精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高三上学期入学考试数学试题

内江一中高2026届高三上学期入学考试试题 数学 1.本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设：，：，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 7. 定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，1，2，3，3，4，4，5，6的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二顶式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法有96种 10. 记为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为，则 11. ，用表示，中的最小者，记为.已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 是周期函数，最小正周期为 D. 当时，关于的方程（为常数）最多有4个实数根 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 13. 已知向量，，若与垂直，则____________. 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的最小正周期为， （1）求的值，及单调递增区间： （2）是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 15. 已知函数为奇函数， （1）求的值； （2）解关于的不等式. 16. 已知数列中，，， （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，证明：. 17. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2026届高三上学期入学考试试题 数学 1.本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3.考试结束后，监考人将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得集合A,B的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案. 【详解】∵ ，，, 故， ∴， 故选：C． 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 3. 设：，：，则p是q成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合之间的包含关系可得两者之间的条件关系. 【详解】的解集为，而为的真子集， 故p是q成立的必要不充分条件. 故选：B. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式计算求得解集. 【详解】由题意不等式变形为，通分化简为， 分式不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 故选：A. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理， 又，所以. 故选：B. 6. 已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ） A. 63 B. 72 C. 81 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质计算出，再用求和公式计算即可. 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 7. 定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由和为偶函数，可知的周期为4，且的图象关于直线对称，利用函数的周期性和对称性将条件进行转化即可得出答案. 【详解】因为，所以的周期为4． 又为偶函数，所以的图象关于直线对称， 则． 故选：A. 8. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算可得，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】，令，则，有， 即，即， 又为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立.， 故的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，1，2，3，3，4，4，5，6的第25百分位数为2 B. 若数据的标准差为，则的标准差为 C. 二顶式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法有96种 【答案】AB 【解析】 【分析】本题可根据百分位数、标准差、二项式系数、排列组合的相关知识，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于A：将数据1，1，2，3，3，4，4，5，6从小到大排序为1，1，2，3，3，4，4，5，6，一共有9个数据，设为数据个数，为百分位，计算， 根据百分位数的定义，当i不是整数时，就取大于2.25的最小正整数，即第25百分位数是第3个数2，故A正确. 对于B：若数据的标准差为，则其方差为，根据方差的性质，的方差为，则的标准差为，故B正确. 对于C：二项式的第项的二项式系数是，展开式中第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，，故C错误. 对于D：甲教师必去一中，分两种情况讨论： 情况一：一中分配2名教师（其中一名是甲），从剩下4名教师中选1名去一中，有种选法，剩下3名教师分配到二中、三中、四中这3所学校，每校1名，有种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共有种分配方法； 情况二：一中分配1名教师（就是甲），从剩下4名教师中选2名分配到同一所学校，有种选法，再把这2名教师作为一个整体和剩下2名教师分配到二中、三中、四中这3所学校，有种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共有种分配方法； 根据分类加法计数原理，总的分配方法有24 + 36 = 60种，故D错误. 故选：AB 10. 记为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的递推公式求出判断A；求出数列的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断选项BCD. 【详解】对于A，数列中，，则，解得，A正确； 当时，，则，即， 数列是首项为，公比为2的等比数列，， 对于B，，B错误； 对于C，，则，因此数列为等比数列，C正确； 对于D，，，， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ACD 11. ，用表示，中的最小者，记为.已知函数，则（ ） A. 关于直线对称 B. 的最大值为 C. 是周期函数，最小正周期为 D. 当时，关于的方程（为常数）最多有4个实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可画出的大致图象，即可得答案. 【详解】若，则，故， 所以，同理得， 所以，. 据此可得大致图象如下. 对于A，由图图象关于对称，不关于直线对称，故A错误； 对于B，由图的最大值为，此时，故B正确； 对于C，由图是周期函数，最小正周期为，故C正确； 对于D，当时，图象与有4个交点，即关于的方程最多有4个根，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意可得：，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，，若与垂直，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的最小正周期为， （1）求的值，及单调递增区间： （2）是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）由（1）的条件，结合诱导公式求得，再结合求出即可. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，因此， ，由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 依题意，，则， 由，得，于是， 即，整理得， 即，则，即， 由为锐角，得，解得，即，， 所以存在锐角满足题意，. 15. 已知函数为奇函数， （1）求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合对数的运算性质进行求解即可； （2）根据对数型函数的单调性，给合奇函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以有 ， 当时，， 此时函数定义域为，不关于原点对称，不符合题意； 当时，，由， ， 所以是奇函数，符合题意，即； 【小问2详解】 由（1）可知， 函数在时，单调递增， 根据函数单调性的性质可知函数在时，单调递增， 当， 由， 因为在时，单调递增， 所以有， 所以关于的不等式的解集为. 16. 已知数列中，，， （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，证明：. 【答案】（1）证明见解析，； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可完成证明及得到通项公式； （2）由（1）结合做差法可完成证明. 【小问1详解】 ， 则数列是以为首项，公比为2的等比数列, 则； 【小问2详解】 由（1），则. 则 ； . 则. 17. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校100名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选取的男女生的人数之比为11∶9． （1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别相关联． 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 女生 15 合计 50 100 （2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有2艘“Q2运输船”和1艘“M1转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对接”重复了n次，记左边剩余“M1转移塔”的艘数为，左边恰有1艘“M1转移塔”的概率为，恰有2艘“M1转移塔”的概率为，求 ①求X的分布列； ②求； ③试判断是否为定值，并加以证明． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 有 （2）① 的分布列如下表： 0 1 2 P ②； ③为定值.证明如下： 由全概率公式可得： ， 即：，又， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 可得的分布列 0 1 2 P 所以， ∴为定值1. 【解析】 【分析】（1）先计算，再根据独立性检验判断即可； （2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定值. 【小问1详解】 由题意得： 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 35 20 55 女生 15 30 45 合计 50 50 100 则的观测值为， 所以有99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联 【小问2详解】 ①由题可知，的可能取值为0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知： ；； 故的分布列如下表： 0 1 2 P ②由全概率公式可知： ， 即：，所以， 所以， 又， 所以数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即． ③略 【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值. 18. 已知函数，为的导函数， （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点， （i）求的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在单调递增； （2）（i）； （ii）因为，由，结合（i）知， 要证，即证，即， 当时，因为，，不等式恒成立； 当时，由得. 即证. 即证. 即证. 设，，由， 所以在单调递增. 所以，故原不等式成立. 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性； （2）（i）先讨论单调性，根据有两个零点得出最小值，即可得的取值范围；（ii）结合（i）知，要证，即证，即，分和进行证明. 【小问1详解】 当时，，函数的定义域为， ， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 综上所述，函数在上单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，， ①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意； ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ∴当时，取得最小值，最小值为. 因为函数有两个零点，且时，，时，， 所以. 设，易知函数在单调递增. 因为，所以的解集为. 综上所述，实数的取值范围是. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $