精品解析：北京市平谷中学2025-2026学年高三上学期开学检测数学试题

平谷中学2025-2026高三暑假检测数学试卷 第Ⅰ卷(选择题共40分) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解方法求解集合，再结合并集的定义即可得到答案. 【详解】由解得，即， 结合，则. 故选：B. 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例结合函数的性质逐项判断可确定选项. 【详解】函数定义域为，定义域不关于原点对称，故该函数不是奇函数，选项A错误； 设，定义域为，由得，， 故在定义域内不是减函数，选项B错误； 设，定义域为，由知函数为奇函数， 当时，在上单调递减，又为奇函数， 所以在上单调递减，故在定义域内是减函数，选项C正确； 设，定义域为，由指数函数性质知不是奇函数，选项D错误. 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：A. 4. 已知， 且， 则（ ） A. B. lg(x+y)>0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合幂函数性质判断A，结合对数函数判断B，举反例排除CD. 【详解】因为，所以,又因为为增函数， 故,则 ,故A正确； 当时，,故B错误； 令时，,故C错误； 令时，,故D错误 故选：A. 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，得，分为第一象限角和第二象限角，利用平方关系和余弦的差角公式，即可求解. 【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且， 则， 若为第一象限角，则为第四象限角， 由，得， 由，得， 此时， 若为第二象限角，则为第三象限角， 由，得， 由，得， 此时， 综上，. 故选：B. 6. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D 上具有性质 P.现有三组函数： ① ② ③ 其中具有性质 P 的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干所给函数新定义，一一判断各选项中的函数是否满足定义，即可得答案. 【详解】对于①，，则， 则存在，使得，故具有性质P； 对于②，，两函数定义域均为R，由于， 故不存在非零实数c，使得，故不具有性质P； 对于③，，则， 存在，使得，故具有性质P； 故选：B 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分及进行讨论从而去掉绝对值，当时可借助函数图象得解；当时可结合函数单调性得解. 【详解】当时，， 令，即，即， 画出与图象如下图所示： 故在时的解集为； 当时，， 由与均在上单调递增， 则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：不等式的解集是. 故选：A. 8. 已知且，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，可得的取值范围，再结合充分、必要条件的判定方法，可得问题答案. 【详解】由得： 若，则；若，则. 所以“”等价于“或” . 所以“且”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 9. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得，， 两式相比得，即， 所以. 故选：B. 10. 已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，对任意的，总有不等式成立，即成立，作出函数与直线的图像，求出交点坐标即可求解. 【详解】因为对任意的，总有不等式成立，即成立，即的图像在直线的下方（包括交点）， 作出图像，如图所示， 当时，， 令，解得；令，解得. 当时，，令，解得. 所以的图像与直线的交点为和， 所以，又， 所以，即的最大值为. 故选：C. 第Ⅱ卷 (非选择题共110分) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上) 11. 函数 的定义域是_______________ 【答案】 【解析】 【分析】由解析式，利用对数、分式的性质列不等式求函数定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故函数定义域为. 故答案为： 12. 已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据周期求，再根据函数的对称性求. 【详解】由条件可知，得， 当时，，， 得，， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） 13. 函数的值域为______________；的图象对称中心是_____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用指数函数和反比例函数的性质，即可求出值域；根据条件可得，即可求解. 【详解】因为，则，所以函数的值域为， 因为，则，所以， 即，所以的图象对称中心是， 故答案为：，. 14. 定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出即可求出范围，再求出，进而根据范围求出的范围，最后结合正弦函数的性质即可求出. 【详解】由题意可知，，则， 因，则， 又，所以，， 因函数在区间上单调递增， 则结合正弦函数的性质可知， ，得， 故ω的取值范围是. 故答案为： 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题：(本大题共6小题，共85分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 16. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）借助三角恒等变换将原函数化为正弦型函数后借助正弦型函数单调性计算即可得； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. 【小问1详解】 ， 令，， 解得，， 即的单调递增区间为，； 【小问2详解】 当时，， 由在区间上只有一个零点， 则，解得， 即的取值范围为. 17. 近期，某中学全体学生参加了“垃圾分类大赛”活动：现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩(单位：分)记录如表： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男生(人数) 3 4 8 4 1 女生 (人数) a b 8 4 3 （1）在抽取的40名学生中，从大赛成绩在80分及以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率： （2）从该校参加活动的男女学生中各随机抽取2人，求这4人中恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率； （3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小，只写出结论 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求概率即可； （2）根据样本数据估计抽取男女生在80分及以上、成绩在80分以下的概率，再应用独立重复试验的概率求法求概率. （3）首先求得平均成绩为，再由方差公式得，即可得结论. 【小问1详解】 由题设，成绩在80分以上的人有5名男生，7名女生，共12人， 其中在区间[80,90)中男、女各4名，在区间[90,100]中男生1名、女生3名， 所以随机取2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同有种， 而在12人中任选2人有种，故所求概率为； 【小问2详解】 由表格数据知，抽取一名男生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为， 抽取一名女生，成绩在80分及以上的概率为，成绩在80分以下的概率为， 所以从活动男女学生中各抽取2人，恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率为； 【小问3详解】 由题设，，女生平均成绩为， 所以方差 ，而， 所以时，抽取的女生大赛成绩方差最小. 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调性区间； （3）若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程. （2）根据导函数正负得出函数的单调性即可； （3）先根据的零点个数得出有两个解，即得有两个交点，再结合函数的单调性及值域即可求参. 【小问1详解】 因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 所以当在上单调递减； 当在上单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； 【小问3详解】 因为函数有2个零点，所以有两个解， 转化为函数图象与直线有两个交点， 由（2）知，的单调递减区间为，的单调递增区间为； 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时，函数图象与直线有两个交点， 即函数有2个零点时，. 19. 图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. （1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； （2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； （3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可 （2）由题意知的所有可能取值为，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可 （3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得 【小问1详解】 根据题中数据，共有张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为. 【小问2详解】 设事件输入男性照片且识别正确. 根据题中数据，可估计为. 由题意知的所有可能取值为. . 所以的分布列为 1 2 3 所以. 【小问3详解】 由题可知，调查的200张照片中，其中女生共有80个，男生共有120个， 程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为， 程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为， 由频率估计概率得 ， ， ， 所以 20. 已知函数 （1）若在处的切线方程为， 求的值; （2）求的单调区间; （3）若对于任意，都有 ，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由切线方程结合导数的几何意义求解； （2）利用导数分类讨论求的单调区间； （3）利用函数单调性解决恒成立问题. 【小问1详解】 函数 ，， ，， 在处的切线方程为，则有，解得. 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，即在和上单调递增， 当时，，即在和上单调递增， 当时，， 令，解得， 若，， 若，， 即函数在，，上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在和上单调递增， 当时，在，，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递增， 恒有， 当时，在上单调递减，存在，使得，故不合题意， 综上，a的取值范围为. 21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出 中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 【答案】（1）答案见详解 （2）证明见解析 （3）2个 【解析】 【分析】（1）由定义可写出中与x正交的所有元素； （2）令，，当时，，当时，，那么，可得证； （3）当时，不妨设（有14个1），（有7个，7个1），则正交，再令，，，且它们之间互相正交，讨论相应位置数字都相同的个数，可得出，利用它们相互正交得矛盾，从而得出A中最多可以有的元素个数. 【小问1详解】 设，且， 若与正交，则， 可得或或或或或； 中所有与x正交的元素为． 【小问2详解】 对于，存在，，使得． 令，， 当时，，当时，． 那么． 所以为偶数． 【小问3详解】 若时，不妨设 则与正交． 假设且它们互相正交． 设a，b，c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a，b相应位置数字都相同的共有m个， b，c相应位置数字都相同的共有n个， 则． 所以，同理． 可得． 由于， 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，A中最多可以有2个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平谷中学2025-2026高三暑假检测数学试卷 第Ⅰ卷(选择题共40分) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知， 且， 则（ ） A. B. lg(x+y)>0 C. D. 5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D 上具有性质 P.现有三组函数： ① ② ③ 其中具有性质 P 的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知且，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 10. 已知函数 ，实数满足.若对任意的，总有不等式成立， 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 (非选择题共110分) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡中相应题中横线上) 11. 函数 的定义域是_______________ 12. 已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________. 13. 函数的值域为______________；的图象对称中心是_____________ 14. 定义在上的函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是___ 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：(本大题共6小题，共85分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 16. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上只有一个零点，求的取值范围. 17. 近期，某中学全体学生参加了“垃圾分类大赛”活动：现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩(单位：分)记录如表： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男生(人数) 3 4 8 4 1 女生 (人数) a b 8 4 3 （1）在抽取的40名学生中，从大赛成绩在80分及以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率： （2）从该校参加活动的男女学生中各随机抽取2人，求这4人中恰各有一名男女学生大赛成绩在80分及以上的概率； （3）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小，只写出结论 18. 已知函数 （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调性区间； （3）若函数，有2个零点，求a的取值范围. 19. 图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）： 识别结果 真实性别 男 女 无法识别 男 90 20 10 女 10 60 10 假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的. （1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率； （2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设表示测试的次数，估计的分布列和数学期望； （3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案： 方案一：将无法识别的照片全部判定为女性； 方案二：将无法识别的照片全部判定为男性； 方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为. 现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为.试比较的大小.（结论不要求证明） 20. 已知函数 （1）若在处的切线方程为， 求的值; （2）求的单调区间; （3）若对于任意，都有 ，求a的取值范围. 21. 已知集合，x、，其中．定义，若，则称x与y正交． （1）若，写出 中与x正交的所有元素； （2）令，若，证明：为偶数； （3）若，且A 中任意两个元素均正交，当时，A中最多可以有多少个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $