精品解析：河南省南召县云阳镇中2025--2026学年上学期开学考试九年级数学练习

2025年秋期九年级开学练习 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，任何非零数的零指数幂均为1，0的零指数幂无意义. 直接根据零指数幂计算即可. 【详解】 故选：B 2. 某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此可得答案． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形， 故错误的只有④， 故选： D． 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变． 【详解】解：． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，且随的增大而减小，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点所在的象限，根据正比例函数的性质，结合点的坐标特征，判断k和a的符号，从而确定点所在的象限，即可作答． 【详解】解：∵随的增大而减小， ∴正比例函数的，且经过第二、四象限， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴在第二象限， 故选：B 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，得到四边形的对角线互相垂直平分，得到四边形是菱形，不符合题意； B、根据四边相等的四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； C、，得到四边形的一组对边平行且相等，进而得到四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，得到四边形是菱形，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，不能得到四边形为菱形，符合题意； 故选D． 7. 张先生计划端午节假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民宿三个方面进行评分（10分制）,四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是（ ） A. 五朵山 B. 石头村 C. 宝天曼 D. 百尺潭 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权）．数据的权能反映数据的相对“重要程度”，对于同样的一组数据，若权重不同，则加权平均数很可能是不同的． 分别求出每个景区的加权平均数，比较即可. 【详解】解：五朵山： 宝天曼： 石头村： 百尺潭： ∵， ∴他最终选择的景区是五朵山， 故选：A 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 9. 已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解和解不等式等知识，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是根据． 方程去分母化为整式方程，求得，再根据方程的解是负数，，可得，且，即可求解； 【详解】解：去分母得，， 方程的解是负数， ， 解得： ， 的取值范围是且． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则x的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件：分子等于零，分母不为零解决此题． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：3． 12. 矩形对角线与相交于，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，根据矩形的性质可求解． 【详解】解：矩形中，， ∴， 故答案为：2． 13. 某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路1.5x米，根据题意，列方程解答即可． 【详解】设原计划每天修建道路x米，则实际每天修1.5x米， 可得： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）已知函数．若函数图象经过原点，求m的值； （2）化简：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把原点代入得，可求出m的值； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，分子分母因式分解后约分可得结果． 【详解】解：（1）∵函数图象经过原点， ∴， 解得． （2） ． 17. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】（1）， （2）整数的值为0，1，3 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【小问1详解】 解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， 【小问2详解】 解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 18. 2025年是中国人民抗日战争与世界人民反法西斯战争胜利80周年．南召县地处豫西山区，是豫西南的交通要道和军事要冲，在抗日战争时期有着重要的历史地位和贡献．为了传承南召县的抗战精神，某校在七八年级各随机抽取10名学生，以答卷的形式调查学生对南召县抗战史的了解情况，答卷成绩（满分10分）收集整理如下：七年级成绩：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10；八年级成绩：5、5、6、7、7、8、8、8、9、9；成绩统计分析表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 6 八年级 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________． （2）根据以上数据，你认为哪个年级对南召抗战史更了解？请说明理由． （3）若该校八年级学生共有750人，成绩达到8分及8分以上为“非常了解”，请估计八年级学生对南召抗战史“非常了解”的人数． （4）为了继承和弘扬南召县的抗战精神，请你对学校提出一条合理化的建议． 【答案】（1）6，，8 （2）八年级对南召抗战史更了解，理由见解析 （3）375人 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查了统计的应用． （1）根据题干所给数据分别计算即可； （2）根据已知数据分析即可； （3）用750乘以成绩达到8分及8分以上的比例即可； （4）合理提出建议即可． 【小问1详解】 七年级成绩：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10； 可知七年级中位数 八年级成绩：5、5、6、7、7、8、8、8、9、9；8出现次数最多， 可知八年级平均数，众数 故答案为：6，，8 【小问2详解】 八年级对南召抗战史更了解，理由如下：八年级平均数大于七年级的，且八年级方差小于七年级的，成绩更稳定，所以八年级对南召抗战史更了解 【小问3详解】 （人） ∴八年级学生对南召抗战史“非常了解”的人数为375人 【小问4详解】 组织学生观看南召抗战史影视资料． 19. （1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 【答案】（1）①相等；②相等；③互相平分； （2）若选择性质1： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质1． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接 ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 若选择性质2： 在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质2． 已知：是平行四边形，求证：，． 证明：连接， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 同理可证：． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质． （1）根据平行四边形的性质解答即可； （2）选择性质1，连接，证明即可证明结论成立． 【详解】（1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分． 故答案为：①相等；②相等；③互相平分； （2）略 20. 图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示． （1）小刚家与学校的距离为___________，小刚骑自行车的速度为________； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式； （3）小刚出发35分钟时，他离家有多远? 【答案】（1）3000，200；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可； （2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可； （3）小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当时，函数值即可． 【详解】解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆， ∴小刚家与学校的距离为3000m， 小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m， 行驶的路程为5000-3000=2000m， 骑自行车的速度为2000÷10=200m/min， 故答案为：3000，200； （2）小刚从图书馆返回家的时间：． 总时间：． 设返回时与的函数表达式为， 把代入得：， 解得，， ． （3）小刚出发35分钟，即当时， ， 答：此时他离家． 【点睛】本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键． 21. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：点为中点， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）48 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可得证； （2）根据菱形的周长为40求出，由平行线与间的距离为6求出，然后根据矩形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵若菱形的周长为40， ∴， 又∵平行线与间的距离为6，且， ∴， ∴， ∴． 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x 轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则 ． ②在①的条件下，也在双曲线上，则经过E、F点的直线解析式是 ． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ．（多选） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点 ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是；4； （2）①18；②； （3）①； ②如图：    ； ③A，B； （4）是定值，． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到b的值； （2）①根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ②先由①得出点F的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图象可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴点不是“美好点”， ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①∵是“美好点”， ∴， 解得：， ∴， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②∵在双曲线上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ∴， ∴； （3）①∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴ ∴, ∴y关于x的函数表达式为：； ②该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B．由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意； C．y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D．当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：A、B； ④∵， ∴， ∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 解：成立，理由如下： 如图，在上取一点G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴，即， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论成立． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）通过构造中点G，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明． （2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论E在上什么位置，都成立． （3）借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将，，转化到一条线段上找关系即可． （4）通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况，最后结合正方形边长求出最小值，利用对称性质将转化，根据两点之间线段最短求的最小值． 【小问1详解】 解：猜想，依据是，理由如下： 取中点G，连接，如图① ∵点E、点G分别为、中点， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵为正方形外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，有， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将绕点A逆时针旋转得到， 由（2）可知，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴点N、D、M三点共线， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 故答案为：； 【小问4详解】 解：作点A关于直线的对称点，连接，，， 延长，作于点，如图， ∵点A关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴若使最小，则需点D、F、三点共线，最小值为的长度， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，图形的旋转，轴对称的性质，本题围绕正方形中与相关的图形展开，需熟练掌握边角边的证明以及边角边的证明三角形全等的证明方法，再根据三点共线，即最短是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期九年级开学练习 数 学 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项正确，每小题3分，共30分） 1. 计算的结果是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 2. 某型号手机搭载的麒麟9020芯片工艺接近工艺水平（），数据0.000000004用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①对角线相等 B. ③对角线互相垂直 C. ②有一组邻边相等 D. ④对角线互相平分 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图象上，且随的增大而减小，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 张先生计划端午节假期与家人一同前往南召县景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对南召的五朵山、宝天曼、石头村、百尺潭四个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民宿三个方面进行评分（10分制）,四个景区的评分如下表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 五朵山 10 7 7 宝天曼 9 7 8 石头村 6 8 9 百尺潭 8 6 6 张先生按照自己认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是（ ） A. 五朵山 B. 石头村 C. 宝天曼 D. 百尺潭 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 已知关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 或 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则x的值是_______． 12. 矩形对角线与相交于，若，则______． 13. 某工程队修建一条长1200m的道路；采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务，设这个工程队原计划每天修建道路xm，则列出的方程为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（10+9+9+9+9+9+10+10=75分） 16. （1）已知函数．若函数图象经过原点，求m的值； （2）化简：． 17. 已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． （1）求的值． （2）当分式的值为正整数时，求整数的值． 18. 2025年是中国人民抗日战争与世界人民反法西斯战争胜利80周年．南召县地处豫西山区，是豫西南的交通要道和军事要冲，在抗日战争时期有着重要的历史地位和贡献．为了传承南召县的抗战精神，某校在七八年级各随机抽取10名学生，以答卷的形式调查学生对南召县抗战史的了解情况，答卷成绩（满分10分）收集整理如下：七年级成绩：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10；八年级成绩：5、5、6、7、7、8、8、8、9、9；成绩统计分析表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 6 八年级 b c 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空： ________， ________， ________． （2）根据以上数据，你认为哪个年级对南召抗战史更了解？请说明理由． （3）若该校八年级学生共有750人，成绩达到8分及8分以上为“非常了解”，请估计八年级学生对南召抗战史“非常了解”的人数． （4）为了继承和弘扬南召县的抗战精神，请你对学校提出一条合理化的建议． 19. （1）填空：①平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边________． ②平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角________． ③平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线________． （2）在（1）中的性质1和性质2中选一个性质，补充完整并证明，我选性质______． 已知：是平行四边形，求证：________． 20. 图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示． （1）小刚家与学校的距离为___________，小刚骑自行车的速度为________； （2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式； （3）小刚出发35分钟时，他离家有多远? 21. 如图，菱形的对角线与相交于点，点为中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的周长为40，平行线与间的距离为6，求四边形的面积． 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x 轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且k为常数）上，则 ． ②在①的条件下，也在双曲线上，则经过E、F点的直线解析式是 ． 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ．（多选） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点 ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 23. 探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点． （1）观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为________． 证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是_________________． （2）数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由． （3）结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为________． （4）结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为4，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $