10.2实数（知识点梳理+题型举一反三+同步练习）易错重难点同步备课2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

10.2实数 【题型1】无理数的识别与判断 1. 知识点 - 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 - 无理数的常见形式：①开方开不尽的数的方根（如，）；②圆周率及含的数（如，）；③特定结构的无限不循环小数（如 0.1010010001… ，相邻两个 1 之间依次多一个 0）。 2.考点 判断一个数是否为无理数。 - 区分有理数与无理数（有理数是有限小数或无限循环小数，可表示为分数形式；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式）。 3.易错点 - 误认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）。 - 混淆无限循环小数与无理数（如是有理数，不是无理数）。 - 忽略π的特殊性（π是无理数，不是分数）。忽略π的特殊性（π是无理数，不是分数）。 4.. 解题技巧 - 排除法：先排除整数、分数、有限小数、无限循环小数（均为有理数），剩余的无限不循环小数为无理数。 - 特征对照：根据无理数的三种常见形式直接识别。 【例题1】．（2024-2025•泰山区校级三模）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（　　） A．0.1313 B． C． D． 【变式题1-1】．（2024-2025•蓝田县二模）下列数中属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D．3.14159 【变式题1-2】．（2024-2025•夏津县期末）下列说法错误的是（　　） A．的算术平方根是2 B．每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来 C．无理数是开方开不尽的数 D．0的平方根和立方根都是0 【变式题1-3】．（2024-2025•宁津县校级月考）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数部是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2】实数的分类 1. 知识点 - 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 - 实数的分类： ①按定义分：实数 ②按正负性分：实数 2. 考点 - 将给定实数填入对应的集合（如“有理数集合”“无理数集合”“正实数集合”等）。 - 判断实数分类的正确性。 3. 易错点 - 分类时遗漏“0”（0是有理数，既不是正实数也不是负实数）。 - 混淆“正无理数”与“负无理数”的划分标准。 - 误将无限循环小数归为无理数。 4. 解题技巧 - 分步分类：先判断是否为有理数（能化为分数或有限/循环小数），再判断正负性；或先按正负性划分，再细分有理数和无理数。 - 标记特征：在数旁标注“有理/无理”“正/负”，再归类。 【例题2】．（2024-2025•上思县月考）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，0，﹣5.1234…，，，0.31． 有理数集合：{　 　 …}； 无理数集合：{　 　 …}； 正实数集合：{　 　 …}． 【变式题2-1】．（2024-2025•乐陵市校级月考）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，2π，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，+（﹣4），1016． （1）整数集合：{ 　 　 …}； （2）正分数集合：{ 　 　 …}； （3）负有理数集合：{ 　 　 …}； （4）无理数集合：{ 　 　 …}； （5）非负整数集合：{ 　 　 …}． 【变式题2-2】．（2024-2025•阿克陶县月考）把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，﹣2025，，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{　 　 …}； 负数集合：{　 　 …}； 有理数集合：{　 　 …}； 无理数集合：{　 　 …}． 【变式题2-3】．（2024-2025•蓟州区校级月考）将下面各数填入相应的集合内： +3、+（﹣2.1）、、﹣π、0、﹣|﹣9|、﹣0.1010010001、、． 整数：{ 　 　 …}； 负分数：{ 　 　 …}； 非负有理数：{ 　 　 …}； 无理数：{ 　 　 …}． 【题型3】实数与数轴的对应关系 1. 知识点 - 实数与数轴的一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都对应一个实数。 - 数轴上实数的大小规律：右边的数总比左边的数大。 2. 考点 - 利用数轴表示实数（如在数轴上标出，对应的点）。 - 根据数轴上点的位置判断实数的大小或关系。 - 结合数轴求解与实数相关的距离、坐标问题（如已知点表示的数，求另一点对应的数）。 3. 易错点 - 忽略数轴的方向（左边的数小于右边的数）。 - 计算数轴上两点距离时符号错误（距离为两数差的绝对值）。 - 误认为数轴上的点仅对应有理数。 4. 解题技巧 - 数形结合：通过数轴直观分析实数的大小和位置关系。 - 距离公式：数轴上两点（表示数）、（表示数）的距离为。 【例题3】．（2024-2025•成武县期末）如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为﹣1，点B对应的数为m，在AB之间有一点C，点C到原点的距离为，且AC﹣BC＝1，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．2 【变式题3-1】．（2024-2025•林州市期末）如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【变式题3-2】．（2024-2025•东洲区期末）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A．2.8 B．2 C．21 D．2 【变式题3-3】．（2024-2025•碧江区 校级月考）如图，一个边长为1的正方形ABCD放置在数轴上，边AD与数轴重合，点A对应数字1．现将正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动，那么2026对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【题型4】实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 1. 知识点 - 相反数：若与互为相反数，则（如的相反数是）。 - 倒数：若与互为倒数，则（，如的倒数是）。 - 绝对值：①（非负性）；②=；③互为相反数的两数绝对值相等（）。 2. 考点 - 求实数的相反数、倒数、绝对值。 - 利用相反数、倒数、绝对值的性质化简式子或求值。 - 结合非负性解题（如，则且）。 3. 易错点 - 求负数的绝对值时符号错误（如误算为）。 - 忽略倒数的条件（0没有倒数）。 - 非负性应用时漏解（多个非负数和为0，则每个非负数均为0）。 4. 解题技巧 - 性质公式直接用：牢记的相反数是，倒数是（），绝对值按符号分情况化简。 - 非负性口诀：“几个非负式相加为0，每个式子都为0”。 【例题4】．（2024-2025•北京期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 【变式题4-1】．（2024-2025•拱墅区期末）若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 【变式题4-2】．（2024-2025•平桥区期末）a是的绝对值，b是的相反数，则a+b＝　 　 ． 【变式题4-3】．（2024-2025•黄山期中）式子的倒数是（　　） A． B． C． D． 【题型5】无理数的估算 1. 知识点 - 估算原理：若（为正整数），则；若，则。 - 整数部分与小数部分：无理数的整数部分为，小数部分为。 2. 考点 - 估算无理数的取值范围（如在3和4之间）。 - 求无理数的整数部分或小数部分。 - 结合估算解决不等式或整数解问题。 3. 易错点 - 找错相邻的平方数或立方数（如估算时，误取和之外的数）。 - 小数部分计算错误（误将小数部分写成整数部分减原数）。 4. 解题技巧 - 邻数定位法：找到被开方数左右相邻的完全平方数（或立方数），确定无理数的整数部分。 - 公式计算：小数部分 = 无理数 - 整数部分。 【例题5】．（2024-2025•浦东新区校级三模）估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【变式题5-1】．（2024-2025•东莞市校级月考）估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 19．（2024-2025•安次区校级月考）已知，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题5-2】．（2024-2025•厦门校级期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型6】实数的大小比较 1. 知识点 - 基本规律：正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小。 - 特殊方法：①平方比较法（若，，则）；②估算比较法（估算无理数近似值后比较）；③数轴比较法（右边的数总比左边的大）。 2. 考点 - 直接比较两个实数的大小（如比较与2.5）。 - 多个实数按大小排序。 - 结合平方、估算等方法比较复杂实数的大小。 3. 易错点 - 比较负实数时符号错误，易混淆绝对值大小。 - 平方比较法误用（忽略，均为正数的前提）。 4. 解题技巧 - 分类比较：正数与正数比（用平方或估算），负数与负数比（比较绝对值，绝对值大的反而小），正数与负数比（正数大）。 - 数轴辅助：将实数在数轴上标出，直观判断大小。 【例题6】．（2024-2025•庐江县校级期末）在实数﹣1，0，，中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【变式题6-1】．（2024-2025•防城区期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ∵19＞16，∴，∴， ∴，∴． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 【变式题6-2】．（2024-2025•西乡塘区期末）（1）填表： m 0 … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 … 0.001 　 　 0.1 1 　 　 100 … （2）规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动　 　 位，则的小数点就相应地　 　 移动　 　 位； ②当m＞1时，若正数m越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，求m的值； （4）灵活应用：当m≥0时，比较和m的大小． 【变式题6-3】．（2024-2025•兴县月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　 　 d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【题型7】无理数整数部分与小数部分的计算 1. 知识点 - 整数部分：不大于无理数的最大整数（如的整数部分是2，因为）。 - 小数部分：无理数减去其整数部分（如的小数部分是）。 - 含整数、小数部分的代数式求值（如已知是整数部分，是小数部分，求或）。 2. 考点 - 求无理数的整数部分或小数部分。 - 结合整数、小数部分求解代数式的值（如已知的整数部分是，小数部分是，求）。 3. 易错点 - 整数部分判断错误（找错相邻的整数）。 - 小数部分计算错误（误写成整数部分减无理数）。 - 含负数的无理数整数部分判断错误（如的整数部分是1，因，，整数部分是0）。 4. 解题技巧 - 邻数确定整数部分：先估算无理数的范围，找到最大的整数使得无理数，则整数部分为。 - 公式应用：小数部分 = 无理数 - 整数部分，代入代数式时直接替换。 【例题7】．（2024-2025•岷县期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　 　 ． 【变式题7-1】．（2024-2025•建华区期末）通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（　　） A．m，n均为有理数 B． C．4＜m﹣n＜5 D．4＜m+n＜5 【变式题7-2】．（2024-2025•肥西县校级月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （2）已知：小数部分是m，小数部分是n，且（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 【变式题7-3】．（2024-2025•义乌市期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ． （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值． （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 【题型8】实数的混合运算 1. 知识点 - 运算范围：实数可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方（正数和0开平方，任意实数开立方）运算。 - 运算顺序：先乘方、开方；再乘除；最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内的。 - 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍适用。 2. 考点 - 含平方根、立方根、绝对值、乘方的实数混合运算（如计算）。 - 利用运算律简化计算。 3. 易错点 - 运算顺序错误（如先算加减再算乘方）。 - 符号错误（如负数的平方、开方时符号处理不当）。 - 绝对值化简错误（忽略绝对值内数的正负性）。 4. 解题技巧 - 分步计算：按“开方/乘方→乘除→加减”的顺序逐步计算，每步标注运算类型。 - 符号优先：先确定每一项的符号（如，先判断与的大小）。 【例题8】．（2024-2025•绥棱县校级月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式题8-1】．（2024-2025•淮南期中）现对实数a，b定义一种运算：a※b＝ab+a﹣b．则等于（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【变式题8-2】．（2024-2025•路北区校级月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． （1）化简：； （2）若a2＝1，|b|，c2，求（1）中式子的值． 【变式题8-3】．（2024-2025•如皋市校级期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0． 运用上述知识，解决下列问题： （1）如果（a+2）b﹣3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）如果2b﹣a﹣（a+b﹣4）5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根． 【题型9】新定义下的实数运算 1. 知识点 - 新定义运算：根据题目给出的新规则（如“差倒数”“※运算”等）进行实数运算。 - 核心要求：理解新定义的运算符号所表示的规则，严格按规则代入计算。 2. 考点 - 根据新定义直接计算。 - 结合新定义探究规律或求值（如按新规则循环计算，找周期规律）。 3. 易错点 - 误解新定义的规则（如混淆运算顺序或符号）。 - 循环计算时漏找周期，导致计算繁琐或错误。 4. 解题技巧 - 精读定义：用具体例子验证对新规则的理解（如题目给示例，先模仿示例计算）。 - 分步代入：将实数代入新定义的公式，按规则逐步计算，复杂时可分步写过程。 - 找周期规律：若涉及循环运算，计算前几项找周期，简化计算。 【例题9】．（2024-2025•榆林校级月考）在实数范围内定义一种新运算“Δ”，其运算规则为aΔb＝3a﹣ab，如（﹣1）Δ3＝3×（﹣1）﹣（﹣1）×3＝0．已知x满足xΔ6＞3，求x的最大整数值． 【变式题9-1】．（2024-2025•大方县校级月考）定义运算“@”的运算法则为：，例如：2@3； 请模仿上例求（2@6）@8． 【变式题9-2】．（2024-2025•龙岩模拟）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为﹣5．计算如下： 2⊕5＝2×（2﹣5）+1 ＝2×（﹣3）+1 ＝﹣6+1 ＝﹣5 求（﹣2）⊕3的值； （2）请你定义一种新运算，使得数字﹣4和6在你定义的新运算下结果为20．写出你定义的新运算． 【变式题9-3】．（2024-2025•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈　n次方”． 小明探究出：初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　 　 ，（）⑤＝　 　 ；（）⑥＝　 　 ． 他们一起深入思考得出： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　 　 ；5⑥＝　 　 ；（）⑩＝　 　 ． （3）请你想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　 　 ； （4）请你算一算：24÷23﹣（﹣8）×2⑥+（）④． 【题型10】实数相关的材料阅读理解题 【例题10】．（天元区期末）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答下列问题： （1）求出2的整数部分和小数部分； （2）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数． 【变式题10-1】．（2024-2025•永兴县校级月考）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似； （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ 　 　 ；②（2+i）2＝ 　 　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+⋯+i2026）的值． 【变式题10-2】．（2024-2025•兰山区校级期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时， 可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）． 在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题：化简代数式|x+2|+|x﹣4|． 【变式题10-3】．（2024-2025•孝义市期中）阅读与探究 在第六章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x2＝a，那么叫做a的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x做a的立方根． 运算 求一个数a的平方根的运算，叫开平方，开平方与平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 表示与读法 正数a的平方根可以用“±”表示，读作“正负根号a” 一个数a的立方根可以用“”表示，读作“三次根号a” 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （1）填表与定义 ①填表． x4 1 16 x ±1 　 　 ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：　 　 ． （2）思考与归纳 求一个数a的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 81的四次方根是　 　 ． 的四次方根是　 　 ． 0的四次方根是　 　 ． ﹣4　 　 （填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：　 　 ． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫　 　 ；（填正确选项的代码） 四次方根的特征是由81，，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫　 　 （填正确选项的代码） A．类比思想 B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想 （3）巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数a的四次方根，用符号“±”表示，读作“正、负四次根号a”，其中a是被开方数，4是根指数．例如±表示16的四次方根，±±2． ①±　 　 （将结果直接填到横线上） ②比较大小：　 　 （填“＜”或“＝”或“＞”） 【题型11】实数运算的实际应用 1. 知识点 - 实际问题转化：将面积、距离、价格等实际问题转化为实数运算（如正方形面积求边长，圆的周长计算等）。 - 核心公式：正方形边长 = ；圆的半径 = ；距离计算涉及开方或绝对值等。 2. 考点 - 结合几何图形（正方形、圆）的面积或周长求解边长、半径等（如用长方形面积拼正方形，求正方形边长）。 - 购物优惠、测量估算等实际场景中的实数计算（如折扣、红包减免后的费用计算）。 3. 易错点 - 单位换算错误（如面积单位与长度单位混淆）。 - 题意理解偏差（如优惠规则中的“满减”“折扣”顺序错误）。 - 计算结果未按要求保留近似值（如误差小于1米，未四舍五入）。 4. 解题技巧 - 题意建模：先明确实际问题中的数量关系（如“面积相等”“总费用=单价×数量+其他费用”），列出数学式子。 - 分步求解：先计算关键量（如面积→边长），再代入实际场景公式，最后按要求保留结果。 - 验证合理性：计算后结合实际场景判断结果是否合理（如边长不能为负，费用不能为负）。 【例题11】．（2024-2025•长乐区期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且． ∴可设，其中0＜x＜1， 画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积为92+2×9x+x2＝85． ∵x2＜1，可忽略x2，于是得81+18x≈85，解得x＝0.22． ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： （1）的整数部分为　 　 ； （2）求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【变式题11-1】．（2024-2025•迁西县期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求阴影部分的面积及其边长； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，求点D在数轴上表示的数． 【变式题11-2】．（2024-2025•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　 　 dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 　 　 ，　 　 ； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 　 　 ； （4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 【变式题11-3】．（2024-2025•崇左期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． （1）点A表示的数为　 　 ；点B表示的数为　 　 ． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分为2． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为　 　 ，小数部分为　 　 ． （3）小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为2：1，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：1.73，3.16） 【题型12】实数相关的找规律问题 【例题12】．（2024-2025•宜春月考）观察下列各式： ①； ②； ③． 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律 　 　 ； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，[a]表示不超过a的最大整数，如[3]＝3，，计算的值． 【变式题12-1】．（2024-2025•苍溪县期中）先观察下列等式．再回答问题： ①11； ②11； ③11． （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想　 　 ． （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：　 　 ． （3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，计算：[]的值． 【变式题12-2】．（2024-2025•大连期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：　 　 ； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若　 　 ，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求2x+1的算术平方根． 【变式题12-3】．（2024-2025•安宁市期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步确定立方根的数位 ∵1000＜59319＜1000000， ∴ ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步确定立方根的个位上的数字 0～9十个整数的立方如表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0～9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． ∵59319的个位数字是9，而93＝729，∴能确定的个位数字是9； 第三步确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． ∵ ∴ ∴ 经验证393＝59319 根据以上材料，解答下列问题． （1）3375的立方根是一个 　 　 位数，其立方根的个位数字是 　 　 ； （2）已知238328是整数x的立方，按照上述方法求x． 同步练习 一．选择题（共6小题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．已知a为正整数，且，则a等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．下列说法中，正确的是（　　） A． B．的相反数是 C． D． 4．小丽家有一块140m2的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（　　） A．9m～10m之间 B．11m～12m之间 C．12m～13m之间 D．13m～14m之间 5．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 7．比较大小：　 　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 8．我们赋予“Δ”一个实际意义，规定，则6Δ2的值为　 　 ． 9．2的相反数是　 　 ；绝对值是　 　 ． 10．请写出一个整数部分为2的无理数　 　 ． 11．若a，b分别是16的两个平方根，则a+b﹣ab的值为　 　 ． 12．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 　 　 ． 三．解答题（共10小题） 13．计算： （1）； （2）． 14．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． （1）化简：； （2）若a2＝1，|b|，c2，求（1）中式子的值． 15．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”． （1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　 　 ； （2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值； （3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由． 16．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　 ； （2）求|m+1|+|m﹣1|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根． 17．已知5a﹣2的立方根是2，6a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求5a﹣b+c的平方根． 18．小美制作了一张边长为14cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为330cm2． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 19．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 　 　 ，小数部分是 　 　 ； （2）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求x﹣y的值． 20．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把a和b分别平方，得a2＝12，b2＝18．因为a2＜b2，所以a＜b．请结合上述材料解决下列问题． （1）比较，的大小； （2）比较，的大小，则m　 　 n．（填“＞”“＜”或“＝”） 21．探究发散： （1）完成下列填空： ①，②，③　 　 ，④，⑤，⑥　 　 ． （2）根据上述计算结果，若a＜b，则　 　 ． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 22．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　 　 ； （2）若，则x＝　 　 ； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2实数 【题型1】无理数的识别与判断 1. 知识点 - 无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 - 无理数的常见形式：①开方开不尽的数的方根（如，）；②圆周率及含的数（如，）；③特定结构的无限不循环小数（如 0.1010010001… ，相邻两个 1 之间依次多一个 0）。 2.考点 判断一个数是否为无理数。 - 区分有理数与无理数（有理数是有限小数或无限循环小数，可表示为分数形式；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式）。 3.易错点 - 误认为带根号的数都是无理数（如=2是有理数）。 - 混淆无限循环小数与无理数（如是有理数，不是无理数）。 - 忽略π的特殊性（π是无理数，不是分数）。忽略π的特殊性（π是无理数，不是分数）。 4.. 解题技巧 - 排除法：先排除整数、分数、有限小数、无限循环小数（均为有理数），剩余的无限不循环小数为无理数。 - 特征对照：根据无理数的三种常见形式直接识别。 【例题1】．（2024-2025•泰山区校级三模）无理数的产生不仅是数学史上的一个重要里程碑，也对整个科学和哲学产生了深远的影响．下列四个数是无理数的是（　　） A．0.1313 B． C． D． 【答案】D 【分析】因为无理数就是无限不循环小数，如圆周率，据此解答． 【解答】解：对于A，0.1313是有限小数，是有理数； 对于B，，是无线循环小数，是有理数； 对于C，，所以是有理数； 对于D，π是无线不循环小数，是无理数，所以是无理数． 故选：D． 【点评】本题考查了无理数、立方根，解决本题的关键是知道无理数的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•蓝田县二模）下列数中属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D．3.14159 【答案】C 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：0是整数，是分数，3.14159是有限小数，它们不是无理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：C． 【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式题1-2】．（2024-2025•夏津县期末）下列说法错误的是（　　） A．的算术平方根是2 B．每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来 C．无理数是开方开不尽的数 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】由实数的相关概念，可选择． 【解答】解：A、4，4的算术平方根是2，故A不符合题意； B、每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，故B不符合题意； C、无理数不一定是开方开不尽的数，故C符合题意； D、0的平方根和立方根都是0，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查实数的有关概念，关键是掌握实数中的有关概念． 【变式题1-3】．（2024-2025•宁津县校级月考）下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数部是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数． 【解答】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，正确； ②无限小数都是无理数，错误，无限循环小数是有理数； ③无理数都是无限小数，正确； ④最小的实数是0，错误，没有最小的实数； ⑤带根号的数都是无理数，错误，例如是有理数． 故选：C． 【点评】本题考查实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键． 【题型2】实数的分类 1. 知识点 - 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 - 实数的分类： ①按定义分：实数 ②按正负性分：实数 2. 考点 - 将给定实数填入对应的集合（如“有理数集合”“无理数集合”“正实数集合”等）。 - 判断实数分类的正确性。 3. 易错点 - 分类时遗漏“0”（0是有理数，既不是正实数也不是负实数）。 - 混淆“正无理数”与“负无理数”的划分标准。 - 误将无限循环小数归为无理数。 4. 解题技巧 - 分步分类：先判断是否为有理数（能化为分数或有限/循环小数），再判断正负性；或先按正负性划分，再细分有理数和无理数。 - 标记特征：在数旁标注“有理/无理”“正/负”，再归类。 【例题2】．（2024-2025•上思县月考）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，0，﹣5.1234…，，，0.31． 有理数集合：{　，3.14，，0，，0.31　 …}； 无理数集合：{　，，﹣5.1234…，　 …}； 正实数集合：{　，3.14，，，0.31　 …}． 【答案】，3.14，，0，，0.31；，，﹣5.1234…，；，3.14，，，0.31． 【分析】先化简，再根据有理数、无理数、正实数的定义分类即可． 【解答】解：3是有理数，0.5是有理数， 有理数集合：{，3.14，，0，，0.31…}； 无理数集合：{，，﹣5.1234…，}； 正实数集合：{，3.14，，，0.31…}． 故答案为：3.14，，0，，0.31；，，﹣5.1234…，；，3.14，，，0.31． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•乐陵市校级月考）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，2π，，0.13030030003…．（相邻两个3之间的0逐次加1），0.15，，+（﹣4），1016． （1）整数集合：{ 　0，，，+（﹣4），1016　 …}； （2）正分数集合：{ 　3.1415926，0.15　 …}； （3）负有理数集合：{ 　，，+（﹣4）　 …}； （4）无理数集合：{ 　，2π，，0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1）　 …}； （5）非负整数集合：{ 　0，，1016　 …}． 【答案】（1）0，，，+（﹣4），1016；（2）3.1415926，0.15；（3），，+（﹣4）；（4），2π，，0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1）；（5）0，，1016． 【分析】（1）根据整数的定义选出即可； （2）根据正数和分数的定义选出即可； （3）根据负数和有理数的定义选出即可； （4）根据无理数的定义选出即可； （5）根据非负整数的定义（即正整数和零）选出即可． 【解答】解：，，+（﹣4）＝﹣4， （1）整数集合：{0，，，+（﹣4），1016，…}． 故答案为：0，，，+（﹣4），1016； （2）正分数集合：{3.1415926，0.15，…}． 故答案为：3.1415926，0.15； （3）负有理数集合：{，，+（﹣4），…}． 故答案为：，，+（﹣4）； （4）无理数集合：{，2π，，0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1），…}． 故答案为：，2π，，0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1）； （5）非负整数集合：{0，，1016，…}． 故答案为：0，，1016． 【点评】本题考查了实数，掌握无理数包括正无理数和负无理数，有理数包括正有理数，0，负有理数是关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•阿克陶县月考）把下列各数填入相应的集合里： 0.4，，，﹣2025，，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）． 正数集合：{　0.4，，，　 …}； 负数集合：{　﹣2025，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）　 …}； 有理数集合：{　0.4，，，﹣2025　 …}； 无理数集合：{　，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）　 …}． 【答案】0.4，，，；﹣2025，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，﹣2025；，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）． 【分析】根据实数的分类方法进行解答即可． 【解答】解：正数集合：{0.4，，，，…}； 负数集合：{﹣2025，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）…}； 有理数集合：{0.4，，，﹣2025，…}； 无理数集合：{，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）…}． 故答案为：0.4，，，；﹣2025，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）；0.4，，，﹣2025；，﹣0.010010001…（两个1之间依次增加一个0）． 【点评】此题考查了实数的分类，掌握此知识是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•蓟州区校级月考）将下面各数填入相应的集合内： +3、+（﹣2.1）、、﹣π、0、﹣|﹣9|、﹣0.1010010001、、． 整数：{ 　+3，0，﹣|﹣9|，　 …}； 负分数：{ 　　 …}； 非负有理数：{ 　3，0，　 …}； 无理数：{ 　﹣π　 …}． 【答案】+3，0，﹣|﹣9|，； ； 3，0，； ﹣π． 【分析】根据整数、负负数、非负有理数和无理数的定义，对各数进行判断即可． 【解答】解：+（﹣2.1）＝﹣2.1，﹣|﹣9|＝﹣9，， 整数：{+3，0，﹣|﹣9|，}； 负分数：{}； 非负有理数：{3，0，}； 无理数：{﹣π…}． 【题型3】实数与数轴的对应关系 1. 知识点 - 实数与数轴的一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都对应一个实数。 - 数轴上实数的大小规律：右边的数总比左边的数大。 2. 考点 - 利用数轴表示实数（如在数轴上标出，对应的点）。 - 根据数轴上点的位置判断实数的大小或关系。 - 结合数轴求解与实数相关的距离、坐标问题（如已知点表示的数，求另一点对应的数）。 3. 易错点 - 忽略数轴的方向（左边的数小于右边的数）。 - 计算数轴上两点距离时符号错误（距离为两数差的绝对值）。 - 误认为数轴上的点仅对应有理数。 4. 解题技巧 - 数形结合：通过数轴直观分析实数的大小和位置关系。 - 距离公式：数轴上两点（表示数）、（表示数）的距离为。 【例题3】．（2024-2025•成武县期末）如图，在数轴上点B及在点A的右侧，已知点A对应的数为﹣1，点B对应的数为m，在AB之间有一点C，点C到原点的距离为，且AC﹣BC＝1，则m的值为（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】先根据已知条件求出AC和BC，再根据AC﹣BC＝1列出关于m的方程，解方程求出m即可． 【解答】解：∵点A对应的数为﹣1，点C到原点的距离为， ∴， ∵AC﹣BC＝1， ∴， ， ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是根据两点间的距离公式，结合AC﹣BC＝1列出关于m的方程． 【变式题3-1】．（2024-2025•林州市期末）如图，正方形ABCD的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若AD＝AE，则点E表示的数为（　　） A． B．﹣1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意可得：AD，当点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，且AD＝AE，因此点E表示的数为：1． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为3， ∴AD， ∵点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，且AD＝AE， ∴点E表示的数为：1， 故选：A． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•东洲区期末）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　） A．2.8 B．2 C．21 D．2 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数． 【解答】解：由题意可得， AB＝2，BC＝2，AB⊥BC， ∴AC＝2， ∴AD＝2， ∴点D表示数为：21， 故选：C． 【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式题3-3】．（2024-2025•碧江区 校级月考）如图，一个边长为1的正方形ABCD放置在数轴上，边AD与数轴重合，点A对应数字1．现将正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向滚动，那么2026对应的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】先根据题意确定正方形ABCD滚动的周期，再列出算式，通过计算确定2026在滚动周期中的位置进行判断即可． 【解答】解：∵正方形边长为1， ∵正方形ABCD顺时针沿着数轴正方向每滚动﹣周，向右移到4， ∴数轴上从2开始向右的整数每4个一个循环，依次对应正方形的顶点C，B，A，D， ∴（2026﹣2）÷4＝506 ∴2026对应的点是点D， 故选：D． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是理解正方形在数轴上滚动的周期性规律． 【题型4】实数的性质（相反数、倒数、绝对值） 1. 知识点 - 相反数：若与互为相反数，则（如的相反数是）。 - 倒数：若与互为倒数，则（，如的倒数是）。 - 绝对值：①（非负性）；②=；③互为相反数的两数绝对值相等（）。 2. 考点 - 求实数的相反数、倒数、绝对值。 - 利用相反数、倒数、绝对值的性质化简式子或求值。 - 结合非负性解题（如，则且）。 3. 易错点 - 求负数的绝对值时符号错误（如误算为）。 - 忽略倒数的条件（0没有倒数）。 - 非负性应用时漏解（多个非负数和为0，则每个非负数均为0）。 4. 解题技巧 - 性质公式直接用：牢记的相反数是，倒数是（），绝对值按符号分情况化简。 - 非负性口诀：“几个非负式相加为0，每个式子都为0”。 【例题4】．（2024-2025•北京期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 【答案】C 【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论． 【解答】解：∵绝对值是的数是或， ∴A选项的结论不正确； ∵的相反数是， ∴B选项的结论不正确； ∵1的绝对值是1， ∴C选项的结论正确； ∵2， ∴的相反数为2． ∴D选项的结论不正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数的性质，绝对值的意义，立方根，相反数的意义，正确利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义进行解答是解题的关键． 【变式题4-1】．（2024-2025•拱墅区期末）若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 【答案】D 【分析】分别计算出a，b，c的值，比较大小即可． 【解答】解：∵a，b＝||，c， ∴a＜0＜c＜b， ∴a+b＝0＜c，a+b+c0，ab＜0＜c，bc＝1＞a， 故A，B，C选项错误，不符合题意，D选项正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了实数，比较出a，b，c的大小是解题的关键． 【变式题4-2】．（2024-2025•平桥区期末）a是的绝对值，b是的相反数，则a+b＝　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据绝对值、相反数的定义求出a、b的值，然后计算a+b即可． 【解答】解：∵a是的绝对值， ∴a， ∵b是的相反数， ∴b， ∴a+b0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了实数的性质，熟练掌握绝对值、相反数的定义是解题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•黄山期中）式子的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可． 【解答】解：根据二次根式分母有理化的方法进行化简可得： 的倒数是 ， 故选：A． 【点评】本题考查了倒数的定义，分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【题型5】无理数的估算 1. 知识点 - 估算原理：若（为正整数），则；若，则。 - 整数部分与小数部分：无理数的整数部分为，小数部分为。 2. 考点 - 估算无理数的取值范围（如在3和4之间）。 - 求无理数的整数部分或小数部分。 - 结合估算解决不等式或整数解问题。 3. 易错点 - 找错相邻的平方数或立方数（如估算时，误取和之外的数）。 - 小数部分计算错误（误将小数部分写成整数部分减原数）。 4. 解题技巧 - 邻数定位法：找到被开方数左右相邻的完全平方数（或立方数），确定无理数的整数部分。 - 公式计算：小数部分 = 无理数 - 整数部分。 【例题5】．（2024-2025•浦东新区校级三模）估计的值在（　　） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 【答案】B 【分析】利用无理数的估算解答． 【解答】解：∵， ∴45， ∴23． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的大小比较和无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的大小比较和无理数的估算． 【变式题5-1】．（2024-2025•东莞市校级月考）估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【分析】先将化为，再运用算术平方根知识进行估算． 【解答】解：由题意得， 2， ∵， ∴45， ∴的值应在4和5之间， 故选：D． 【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识． 【变式题5-2】．（2024-2025•安次区校级月考）已知，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【解答】解：∵23，45， ∴当时， 2＜a＜5， ∴满足条件的所有整数a为：3，4， ∵3+4＝7， ∴满足条件的所有整数a的和为7， 故选：D． 【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用算术平方根知识． 【变式题5-3】．（2024-2025•厦门校级期中）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为：9+9＝18， 则大正方形的边长为：， ∵， ∴， ∴大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：A． 【点评】本题考查了的估算无理数的大小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【题型6】实数的大小比较 1. 知识点 - 基本规律：正实数 > 0 > 负实数；两个正实数，绝对值大的数大；两个负实数，绝对值大的数小。 - 特殊方法：①平方比较法（若，，则）；②估算比较法（估算无理数近似值后比较）；③数轴比较法（右边的数总比左边的大）。 2. 考点 - 直接比较两个实数的大小（如比较与2.5）。 - 多个实数按大小排序。 - 结合平方、估算等方法比较复杂实数的大小。 3. 易错点 - 比较负实数时符号错误，易混淆绝对值大小。 - 平方比较法误用（忽略，均为正数的前提）。 4. 解题技巧 - 分类比较：正数与正数比（用平方或估算），负数与负数比（比较绝对值，绝对值大的反而小），正数与负数比（正数大）。 - 数轴辅助：将实数在数轴上标出，直观判断大小。 【例题6】．（2024-2025•庐江县校级期末）在实数﹣1，0，，中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D． 【答案】C． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵﹣1＜0， ∴最大的数是：． 故选：C． 【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【变式题6-1】．（2024-2025•防城区期中）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ∵19＞16，∴，∴， ∴，∴． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： （1）和； （2）和． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意可知， ， ∵， ∴， ∴； （2）根据题意可知， ， ∵3， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． 【变式题6-2】．（2024-2025•西乡塘区期末）（1）填表： m 0 … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 … 0 … 0.001 　0.01　 0.1 1 　10　 100 … （2）规律归纳： ①若正数m的小数点向左（或右）移动　2　 位，则的小数点就相应地　向左（或右）　 移动　1　 位； ②当m＞1时，若正数m越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，求m的值； （4）灵活应用：当m≥0时，比较和m的大小． 【答案】（1）0.01，10； （2）2，向左（或向右），1； （3）m的值为1690000； （4）当0≤m≤1时，；当m＞1时，． 【分析】（1）直接计算即可； （2）观察（1）中表格数据，得出规律； （3）利用（2）中找出的规律求解； （4）根据m的非负性，进行分类讨论即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：0.01，10； （2）根据表格数据，正数m的小数点向左（或右）移动2位，则的小数点就相应地向左（或向右）移动1位， 故答案为：2，向左（或向右），1； （3）由题意知，，则m＝1690000； （4）①当m＝0时，； ②当0＜m＜1时，例如m＝0.01，则0.1，此时； ③当m＝1时，； ④当m＞1时，例如当m＝4时，则，此时m． 综上所述，当0≤m≤1时，；当m＞1时，． 【点评】本题主要考查了实数大小比较、算术平方根的缩放性质，运用了分类讨论，准确找出被开方数与算术平方根点的移动规律是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•兴县月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a＝2和b＝3的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较c＝4大小，c 　＞　 d（填写“＞”“＜”或“＝”）． （2）猜想m＝2之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，． ∵，∴． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】（1）c＞d；（2）n＞m；（3）． 【分析】（1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分母有理化比较大小即可． 【解答】解：（1）∵， ∴c2＞d2， ∴c＞d； （2）∵， ∴n2＞m2， ∴n＞m； （3）∵，又 ∴， ∴． 【点评】本题考查了平方法、分母有理化、利用比较实数的倒数的大小来比较实数的大小，解题的关键是求出． 【题型7】无理数整数部分与小数部分的计算 1. 知识点 - 整数部分：不大于无理数的最大整数（如的整数部分是2，因为）。 - 小数部分：无理数减去其整数部分（如的小数部分是）。 - 含整数、小数部分的代数式求值（如已知是整数部分，是小数部分，求或）。 2. 考点 - 求无理数的整数部分或小数部分。 - 结合整数、小数部分求解代数式的值（如已知的整数部分是，小数部分是，求）。 3. 易错点 - 整数部分判断错误（找错相邻的整数）。 - 小数部分计算错误（误写成整数部分减无理数）。 - 含负数的无理数整数部分判断错误（如的整数部分是1，因，，整数部分是0）。 4. 解题技巧 - 邻数确定整数部分：先估算无理数的范围，找到最大的整数使得无理数，则整数部分为。 - 公式应用：小数部分 = 无理数 - 整数部分，代入代数式时直接替换。 【例题7】．（2024-2025•岷县期末）是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先模仿题干的过程，得出，即可作答． 【解答】解：∵， ∴是的小数部分， 故答案为：． 【点评】本题考查了求无理数的整数部分以及小数部分，熟练掌握该知识点是关键． 【变式题7-1】．（2024-2025•建华区期末）通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（　　） A．m，n均为有理数 B． C．4＜m﹣n＜5 D．4＜m+n＜5 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义估算点A所表示的无理数的大小即可． 【解答】解：A．点A表示的数为无理数，其整数部分为m，小数部分为n，则m是有理数，n是无理数，因此选项A不符合题意； B．点A表示的数介在4和5之间，而点A所表示的无理数的整数部分m＝4，因此选项B不符合题意； C．点A表示的数为无理数，其整数部分为m，小数部分为n，则m＝4，m﹣n＜4，因此选项C不符合题意； D．点A表示的数为无理数，其整数部分为m，小数部分为n，则这个无理数为m+n，由点A所在的位置可知4＜m+n＜5，因此选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•肥西县校级月考）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： （1）的整数部分是 　3　 ，小数部分是 　　 ； （2）已知：小数部分是m，小数部分是n，且（x﹣1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值． 【答案】（1）3；．（2）x的值是0或2． 【分析】（1）先估算出的大小，然后确定整数部分； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入（x﹣1）2＝m+n求x的值即可． 【解答】解：（1）∵9＜15＜16， ∴，即， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3；． （2）∵， ∴，， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ∴， 即：（x﹣1）2＝m+n＝1， ∴x﹣1＝±1， 解得x＝2或x＝0． ∴满足条件的x的值是0或2． 【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，熟练掌握估读无理数是关键． 【变式题7-3】．（2024-2025•义乌市期末）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ 　2　 ，n＝ 　2　 ． （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值． （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 【答案】（1）2， （2）3； （3）4． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数8的大小，确定a、b的值，再进行计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数2的大小，确定p、q的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵23，而，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝2，n2， 故答案为：2，； （2）∵即8a+b， ∵56， ∴﹣65， ∴2＜83， ∵a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝2，b＝82＝6， ∴|a+b|﹣（2b﹣1） ＝82b+1 ＝812+21 3． （3）∵23， ∴﹣32， ∴﹣1＜20， ∵若2p+q，其中p是整数，且0＜q＜1， ∴p＝﹣1，， ∴p﹣q＝﹣1﹣34． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 【题型8】实数的混合运算 1. 知识点 - 运算范围：实数可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、开方（正数和0开平方，任意实数开立方）运算。 - 运算顺序：先乘方、开方；再乘除；最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内的。 - 运算律：有理数的交换律、结合律、分配律在实数范围内仍适用。 2. 考点 - 含平方根、立方根、绝对值、乘方的实数混合运算（如计算）。 - 利用运算律简化计算。 3. 易错点 - 运算顺序错误（如先算加减再算乘方）。 - 符号错误（如负数的平方、开方时符号处理不当）。 - 绝对值化简错误（忽略绝对值内数的正负性）。 4. 解题技巧 - 分步计算：按“开方/乘方→乘除→加减”的顺序逐步计算，每步标注运算类型。 - 符号优先：先确定每一项的符号（如，先判断与的大小）。 【例题8】．（2024-2025•绥棱县校级月考）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）10； （2）； （3）1． 【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可； （3）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝9﹣1×2+3 ＝9﹣2+3 ＝10； （2）原式＝﹣1+3﹣（1）﹣3 ＝﹣1+31﹣3 ； （3）原式＝﹣1+31 ＝1． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•淮南期中）现对实数a，b定义一种运算：a※b＝ab+a﹣b．则等于（　　） A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6 【答案】B 【分析】先计算，，再依据新定义规定的运算a※b＝ab+a﹣b计算可得． 【解答】解：原式＝4※（﹣2） ＝4×（﹣2）+4﹣（﹣2） ＝﹣8+4+2 ＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算法则是的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•路北区校级月考）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． （1）化简：； （2）若a2＝1，|b|，c2，求（1）中式子的值． 【答案】（1）﹣2a﹣b+2c； （2）． 【分析】（1）由数轴得出b＜c＜0，a＞0，|b|＞|a|，进一步得出a+b＜0，a﹣c＞0，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简计算即可； （2）先确定a、b、c的值，再代入（1）中的结果计算即可． 【解答】解：（1）由数轴得，b＜c＜0，a＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣c＞0， ∴ ＝c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c） ＝c﹣a﹣b﹣a+c ＝﹣2a﹣b+2c； （2）∵a2＝1，|b|，c2， ∴a＝±1，b＝±，c， ∵b＜c＜0，a＞0， ∴a＝1，b，c， ∴﹣2a﹣b+2c＝﹣2×12（﹣1）． 【点评】本题考查了实数的运算，实数与数轴，正确计算是解题的关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•如皋市校级期中）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax+b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0． 运用上述知识，解决下列问题： （1）如果（a+2）b﹣3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝　﹣2　 ，b＝　3　 ； （2）如果2b﹣a﹣（a+b﹣4）5，其中a、b为有理数，求3a+2b的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，得出a+2＝0，b﹣3＝0，进而得出答案； （2）根据任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，得出2b﹣a＝5，a+b﹣4＝0，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵（a+2）b﹣3＝0，其中a、b为有理数， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝﹣2，b＝3； 故答案为：﹣2，3； （2）∵2b﹣a﹣（a+b﹣4）5，其中a、b为有理数， ∴， 解得：， 则3a+2b＝9， 则3a+2b的平方根为±3． 【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根的定义，正确得出a，b的等式是解题关键． 【题型9】新定义下的实数运算 1. 知识点 - 新定义运算：根据题目给出的新规则（如“差倒数”“※运算”等）进行实数运算。 - 核心要求：理解新定义的运算符号所表示的规则，严格按规则代入计算。 2. 考点 - 根据新定义直接计算。 - 结合新定义探究规律或求值（如按新规则循环计算，找周期规律）。 3. 易错点 - 误解新定义的规则（如混淆运算顺序或符号）。 - 循环计算时漏找周期，导致计算繁琐或错误。 4. 解题技巧 - 精读定义：用具体例子验证对新规则的理解（如题目给示例，先模仿示例计算）。 - 分步代入：将实数代入新定义的公式，按规则逐步计算，复杂时可分步写过程。 - 找周期规律：若涉及循环运算，计算前几项找周期，简化计算。 【例题9】．（2024-2025•榆林校级月考）在实数范围内定义一种新运算“Δ”，其运算规则为aΔb＝3a﹣ab，如（﹣1）Δ3＝3×（﹣1）﹣（﹣1）×3＝0．已知x满足xΔ6＞3，求x的最大整数值． 【答案】x的最大整数值为﹣2． 【分析】根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【解答】解：根据新运算的定义可得3x﹣6x＞3， 解得x＜﹣1， ∴x的最大整数值为﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握该知识点是关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•大方县校级月考）定义运算“@”的运算法则为：，例如：2@3； 请模仿上例求（2@6）@8． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据运算的定义，转化成一般形式的计算，然后进行二次根式的化简即可求解． 【解答】解：（2@6）@8＝（）@8＝4@8． 【点评】本题考查了有理数的运算，正确理解运算的定义是关键，主要是培养自学能力． 【变式题9-2】．（2024-2025•龙岩模拟）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、 减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为﹣5．计算如下： 2⊕5＝2×（2﹣5）+1 ＝2×（﹣3）+1 ＝﹣6+1 ＝﹣5 求（﹣2）⊕3的值； （2）请你定义一种新运算，使得数字﹣4和6在你定义的新运算下结果为20．写出你定义的新运算． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）规定一种运算，计算结果为20即可． 【解答】解：（1）（﹣2）⊕3＝﹣2×（﹣5）+1＝10+1＝11； （2）规定：a@b＝2（b﹣a），例如（﹣4）@6＝2×[6﹣（﹣4）]＝20．（开放题，答案不唯一） 【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•龙泉驿区期中）小明和小华两名同学在互联网上看到了这样一个概念： 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈　n次方”． 小明探究出：初步探究 （1）直接写出计算结果：2③＝　　 ，（）⑤＝　﹣8　 ；（）⑥＝　　 ． 他们一起深入思考得出： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）小华探究出：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④＝　　 ；5⑥＝　　 ；（）⑩＝　28　 ． （3）请你想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于　　 ； （4）请你算一算：24÷23﹣（﹣8）×2⑥+（）④． 【答案】见试题解答内容 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则即可计算出（3）和（4）的结果． 【解答】解：（1）由题可得：2③，（）⑤＝﹣8，（）⑥， 故答案为：，﹣8，； （2）（1）（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（）2； 5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝1×（）4； （）⑩＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（） ＝1×2×2×2×2×2×2×2×2 ＝28； 故答案为：，，28； （3）aⓝ＝a÷a÷a…÷a＝1÷an﹣2； 故答案为：； （4）24÷23﹣（﹣8）×2⑥④ ＝24÷8﹣（﹣8） ＝3 ． 【点评】本题考查了新运算以及实数的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 【题型10】实数相关的材料阅读理解题 【例题10】．（2024-2025•天元区期末）阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 请解答下列问题： （1）求出2的整数部分和小数部分； （2）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先估算出的范围，求出2的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，再求出10的范围，求出x、y的值，即可求出答案． 【解答】解：（1）∵12， ∴32＜4， ∴2的整数部分是1+2＝3，2的小数部分是1； （2）∵23， ∴12＜1013， ∴10的整数部分是12，10的小数部分是10122， 即x＝12，y2， ∴x﹣y＝12﹣（2）＝122＝14， 则x﹣y的相反数是14． 【点评】本题考查了估算出无理数的范围，能估算出和的范围是解此题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•永兴县校级月考）阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似； （2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． （1）填空：①（2+i）（2﹣i）＝ 　5　 ；②（2+i）2＝ 　3﹣4i　 ； （2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2的值； （3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i+i2+i3+i4+⋯+i2026）的值． 【答案】（1）：①5；②3+4i； （2）1； （3）（a2+b2）（i+i2+i3+i4+⋯+i2026）的值是﹣5+5i． 【分析】（1）运用题目中的定义和平方差公式、完全平方公式知识分别进行计算； （2）运用完全平方公式和两个复数共轭的定义进行求解； （3）先通过求得的a+b和ab的值，再求得a2+b2和i+i2+i3+i4+⋯+i2026的值，最后代入求解． 【解答】解：（1）①（2+i）（2﹣i） ＝22﹣i2 ＝4﹣（﹣1） ＝5； ②（2+i）2 ＝22+4i+i2 ＝4+4i+（﹣1） ＝3+4i， 故答案为：①5；②3+4i； （2）∵（1+2i）2 ＝12+4i+（2i）2 ＝1+4i+4×（﹣1） ＝1+4i﹣4 ＝﹣3+4i， ∴a＝﹣3，b＝﹣4， ∴（b﹣a）2 ＝[﹣4﹣（﹣3）]2 ＝（﹣1）2 ＝1； （3）∵（a+i）（b+i） ＝ab+（a+b）i+i2 ＝ab+（a+b）i﹣1 ＝（ab﹣1）+（a+b）i ＝1﹣3i， ∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3， 解得ab＝2，a+b＝﹣3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣3）2﹣2×2＝9﹣4＝5， ∵i＝i， i2＝﹣1， i3＝﹣i， i4＝1， i5＝i， ⋯ ∴in的结果按i，﹣1，﹣i，1的规律4次一个循环， 且i﹣1﹣i+1＝0， ∵2026÷4＝506…2， ∴i2025＝i， i2026＝﹣1， ∴i+i2+i3+i4+⋯+i2026 ＝i﹣1﹣i+1+i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i+1+i﹣1 ＝0+0+0+…+0+i﹣1 ＝﹣1+i， ∴（a2+b2）（i+i2+i3+i4+⋯+i2026） ＝5（﹣1+i） ＝﹣5+5i． 【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解并运用题目定义和实数的混合运算方法． 【变式题10-2】．（2024-2025•兰山区校级期中）阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道：|x|现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时， 可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）． 在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）x＜﹣1；（2）﹣1≤x＜2；（3）x≥2． 从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况： （1）当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1； （2）当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3； （3）当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题：化简代数式|x+2|+|x﹣4|． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据整式的运算，可得答案． 【解答】解：当x＜﹣2时，原式＝﹣2x+2 当﹣2≤x＜4时，原式＝6 当x≥4时，原式＝2x﹣2， 综上所述：原式． 【点评】本题考查了实数的性质，分类讨论是解题关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•孝义市期中）阅读与探究 在第六章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果x2＝a，那么叫做a的平方根． 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x做a的立方根． 运算 求一个数a的平方根的运算，叫开平方，开平方与平方互为逆运算． 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算． 特征 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数 表示与读法 正数a的平方根可以用“±”表示，读作“正负根号a” 一个数a的立方根可以用“”表示，读作“三次根号a” 今天我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． （1）填表与定义 ①填表． x4 1 16 x ±1 　±2　 ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：　一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果x4＝a，那么叫做a的四次方根．　 ． （2）思考与归纳 求一个数a的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 81的四次方根是　±3　 ． 的四次方根是　±　 ． 0的四次方根是　0　 ． ﹣4　没有　 （填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：　正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根　 ． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、0、负数三类进行研究，这种思想叫　B　 ；（填正确选项的代码） 四次方根的特征是由81，，0等这几个特殊数的四次方根的特征归纳出来的，这种思想叫　D　 （填正确选项的代码） A．类比思想 B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想 D．由特殊到一般的思想 （3）巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数a的四次方根，用符号“±”表示，读作“正、负四次根号a”，其中a是被开方数，4是根指数．例如±表示16的四次方根，±±2． ①±　±4　 （将结果直接填到横线上） ②比较大小：　＞　 （填“＜”或“＝”或“＞”） 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平方根、立方根的意义和特征，类推四次方根的意义和特征，根据四次方根的意义求一个数的四次方根，并且完成结果的大小比较． 【解答】解：（1）一般地，如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根，这就是说，如果x4＝a，那么x叫做a的四次方根． （2）①±3，±，0，没有， ②正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根， ③B，D， （3）①∵（±4）4＝256 ∴±±4， 故答案为：±4， ②∵（）4＝4， ∴， ∵， 故答案为：＞． 【点评】考查平方根、立方根、方根的意义、特征、求法，依据意义正确的计算是重要的环节． 【题型11】实数运算的实际应用 1. 知识点 - 实际问题转化：将面积、距离、价格等实际问题转化为实数运算（如正方形面积求边长，圆的周长计算等）。 - 核心公式：正方形边长 = ；圆的半径 = ；距离计算涉及开方或绝对值等。 2. 考点 - 结合几何图形（正方形、圆）的面积或周长求解边长、半径等（如用长方形面积拼正方形，求正方形边长）。 - 购物优惠、测量估算等实际场景中的实数计算（如折扣、红包减免后的费用计算）。 3. 易错点 - 单位换算错误（如面积单位与长度单位混淆）。 - 题意理解偏差（如优惠规则中的“满减”“折扣”顺序错误）。 - 计算结果未按要求保留近似值（如误差小于1米，未四舍五入）。 4. 解题技巧 - 题意建模：先明确实际问题中的数量关系（如“面积相等”“总费用=单价×数量+其他费用”），列出数学式子。 - 分步求解：先计算关键量（如面积→边长），再代入实际场景公式，最后按要求保留结果。 - 验证合理性：计算后结合实际场景判断结果是否合理（如边长不能为负，费用不能为负）。 【例题11】．（2024-2025•长乐区期末）小明同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为85的正方形边长为，且． ∴可设，其中0＜x＜1， 画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积为92+2×9x+x2＝85． ∵x2＜1，可忽略x2，于是得81+18x≈85，解得x＝0.22． ∴． 结合小明同学的探索过程，完成下列问题： （1）的整数部分为　12　 ； （2）求的近似值．（画出示意图，标注数据，写出求解过程） 【答案】（1）12； （2）12.25． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）按照题目提供的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）∵，即1213， ∴的 整数部分是12， 故答案为：12； （2）如图，由于1213，可设12+x， ∴（12+x）2＝150， 即144+24x+x2＝150， ∵x2＜1，可忽略x2，于是得144+24x≈150， 解得x≈0.25， ∴12.25． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的方法是正确解答的关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•迁西县期中）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． （1）求出这个魔方的棱长； （2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求阴影部分的面积及其边长； （3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，求点D在数轴上表示的数． 【答案】（1）2； （2）； （3）． 【分析】（1）设这个魔方的棱长为x，然后根据正方体的体积公式列出方程，求出x即可； （2）观察图形求出每个小正方体的棱长，从而根据勾股定理求出正方形ABCD的边长，进而求出其面积即可； （3）根据正方形的边长相等，求出AD，再根据两点间的距离公式求出点D在数轴上表示的数即可． 【解答】解：（1）设这个魔方的棱长为x，则x3＝8， 解得：x＝2， ∴这个魔方的棱长为2； （2）∵这个魔方的棱长为2， ∴每个小正方体的棱长都为2， ∴正方形ABCD的边长为：， ∴正方形ABCD的面积为：； （3）∵正方形ABCD的边长为， ∴AD， ∵点A表示的数是﹣1， ∴点D表示的数为：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方体的体积公式、立方根定义和两点间的距离公式． 【变式题11-2】．（2024-2025•兴宁区校级期末）数形结合是重要的数学思想．如图（1），把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： （1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边长就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为 　　 dm； （2）由此，我们得到了一种方法．能在数轴上画出无理数所对应的点，则图（2）中A、B两点表示的数分别为 　1　 ，　1　 ； （3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形如图（3）所示进行裁剪并拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为 　　 ； （4）若，求代数式|a+2|+|b|的值，并用（2）中相同的方法在图4的数轴上表示对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）； （2）1，1； （3）； （4）1，在数轴表示详见解答． 【分析】（1）根据勾股定理进行计算即可； （2）根据正方形的对角线的长为，再根据数轴表示数的方法进行计算即可； （3）面积为5的正方形的边长为即可； （4）化简|a+2|+|b|代入计算结果为1，再在数轴上表示即可． 【解答】解：（1）边长为1dm的小正方形的对角线长为（dm）， 故答案为：； （2）由题意得，点A所表示的数为1，点B所表示的数为1， 故答案为：1，1； （3）由题意可知，正方形的面积为5，因此边长为， 故答案为：； （4）∵a＝﹣3，b，∴|a+2|+|b|＝a+2+b＝﹣321， 在数轴表示1如图所示： 【点评】本题考查实数与数轴，掌握数轴表示数的方法是正确解答的关键． 【变式题11-3】．（2024-2025•崇左期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． （1）点A表示的数为　　 ；点B表示的数为　　 ． （2）请你阅读以下材料，并完成作答： ∵， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分为2． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为　2　 ，小数部分为　2　 ． （3）小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为2：1，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：1.73，3.16） 【答案】（1），； （2）2，； （3）他不能裁出来，理由见详解． 【分析】（1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式2r2＝6，则，则长方形纸片的长为，根据，3.16＜3.46，故，进行作答即可． 【解答】解：（1）由条件可知两个正方形面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴， ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）由（1）得点B表示的数为， 依题意，∵， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为2r， 由条件可知宽为r，r×2r＝2r2＝6， 则r2＝3， ∴（负值已舍去）， 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且， ∵3.16＜3.46 即， ∴他不能裁出来． 【点评】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型12】实数相关的找规律问题 【例题12】．（2024-2025•宜春月考）观察下列各式： ①； ②； ③． 请利用你所发现的规律，解决下列问题： （1）发现规律 　1　 ； （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； （3）对于任何实数a，[a]表示不超过a的最大整数，如[3]＝3，，计算的值． 【答案】（1）1； （2）1； （3）2023． 【分析】（1）根据规律得出答案； （2）根据规律得出一般的规律即可； （3）根据规律得出[2023]，再根据新定义进行解答即可． 【解答】解：（1）1， 故答案为：1； （2）第n个等式为1； （3）原式＝[111] ＝[1+1+1…+1] ＝[2023+（1）] ＝[2023] ＝2023． 【点评】本题考查实数的运算，估算无理数的大小，发现各个等式所呈现的规律是正确解答的关键． 【变式题12-1】．（2024-2025•苍溪县期中）先观察下列等式．再回答问题： ①11； ②11； ③11． （1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想　1　 ． （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：　1　 ． （3）对任何实数a可[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，计算：[]的值． 【答案】（1）1；（2）1；（3）49． 【分析】（1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【解答】解：（1）11， 故答案为：1； （2）1， 故答案为：1； （3）[] ＝【111......+1】 ＝【1×49+1......】 ＝【49】 ＝49． 【点评】本题考查无理数，正确找到题中的规律是解题关键． 【变式题12-2】．（2024-2025•大连期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：　（答案不唯一）　 ； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若　a+b＝0　 ，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求2x+1的算术平方根． 【答案】[发现]（1）， （2）a+b＝0； [应用]3． 【分析】（1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当a+b＝0时，则； （3）由与的值互为相反数，可得2x﹣5+1﹣x＝0，再进一步求解可得答案． 【解答】解：（1）（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）； （2）归纳可得：当a+b＝0时，则； 故答案为：a+b＝0； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴2x﹣5+1﹣x＝0， 解得x＝4， ∴2x+1＝9， ∴． 【点评】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义；熟练掌握以上知识点是关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•安宁市期末）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步确定立方根的数位 ∵1000＜59319＜1000000， ∴ ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步确定立方根的个位上的数字 0～9十个整数的立方如表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0～9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． ∵59319的个位数字是9，而93＝729，∴能确定的个位数字是9； 第三步确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． ∵ ∴ ∴ 经验证393＝59319 根据以上材料，解答下列问题． （1）3375的立方根是一个 　两　 位数，其立方根的个位数字是 　5　 ； （2）已知238328是整数x的立方，按照上述方法求x． 【答案】（1）两，5； （2）62． 【分析】（1）（2）根据要求的数字与1000和1000000的大小比较，确定立方根位数，再根据尾数确定立方根的个位数字． 【解答】解：（1）∵1000＜3375＜1000000， ∴10100， ∴3375的立方根是一个两位数， ∵3375个位数字是5， ∴其立方根的个位数字是5， 故答案为：两，5； （2）∵1000＜238328＜1000000， ∴10100， ∴x是一个两位数， ∵238328个位是8， ∴x的个位是2， 将238328缩小到原来的， ∵， ∴十位为6， 即x＝62． 【点评】本题主要考查了数字的变化规律，根据大小比较确定位数是本题解题的关键． 同步练习 选择题快对 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B B B C 一．选择题（共6小题） 1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：原式＝4+21 ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．已知a为正整数，且，则a等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】结合题意根据17＜52＜26即可得出答案． 【解答】解：∵17＜52＜26， ∴a＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 3．下列说法中，正确的是（　　） A． B．的相反数是 C． D． 【答案】B 【分析】A．根据算术平方根的定义进行计算，然后判断即可； B．根据互为相反数的定义进行计算，然后判断即可； C．根据立方根的定义进行计算，然后判断即可； D．根据绝对值的性质进行计算，然后判断即可． 【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B．∵的相反数是，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； C．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数的性质和有关概念，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义、互为相反数的定义和绝对值的性质． 4．小丽家有一块140m2的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（　　） A．9m～10m之间 B．11m～12m之间 C．12m～13m之间 D．13m～14m之间 【答案】B 【分析】先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【解答】解：由题意可得：小丽家有一块140m2的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵121＜140＜144， ∴， ∴估计这块菜地的边长在11m～12m之间， 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根的估算，正确判断是解题关键． 5．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算AB的长，再根据对称的性质得到AC＝AB，即可求得点C表示的数． 【解答】解：∵数轴上A，B表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴，点C 在点B的右侧， ∴点C所表示的数为：， 故选：B． 【点评】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键． 6．如图，在数轴上点A表示的实数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB，再加上点B表示的数可得结果． 【解答】解：由题意得：， ∴数轴上点A表示的实数是：， 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练运用勾股定理求出相应线段的长度是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 7．比较大小：　＜　 （填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜． 【分析】根据二次根式，即可进行比较． 【解答】解：∵，13＜18， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握二次根式的性质，比较两个实数大小的方法． 8．我们赋予“Δ”一个实际意义，规定，则6Δ2的值为　　 ． 【答案】． 【分析】先结合，则，再进一步化简计算，即可作答． 【解答】解：根据新定义可知：， 原式22＝4， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，新定义运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．2的相反数是　2　 ；绝对值是　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】相反数就是在所求的数前面加“﹣”，就是该数的相反数；绝对值的求法：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．由此即可求解． 【解答】解：2的相反数是﹣（2）＝2； ∵2＞0， ∴|2|2． 故答案为：2；2． 【点评】此题主要考查理相反数、绝对值的相关概念，比较简单． 10．请写出一个整数部分为2的无理数　（答案不唯一）　 ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】由于所求无理数的整数部分为2，则该数的平方大于4小于9，据此可得答案． 【解答】解：整数部分为2的无理数有等． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了无理数，熟悉无理数的定义和无理数的估算方法是解题的关键． 11．若a，b分别是16的两个平方根，则a+b﹣ab的值为　16　 ． 【答案】16． 【分析】根据平方根的定义及性质列式计算即可． 【解答】解：∵a，b分别是16的两个平方根， ∴a+b＝0，ab＝﹣16， ∴a+b﹣ab＝0+16＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查实数的运算，平方根，熟练掌握其性质及定义是解题的关键． 12．如图，正方形OBCD的面积为3，OA＝OB，则数轴上点A对应的数是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长OB，从而得到OA即可． 【解答】解：∵正方形OBCD的面积为3， ∴OA＝OB， ∴数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 三．解答题（共10小题） 13．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣1； （2）． 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据有理数的乘方、绝对值、立方根的定义计算，再合并即可． 【解答】解：（1） ＝5+（﹣3）﹣3 ＝﹣1； （2） ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． （1）化简：； （2）若a2＝1，|b|，c2，求（1）中式子的值． 【答案】（1）﹣2a﹣b+2c； （2）． 【分析】（1）由数轴得出b＜c＜0，a＞0，|b|＞|a|，进一步得出a+b＜0，a﹣c＞0，再根据立方根、绝对值、二次根式的性质化简计算即可； （2）先确定a、b、c的值，再代入（1）中的结果计算即可． 【解答】解：（1）由数轴得，b＜c＜0，a＞0，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣c＞0， ∴ ＝c+（﹣a﹣b）﹣（a﹣c） ＝c﹣a﹣b﹣a+c ＝﹣2a﹣b+2c； （2）∵a2＝1，|b|，c2， ∴a＝±1，b＝±，c， ∵b＜c＜0，a＞0， ∴a＝1，b，c， ∴﹣2a﹣b+2c＝﹣2×12（﹣1）． 【点评】本题考查了实数的运算，实数与数轴，正确计算是解题的关键． 15．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”． （1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　（0，﹣4）　 ； （2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值； （3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“相关数”的意义，分别计算验证即可； （2）根据“相关数”的意义，列方程求解即可； （3）利用反证法，先承认（m，n）和（n，m）都是“相关数”，任何得出矛盾的结论，得出结论． 【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”， ∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”， ∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”， 故答案为：（0，﹣4）； （2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4 解得，x 答：x； （3）不存在． 若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4， 若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4， 若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在． 【点评】考查有理数的运算，新定义“相关数”的意义的理解，理解“相关数”的意义是正确解答的关键． 16．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）实数m的值是 　2　 ； （2）求|m+1|+|m﹣1|的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，求2c﹣3d的平方根． 【答案】（1）2； （2）2； （3）±4． 【分析】（1）点A表示，沿着x轴向右移动2个单位到达点B，B所表示的数为，2，即：2， 故答案为：2． （2）m＝2，则m+1＞0，m﹣1＜0，进而化简|m+1|+|m﹣1|，并求出代数式的值； （3）根据非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c﹣3d的值，再求出2c﹣3d的平方根． 【解答】解：（1）m2＝2； （2）∵m＝2，则m+1＞0，m﹣1＜0， ∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2； 答：|m+1|+|m﹣1|的值为2． （3）∵|2c+d|与互为相反数， ∴|2c+d|0， ∴|2c+d|＝0，且0， 解得：c＝﹣2，d＝4，或c＝2，d＝﹣4， ①当c＝﹣2，d＝4时， 所以2c﹣3d＝﹣16，无平方根． ②当c＝2，d＝﹣4时， ∴2c﹣3d＝16， ∴2c﹣3d的平方根为±4， 答：2c﹣3d的平方根为±4． 【点评】考查数轴、非负数的性质、绝对值的意义，分类讨论是常用的方法． 17．已知5a﹣2的立方根是2，6a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求5a﹣b+c的平方根． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知条件和平方根、立方根的定义，列出关于a，b的方程组，求出a，b，再估算的大小，求出它的整数部分c即可； （2）把（1）中所求a，b，c代入5a﹣b+c，求出其平方根即可． 【解答】解：（1）∵5a﹣2的立方根是2，6a+b﹣1的算术平方根是4， ∴， 由①得：a＝2， 把a＝2代入②得：b＝5， ∵，即， ∴的整数部分c＝4； （2）由（1）可知：a＝2，b＝5，c＝4， ∴5a﹣b+c ＝5×2﹣5+4 ＝10﹣5+4 ＝9， ∵9的平方根是±3， ∴5a﹣b+c的平方根是±3． 【点评】本题主要考查了平方根、立方根和无理数的估算，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． 18．小美制作了一张边长为14cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为330cm2． （1）求此长方形信封的长和宽； （2）小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，根据面积为330cm2列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【解答】解：（1）∵信封的长，宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm， 由题意得3x•2x＝330， ∴（负值已舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）能，理由：∵55＞49， ∴， ∴． ∵正方形贺卡的边长是14cm， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【点评】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长． 19．阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： （1）的整数部分是 　2　 ，小数部分是 　2　 ； （2）已知x是的整数部分，y是的小数部分，求x﹣y的值． 【答案】（1）2，2； （2）14． 【分析】（1）根据题意运用算术平方根知识进行求解； （2）先根据题意求得的整数部分，再求得x，y的值，最后代入求解． 【解答】解：∵， 即23， ∴的整数部分是2，小数部分是2， 故答案为：2，2； （2）∵， 即34， ∴的整数部分是3，小数部分是3， ∴8的整数部分是：8+3＝11， 即x＝11，y3， ∴x﹣y＝11﹣（3） ＝113 ＝14． 【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用题目中的方法和算术平方根知识． 20．我们可用“平方法”比较二次根式和的大小．先把a和b分别平方，得a2＝12，b2＝18．因为a2＜b2，所以a＜b．请结合上述材料解决下列问题． （1）比较，的大小； （2）比较，的大小，则m　＞　 n．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】（1）c＜d； （2）＞． 【分析】（1）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可； （2）按照题目所提供的“平方法”进行计算即可． 【解答】解：（1）∵c2＝（3）2＝54，d2＝（4）2＝80，而c＝30，d＝40，54＜80， ∴c＜d； （2）∵m＝2，n＝2， ∴m2＝（2）2＝33+4， 又∵n2＝（2）2＝33+4， ∵， ∴33+433+4， 即（2）2＞（2）2， ∴22， 即m＞n， 故答案为：＞． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 21．探究发散： （1）完成下列填空： ①，②，③　6　 ，④，⑤，⑥　　 ． （2）根据上述计算结果，若a＜b，则　b﹣a　 ． （3）利用你发现的规律完成下题：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． 化简：． 【答案】（1）6；； （2）b﹣a； （3）2c． 【分析】（1）先确定乘方的符号，再计算算术平方根即可； （2）结合（1）中计算可知，不一定等于a，并发现其中规律即可； （3）由a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，|a|＞|b|，进而判断式子正负，再结合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）③；⑥； 故答案为：6，； （2）由（1）总结归纳可得： 当a＜b，则； 故答案为：b﹣a； （3）由数轴可得：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|， ∴b﹣c＜0，a+b＜0，﹣a+c＞0， ∴原式＝﹣（b﹣c）+a+b﹣a+c ＝﹣b+c+a+b﹣a+c ＝2c． 【点评】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 22．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出﹣50653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1000，1003＝1000000，所以是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27，43＝64，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　﹣49　 ； （2）若，则x＝　3　 ； （3）已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可； （2）根据两数相加等于0列出关于x的方程，求出x的值；由2＝x求出x的值； （3）再根据相反数的定义列出关于y的方程，求出y的值即可． 【解答】解：（1）∵103＝1000，1003＝1000000， ∴是两位数． ∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；的个位数字是9． ∵将117649往前移动3位小数点后约为117，因为33＝27，43＝64，53＝125，所以的十位数字应为4， ∴117649的立方根是49，． ∵两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， ∴49． 故答案为：﹣49； （2）∵0， ∴1﹣2x＝﹣5，解得x＝3； （3）∵2＝x， ∵x﹣2， ∴x﹣2＝0，x﹣2＝﹣1或x﹣2＝1，解得x＝2，1或3； ∵与互为相反数， ∴3y﹣1＝2x﹣1，即 当x＝2时，3y﹣1＝3，解得y； 当x＝1时，3y﹣1＝1，解得y； 当x＝3时，3y﹣1＝5，解得y＝2． 故答案为：3；x＝2时，y；x＝1时，y；x＝3时，y＝2． 【点评】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$