，，， ，， 因为①；②， 由①②，得 ， 所以 证法2：设是平面内一点， 由平面向量中的定比分点公式可得，， 即. （2）由，分别是，上的动点，设, 因为，分别为，的中点，即， 根据（1）的结论，得. 又因为分别为，的中点， 所以，， ， 即直线在平面上，所以，，，四点共面． 考点2 由空间向量共面求参数 21．（24-25高二下·上海·期中）已知四点共面，且任意三点不共线，为平面外任意一点，若，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量共面定理即可求得. 【详解】∵， 由空间向量共面定理得：， 故答案为：. 22．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 23．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 24．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 25．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 26．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设正三棱锥O-ABC的棱长都是2，若点P满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】正棱锥及其有关计算、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由点满足，且，所以点在平面内，当为正三棱锥O-ABC的高时最小. 【详解】点满足，且， 所以点在平面内，因为正三棱锥O-ABC的棱长都是2， 所以当点与点在平面内的射影重合时， 即长为正三棱锥O-ABC的高时，取到最小值， 此时的最小为：. 故答案为：. 27．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为， 所以的最小值为. 故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $$