11.1幂的运算 易错重难点同步备课-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册　

11.1幂的运算 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆用 1. 知识点 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （，、 为正整数）。 推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即 （，、、 为正整数）。 逆用：（将指数和的幂转化为同底数幂的乘积，用于化简或求值）。 2. 考点 直接计算同底数幂的乘法（如 ）。 判断同底数幂乘法运算的正确性（如辨析 是否正确）。 逆用公式求代数式值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 底数不同时强行套用公式（如 错误计算为 ）。 指数相加时出现计算错误（如 ，忽略指数应为 ）。 底数为多项式时未识别“同底数”（如 未转化为 再计算）。 4. 解题技巧 若底数互为相反数，先转化为同底数（如 ）。 逆用公式时，将目标指数拆分为已知指数的和（如 ）。 【例题1】．（2024-2025•祁阳市校级一模）化简a2•a3的结果是（　　） A．a B．a5 C．a6 D．a8 【变式题1-1】．（2024-2025•周口月考）若am＝2，an＝3，则am+n的值是（　　） A．6 B．5 C． D．9 【变式题1-2】．（2024-2025•茂南区校级月考）已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【变式题1-3】．（2024-2025•潍坊期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【题型2】幂的乘方运算及逆用 1. 知识点 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （，、 为正整数）。 推广：多次幂的乘方仍成立，即 （，、、 为正整数）。 逆用：（用于将高次幂转化为低次幂的乘方，简化计算）。 2. 考点 直接计算幂的乘方（如 ）。 结合同底数幂乘法的混合运算（如 ）。 逆用公式求参数或代数式值（如已知 ，求 ）。 3. 易错点 混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如 错误计算为 ，应为 ）。 符号处理错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 指数为多项式时漏乘（如 错误计算为 ，应为 ）。 4. 解题技巧 遇高次幂先拆分为幂的乘方形式（如 ）。 混合运算时先算幂的乘方，再算同底数幂乘法（如 ）。 【例题2】．（2024-2025•武汉模拟）计算（﹣3x3）2的结果是（　　） A．﹣6x5 B．6x6 C．9x5 D．9x6 【变式题2-1】．（2024-2025•莲池区期末）若a为正整数，则（a•a•…•a）2＝（　　）（其中括号内为a个a相乘） A．a2a B．2aa C．aa D． 【变式题2-2】．（2024-2025•两当县月考）已知（m2）n＝m8，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．4 D．2 【变式题2-3】．（2024-2025•河北模拟）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 【题型3】积的乘方运算及逆用 1. 知识点 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （，， 为正整数）。 推广：多个因式的积的乘方仍成立，即 （、、， 为正整数）。 逆用：（用于简化乘积形式的幂运算，如 ）。 2. 考点 直接计算积的乘方（如 ）。 逆用公式简便计算（如 ）。 结合幂的乘方的混合运算（如 ）。 3. 易错点 漏乘某个因式的乘方（如 错误计算为 ，应为 ）。 符号处理错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 逆用时忽略指数相同（如 错误套用 ，因指数不同不可直接逆用）。 4. 解题技巧 计算时先处理符号，再将每个因式分别乘方（如 ）。 逆用公式简化计算：当底数互为倒数时，优先逆用（如 ）。 【例题3】．（2024-2025•渝中区校级模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】．（2024-2025•庄浪县月考）已知M＝9a•9a•9a，N，若M＝3N，则下列式子成立的是（　　） A．6a＝k+2 B．9a＝k+3 C．2a＝9k D．6a＝k+3 【变式题3-2】．（2024-2025•巴彦县期末）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 【变式题3-3】．（2024-2025•盐都区月考）已知ax•ay＝a4，（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a9． （1）直接写出结果：x+y＝ 　 　 ； （2）求xy的值． 【题型4】同底数幂的除法运算及逆用 1. 知识点 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （，、 为正整数，且 ）。 逆用：（将指数差的幂转化为同底数幂的除法，用于求值）。 零指数幂：（，任何非零数的0次幂等于1）。 2. 考点 直接计算同底数幂的除法（如 ）。 结合零指数幂的运算（如 ）。 逆用公式求代数式值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 底数为0时误用公式（如 无意义，忽略 的前提）。 指数相减时出现负指数未处理（如 错误计算为 但未化简，需注意初中阶段可保留负指数形式）。 混淆除法与乘法法则（如 ，应为 ）。 4. 解题技巧 先将底数统一（如 ）。 逆用公式时拆分指数：。 【例题4】．（2024-2025•邯郸二模）计算a3÷a？＝a，则“？”表示的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【变式题4-1】．（2024-2025•仁寿县期末）已知am＝2，an＝3，则a2m﹣n的值是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】．（2024-2025•涧西区一模）若“※”代表一种运算，且a4※a3＝a，则“※”代表的运算符号可以是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【变式题4-3】．（2024-2025•宜兴市期中）（1）若3×27m÷9m＝94，求m的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值． 【题型5】幂的混合运算 1. 知识点 运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘法或除法，最后合并同类项（若有）。 综合法则：灵活运用 、、、。 2. 考点 不含括号的混合运算（如 ）。 含括号的混合运算（如 ）。 结合同类项合并的混合运算（如 ）。 3. 易错点 运算顺序错误（如先算乘法再算幂的乘方，如 错误计算为 ，应为 ）。 符号多次运算错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 漏写或错写指数（如 错误计算为 ，应为 ）。 4. 解题技巧 分步计算：先处理每一项的乘方运算（幂的乘方、积的乘方），再进行乘除运算，最后合并同类项。 符号单独处理：先确定每一步运算的符号（奇负偶正），再计算绝对值的幂运算。 【例题5】．（2024-2025•两当县月考）计算： （1）（﹣x3）2•（﹣x2）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3÷（n﹣m）4． 【变式题5-1】．（2024-2025•滦南县期中）计算： （1）； （2）a•a2•a3﹣（﹣2a3）2﹣a9÷a3． 【变式题5-2】．（2024-2025•路南区校级月考）已知a与n为任意正整数，请分别计算下列整式． （1）a3•an； （2）（3a）n； （3）； （4）． 【变式题5-3】．（2024-2025•新吴区期中）计算： （1）（﹣2a3）2+（a2）3﹣a•a5； （2）x5•x3﹣（2x4）2+x10÷x2． 【题型6】利用幂的运算求代数式值 1. 知识点 整体思想：将幂的表达式视为整体，利用幂的运算法则转化为已知条件的形式。 常见转化公式：，，。 2. 考点 已知 和 的值，求 、 等（如已知 ，，求 ）。 结合幂的乘方求代数式值（如已知 ，求 ）。 含多项式底数的代数式求值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 指数拆分错误（如 错误拆分为 ，应为 ）。 忽略符号变化（如已知 ，求 时未考虑 的奇偶性，当 为奇数时 ）。 整体代入时计算错误（如 错误计算为 ）。 4. 解题技巧 明确目标代数式的指数与已知指数的关系，通过“拆指数”转化（如 ，对应 ）。 对于多项式底数，保持底数不变直接应用法则（如 ）。 【例题6】．（2024-2025•桃源县校级期中）已知m+n﹣3＝0，则2n•2m的值为 　 　 ． 【变式题6-1】．（2024-2025•秦淮区校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则44x+y•8y﹣2x＝　 　 ． 【变式题6-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【变式题6-3】．（2024-2025•海州区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【题型7】幂的运算比较大小 1. 知识点 方法1：化为同底数幂，比较指数大小（底数 时，指数越大值越大； 时，指数越大值越小）。 方法2：化为同指数幂，比较底数大小（指数 时，底数越大值越大）。 2. 考点 同底数幂比较大小（如比较 与 ）。 同指数幂比较大小（如比较 与 ）。 高次幂转化后比较（如比较 、、，先转化为 、、）。 3. 易错点 底数不同且指数不同时直接比较（如 与 错误认为指数大则值大，实际 ）。 转化同指数时指数拆分错误（如 错误转化为 是正确的，但 错误转化为 ，应为 ）。 忽略底数范围对大小的影响（如 与 错误认为指数大则值大，实际 ）。 4. 解题技巧 优先找指数的最大公约数，转化为同指数幂（如指数555、444、333的最大公约数为111，故转化为指数为111的幂）。 若底数为分数且大于0小于1，转化后注意大小关系与整数底数相反。 【例题7】．（2024-2025•宿城区校级月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较433　 　 522的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【变式题7-1】．（2024-2025•闻喜县期中）比较下列各组数的大小． （1）213×315与215×313． （2）233与322． 【变式题7-2】．（2024-2025•余江区校级月考）逆向运用幂的运算可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若2m×4m×8m＝218，求m的值； （2）比较大小：若a＝244，b＝333，c＝622，则a，b，c的大小关系是什么？ 【变式题7-3】．（2024-2025•冷水江市期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：520　 　 420，961　 　 2741；（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【题型8】幂的运算中的定义新运算 1. 知识点 新运算定义：以幂的运算为背景，定义新的运算符号（如规定 或 表示 ）。 核心思路：理解新运算的规则，转化为熟悉的幂的运算求解。 2. 考点 直接按新定义计算（如规定 ，已知 ，求 ）。 结合新定义探究规律（如规定 表示 ，证明 ）。 新定义下求参数值（如规定 ，若 ，求 ）。 3. 易错点 误解新运算符号的含义（如将 错误理解为 ）。 忽略新运算的优先级（如未明确新运算与常规运算的顺序，导致计算错误）。 证明规律时逻辑不清晰（如证明 时未正确应用幂的乘方法则）。 4. 解题技巧 仔细阅读新运算定义，明确符号的含义及运算规则（如“”等价于“”）。 结合幂的运算法则转化新运算（如 即 ，故 ）。 【例题8】．（2024-2025•秦淮区校级期中）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　 　 ；（﹣3，81）＝　 　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【变式题8-1】．（2024-2025•洪泽区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝ 　 　 ，（2，1）＝ 　 　 ，（3，　 　 ）＝﹣2． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①（4，100）＝（2，　 　 ）； ②计算：（8，1000）﹣（32，100000）； ③请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）+（3，5）＝（3，10）． 【变式题8-2】．（2024-2025•两当县月考）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式 　 　 ； （2）①log232＝ 　 　 ，②log327＝ 　 　 ，③log71＝ 　 　 ； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 【变式题8-3】．（2024-2025•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　 　 ； （2）若（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　 　 ． 【题型9】幂的运算中的规律探究 1. 知识点 常见规律：通过观察特殊幂的运算结果，总结一般性结论（如 ）。 归纳方法：从具体例子入手，对比运算前后的底数、指数变化，提炼规律。 2. 考点 探究幂的运算等式规律（如观察 ，，，总结 的规律）。 利用规律简化计算（如利用 计算 ）。 规律的证明与应用（如证明 并应用于计算）。 3. 易错点 仅通过少数例子归纳规律，未验证一般性（如由 ， 错误归纳 是正确的，但忽略 为正整数的条件）。 规律应用时符号错误（如 错误套用 ）。 复杂规律中指数或底数的对应关系混淆（如混淆 与 的规律）。 4. 解题技巧 多列举几个特殊值，验证规律的一致性（如探究 的个位数字规律，需计算 发现周期为4）。 用字母表示规律并证明：通过幂的运算法则推导，确保规律的严谨性（如证明 时用乘方的定义展开）。 【例题9】．（2024-2025•西安期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： （﹣3）2×42＝[（﹣3）×4]×[（﹣3）×4]＝[（﹣3）×4]2＝（﹣12）2＝144； 44×0.254＝（4×0.25）×（4×0.25）×（4×0.25）×（4×0.25）＝（4×0.25）4＝14＝1． 总结规律，解答下列问题． （1）　 　 ，xm•ym＝　 　 ． （2）计算：． 【变式题9-1】．（2024-2025•禹城市校级月考）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使i2＝﹣1，那么（﹣i）2＝i2＝﹣1，因此﹣1就有两个平方根i和﹣i，进一步猜想：因为（±2i）2＝（±2）2i2＝﹣4，所以﹣4的平方根是±2i；因为（±3i）2＝（±3）2i2＝﹣9，所以﹣9的平方根是±3i．（提示：（ab）2＝a2b2） 请你根据以上信息解答下列问题： （1）﹣16，﹣25的平方根分别是 　 　 和 　 　 ； （2）i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求i2024的值． 【变式题9-2】．（2024-2025•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　 　 ；（5，1）＝　 　 ；（2，）＝　 　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）． （3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）． 【变式题9-3】．（2024-2025•虹口区校级月考）我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘；记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28，（即log28＝3）． （1）计算：log39＝　 　 ；log381＝　 　 ；log3729＝　 　 ． （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出log39，log381，log3729之间的关系式　 　 ． （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN＝　 　 （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝0.3，求loga4和loga8的值（a＞0且a≠1）． 【题型10】幂的运算中的整除问题 1. 知识点 核心原理：若一个代数式能表示为某个整数的倍数，则它能被该整数整除。 常用技巧：通过幂的运算将代数式变形为含除数因式的形式（如证明 能被7整除，转化为含7的倍数的式子）。 2. 考点 证明代数式能被某数整除（如证明 能被8整除）。 已知整除关系求参数（如若 能被3整除，求正整数 的最小值）。 结合幂的逆运算分析整除性（如 能被4整除，求 的特征）。 3. 易错点 变形过程中幂的运算错误（如 错误转化为 ，导致后续整除性分析错误）。 忽略 为正整数的条件（如证明时未验证 等特殊值，直接推导一般性结论）。 符号处理不当（如 错误计算为 ，导致因式分解错误）。 4. 解题技巧 利用“差项法”变形：将代数式拆分为含除数的项与另一项的和/差（如 ，故能被8整除）。 用特殊值验证：先代入 验证结论，再通过幂的运算推导一般性规律。 【例题10】．（2024-2025•浦口区校级月考）设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 【变式题10-1】．若7a+b能被整数m整除，则7a+b+4能被m整除吗？试说明理由． 【变式题10-2】．已知m、n为自然数，2m+3n能被19整除，则2m+3+3n+3能否被19整除． 【变式题10-3】．52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除吗？ 课后练习 一．选择题（共5小题） 1．已知xa＝2，xb＝4，则x2a+b的值是（　　） A．2 B．6 C．8 D．16 2．计算[（﹣2）3]2的结果正确的是（　　） A．26 B．25 C．﹣25 D．﹣26 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝9b B．9a＝8b C．a+2＝b9 D．3a＝9+b 4．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a3）4＝a12 D．（﹣a2b3）2＝﹣a4b6 5．若，则y与x满足的关系式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+2 B．y＝﹣x2﹣2x+2 C．y＝﹣x2+2x+4 D．y＝﹣x2﹣2x+4 二．填空题（共5小题） 6．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　 　 ． 7．计算： 　 　 ． 8．已知a＝3222，b＝8111，则a 　 　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．已知10a＝5，100b＝200，则2a+4b﹣5的值为 　 　 ． 10．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 　 　 （请用字母表示，并用“＜”连接）． 三．解答题（共10小题） 11．计算： （1）3×（﹣2）﹣（﹣9）+8； （2）； （3）a•a2•a3； （4）（﹣2ab）2． 12．计算： （1）； （2）利用简便方法计算：． 13．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求（n+2m）（2m﹣n）的值； （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 14．在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 15．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题； （1）如果2x＝25，则x＝　 　 ； （2）如果8x＝27，求x的值； （3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． 16．若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 17．观察与思考： 24×24×22＝210①；（22）5＝210②． （1）算式①的运算依据是 　 　 ，算式②的运算依据是 　 　 ； A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算：． 18．新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　 　 ；（﹣3，81）＝　 　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 19．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 20．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较433　 　 522的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1幂的运算 【题型1】同底数幂的乘法运算及逆用 1. 知识点 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （，、 为正整数）。 推广：多个同底数幂相乘，法则仍成立，即 （，、、 为正整数）。 逆用：（将指数和的幂转化为同底数幂的乘积，用于化简或求值）。 2. 考点 直接计算同底数幂的乘法（如 ）。 判断同底数幂乘法运算的正确性（如辨析 是否正确）。 逆用公式求代数式值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 底数不同时强行套用公式（如 错误计算为 ）。 指数相加时出现计算错误（如 ，忽略指数应为 ）。 底数为多项式时未识别“同底数”（如 未转化为 再计算）。 4. 解题技巧 若底数互为相反数，先转化为同底数（如 ）。 逆用公式时，将目标指数拆分为已知指数的和（如 ）。 【例题1】．（2024-2025•祁阳市校级一模）化简a2•a3的结果是（　　） A．a B．a5 C．a6 D．a8 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得计算结果． 【解答】解：原式＝a2+3＝a5，故B正确． 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题关键． 【变式题1-1】．（2024-2025•周口月考）若am＝2，an＝3，则am+n的值是（　　） A．6 B．5 C． D．9 【答案】A 【分析】根据am+n＝am•an代入计算即可． 【解答】解：根据am+n＝am•an代入计算可得； am+n＝am•an＝2×3＝6， 故选：A． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握运算法则是关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•茂南区校级月考）已知x+y﹣2＝0，则5x•5y的值是（　　） A．10 B．﹣10 C．25 D． 【答案】C 【分析】先将已知式子变形，再利用同底数幂相乘法则计算，然后整体代入求值． 【解答】解：根据题意可知，x+y＝2， ∴5x•5y＝5x+y＝52＝25． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 【变式题1-3】．（2024-2025•潍坊期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n）；比如f（2）＝3，则f（4）＝f（2+2）＝3×3＝9．若f（3）＝k（k≠0），那么f（27）的结果是（　　） A．9k B．k9 C．27k D．k27 【答案】B 【分析】将27分解为9个3相加，根据新运算法则计算即可得出结果． 【解答】解：∵f（3）＝k（k≠0）， ∴f（27）＝f（3+3+3+3+3+3+3+3+3）＝f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）×f（3）＝k9， 故选：B． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，理解新运算法则是解题的关键． 【题型2】幂的乘方运算及逆用 1. 知识点 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （，、 为正整数）。 推广：多次幂的乘方仍成立，即 （，、、 为正整数）。 逆用：（用于将高次幂转化为低次幂的乘方，简化计算）。 2. 考点 直接计算幂的乘方（如 ）。 结合同底数幂乘法的混合运算（如 ）。 逆用公式求参数或代数式值（如已知 ，求 ）。 3. 易错点 混淆幂的乘方与同底数幂乘法（如 错误计算为 ，应为 ）。 符号处理错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 指数为多项式时漏乘（如 错误计算为 ，应为 ）。 4. 解题技巧 遇高次幂先拆分为幂的乘方形式（如 ）。 混合运算时先算幂的乘方，再算同底数幂乘法（如 ）。 【例题2】．（2024-2025•武汉模拟）计算（﹣3x3）2的结果是（　　） A．﹣6x5 B．6x6 C．9x5 D．9x6 【答案】D 【分析】根据积的乘方法则（ab）n＝an•bn，进行计算判断即可． 【解答】解：原式＝9x6． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•莲池区期末）若a为正整数，则（a•a•…•a）2＝（　　）（其中括号内为a个a相乘） A．a2a B．2aa C．aa D． 【答案】A 【分析】先根据同底数幂的乘法计算括号内的，再根据幂的乘方计算即可． 【解答】解：原式＝（aa）2＝a2a． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•两当县月考）已知（m2）n＝m8，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】运用幂的乘方知识进行计算、辨别． 【解答】解：∵（m2）n＝m2n＝m8， ∴2n＝8， 解得n＝4， 故选：C． 【点评】此题考查了幂的乘方的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 【变式题2-3】．（2024-2025•河北模拟）若a，b是正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝3b C．a+1＝b3 D．3a＝b3 【答案】B 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：∵3a+3a+3a＝3×3a＝3a+1，3b×3b×3b＝（3b）3＝33b， ∴a+1＝3b． 故选：B． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型3】积的乘方运算及逆用 1. 知识点 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （，， 为正整数）。 推广：多个因式的积的乘方仍成立，即 （、、， 为正整数）。 逆用：（用于简化乘积形式的幂运算，如 ）。 2. 考点 直接计算积的乘方（如 ）。 逆用公式简便计算（如 ）。 结合幂的乘方的混合运算（如 ）。 3. 易错点 漏乘某个因式的乘方（如 错误计算为 ，应为 ）。 符号处理错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 逆用时忽略指数相同（如 错误套用 ，因指数不同不可直接逆用）。 4. 解题技巧 计算时先处理符号，再将每个因式分别乘方（如 ）。 逆用公式简化计算：当底数互为倒数时，优先逆用（如 ）。 【例题3】．（2024-2025•渝中区校级模拟）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据积的乘方的法则，进行计算即可． 【解答】解：． 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•庄浪县月考）已知M＝9a•9a•9a，N，若M＝3N，则下列式子成立的是（　　） A．6a＝k+2 B．9a＝k+3 C．2a＝9k D．6a＝k+3 【答案】D 【分析】先把M和N写成底数是3的幂，然后根据M＝3N，求出答案即可． 【解答】解：∵M＝9a•9a•9a，N， ∴M＝93a＝（32）3a＝36a，N＝9×3k＝32•3k＝32+k， ∵M＝3N， ∴36a＝3•32+k＝33+k， ∴6a＝k+3， 故选：D． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的法则． 【变式题3-2】．（2024-2025•巴彦县期末）计算的结果为（　　） A．2 B． C．1 D．﹣2 【答案】D 【分析】先变形，再根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣2）×（﹣2）2024×（）2024 ＝﹣2×（﹣2）2024 ＝﹣2×1 ＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•盐都区月考）已知ax•ay＝a4，（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a9． （1）直接写出结果：x+y＝ 　4　 ； （2）求xy的值． 【答案】（1）4；（2）1． 【分析】（1）先对原式进行变形，进而得出答案； （2）先对原式进行变形，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵ax•ay＝ax+y＝a4， ∴x+y＝4． 故答案为：4． （2）∵（ax）2•（ax）y•（ay）2＝a2x+2y+xy＝a9， ∴2x+2y+xy＝9， ∴8+xy＝9， ∴xy＝1． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，对原式进行适当的变形是解题的关键． 【题型4】同底数幂的除法运算及逆用 1. 知识点 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （，、 为正整数，且 ）。 逆用：（将指数差的幂转化为同底数幂的除法，用于求值）。 零指数幂：（，任何非零数的0次幂等于1）。 2. 考点 直接计算同底数幂的除法（如 ）。 结合零指数幂的运算（如 ）。 逆用公式求代数式值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 底数为0时误用公式（如 无意义，忽略 的前提）。 指数相减时出现负指数未处理（如 错误计算为 但未化简，需注意初中阶段可保留负指数形式）。 混淆除法与乘法法则（如 ，应为 ）。 4. 解题技巧 先将底数统一（如 ）。 逆用公式时拆分指数：。 【例题4】．（2024-2025•邯郸二模）计算a3÷a？＝a，则“？”表示的数是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【分析】根据同底数幂的除法法则解答即可． 【解答】解：根据题意可知，“？”表示的数是2． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法的运算法则是关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•仁寿县期末）已知am＝2，an＝3，则a2m﹣n的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法运算法则的逆运算即可求解． 【解答】解：根据同底数幂的除法运算法则的逆运算可得： ， 故选：D． 【点评】本题考查了同底数幂的除法运算的逆运算，掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•涧西区一模）若“※”代表一种运算，且a4※a3＝a，则“※”代表的运算符号可以是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法法则进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵a4÷a3＝a， ∴※代表÷． 故选：D． 【点评】本题考查同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•宜兴市期中）（1）若3×27m÷9m＝94，求m的值； （2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值． 【答案】（1）m＝7；（2）． 【分析】（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到3×（33）m÷（32）m＝（32）4，33m+1﹣2m＝38，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为a3x﹣2y＝（ax）3÷（ay）2，再代入求值． 【解答】解：（1）33m+1﹣2m＝38， ∴3m+1﹣2m＝8， ∴m＝7． （2． 【点评】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识点是解题关键． 【题型5】幂的混合运算 1. 知识点 运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘法或除法，最后合并同类项（若有）。 综合法则：灵活运用 、、、。 2. 考点 不含括号的混合运算（如 ）。 含括号的混合运算（如 ）。 结合同类项合并的混合运算（如 ）。 3. 易错点 运算顺序错误（如先算乘法再算幂的乘方，如 错误计算为 ，应为 ）。 符号多次运算错误（如 错误计算为 ，应为 ）。 漏写或错写指数（如 错误计算为 ，应为 ）。 4. 解题技巧 分步计算：先处理每一项的乘方运算（幂的乘方、积的乘方），再进行乘除运算，最后合并同类项。 符号单独处理：先确定每一步运算的符号（奇负偶正），再计算绝对值的幂运算。 【例题5】．（2024-2025•两当县月考）计算： （1）（﹣x3）2•（﹣x2）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3÷（n﹣m）4． 【答案】（1）﹣x12； （2）﹣1． 【分析】（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先变形，再根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（﹣x3）2•（﹣x2）3＝x6•（﹣x6）＝﹣x12； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3÷（n﹣m）4 ＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]÷（m﹣n）4 ＝﹣（m﹣n）4÷（m﹣n）4 ＝﹣1． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•滦南县期中）计算： （1）； （2）a•a2•a3﹣（﹣2a3）2﹣a9÷a3． 【答案】（1）； （2）﹣4a6． 【分析】（1）先处理符号，再由同底数幂的除法计算； （2）分别计算同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式＝a6﹣4a6﹣a6 ＝﹣4a6． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握计算公式是解题的关键． 【变式题5-2】．（2024-2025•路南区校级月考）已知a与n为任意正整数，请分别计算下列整式． （1）a3•an； （2）（3a）n； （3）； （4）． 【答案】（1）a3+n； （2）3nan； （3）3an； （4）a3n． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可； （2）根据积的乘方法则计算即可； （3）先根据有理数的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算即可； （4）先根据有理数的乘方法则计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）a3•an＝a3+n； （2）（3a）n＝3nan； （3）（3a）n＝3an； （4）（an）3＝a3n． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•新吴区期中）计算： （1）（﹣2a3）2+（a2）3﹣a•a5； （2）x5•x3﹣（2x4）2+x10÷x2． 【答案】（1）4a6； （2）﹣2x8． 【分析】（1）根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的方法进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的方法进行解题即可． 【解答】解：（1）原式＝4a6+a6﹣a6＝4a6； （2）x8﹣4x8+x8＝﹣2x8． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型6】利用幂的运算求代数式值 1. 知识点 整体思想：将幂的表达式视为整体，利用幂的运算法则转化为已知条件的形式。 常见转化公式：，，。 2. 考点 已知 和 的值，求 、 等（如已知 ，，求 ）。 结合幂的乘方求代数式值（如已知 ，求 ）。 含多项式底数的代数式求值（如已知 ，，求 ）。 3. 易错点 指数拆分错误（如 错误拆分为 ，应为 ）。 忽略符号变化（如已知 ，求 时未考虑 的奇偶性，当 为奇数时 ）。 整体代入时计算错误（如 错误计算为 ）。 4. 解题技巧 明确目标代数式的指数与已知指数的关系，通过“拆指数”转化（如 ，对应 ）。 对于多项式底数，保持底数不变直接应用法则（如 ）。 【例题6】．（2024-2025•桃源县校级期中）已知m+n﹣3＝0，则2n•2m的值为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【解答】解：∵m+n﹣3＝0， ∴m+n＝3， ∴2n•2m ＝2n+m ＝23 ＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•秦淮区校级期中）已知2x+5y﹣3＝0，则44x+y•8y﹣2x＝　8　 ． 【答案】8． 【分析】将原式变形为28x+2y×23y﹣6x，再根据同底幂的乘法法则计算，最后代入求值即可． 【解答】解：∵2x+5y﹣3＝0， ∴2x+5y＝3， ∴44x+y•8y﹣2x ＝（22）4x+y•（23）y﹣2x ＝28x+2y×23y﹣6x ＝22x+5y ＝23 ＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•渭城区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面的结论解决下面的问题： （1）如果2×（22）x×（2x）3＝221，求x的值； （2）如果3a+2•6a+2＝182a﹣4，求a的值． 【答案】（1）x＝4； （2）a＝6． 【分析】（1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于x的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知21+2x+3x＝221， 即1+2x+3x＝21， 解得：x＝4； （2）由条件可知（3×6）a+2＝182a﹣4， ∴18a+2＝182a﹣4， ∴a+2＝2a﹣4， 解得a＝6． 【点评】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•海州区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【答案】（1）3； （2）3； （3）1.5． 【分析】（1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵27x＝39， （33）x＝39， 33x＝39， ∴3x＝9， x＝3； （2）2×8x×16x＝222， 2×（23）x×（24）x＝222， 2×23x×24x＝222， 27x+1＝222， ∴7x+1＝22， 7x＝21， x＝3； （3）22x+3﹣22x+1＝48， 22x+1•22﹣22x+1＝3×24， 22x+1×（4﹣1）＝3×24， 3×22x+1＝3×24， 22x+1＝24， 2x+1＝4， 2x＝3， x＝1.5． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． 【题型7】幂的运算比较大小 1. 知识点 方法1：化为同底数幂，比较指数大小（底数 时，指数越大值越大； 时，指数越大值越小）。 方法2：化为同指数幂，比较底数大小（指数 时，底数越大值越大）。 2. 考点 同底数幂比较大小（如比较 与 ）。 同指数幂比较大小（如比较 与 ）。 高次幂转化后比较（如比较 、、，先转化为 、、）。 3. 易错点 底数不同且指数不同时直接比较（如 与 错误认为指数大则值大，实际 ）。 转化同指数时指数拆分错误（如 错误转化为 是正确的，但 错误转化为 ，应为 ）。 忽略底数范围对大小的影响（如 与 错误认为指数大则值大，实际 ）。 4. 解题技巧 优先找指数的最大公约数，转化为同指数幂（如指数555、444、333的最大公约数为111，故转化为指数为111的幂）。 若底数为分数且大于0小于1，转化后注意大小关系与整数底数相反。 【例题7】．（2024-2025•宿城区校级月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较433　＞　 522的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【答案】（1）＞； （2）a＜b； （3）312×510＜310×512． 【分析】（1）先把指数化成11的幂，然后比较底数的大小，从而比较这两个幂的大小即可； （2）根据已知条件求出a6，b6，并比较大小，然后比较a，b大小即可； （3）先把已知条件中的幂都写成指数是10的幂，然后分别计算每个算式，通过比较系数比较大小即可． 【解答】解：（1）433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵64＞25， 6411＞2511，即433＞522， 故答案为：＞； （2）∵a2＝2，b3＝3， ∴（a2）3＝a6＝23＝8，（b3）2＝b6＝32＝9， ∵8＜9， ∴a6＜b6， ∴a＜b； （3）312×510 ＝310×32×510 ＝310×510×9 ＝9×（3×5）10 ＝9×1510， 310×512 ＝310×510×52 ＝25×（3×5）10 ＝25×1510， ∵9＜25， ∴9×1510＜25×1510，即312×510＜310×512． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方和同底数幂相乘法则． 【变式题7-1】．（2024-2025•闻喜县期中）比较下列各组数的大小． （1）213×315与215×313． （2）233与322． 【答案】（1）213×315＞215×313； （2）322＞233． 【分析】（1）根据同底数幂的逆运算进行变形，然后比较大小即可的运算法则求解． （2）根据幂的乘方逆运算进行变形，然后比较大小即可的运算法则求解． 【解答】解：（1）根据同底数幂的逆运算可得：213×315＝213×313×32； 215×313＝213×313×22， ∵32＞22， ∴213×315＞215×313； （2）根据幂的乘方逆运算进行变形可得： 233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911， ∵811＜911， ∴322＞233． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数的大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•余江区校级月考）逆向运用幂的运算可以得到am+n＝am•an；am﹣n＝am÷an；amn＝（am）n等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若2m×4m×8m＝218，求m的值； （2）比较大小：若a＝244，b＝333，c＝622，则a，b，c的大小关系是什么？ 【答案】（1）m＝3； （2）a＜b＜c． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算； （2）把a、b、c换算成同指数幂，再按照有理数大小比较方法进行比较． 【解答】解：（1）由条件可知2m×（22）m×（23）m＝218， ∴2m×22m×23m＝2m+2m+3m＝218， ∴m+2m+3m＝18， ∴6m＝18， ∴m＝3； （2）由条件可知a＝24×11＝（24）11＝1611，b＝33×11＝（33）11＝2711，c＝62×11＝（62）11＝3611， ∵16＜27＜36， ∴1611＜2711＜3611， ∴a＜b＜c． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方及其逆用，有理数大小比较，掌握相应的运算法则是解题的关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•冷水江市期末）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac；若对于同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程] （1）比较大小：520　＞　 420，961　＜　 2741；（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）比较233与322的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【答案】（1）＞；＜；（2）233＜322；（3）312×510＜310×512． 【分析】（1）根据“同指数，不同底数的两个幂ab和cb，当a＞c时，则有ab＞cb，”即可比较520和420的大小；根据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac，即可比较961和2741的大小； （2）据“对于同底数，不同指数的两个幂ab和ac（a≠1），当b＞c时，则有ab＞ac”，即可比较233与322的大小； （3）利用作商法，即可比较312×510和310×512的大小． 【解答】解：（1）∵5＞4， ∴520＞420， ∵961＝（32）61＝3122，2741＝（33）41＝3123，122＜123， ∴961＜2741． 故答案为：＞；＜； （2）∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，8＜9， ∴233＜322； （3）∵， ∴312×510＜310×512． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的法则是关键． 【题型8】幂的运算中的定义新运算 1. 知识点 新运算定义：以幂的运算为背景，定义新的运算符号（如规定 或 表示 ）。 核心思路：理解新运算的规则，转化为熟悉的幂的运算求解。 2. 考点 直接按新定义计算（如规定 ，已知 ，求 ）。 结合新定义探究规律（如规定 表示 ，证明 ）。 新定义下求参数值（如规定 ，若 ，求 ）。 3. 易错点 误解新运算符号的含义（如将 错误理解为 ）。 忽略新运算的优先级（如未明确新运算与常规运算的顺序，导致计算错误）。 证明规律时逻辑不清晰（如证明 时未正确应用幂的乘方法则）。 4. 解题技巧 仔细阅读新运算定义，明确符号的含义及运算规则（如“”等价于“”）。 结合幂的运算法则转化新运算（如 即 ，故 ）。 【例题8】．（2024-2025•秦淮区校级期中）新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　2　 ；（﹣3，81）＝　4　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】（1）2，4． （2）见证明过程． （3）e3＝f． 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【解答】（1）解：∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4． 故答案为：2，4． （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk， ∴e3＝f． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•洪泽区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝ 　2　 ，（2，1）＝ 　0　 ，（3，　　 ）＝﹣2． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①（4，100）＝（2，　10　 ）； ②计算：（8，1000）﹣（32，100000）； ③请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）+（3，5）＝（3，10）． 【答案】（1）2；0；；（2）①10；②0；③见解析． 【分析】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点． （1）根据题意可得求解即可． （2）①由推理过程可得（4，100）＝（22，102），即可得解；②由推理过程可得（8，1000）＝（2，10）；（32，100000）＝（2，10），再相减结果得0即可；③设（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，则3a＝2，3b＝5，3c＝10再根据同底数幂的乘法法则求解． 【解答】解：（1）根据题意可知，（5，25）＝2， ∵20＝1， ∴（2，1）＝0， ∵， ∴． 故答案为：2；0；； （2）①∵（4，100）＝（22，102）， ∴（4，100）＝（2，10）． 故答案为：10； ②（8，1000）＝（23，103）， 由推理过程得，（23，103）＝（2，10）， 即（8，1000）＝（2，10）， 同理可得，（32，100000）＝（25，105）＝（2，10）， ∴原式＝（2，10）﹣（2，10）＝0； ③设（3，2）＝a，（3，5）＝b，（3，10）＝c，则3a＝2，3b＝5， ∴3a×3b＝3a+b＝2×5＝10＝3c， ∴a+b＝c， ∴（3，2）+（3，5）＝（3，10）． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•两当县月考）阅读材料：一般地，若ax＝N（a＞0，a≠1），则x叫做以a为底N的对数，记作：x＝logaN．比如指数式24＝16可以转化为4＝log216，对数式2＝log525可以转化为52＝25．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）．又∵m+n＝logaM+logaN，∴loga（M•N）＝logaM+logaN． 解决问题： （1）将指数43＝64转化为对数式 　3＝log464　 ； （2）①log232＝ 　5　 ，②log327＝ 　3　 ，③log71＝ 　0　 ； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：log32+log36﹣log336． 【答案】（1）3＝log464； （2）5，3，0； （3）﹣1． 【分析】（1）运用题目中对数的定义进行求解； （2）根据乘方运算和题目中对数的定义进行逐一求解； （3）运用乘方和对数的定义，模仿loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）进行证明； （4）运用对数的性质loga（M•N）＝logaM+logaN和进行求解． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴3＝log464， 故答案为：3＝log464； （2）①∵25＝32， ∴log232＝5； ②∵33＝27， ∴log327＝3； ③∵70＝1， ∴log71＝0． 故答案为：5，3，0； （3）设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ， 由题目中对数的定义可得： 又∵m﹣n＝log，M﹣1ogV， ∴； （4）log32+log36﹣log336 ＝log3（） ＝log3 ＝﹣1． 【点评】此题考查了乘方的概念和同底数幂相乘的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识和题目中对数的知识． 【变式题8-3】．（2024-2025•靖江市校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　3　 ； （2）若（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1，请你尝试运用上述运算求出x与y之间的关系； （3）①若（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c，请你尝试证明：a+b＝c； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：（xn，yn）＝（x，y）， 证明： 设（xn，yn）＝m，∴（xn）m＝yn，∴（xm）n＝yn， ∴xm＝y，即（x，y）＝m． ∴（xn，yn）＝（x，y）． 结合①，②探索的结论，计算：　3　 ． 【答案】（1）3； （2）； （3）①证明见解析 ②3． 【分析】（1）由题意可得43＝64，然后根据定义的新运算即可直接得出答案； （2）由（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1可得32m﹣1＝y，3m+1＝6x，由同底数幂的乘法可得32m﹣1×3＝32m＝3y，由同底数幂的除法可得3m+1÷3＝3m＝2x，由幂的乘方可得（3m）2＝32m，于是可得（2x）2＝3y，由此即可得出x与y之间的关系； （3）①由（4，3）＝a，（4，8）＝b，（4，24）＝c可得4a＝3，4b＝8，4c＝24，由3×8＝24可得4a•4b＝4c，然后由同底数幂的乘法即可得出结论；②由（xn，yn）＝（x，y）可得，设（2，3）＝a，，，由①探索的结论可得，即2c＝8，由于23＝8，因而可得c＝3，由此即可得出答案． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴（4，64）＝3， 故答案为：3； （2）∵（3，y）＝2m﹣1，（3，6x）＝m+1， ∴32m﹣1＝y，3m+1＝6x， ∴32m﹣1×3＝32m＝3y，3m+1÷3＝3m＝2x， ∵（3m）2＝32m， ∴（2x）2＝3y， ∴； （3）①证明：由题意可得：4a＝3，4b＝8，4c＝24， ∵3×8＝24， ∴4a•4b＝4c， 即：4a+b＝4c， ∴a+b＝c； ②原式 ， 设（2，3）＝a，，， ∴， ∴2c＝8， ∵23＝8， ∴c＝3， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，有理数的乘方等知识点，读懂题意，根据题中定义的新运算正确列式计算并熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 【题型9】幂的运算中的规律探究 1. 知识点 常见规律：通过观察特殊幂的运算结果，总结一般性结论（如 ）。 归纳方法：从具体例子入手，对比运算前后的底数、指数变化，提炼规律。 2. 考点 探究幂的运算等式规律（如观察 ，，，总结 的规律）。 利用规律简化计算（如利用 计算 ）。 规律的证明与应用（如证明 并应用于计算）。 3. 易错点 仅通过少数例子归纳规律，未验证一般性（如由 ， 错误归纳 是正确的，但忽略 为正整数的条件）。 规律应用时符号错误（如 错误套用 ）。 复杂规律中指数或底数的对应关系混淆（如混淆 与 的规律）。 4. 解题技巧 多列举几个特殊值，验证规律的一致性（如探究 的个位数字规律，需计算 发现周期为4）。 用字母表示规律并证明：通过幂的运算法则推导，确保规律的严谨性（如证明 时用乘方的定义展开）。 【例题9】．（2024-2025•西安期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： （﹣3）2×42＝[（﹣3）×4]×[（﹣3）×4]＝[（﹣3）×4]2＝（﹣12）2＝144； 44×0.254＝（4×0.25）×（4×0.25）×（4×0.25）×（4×0.25）＝（4×0.25）4＝14＝1． 总结规律，解答下列问题． （1）　1　 ，xm•ym＝　（xy）m ． （2）计算：． 【答案】（1）1；（xy）m； （2）． 【分析】（1）根据积的乘方逆运算进行解答即可； （2）根据积的乘方逆运算把原式变形为，然后再根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1）） ＝13 ＝1， xm•ym＝（xy）m． 故答案为：1；（xy）m； （2） ， ． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，有理数的混合运算，掌握幂的乘方与积的乘方运算，有理数的混合运算是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•禹城市校级月考）在学习了有关平方根的知识后，我们知道了负数没有平方根．但如果我们假设存在一个数i，使i2＝﹣1，那么（﹣i）2＝i2＝﹣1，因此﹣1就有两个平方根i和﹣i，进一步猜想：因为（±2i）2＝（±2）2i2＝﹣4，所以﹣4的平方根是±2i；因为（±3i）2＝（±3）2i2＝﹣9，所以﹣9的平方根是±3i．（提示：（ab）2＝a2b2） 请你根据以上信息解答下列问题： （1）﹣16，﹣25的平方根分别是 　±4i 和 　±5i ； （2）i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…你发现了什么规律？请用你发现的规律求i2024的值． 【答案】（1）±4i；±5i； （2）1． 【分析】（1）根据新定义结合平方根的定义求解即可； （2）观察可知，i，i2，i3，⋯in，⋯这一列数每四个数为一个循环，i，﹣1，﹣i，1依次出现，据此规律求解即可． 【解答】解：（1）∵（±4i）2＝（±4）2i2＝16×（﹣1）＝﹣16，（±5i）2＝（±5）2i2＝25×（﹣1）＝﹣25， ∴﹣16，﹣25的平方根分别是±4i和±5i， 故答案为：±4i；±5i； （2）i2＝﹣1， i3＝﹣i， i4＝1， i5＝i， i6＝﹣1， i7＝﹣i， i8＝1， ……， 观察可知，i，i2，i3，⋯in，⋯这一列数每四个数为一个循环，i，﹣1，﹣i，1依次出现， ∵2024÷4＝506， ∴i2024的值为1． 【点评】本题主要考查了新定义，求一个数的平方根，实数有关的规律探索，找到规律是关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，125）＝　3　 ；（5，1）＝　0　 ；（2，）＝　﹣2　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）． （3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）． 【答案】（1）3，0，﹣2； （2）0； （3）见解答过程． 【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果； （2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解； （3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证． 【解答】解：（1）∵53＝125， ∴（5，125）＝3； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵， ∴（2，）＝﹣2． 故答案为：3，0，﹣2； （2）（16，10000）﹣（64，1000000） ＝（24，104）﹣（26，106） ＝（2，10）﹣（2，10） ＝0； （3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y， 则3x＝20，3y＝4， ∴3x÷3y， ＝20÷4， ＝5， ∴3x﹣y＝5， ∴（3，5）＝x﹣y， 又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y， ∴（3，20）﹣（3，4） ＝（3，5） 【点评】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•虹口区校级月考）我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解：一般地，n个相同因数a相乘；记为an，如：2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为log28，（即log28＝3）． （1）计算：log39＝　2　 ；log381＝　4　 ；log3729＝　6　 ． （2）观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出log39，log381，log3729之间的关系式　log39+log381＝log3729　 ． （3）由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果：logaM+logaN＝　logaMN （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； （4）根据上述结论解决下列问题：已知loga2＝0.3，求loga4和loga8的值（a＞0且a≠1）． 【答案】（1）2；4；6； （2）log39+log381＝log3729； （3）logaMN； （4）loga4＝0.6，loga8＝0.9． 【分析】（1）根据题目给出的定义，即可求解， （2）根据题意，找到规律，即可求解， （3）根据（2）中的规律，即可求解， （4）根据题目给出的运算法则，即可求解． 【解答】解：（1）∵32＝9， ∴log39＝2， ∵34＝81， ∴log381＝4， ∵36＝729， ∴log3729＝6， 故答案为：2；4；6， （2）∵log39＝2，log381＝4，log3729＝6，2+4＝6， ∴log39+log381＝log3（9×81）＝log3729， 故答案为：log39+log381＝log3729， （3）logaM+logaN＝logaMN， 故答案为：logaMN， （4）loga4＝loga2+loga2＝0.3+0.3＝0.6， loga8＝loga2+loga4＝0.3+0.6＝0.9． 【点评】本题考查了新定义运算，解题的关键是：理解题意，找到规律． 【题型10】幂的运算中的整除问题 1. 知识点 核心原理：若一个代数式能表示为某个整数的倍数，则它能被该整数整除。 常用技巧：通过幂的运算将代数式变形为含除数因式的形式（如证明 能被7整除，转化为含7的倍数的式子）。 2. 考点 证明代数式能被某数整除（如证明 能被8整除）。 已知整除关系求参数（如若 能被3整除，求正整数 的最小值）。 结合幂的逆运算分析整除性（如 能被4整除，求 的特征）。 3. 易错点 变形过程中幂的运算错误（如 错误转化为 ，导致后续整除性分析错误）。 忽略 为正整数的条件（如证明时未验证 等特殊值，直接推导一般性结论）。 符号处理不当（如 错误计算为 ，导致因式分解错误）。 4. 解题技巧 利用“差项法”变形：将代数式拆分为含除数的项与另一项的和/差（如 ，故能被8整除）。 用特殊值验证：先代入 验证结论，再通过幂的运算推导一般性规律。 【例题10】．（2024-2025•浦口区校级月考）设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 【答案】见试题解答内容 【分析】把原式化成含有3m+n的式子即可． 【解答】解：∵3m+4+n＝34×3m+n＝81×3m+n＝80×3m+（3m+n）， ∵3m+n能被10整除， ∴80×3m与3m+n均能被10整除， 即3m+4+n能被10整除． 【点评】本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算，比较简单． 【变式题10-1】．若7a+b能被整数m整除，则7a+b+4能被m整除吗？试说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】由7a+b能被整数m整除，得到7a+b÷m等于整数，列出算式后判断即可． 【解答】解：∵7a+b能被整数m整除，即7a+b÷m等于整数， ∴7a+b+4÷m＝7a+b×74÷m＝74×7a+b÷m也为整数， 则7a+b+4能被m整除． 【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题10-2】．已知m、n为自然数，2m+3n能被19整除，则2m+3+3n+3能否被19整除． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法，可得已知条件，根据拆项法，可得8×（2m+3n）+19×3n． 【解答】解：2m+3+3n+3＝8×2m+27×3n＝8×（2m+3n）+19×3n， 由（2m+3n）能被19整除，19×3n能被19整除， 2m+3+3n+3能被19整除． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法得出已知条件是解题关键． 【变式题10-3】．52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先逆用同底数幂的乘法运算性质将32n+1与6n+2分别变形为32n•3及6n•62，再逆用幂的乘方与积的乘方运算性质得出32n•2n＝（32）n•2n＝9n•2n＝18n，3n•6n＝（3×6）n＝18n，然后合并同类项得出原式为13×3•18n，从而判定52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除． 【解答】解：52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除．理由如下： ∵52•32n+1•2n﹣3n•6n+2 ＝52•（32n•3）•2n﹣3n•（6n•62） ＝75•32n•2n﹣36•3n•6n ＝75•18n﹣36•18n ＝39•18n ＝13×3•18n， 又∵3•18n是整数， ∴52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式的乘法，合并同类项等知识，难度适中，熟练掌握运算性质与法则是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 D A A C A 一．选择题（共5小题） 1．已知xa＝2，xb＝4，则x2a+b的值是（　　） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【解答】解：∵xa＝2，xb＝4， ∴x2a+b＝（xa）2•xb＝22×4＝4×4＝16． 故选：D． 【点评】本题主要考查了幂的运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．计算[（﹣2）3]2的结果正确的是（　　） A．26 B．25 C．﹣25 D．﹣26 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可． 【解答】解：[（﹣2）3]2＝（﹣2）6＝26， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+2＝9b B．9a＝8b C．a+2＝b9 D．3a＝9+b 【答案】A 【分析】根据题意得9×3a＝（3b）9，再根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可得出a与b的关系． 【解答】解：根据题意得9×3a＝（3b）9， ∴32×3a＝39b， ∴32+a＝39b， ∴a+2＝9b， 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a3）4＝a12 D．（﹣a2b3）2＝﹣a4b6 【答案】C 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； B、a8÷a4＝a4，故此选项不符合题意； C、（a3）4＝a12，故此选项符合题意； D、（﹣a2b3）2＝a4b6，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．若，则y与x满足的关系式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+2 B．y＝﹣x2﹣2x+2 C．y＝﹣x2+2x+4 D．y＝﹣x2﹣2x+4 【答案】A 【分析】由①得出7m＝x﹣1③，再化简②得出y＝3﹣（7m）2④，把③代入④即可得出结果． 【解答】解：， 由①得，7m＝x﹣1③， 由②得，y＝3﹣49m＝3﹣（72）m＝3﹣（7m）2④， 把③代入④，得y＝3﹣（x﹣1）2＝3﹣（x2﹣2x+1）＝3﹣x2+2x﹣1＝﹣x2+2x+2， 故选：A． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．已知am＝3，an＝2，则am+n＝　6　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案． 【解答】解：am+n＝am•an＝3×2＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加． 7．计算： 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】直接逆用积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解： ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方法则进行简便计算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 8．已知a＝3222，b＝8111，则a 　＞　 b（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＞． 【分析】将幂化为同指数，比较底数的大小即可． 【解答】解：∵a＝3222＝（32）111＝9111，b＝8111， 又9＞8， ∴a＞b． 故答案为：＞． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，有理数的大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的定义，有理数的大小比较的方法是关键． 9．已知10a＝5，100b＝200，则2a+4b﹣5的值为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】先根据已知条件，利用幂的乘方法则和同底数幂相乘法则求出10a•100b，从而求出a+2b，然后把所求式子化成含有a+2b的形式，整体代入进行计算即可． 【解答】解：∵10a＝5，100b＝200， ∴10a•100b＝5×200＝1000， 10a•（102）b＝103， 10a•102b＝103， 10a+2b＝103， ∴a+2b＝3， ∴2a+4b﹣5 ＝2（a+2b）﹣5 ＝2×3﹣5 ＝6﹣5 ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则． 10．已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 　b＜a．　 （请用字母表示，并用“＜”连接）． 【答案】见试题解答内容 【分析】把a和b变成指数为11的两个数，再对底数进行比较即可． 【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211， b＝522＝（52）11＝2511， ∵2511＜3211， ∴522＜255， 故答案为：b＜a． 【点评】本题考查了幂的乘方，关键把题中的两个数就变成相同的指数再比较． 三．解答题（共10小题） 11．计算： （1）3×（﹣2）﹣（﹣9）+8； （2）； （3）a•a2•a3； （4）（﹣2ab）2． 【答案】（1）11； （2）1； （3）a6； （4）4a2b2． 【分析】（1）先计算乘法，再计算加减，并注意计算结果的符号； （2）先计算平方、绝对值，再计算乘除，最后计算加减； （3）运用同底数幂相乘知识进行计算； （4）运用积的乘方知识进行计算求解． 【解答】解：（1）3×（﹣2）﹣（﹣9）+8 ＝﹣6+9+8 ＝11； （2） ＝128÷4 ＝3﹣2 ＝1； （3）a•a2•a3 ＝a1+2+3 ＝a6； （4）（﹣2ab）2． ＝（﹣2）2•a2•b2 ＝4a2b2． 【点评】此题考查了实数和幂的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 12．计算： （1）； （2）利用简便方法计算：． 【答案】（1）13； （2）4． 【分析】（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方法则计算，再根据有理数加减法则计算即可； （2）逆用积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1） ＝2+1+9﹣（﹣1） ＝2+1+9+1 ＝13； （2） ＝[0.25×（﹣4）]5×（﹣4）×（﹣1）8 ＝（﹣1）5×（﹣4）×1 ＝（﹣1）×（﹣4）×1 ＝4． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．已知4m÷2n＝8，（2m）2•2n＝32． （1）求（n+2m）（2m﹣n）的值； （2）计算（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n的结果． 【答案】（1）15； （2）﹣64． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则分别计算得出2m﹣n＝3，2m+n＝5，再计算即可； （2）把（1）中的结论代入代数式根据积的乘方法则计算即可． 【解答】解：（1）∵4m÷2n＝8， ∴（22）m÷2n＝8， ∴22m÷2n＝23， ∴22m﹣n＝23， ∴2m﹣n＝3， ∵（2m）2•2n＝32， ∴22m•2n＝32， ∴22m+n＝25， ∴2m+n＝5， ∴（n+2m）（2m﹣n）＝5×3＝15； （2）由（1）知2m﹣n＝3，2m+n＝5， ∴（﹣8）2m+n×0.1252m﹣n ＝（﹣8）5×0.1253 ＝（﹣8）3×0.1253×（﹣8）2 ＝（﹣8×0.125）3×64 ＝（﹣1）3×64 ＝﹣1×64 ＝﹣64． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14．在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题： （1）若9x＝36，求x的值； （2）若64×2x＝210，求x的值． 【答案】（1）3； （2）4． 【分析】（1）根据幂的乘方法则将原式变形为32x＝36，即可求出x的值； （2）先将原式变形为26×2x＝210，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出x的值． 【解答】解：（1）∵9x＝36， ∴（32）x＝36， ∴32x＝36， ∴2x＝6， ∴x＝3； （2）∵64×2x＝210， ∴26×2x＝210， ∴26+x＝210， ∴6+x＝10， ∴x＝4． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题； （1）如果2x＝25，则x＝　5　 ； （2）如果8x＝27，求x的值； （3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值． 【答案】（1）5； （2）x； （3）x＝2． 【分析】（1）根据am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n，即可解答； （2）根据幂的乘方法则进行计算，即可解答； （3）根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）∵2x＝25， ∴x＝5， 故答案为：5； （2）∵8x＝27， ∴（23）x＝27， ∴23x＝27， ∴3x＝7， 解得：x； （3）∵3x+2﹣3x+1＝54， ∴3x+1•3﹣3x+1•1＝54， ∴3x+1•（3﹣1）＝54， ∴3x+1＝27， ∴3x+1＝33， ∴x+1＝3， 解得：x＝2． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n． 你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果27x＝39，求x的值； （2）如果2×8x×16x＝222，求x的值； （3）已知x满足22x+3﹣22x+1＝48，求x的值． 【答案】（1）3； （2）3； （3）1.5． 【分析】（1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【解答】解：（1）∵27x＝39， （33）x＝39， 33x＝39， ∴3x＝9， x＝3； （2）2×8x×16x＝222， 2×（23）x×（24）x＝222， 2×23x×24x＝222， 27x+1＝222， ∴7x+1＝22， 7x＝21， x＝3； （3）22x+3﹣22x+1＝48， 22x+1•22﹣22x+1＝3×24， 22x+1×（4﹣1）＝3×24， 3×22x+1＝3×24， 22x+1＝24， 2x+1＝4， 2x＝3， x＝1.5． 【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． 17．观察与思考： 24×24×22＝210①；（22）5＝210②． （1）算式①的运算依据是 　A　 ，算式②的运算依据是 　C　 ； A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算：． 【答案】（1）A；C； （2）9． 【分析】（1）根据两式的计算结果进行判断即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法法则将原式变形后进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得算式①的运算依据是同底数幂的乘法，算式②的运算依据是幂的乘方， 故选：A；C； （2）原式＝（）4×（32）5 ＝（）4×95 ＝（）4×94×9 ＝（9）4×9 ＝1×9 ＝9． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18．新定义：如果xn＝y，则规定（x，y）＝n，例如：32＝9，所以（3，9）＝2． （1）填空：（2，4）＝　2　 ；（﹣3，81）＝　4　 ； （2）若（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，试说明a+b＝c； （3）若（e，5）＝（f，125），求e与f的数量关系． 【答案】（1）2，4． （2）见证明过程． （3）e3＝f． 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【解答】（1）解：∵22＝4， ∴（2，4）＝2． ∵（﹣3）4＝81， ∴（﹣3，81）＝4． 故答案为：2，4． （2）证明：∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c， ∴4a＝12，4b＝5，4c＝60， ∴4a×4b＝12×5＝60＝4c， ∴a+b＝c． （3）解：设（e，5）＝（f，125）＝k， ∴ek＝5，fk＝125＝53， ∵（ek）3＝53， ∴（e3）k＝53， ∴（e3）k＝fk， ∴e3＝f． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握整式的乘法法则是解题关键． 19．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对都是“共生有理数对”． （1）判断数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”，并说明理由； （2）若（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求（4m）n的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，求（﹣2）m﹣n的值． 【答案】（1）不是，理由见详解； （2）64； （3）16． 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对（﹣2，1）是否为“共生有理数对”； （2）根据（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，可以求得（4m）n的值； （3）根据（m，n）是“共生有理数对”，且mn＝3，可以求得（﹣2）m﹣n的值． 【解答】解：（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对”， 理由：∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，﹣3≠﹣1 ∴（﹣2，1）不是“共生有理数对”； （2）由题意可知： ， ∴mn＝3， ∴（4m）n＝4mn＝43＝64； （3）由题意可得： ∴， ∴m﹣n＝3+1＝4， 则（﹣2）m﹣n＝（﹣2）4＝16． 【点评】本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 20．阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较322和411的大小． 解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2 ∴322＞222，即322＞411 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较28和82的大小 解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6 ∴28＞26，即28＞82 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 （1）比较433　＞　 522的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小； （3）比较312×510与310×512的大小． 【答案】（1）＞； （2）a＜b； （3）312×510＜310×512． 【分析】（1）先把指数化成11的幂，然后比较底数的大小，从而比较这两个幂的大小即可； （2）根据已知条件求出a6，b6，并比较大小，然后比较a，b大小即可； （3）先把已知条件中的幂都写成指数是10的幂，然后分别计算每个算式，通过比较系数比较大小即可． 【解答】解：（1）433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵64＞25， 6411＞2511，即433＞522， 故答案为：＞； （2）∵a2＝2，b3＝3， ∴（a2）3＝a6＝23＝8，（b3）2＝b6＝32＝9， ∵8＜9， ∴a6＜b6， ∴a＜b； （3）312×510 ＝310×32×510 ＝310×510×9 ＝9×（3×5）10 ＝9×1510， 310×512 ＝310×510×52 ＝25×（3×5）10 ＝25×1510， ∵9＜25， ∴9×1510＜25×1510，即312×510＜310×512． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方和同底数幂相乘法则． 学科网（北京）股份有限公司 $$