2.2基本不等式讲义（3知识点+8题型）-2025-2026学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本不等式的证明与理解 基本不等式的证明 不等式a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立，这个是在重要不等式∀a，b∈R，a2+b2≥2ab基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2.基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 利用基本不等式求简单式子的最值 1.利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 2.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 3.利用基本不等式求复杂式子的最值问题 (1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. (2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 思路方法总结 1.利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 2.与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 3.利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 典例·举一反三 题型一 基本不等式的理解 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 4．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 5．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 题型二 基本不等式比较大小 6．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式求最值 11．已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 12．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 13．下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 14．已知，且，则（    ） A． B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是1 15．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 题型四 基本不等式“1”的妙用 16．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 17．已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 18．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 19．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 20．已知，则的最小值为 ． 题型五 条件等式求最值 21．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 23．若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 24．若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 25．若，，，则的取值范围为 ． 题型六 基本不等式恒成立问题 26．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 28．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 29．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 30．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 31．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 32．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 33．已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 题型七 基本不等式证明不等式 34．选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 35．（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 36．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 37．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 38．已知，，，且，证明： (1)； (2). 题型八 基本不等式的实际应用 39．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 40．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 41．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 42．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 43．近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 基本不等式 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 基本不等式的证明与理解 基本不等式的证明 不等式a+b≥2当且仅当a=b时，等号成立，这个是在重要不等式∀a，b∈R，a2+b2≥2ab基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) ≥0，即当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法三　(利用几何意义证明) 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 1.重要不等式 （1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． 【说明】，当且仅当时，等号成立． （2）常见变形：、、． 2.基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，则当且仅当a=b时，等号成立. （2）叫做正数a，b的算术平均数叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 注意点： (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. (3)常见变形：； (4)常用结论： ①（同号），当且仅当时取等号； （异号），当且仅当时取等号． ②（），当且仅当时取等号； 知识点2 基本不等式的变式与拓展 1、基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 2、基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． （2）元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 利用基本不等式求简单式子的最值 1.利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 2.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换； ②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； ③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 3.利用基本不等式求复杂式子的最值问题 (1)常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. (2)对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (3)当式子的一部分(比如分母)比较复杂时，可以通过换元简化表达式. 思路方法总结 1.利用基本不等式证明不等式的策略 (1)利用基本不等式证明不等式时，可依据要求证不等式的两端的结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2+b2≥2ab(a，b∈R)，可变形为ab≤(a>0，b>0)可变形为ab≤等.同时要从整体上把握基本不等式，如a4+b4≥2a2b2，a2b2+b2c2≥2(ab)(bc)，都是对“a2+b2≥2ab，a，b∈R”的灵活应用. (2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意多次运用基本不等式时等号成立的条件. (3)当不能直接利用基本不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式. 2.与基本不等式有关的恒成立问题 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 3.利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意.设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值.利用基本不等式求最值； (3)检验.检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论. 典例·举一反三 题型一 基本不等式的理解 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 2．若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 3．如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 4．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 5．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 题型二 基本不等式比较大小 6．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 8．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式及不等式的性质依次判断各项的正误. 【详解】用替代中的，得到，当且仅当时取等号，故A正确； 取，则，故B错误； ，当且仅当时取等号，故C正确； 因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 10．设，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式判断大小关系，即可得答案. 【详解】由，则，故， 综上，有，B对，A、C、D错. 故选：ACD 题型三 基本不等式求最值 11．已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 12．已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 13．下列结论正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 14．已知，且，则（    ） A． B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最大值是1 【答案】ABD 【分析】易求得，可判断A；利用基本不等式可得，可判断B；由，可求得最大值与最小值，可判断CD. 【详解】由，可得，因为，所以，解得， 又，所以，即，故A正确； 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，故B正确； 由，可得，所以， 当时，取最小值，最小值是，故C错误； 当或时，取最大值，最大值是，故D正确. 故选：ABD. 15．已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 题型四 基本不等式“1”的妙用 16．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据条件，利用“”的妙用，即可求解. 【详解】因为正数满足，则， 当且仅当，即时取等号， 故选：B. 17．已知，则的最小值为（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【分析】由基本不等式乘“1”法求解即可； 【详解】由， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 18．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 19．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【分析】利用“1”代换及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 20．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】变形目标式，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型五 条件等式求最值 21．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立， 故ab的取值范围是． 故选：D． 22．已知正实数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由，得，再根据基本不等式即可得解. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 23．若实数满足，则的最大值为（    ） A． B．8 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知等式结合基本不等式计算即可. 【详解】，所以， 解得，当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最大值为4. 故选:D. 24．若正数a、b满足，则ab的最小值为 ． 【答案】25 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式进行求解即可解答． 【详解】， 所以， 即， 当且仅当时等号成立， 故答案为：25． 25．若，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将已知条件化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，又， 当且仅当时等号成立，故，解得，即． 故答案为： 题型六 基本不等式恒成立问题 26．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 27．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 28．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】解： 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 对于任意恒成立，所以 所以符合条件有，， 故选： CD． 29．若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 30．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 31．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 32．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 33．已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【详解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 题型七 基本不等式证明不等式 34．选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 35．（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 36．已知． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 ，   当且仅当，即，时等号成立． 37．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 38．已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 题型八 基本不等式的实际应用 39．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 40．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 41．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 42．我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量x（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)当2023年年产量为多少时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2)当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，； 当时，， 所以 （2）当时，，当时，万元； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，万元. 因为，故最大利润是8250万元. 答：当2023年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 43．近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题： (1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数； (2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ 【答案】(1) (2)该运动员在时，体力达到最低值，为 【分析】（1）利用给定条件求解函数解析式即可. （2）结合上问结论用一次函数性质结合基本不等式分别求解最小值，再进行比较，得到最终结果即可. 【详解】（1）由题意写出速度关于时间的函数 代入与公式可得 即 （2）由一次函数性质得①稳定阶段中单调递减， 此过程中； ②调整阶段， 则有， 当且仅当，即时，等号成立， 所以调整阶段中体力最低值为， 由于， 因此该运动员在时，体力达到最低值，为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$