专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类讲义（35题）-【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册)

【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类（35题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数模型的应用 考点二 二次函数模型的应用 考点三 幂函数模型的应用 考点四 分段函数模型的应用 考点五 对勾函数模型 知识点1：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点2：对勾函数（耐克函数） 1、对够函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 策略方法 1、一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 注：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理． (2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域．　 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 3、幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 4、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 5、解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 考点一 一次函数模型的应用 1．（2024高一·全国·专题练习）为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【解析】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 2．（2025高一·全国·专题练习）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 【答案】(1)每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元 (2)与的函数解析式为，此时最大利润为8000元 【分析】（1）设每台A型号电脑进价为元，根据题意列出方程并求解，即可得到答案； （2）根据一元一次不等式的性质，得；根据一次函数的递增性，即可得到答案． 【解析】（1）设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴型号电脑进价（元）， ∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元； （2）根据题意，得， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． ， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． 3．（2025高一·江苏常州·期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 项目 类别 年固定 成本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域； (2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划． 【答案】(1)，且；，且； (2)答案见解析. 【分析】（1）设年销售量为件，由题意可得，，注意根据实际情况确定定义域. （2）分别计算两种方案的最值可得，讨论的符号，研究不同的方案所投资的产品及最大利润. 【解析】（1）设年销售量为件，按利润的计算公式生产、两产品的年利润、分别为： ，且； ，且. （2）因为，则，故为增函数，又且， 所以时，生产产品有最大利润为：（万美元）. 又，且， 所以时，生产产品有最大利润为460（万美元）， 综上，， 令，得； 令，得； 令，得. 由上知：当时，投资生产产品200件获得最大年利润； 当时，投资生产产品100件获得最大年利润； 当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样. 4．（2025高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值． 【解析】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． 5．（2025高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 【答案】(1)一月Iphone4每台售价为4500元 (2)有5种进货方案 (3) 【分析】（1）设一月Iphone6手机的每台售价为元，根据题意得到，即可求解； （2）设购进Iphone6手机为台，由题意得到，求得的范围，即可求解； （3）设总获利元，得到，结合，即可求解. 【解析】（1）解：设一月Iphone6手机的每台售价为元，则二月Iphone6手机的售价为元， 根据题意，可得，解得（元）， 即一月Iphone6手机每台售价为元. （2）解：设购进Iphone6手机为台，则购进的Iphone6手机为台， 根据题意，可得，解得， 因为，所以的取值为，共有种进货方案. （3）解：二月Iphone6手机每台售价为（元）， 设总获利元，则， 令，可得， 即当时，（2）中所有的方案获利相同. 考点二 二次函数模型的应用 6．（25-26高一·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 【答案】 3 【分析】（1）根据题意，即可得出函数；（2）由，得不等式并求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，． （2）当时，开始盈利，即， 整理，得，解得． 又因为，所以，即从第3年开始盈利． 故答案为：（1）；（2）3. 7．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 【答案】10 【分析】由题意，设该厂日获利为元，获利=总收入-成本，即，求解二次不等式即可. 【解析】由题意，设该厂日获利为元，则： ， 当工厂日获利不少于1 000元时，即， 即， 解得：. 故该厂日产量最少生产风衣的件数是10. 故答案为：10 8．（2025高一·全国·课后作业）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 【答案】20 【分析】根据题意，求得表中各售价差的平方和的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】由题意，设 ， 由二次函数的性质，可得当时，取得最小值， 即实数的值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 9．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【解析】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 10．（2025高一·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【解析】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 11．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【答案】(1) (2)第三年 【分析】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【解析】（1）由已知可得，. （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 12．（2025高一·全国·课后作业）某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 【答案】12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品；约为4.6万元. 【分析】先画出散点图，根据变化规律分别选用二次函数与一次函数模型进行模拟，再根据数据待定系数法求函数解析式，最后应用求出的函数模型求解纯利润的最大值. 【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示．      观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图①所示． 取为最高点，则， 再把点代入，得， 解得，所以. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图②所示． 设，取点和代入， 得，解得. 所以. 设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为万元，万元，总利润为万元， 那么 ， 当x＝3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元． 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元. 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米． (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ (2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)15米； (2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米. 【分析】（1）设篱笆的一面的长为 x 米，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可； （2）根据题意，可得，根据二次函数最值的求法求解即可． 【解析】（1）设篱笆的一面AB的长为 x 米，则， 由题意得，， 解得， ， ， ， 所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米； （2）由题意得， 时， S 取得最大值，此时，， 所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米． 14．（2025高一·江苏无锡·期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. (1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 【答案】(1)3年 (2)方案①较为合算 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万，比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【解析】（1）由题意可得，即， 解得，， 该车运输3年开始盈利.； （2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 15．（2025高一·全国·课后作业）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元； （3）求第八个月公司所获得的利润. 【答案】（1）；（2）第十个月；（3）利润为万元. 【分析】（1）设与的函数关系式为，将、、三点坐标代入函数解析式，可得出关于、、的三元一次方程组，解出这三个未知数的值，由可得出与的函数关系式； （2）解方程，即可得出结论； （3）将和分别代入函数解析式，将所得结果相减可得出第八个月公司所获得的利润. 【解析】（1）设与的函数关系式为. 由题中函数图象过点、、，得，解得， 因此，所求函数关系式为； （2）把代入，得，整理得， ，解得， 因此，截止到第十个月末公司累积利润可达到万元； （3）第八个月公司所获得的利润为（万元）. 因此，第八个月公司所获得的利润为万元. 【点睛】本题考查二次函数模型的实际应用，求解函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 考点三 幂函数模型的应用 16．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 17．（2025高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【解析】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 18．（2025高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 【答案】 【分析】首先建立函数关系式，并代入求值. 【解析】由题意可知，，，则， 即，当时，. 所以气体通过半径为的管道时的速率为. 19．（2025高一·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 【答案】9.6 【分析】首先根据题中的关系建立模型，然后根据已知数据求解模型中的参数，再得结论. 【解析】设饼干的质量为克，则其售价（单位：元）与之间的函数解析式为. 由题意得， 即①， ， 即②. 由①②解得，. ∴. 当时，. 故这种饼干900克装的售价为9.6元. 故答案为：9.6 20．（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解析】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 考点四 分段函数模型的应用 21．（2025高一·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【解析】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 22．（2025高一·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【答案】B 【分析】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【解析】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 23．（2025高三·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【答案】C 【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【解析】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C 24．（2025高一·全国·课后作业）在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】求至少要准备的大巴数，也就是要求函数M(t)的最大值，由函数解析式可求最值. 【解析】当时函数为一次函数，单调递增，当时取到最大值即， 当时，函数为开口向下的二次函数，对称轴，由于为整数，故当时 取到最大值为，综上应至少准备大巴车的数量是10辆， 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的最值问题，考查一次函数和二次函数的性质，属于基础题. 25．（2025高一·全国·单元测试）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 【答案】A 【分析】设此人的工资为元，则根据题设条件可得纳税额与的关系，再令，则可得此人的工资收入. 【解析】设此人的工资为元，纳税额为，则有， 当时，，故当（元）时，， 令， 则（元），故选A. 【点睛】本题考查分段函数的应用，属于基础题. 26．（2025·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可. 【解析】当时，， 当时，函数有最大值，当时，函数值为， 所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量大于， 当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为：. 27．（2025高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 【答案】200 【分析】 根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【解析】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 28．（2025高一·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意列出分段函数式，根据函数单调性即可求解最值； （2）根据关于的函数关系式，得到不等式，即可求解. 【解析】（1）由题知，， 即， 所以在上递减，此时， 且在上递减，此时， 综上，该函数的最大值为. （2）由（1）知，， 则令，解得， 所以此时； 令，解得， 综上，的取值范围为. 29．（2025高一·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【解析】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 30．（2025高一·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【解析】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 考点五 分式型函数模型 31．（2025高一·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【解析】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 32．（2025高一·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【分析】（1）配方得到最值，得到答案； （2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【解析】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 33．（2025高一·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【答案】(1)， (2)当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【解析】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 34．（2025高一·广西柳州·期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． (1)试求y关于x的函数解析式； (2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公司乙，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，用x表示出应急室正面墙的长度，再列式作答. （2）由（1）的结论，利用均值不等式、函数单调性分别求出甲公司报价最小值、乙公司报价最大最小值，再比较作答. 【解析】（1）因应急室的左右两侧的长度均为x米，则应急室正面的长度为米， 于是得，， 所以y关于x的函数解析式是. （2）由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“=”， 则当左右两侧墙的长度为4米时，公司甲的最低报价为28800元， 对于乙，函数在上单调递增，，即乙公司最高报价为22900元， 因，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高， 所以公司乙能竞标成功. 35．（2025高一·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由见解析 (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【解析】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． $$【考点通关】2025-2026学年高一数学高频考点与解题策略(人教A版2019必修第一册) 专题14 函数的应用(一)5种常见考法归类（35题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 一次函数模型的应用 考点二 二次函数模型的应用 考点三 幂函数模型的应用 考点四 分段函数模型的应用 考点五 对勾函数模型 知识点1：常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 知识点2：对勾函数（耐克函数） 1、对够函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（，）的函数； ①定义域：； ②是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 2、特别的，对勾函数的简易形式：（）其图象如图： ①定义域：； ②（）是奇函数，图象关于原点对称； ③在，上单调递减；在，上单调递增； ④当时，；当时，； 策略方法 1、一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线． (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解． 注：(1)一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理． (2)对于一次函数在实际问题中的应用的题目，要认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象、表格信息确定解析式,同时要特别注意定义域．　 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 3、幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 4、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 5、解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 考点一 一次函数模型的应用 1．（2024高一·全国·专题练习）为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 2．（2025高一·全国·专题练习）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 3．（2025高一·江苏常州·期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 项目 类别 年固定 成本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域； (2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划． 4．（2025高一·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 5．（2025高一·浙江杭州·开学考试）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone6手机二月售价比一月每台降价500元，如果卖出相同数量的Iphone6手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元. (1)一月Iphone6手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润，该店计划三月购进Iphone6s手机销售，已知Iphone6每台进价为3500元，Iphone6s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案? (3)该店计划4月对Iphone6的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone6手机再返还顾客现金元，而Iphone6s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，应取何值? 考点二 二次函数模型的应用 6．（25-26高一·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 7．（2025高一·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（单位：件）（∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2，生产x件所需成本C＝100＋30（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是 8．（2025高一·全国·课后作业）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 9．（2025高一·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 10．（2025高一·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 11．（2025高一·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 12．（2025高一·全国·课后作业）某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表. 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.30 0.59 0.88 1.20 1.51 1.79 该经营者准备在第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字). 13．（2025高一·全国·专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米． (1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？ (2)若围成的矩形的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 14．（2025高一·江苏无锡·期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. (1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 15．（2025高一·全国·课后作业）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系（即前个月的利润总和与之间的关系）.根据图象提供的信息解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润（万元）与时间（月）之间的函数关系式； （2）求截止到第几个月末公司累积利润可达到万元； （3）求第八个月公司所获得的利润. 考点三 幂函数模型的应用 16．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 17．（2025高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 18．（2025高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到） 19．（2025高一·全国·专题练习）众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为，利润率为，则该种饼干900克装的合理售价为 元. 20．（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 考点四 分段函数模型的应用 21．（2025高一·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 22．（2025高一·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 23．（2025高三·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 24．（2025高一·全国·课后作业）在一次为期15天的大型运动会期间，每天主办方要安排专用大巴车接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴车可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动员人数M与t的关系是M(t)=，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴车的数量是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 25．（2025高一·全国·单元测试）2011年12月,某人的工资纳税额是元，若不考虑其他因素,则他该月工资收入为 级数 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过元 3 2 元 10 注:本表所称全月应纳税所得额是以每月收入额减去(起征点)后的余额. A．7000元 B．7500元 C．6600元 D．5950元 26．（2025·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车. 27．（2025高一·全国·课后作业）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 28．（2025高一·上海嘉定·期末）某商场的购物优惠活动如下：一次购物总额不满元的不予优惠；一次购物总额满元，但不满元的，减元；一次购物总额满元，不满元的，减元；一次购物总额满元的，按购物总额给予九折优惠.设某位顾客一次购物总额为元（假设可取上的一切实数），所享受到的优惠率（即原价与折扣价之差占原价的百分比）记为. (1)试写出关于的函数关系，并求该函数的最大值； (2)若该顾客这次购物所享受到的优惠超过九折，且不超过八五折，求的取值范围. 29．（2025高一·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 30．（2025高一·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 考点五 分式型函数模型 31．（2025高一·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 32．（2025高一·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 33．（2025高一·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 34．（2025高一·广西柳州·期中）为了加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为每平方米400元，左右两侧报价为每平方米300元，屋顶和地面报价共计9600元，设应急室的左右两侧的长度均为x米（），公司甲的整体报价为y元． (1)试求y关于x的函数解析式； (2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 35．（2025高一·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ $$